人教版高中数学必修四 平面向量数量积的坐标表示、模

二、基础知识讲解
c3o、s向ar量,br的夹角rar brr |a||b|
cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22
随堂练习
r
rr
rr
3 、 已 知 向 量 a ( 1 ,1 ),2 a b (4 ,2 ),则 a 与 b 的
夹 角 为 ;
4
三、例题分析
例 1 、 已 知 A O B 中 ， O 为 原 点 ， A (2 ,2 ),B (,1 ) 且 A B O 是 钝 角 ， 求 的 取 值 范 围
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
2、向量的模
r rr |a| aa
rr a•bx 1x 2y 1y2
r |a| x12y12
特 别 的 ， 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuur |AB| (x2x1)2(y2y1)2
随堂练习
u u u ru u u r u u u r
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
u u u r u u u r 变 式 ： 在 R t A B C 中 ， A B ( 2 , 3 ) , A C ( 1 , k ) , 求 k 的 值
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
rr a•bx 1x 2y 1y2
随堂练习
rr
1 、 已 知 向 量 a (1 ,3 ),b (2 ,5 ),则
rr
rr rr
a b 17 ;(a b )(2 a b ) 8 .

39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高中数学必修四（平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角）
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。

（3） a b x1x2 y1y2 0
例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5）,试
判断△ABC的形状，并给出证明。
解：如图在平面直角坐标系中标出A（1,2）,B（2,3）,C （－2,5）三点，我们以现△ABC是直角三角形，下面证
明证：明：AB (2 1,3 2) (1,1)
例1：
设a
(5,7), b
(6,4), 求a
b.
解：a b 5 (6) (7) (4) 2
想想
a,b 的夹角有多大？
问题3：你能写出向量夹角公式的坐标表示式， 以及向量平行和垂直的坐标表示式.
解： （1）cos
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
（2） a // b x1y2 x2 y1 0
平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
一、复习：
①a与b的数量积？ 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们 把数量|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积（或 内积），记作a·b ，即a·b=|a||b|cos
②a·b的几何意义？ 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上投 |b|cos的乘积。
（1）cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
（2） a // b x1y2 x2 y1 0
（3） a b x1x2 y1y2 0
BC (2 2,5 3) (4,2)
AC (2 1,5 2) (3,3) 思考：还有 AB AC 1 (3) 1 3 0 其他证明方
法吗？ △ABC是直角三角形
提示：尝试用勾股定理来证明
例3：设a＝(5,-7)，b＝(-6,-4) ，求a·b 及a、b 间的夹角（精确到1°） 解：a·b

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a|cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a||b|；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ； 5︒|a ⋅b| ≤ |a||b|3．练习：（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B.30° C.135° D.４５°（2）已知|a|=2，|b|=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m=a-4b 的模为（ ） A.2 B.23 C.6 D.12 二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o) 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. 三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x= .四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：《习案》作业二十四。

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角考点学习目标核心素养向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P106－P107，并思考下列问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．三个重要公式判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( ) 答案：(1)× (2)√已知a ＝(－3，4)，b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，若a ⊥b ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．－4答案：C已知a ＝(3，1)，b ＝(－3，1)，则向量a ，b 的夹角θ＝______. 答案：120°数量积的坐标运算向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 【解析】 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 【答案】 C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 解析：选C.依题意可知，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，点F 在AD 上，AF →＝2FD →，则BE →·CF →＝________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，2)，E (2，1)，D (2，2)，B (0，0)，C (2，0)，因为AF →＝2FD →，所以F (43，2)．所以BE →＝(2，1)，CF →＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE →·CF →＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________． (2)(2019·山东枣庄三中期中检测)已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且|a ＋b |＝|a －b |，则5a －3b 在向量a 方向上的投影为________．【解析】 (1)设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC →＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y －1)＝(4，－1)，所以{x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC →＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.(2)由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以－2(2m －1)＋2(3m －2)＝0，解得m ＝1，所以a ＝(1，2)，b ＝(－2，1)，5a －3b ＝(11，7)，由投影公式可得所求投影为a ·（5a －3b ）|a |＝255＝5 5.【答案】 (1)13 (2)55求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是()A．42，0 B．4，2 2C．25，1 D．5，1解析：选D.因为2a－b＝2(cos θ，sin θ)－(3，0)＝(2cos θ－3，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝13－12cos θ，又cos θ∈[－1，1]，所以|2a－b|2∈[1，25]，所以|2a－b|∈[1，5]，故|2a－b|的最大值和最小值分别是5，1，故选D.平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.2．已知A (－2，1)，B (6，－3)，C (0，5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A.由题设知AB →＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB →⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形.规范解答平面向量的夹角和垂直问题(本题满分12分)已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)．(2分)AB →·AD →＝1×（－3）＋1×3＝0，利用数量积为0，证明向量垂直所以AB →⊥AD →，所以AB ⊥AD . (4分)(2)因为AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， 所以AB →＝DC →.(5分)设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)．又因为AB →＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.(7分)所以点C 的坐标为(0，5)．所以AC →＝(－2，4)． 又BD →＝(－4，2)，所以|AC →|＝25，|BD →|＝25， AC →·BD →＝8＋8＝16.(9分)正确求出这三个量是求两向量夹角的关键设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.(11分)故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.(12分)(1)解答两向量的夹角的步骤：求数量积、求模、求余弦值、求角．(2)利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.1．已知向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ·b ＝2 B ．a ∥b C ．b ⊥(a ＋b ) D ．|a |＝|b |解析：选C.因为向量a ＝(2，0)，a －b ＝(3，1)，设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝3，0－y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以b ＝(－1，－1)，a ＋b ＝(1，－1)，b ·(a ＋b )＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b ⊥(a ＋b )．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝________．解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a ＝(1，3)，b ＝(2，m )． (1)当3a －2b 与a 垂直时，求m 的值； (2)当a 与b 的夹角为120°时，求m 的值． 解：(1)由题意得3a －2b ＝(－1，33－2m )， 由3a －2b 与a 垂直，得－1＋9－23m ＝0， 所以m ＝433.(2)由题意得|a |＝2，|b |＝m 2＋4，a ·b ＝2＋3m ，所以cos 120°＝a ·b |a |·|b |＝2＋3m 2m 2＋4＝－12，整理得2＋3m ＋m 2＋4＝0，化简得m 2＋23m ＝0， 解得m ＝－23或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－2 3.[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________． 解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )， 因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0， 即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0， 所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值． 解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)， 因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0， 解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5.设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52， 所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ， 所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12， 所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC→的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)．(1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角；(2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32. 因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)．(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， 所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

(2)
(ar )
r barr Nhomakorabea(b)(ar
r b
)
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
复习回顾
已知两个非零向量a
和b ，作
uuur r uuur r OA a，OB b
，则∠AOB=θ （0°≤θ
≤180°）叫做向量a 与b 的夹角。
B
θ
O
A
新课引入
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
解：设所求向量为 b cos , sin
∵ a 与b 成 45
∴ ab 2 8 2
2
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ 3 1 cos 3 1 sin 2 … …①
拓展提升：
又 sin 2 cos2 1
②
联立解之：cos
1 2
，sin
3 2
或
cos
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
2 5
课堂练习
（3）RtABC 中，AB 2,3 ，AC 1, k ，求k 的值.
①A 90时k 2 ②B 90时k 11
3
3
③C 90时k 3 13 2
归纳小结
（1） 掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积之和； （2） 要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角 度、方程、及垂直问题.

目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。

13
.
3
3
2
例 4 如图 2-4-5 ，以原点和 A(5 ， 2)为两个顶点作等腰 Rt △ OAB ，使∠ B=90°，求点 B 和向
量 AB 的坐标 .
图 2-4-5
思路分析： 关键是求出 B 点的坐标，设 B(x ，y)，由 OB ⊥ AB 和| OB |=| AB |，则可列出 x、
y 的方程组，解方程组，则可求得 x、 y，再求 AB 的坐标 .
cos θ＝
，即 cosθ＝
x1 x2
y1
y2
.
| a || b |
x12
y12 ? x22
y
2 2
学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角 . 典题 ?热题 知识点一 平面内两点间的距离公式
例 1 已知 A(-3 ， 4)， B(5 ， 2)，则 | AB |=___________.
解： 直接利用公式 .
∵
AB
·BC
=0，∴
2×(-1)+3(k-3)=0.
∴ k=
11
.
3
(3) 当∠ C=90°时，
∵ AC ·BC =0 ，∴ -1+k(k-3)=0 ，即 k2-3k-1=0.
∴k1= 3
13 或 k2= 3
13
.
2
2
综合 (1)(2)(3) 可知 k 的值为 k= 2 或 k= 11 或 k= 3
解： 设 B 点坐标为 (x ，y)，则 OB =(x ， y)， AB =(x-5 ， y-2).
∵ OB ⊥ AB ，
∴x(x-5)+y(y-2)=0 ，
即 x2+y 2-5x-2y=0.

∴|c|＝8 2.
前置学习
1．平面向量数量积的坐标表示 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝ 即两个向量的数量积等于 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔
x1x2＋y1y2＝0 x1x2＋y1y2
.
相应坐标乘积的和
B
)
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a· b＝5.
a· b 5 2 ∴cos〈a，b〉＝ ＝ ＝ . |a||b| 10× 5 2
π ∴a 与 b 的夹角为4.
前置学习
2．已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，则 |a|等于 A．1 B. 2 C．2 D．4 (
→ → → 答 ∵AB＝OB－OA
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，
→ ∴|AB|＝ x2－x12＋y2－y12.
探究点三 平面向量夹角的坐标表示 设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得： x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 cos θ＝ ＝ x1＋y1· x2＋y2 . |a||b| 特别地，若 a⊥b，则有 x1x2＋y1y2＝0 ； 反之，若 x1x2＋y1y2＝0 ，则 a⊥b.
∴a· b＝(x1i＋y1j)· (x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i· j＋x2y1j· i＋y1y2j2.
又∵i· i＝1，j· j＝1，i· j＝j· i＝0，
∴a· b＝x1x2＋y1y2.
探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 问题 1 若 a＝(x，y)，试用 x，y 表示|a|.

互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+ (a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2.疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b a b a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直.疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0.3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),||=212212)()(y y x x -+-.此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a b a +++=•.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式.活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值.解析：利用a ·b =|a |·|b |·cosθ建立方程,解方程即可.a +tb =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5,|a +t b |=20)1(52++t , 由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标. 解析：要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用OA ⊥OB ,| OA |=|OB |列方程解决之.设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ.解析：向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决.a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=•-=+•-+ ∴cosθ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值.解析：∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos 〈a ,b 〉=215||||=•b a b a ÷(3×5)= 21. ∴〈a ,b 〉=3π.。

10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 —心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
高中数学必修四《平面 向量数量积的坐标表示、
模、夹角》
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
Thank you

程
（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 及
( x1, y1) 、
(x2 , y2 ) ，那么 | a | 方
式)
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 (平面内两点间的距离公
法 3.向量垂直的判定
设 a (x1, y1) ， b ( x2 , y2 ) ，则 a b
x1 x2 y1 y 2 0
4.两向量夹角的余弦（ 0
）
cos
ab
=
|a | |b|
x1 x2
2
2
x1 y1
y1 y2
2
2
x2 y2
三 .讲解范例： 例 1 已知 A(1， 2)， B(2， 3)， C( 2， 5)，试判断△ ABC 的形状， 并给出证明 .
例 2 设 a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ (精确 2
及
ab
4 cos =
；
| a ||b |
方
5 |a b| ≤ |a||b|
法
3．平面向量数量积的运算律
交换律： a b = b a
数乘结合律： ( a) b = (a b) = a ( b)
分配律： (a + b) c = a c + b c
1
二、讲解新课：
问题与情境及教师活动
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
学生活动
已知两个非零向量 a (x1, y1) ， b ( x2 , y2 ) ，试用 a 和 b 的坐标 表示 a b .
设 i 是 x 轴 上的单 位向 量， j 是 y 轴 上的 单位向 量，那 么 a x1i y1 j ， b x2i y2 j 所以

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．课前预习：预习教材P106－107完成下面问题：知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).【预习评价】(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． (2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． (2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________． 课堂互动：题型一 数量积的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3(2)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118规律方法 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．题型二 平面向量的模【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标是________． 规律方法 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．【训练2】 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5D ．25方向1 向量的夹角问题【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 方向2 向量垂直问题【例3-2】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ．(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．课堂反馈：课堂达标1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．53D ．－532．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．44．已知向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)5．已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标．课堂小结1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：①a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，②a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，③cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22．2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．。

高二数学必修4《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》我作课的内容是高中数学必修四的第二章第四节《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》。

新课标指出：学生是教育主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，构建新的知识体系。

我将以此为基础从教材分析，教学目标、学习方法、教学过程分析、教学方法等几个方面加以说课。

一、教材分析1．本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

●教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用.●教学难点探究发现公式二、教学方法和手段1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知||=1，||=2，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C. 6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定 设),(11y x =，),(22y x b =，则⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，a 与b 之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设a= (5，-7)，b= (-6，-4)，求a∙b，a、b间的夹角θ的余弦及│a-4b│。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．42．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17 C ．－16 D.16二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值． 能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.]2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55， 故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0， ∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2， ∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)． 12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)， 所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)[基础·初探]教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角阅读教材P 106“探究”以下至P 107例6以上内容，完成下列问题. 1.平面向量数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝02.向量模的公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.3.两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a |·|b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，满足x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ，b 的夹角为0°.( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ⊥b ⇔x 1x 2－y 1y 2＝0.( )(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 【解析】 (1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)×.a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]平面向量数量积的坐标运算(1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12 B.－12C.32D.－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________. 【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.【自主解答】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )， 所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1， 解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝⎛⎭⎫97，47.【答案】 (1)D (2)1 4 (3)⎝⎛⎭⎫97，471.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.[再练一题]1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝()A.(－15,12)B.0C.－3D.－11【解析】依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.【答案】 C向量模的坐标表示(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于()A.4B.5C.3 5D.4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【精彩点拨】(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.【自主解答】(1)由y＋4＝0知y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝(－2)2＋42＝25，|a－b|＝4.【答案】(1)D(2)25 4向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.[再练一题]2.已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________.【导学号：00680057】【解析】 ∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋(x ＋2)2＝2x 2＋4x ＋4＝2(x ＋1)2＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞). 【答案】 [2，＋∞)[探究共研型]向量的夹角与垂直问题探究1 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？【提示】 cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.探究2 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于？ 【提示】 由已知得a －b ＝(1－x,4). ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0. ∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A.(－2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，－2)D.(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用a ，b 的夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0，a ≠λb求解.(2)设出点D 的坐标，利用BD →与BC →共线，AD →⊥BC →列方程组求解点D 的坐标.【自主解答】 (1)当a·b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向.由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，选B. 【答案】 B(2)设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，② 即2x ＋y －3＝0.由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)， ∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1).1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决.[再练一题]3.已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角.【解】 设a 与b 的夹角为θ， 则a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0，所以a ·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12. (2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a ·b <0且a 与b 不反向. 由a ·b <0得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向， 所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a ，b 不同向.由a ·b >0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞).1.已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A.5 B.4 C.－2D.－1【解析】 a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1. 【答案】 D2.已知a ＝(－2,1)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥b ，则x 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 由题意，a·b ＝(－2,1)·(x ，－2)＝－2x －2＝0，解得x ＝－1.故选A. 【答案】 A3.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋(－1)2＝10，|b |＝12＋(－2)2＝5，故a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝510·5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 B4.已知a ＝(3，－4)，则|a|＝________. 【解析】 因为a ＝(3，－4)，所以|a|＝32＋(－4)2＝5.【答案】 55.已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b ). 【解】 (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)， 所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， 所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)， a －b ＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)， (a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。