广州大学2012-2013(2)高等数学II2试题(B)解答

广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。

广州大学2012-2013学年第二学期考试卷解答课 程：高等数学Ⅰ2（80学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题2分，本大题满分20分）1．设(1,1,1)a = ，(2,3,4)b = ，则a b ⨯=(1,2,1)-.2．yOz 坐标面上的直线z y =绕z 轴旋转而成的曲面方程是222z x y =+.3．(,)(1,2)limx y →=14.4. 设yz x =，则(2,1)d z =2ln 2dx dy +.5．设区域D 为0x y ≤≤，01y ≤≤，则d d Dx y =⎰⎰12. 6．设L 为圆周221x y +=，则2d Lx s =⎰π.7. 级数1pn n∞=∑收敛的充要条件是p 满足不等式32p >. 8．若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1||nn u∞=∑的敛散性为 发散.9．方程22d 0d yy x+=的通解y =12cos sin C x C x +. 10．方程232x y y y xe '''-+=的待定特解形式y *=2()x x ax b e +.1．设(,)z f xy x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：121zf y f x∂''=⋅+⋅∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 12y f f ''=+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分=∂∂∂yx z2121f f f yy y ''∂∂'++∂∂ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 111122122[(1)](1)f y f x f f x f '''''''''=+⋅+⋅-+⋅+⋅- ┅┅┅┅┅┅ 7分 1112221()xy f x y f f f '''''''=+--+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分2．求曲面223zz e x y -+=在点(1,2,0)处的切平面方程和法线方程.解：令(,,)223zF x y z z e x y =-+- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 (1,2,0)(1,2,0)(,,)|(2,2,2)|(4,2,1)z x y z n F F F y x e==-=┅┅┅┅4分 切平面方程为 4(1)2(2)00x y z -+-+-=即 428x y z ++= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 法线方程为12421x y z--== ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分三．（本题满分10分）求函数322(,)425f x y x x x y y =-+-+的极值.解：由23820220x y f x x y f x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分得驻点为)0,0(，(2,2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 68x x f x =-， 2x y f =， 2y y f =- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分在点)0,0(处，2120AC B -=> ，又80A =-<所以(0,0)5f =是极大值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分 在点(2,2)处，2120AC B -=-< ，所以(2,2)f 不是极值 ┅┅┅┅┅ 10分1．设二重积分(,)d d DI f x y x y =⎰⎰，其中D 是由曲线2y x x =-与x 轴所围成的有界闭区域.（1）将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分；（2）将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.解：(1)区域D 为右图阴影部分 ………… 1分210d (,)d x x I x f x y y -=⎰⎰………… 4分(2) 由2y x x =-得0(0)(12)|1x y x ='=-= ………………… 5分(cos ,sin )d d DI f ρθρθρρθ=⎰⎰(1tan )sec 40d (cos ,sin )d f πθθθρθρθρρ-=⎰⎰………… 8分2．计算3232()d ()d LI x xy x y x y y =-++⎰，其中L 是由曲线2y x =与2x y =所围成的有界闭区域的边界，取正向.解：记2:01D x y x ≤≤≤≤ ……………………………………………… 1分由格林公式4d d DI x y x y =⎰⎰ ………………………………………… 4分2104d d x x x y y =⎰⎰…………………………………… 6分12512()d 3x x x =-=⎰ ……………………………… 8分求由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的几何体Ω的体积和表面积.解：由224z x y z ⎧=+⎨=⎩得224x y +=，记22:4D x y +≤ ………………………… 2分所求体积为V dv Ω==⎰⎰⎰2224d d dz πρθρρ⎰⎰⎰2302(4)8d πρρρπ=-=⎰…………………………………………… 6分记 221:,(,)z x y x y D ∑=+∈ 和 2:4,(,)z x y D ∑=∈对于曲面1∑，由22z x y =+得2x z x =，2y z y =1∑的面积为1DA =20d d πθρ=⎰⎰21)6d ππρ==⎰┅┅┅┅┅┅┅ 11分2∑的面积为24A π=所求表面积为12(236A A π+=+ ……………………………………… 12分六．（本题满分6分）（1）判别级数12nn n∞=∑的敛散性； （2）级数1sin 2nn n n∞=∑是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：（1）记02n n nu =>，由比值判别法 1111lim lim(1)122n n n n u u n +→∞→∞=+=< …………… 2分 所以，级数12nn n∞=∑收敛 ………………………………………………………… 3分（2）记sin 2n n n n v =，由于|sin |||22nn n n n nv =≤ ……………………………… 4分 又级数12n n n ∞=∑收敛，由比较判别法得，级数1sin ||2nn n n∞=∑收敛， 从而级数1sin 2nn n n∞=∑收敛且为绝对收敛 ………………………………………… 6分设有幂级数1nn x n∞=∑. （1）求它的收敛半径及收敛域； （2）求它的和函数.解：记1n a n =，11lim ||lim(1)1n n n n a R a n →∞→∞+==+= ……………………………………2分1x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛；1x =时，级数11n n∞=∑ 发散. 收敛域为 [1,1)- …………………………………………………………… 4分 记和函数为()s x11()n n s x x ∞-='=∑11x =- （ 11x -<< ） ……………………………… 6分 01()(0)1x s x dt s t=+-⎰ln(1)x =-- （11x -≤< ） …………………………………………… 8分八．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求微分方程d cos d y y x x x x+=的通解. 解：该方程为一阶线性微分方程，所求的通解为11cos dx dxx x x y e e dx c x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ …………………………………………… 3分 )cos (1⎰+=c xdx x ………………………………………………………… 5分 1(sin )x c x=+ ……………………………………………………………… 6分2．一池盛有盐水100公斤，其中含盐10公斤，现以每分钟2公斤的速率往池内注入淡水，同时从池内流出2公斤混和均匀的盐水，求池内溶液的含盐量降至一半所需要的时间.解：设从注入淡水开始记时（此时0t =），第t 分钟后池内的盐水含量为m 公斤，则池内盐的浓度为100m在时间间隔[,]t t dt +内，从池内流出的溶液中盐的含量为 210050m mdt dt ⨯⨯=在此段时间间隔内池内溶液盐的改变量为dm =-50mdt …………………………………………………… 2分 分离变量得 150dm dt m =-积分得 ln ln 50tm C =-+ 即 50t m Ce -= ……………………………… 4分由初始条件 0t =，10m = 得 10C =所以 5010t m e -= ……………………………………………………………… 5分 令5m =得50ln 2t =即池内的含盐量降至一半所需要的时间为50ln 2分钟 ……………………… 6分。

广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分 于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分 稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分 极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。

广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________任课教师 是否重修考（ ）（是打√）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯= .2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为 . 3．(,)(0,2)limx y →= .4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ .5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为 .6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数： 13x=- ，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y = .8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y = .9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -= .10．已知曲线L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰________.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.1．计算d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=与两坐标轴所围成的闭区域.2．设L 是由曲线22y x x =-与x 轴所围区域D 的正向边界曲线，利用格林公式计算曲线积分22()d ()d LI y x y x x xy y =-++⎰.判断级数12! nnnn n∞=⋅∑的收敛性. 五．(本题满分11分)求幂级数1(1) 2n nn nx∞=+-∑的收敛域及和函数.设Ω是由曲面224z x y =--及xOy 面所围成的有界闭区域，求Ω的表面积.七．(本题满分8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .试证曲面(,)0f x az y bz ++=上任一点处的切平面与平面z ax by =+垂直，其中f 可微，,a b 为常数.广州大学2011-2012学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试参考解答与评分标准（A 卷）一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b =，则a b ⨯=(4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--. 3．(,)(0,2)limx y →=18.4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==. 6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程x y y e -'+=的通解为y =()xe x C -+. 8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e+.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22z x∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。

（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。

（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。

反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。

2012级高等数学(二)期中试卷解答（本科、理工类）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设向量4,||2==a b ，且⋅=a b 则⨯=a b（ D ）.A． B ．2；C ．2；D ．2．具有特解123e ,2e ,3e x x x y y x y --===的3阶常系数齐次线性微分方程是（ B ）.A ．0y y y y ''''''--+=；B ．0y y y y ''''''+--=；C ．61160y y y y ''''''-+-=；D ．220y y y y ''''''--+=. 3．下列二重极限存在的是 （ D ）.A ．00lim x y x x y →→+，；B ．001lim x y x y →→+ ； C ．200lim x y x x y →→+ ； D ．001lim sin x y x x y →→⋅+. 4．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为 （ B ）.A ．1001x y z -==；B ． 3003x y z -==-； C ．100x y z ==； D ．010x y z == . 5．已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 的偏导数存在，则下面的结论正确的是 （ C ）.A ．(,)f x y 在00(,)x y 点连续；B ．(,)f x y 在00(,)x y 点可微；C ．0(,)f x y 在0x x =点连续；D ．(,)f x y 在00(,)x y 点有任意方向的方向导数.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．向量a 的模为2,它与x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别为,,362πππ，则向量a = (1. 7. 若函数(,)ln((0)f x y x x y=->>，则(,)f x y x y +-=.或8．设函数20sin (,)d 1xyt F x y t t =+⎰，则F x ∂∂= 2sin()1()xy y xy ⋅+. 9. 微分方程0y y ''+=的通解为 12cos sin .y C x C x =+（C 1，C 2为任意常数.）【多学时】10．椭圆223212,0xy z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转而成的旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为⎛ ⎝.【少学时】10．微分方程256x y y y xe '''-+=的特解形式为2()e x x Ax B +.三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．求极限22200lim x y xy x y →→+. 解： 2222||022xy xy y x y xy ≤≤=+，……......…….……………………4分 22200lim 0x y xy x y →→=+..............................................................................8分 12．设arctan 22()e yx z x y -=+，求点(1,1)处的2dz,z x y∂∂∂. 解： arctan (2)e y x z x y x -∂=+∂；arctan (2)e y x z y x y-∂=-∂；.....................................................4分 arctan arctan d (2)e d +(2)e d yyx x z x y x y x y --=+-；()4(1,1)d e 3d +d z x y π-=；..................6分222arctan 22e y x z y x xy x y x y-∂--=∂∂+，24(1,1)1e 2z x y π-∂=-∂∂...................................................8分 13. 经过原点的平面π与两条直线1,1,2x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z +++==-都平行，求平面π的方程．解：12(0,1,1),(1,2,1)s s ==-.......................................................................................2分12(3,1,1)n s s =⨯=-，...........................................................................................4分 且平面经过点(0,0,0)，所求平面π的方程为30x y z +-=．...........................8分【多学时】14．一圆柱体由周长为C 的矩形绕其一边旋转而成，求当矩形的边长各为多少时，形成的圆柱体体积最大？解：设矩形的边长为x ，y ，绕x 所在的边旋转而成圆柱体，则有2V y x π=⋅，且2()0x y C +-=，下面求V 的最大值，.......................................................................2分2(,)(22)L x y xy x y C πλ=++-，..................................................................................4分由22022022y xy x y C πλπλ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得6C x =，3C y =，......................................................................6分 所以，当矩形的边长分别为,63C C 时，绕短边旋转而成的圆柱体体积最大，2354V y x C ππ==．........................................................................................................8分【少学时】14．证明直线l 1：1332123y x z +-+==-与直线l 2：22,,41x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=-⎩是共面的． 证明：直线l 1的方向向量为()11,2,3s =-，经过点A 1(3,,3)2--，..........................2分 直线l 2的方向向量为()12,1,4s =-，经过点B (2,0,1)-；..............................4分 12(11,2,5)s s ⨯=，1(1,,2)2BA =--，................................................................6分 因为12()0s s AB ⨯⋅=，所以两条直线是共面的．.......................................................8分 （本题也有其他方法证明，请阅卷老师自定评分细则）【多学时】15．函数(,)z z x y =由方程xyz +(1,0,1)-处的全微分d z . 解：(1,0,1)1)1z x--∂==∂，(1,0,1)z y -∂=∂............................3分 d d z x y =．............................................................................ ..........8分【少学时】15．求抛物线2x y =与直线x y =所围图形的面积.解：抛物线2x y =与直线x y =的交点为(0,0),(1,1)，...............................................2分面积元素2d ()d A x x x =-，1201().6A x x dx =-=⎰.................................................8分 【多学时】16．u x xy xyz =-+，求u 在点(1,2,1)-处的梯度，并求沿着梯度方向的方向导数.解：1,x u y yz =-+,y u x xz =-+,z u xy =....................................................................3分 (1,2,1)(3,2,2),u -=--grad ........................................................................5分记梯度方向为l ，则(1,2,1)(3,2,2)u l -∂=--=∂分【少学时】16．写出YOZ 平面上抛物线z = y 2绕 Z 轴旋转所成的旋转曲面的方程，并求该曲面与平面z =1所围成的立体的体积．解：旋转曲面的方程为z = x 2+y 2，...........................................................................3分 以y 为积分变量，[0,1]y ∈，d d V y y π=，........................................................6分11200d 22V y y y πππ===⎰．..........................................................................8分 四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．物体的冷却速度与该物体和周围介质的温差成正比（比例常数为k ，k > 0），现将具有温度为0T 的物体放在保持常温为α 的室内，求温度 T 与时间 t 的函数关系.解：设物体在t 时刻的温度为T (t )，则有d ()d T k T tα=--，0(0)T T =，................2分 解微分方程得 e kt T c α-=+，....................................................................................4分 将00,t T T ==代入得 0c T α=-，故()0e kt T T αα-=-+．.......................................6分18．设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中函数()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续二阶偏导数，求z x ∂∂和2z x y∂∂∂. 解：122(2)(,)(,)z f x y g x xy yg x xy x∂'''=-++∂，.............................................................3分 2122222(2)(,)(,)(,)z f x y xg x xy g x xy xyg x xy x y∂'''''''=--+++∂∂.................................6分 五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2e x f x f x '+=,求函数()f x . 解： 220r r +-=，解得122,1r r =-=，....................................................................2分二阶方程的通解为212e e x x y c c -=+，................................................................3分 进而有 2122e e x x y c c -'=-+，.........................................................................4分 代入()()2e x f x f x '+=得212e 2e 2e x x x c c --+=，所以120,1c c ==，所以函数()e x f x =.......................................................................5分20．已知向量a ，b ，c 为单位向量且满足=0a +b +c ，试求⋅⋅⋅a b +b c +c a .解：有已知得()0⋅=a a +b+c ，即20⋅⋅=a +a b +a c ；..........................................1分 同理20⋅⋅=b +a b +b c ，20⋅⋅=c +a c +b c ；..........................................................2分三式相加得 ()2222()0++⋅⋅⋅=a b c +a b +b c +a c ，............................4分所以32⋅⋅⋅=-a b +b c +c a ．..........................................................................................5分。

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．60.9； 10. -160； 11. -1； 12. -2； ]1,22[13⋅)32,32(14π⋅ 2.15说明：第l4题的答案可以是))(232,32(Z k k ∈+ππ三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分l2分)(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两 角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：∵函数)(x f 的图象的最高点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,125π .2=∴A ……………1分依题意，得函数)(x f 的周期πππ=⎪⎭⎫⎝⎛-=12512112T ……………2分 .22==∴Tπω ……………3分 (2)解：由(1)得⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2)(πx x f ……………4分,54sin ),20(=∈απα且，53sin 1cos 2=-=∴αα ……………5分,2524cos sin 22sin ==∴ααα ……………7分 257sin 212cos 2-=-=αα ……………9分 )32sin(2)(παα-=∴f ……………10分)3sin2cos 3cos2(sin 2παπα-= ……………11分⋅+=253724 ……………12 分 17．(本小题满分12分)(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必 然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(I)解：从6条网线中随机任取三条网线共有2036=C 种情况． ……………1分,6321411=++=++⋅=+==∴411)6(61212C C C P ξ ……………2分 ,7322421=++=++411)7(361212=+==∴C C C P ξ ……………3分 ,8422431=++=++2031)8(3612=+==∴C C P ξ ……………4分 ,9432=++⋅===∴101)9(612C C P ξ …………5分)9()8()7()6()6(=+=+=+==≥∴ξξξξξP p P P P⋅=+++=431012034141答：线路信息畅通的概率为43……………6分 (2)解：ξ的取值为4，5，6，7，8，9． ……………7分,4211=++⋅===∴101)4(3612C C p ξ ……………8分,5221311=++=++⋅=+==∴2031)5(3612C C P ξ ……………9分 ∴ξ的的分布列为：………………………………………………………………………………………………10分1019203841741620351014⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………11分 .5.6= ……………12分18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查 数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法l ：(1)作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则∠MAO 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． ……………l 分 由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，故∠MAO 是直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． ……………2分 作MP ⊥AB ，垂足为P ，连接PO ，⊂AB 平面ABCD ，∴MO ⊥AB ．⊂=MO M MP MO , 平面⊂MP MOP ,平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP ． ……………3分由题意知.4,2,11=====AA AD AP PO MO 在POM Rt ∆中，222=+=MO PO PM在APM Rt ∆中，322=+=PM AP AM在AOM Rt ∆中，3331sin ===∠AM MO MAO ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……………5分(2)延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ， 由(1)知AB ⊥平面MOP ∴MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ ． ∵MN ∥AB ，∴MN ⊥MP,MN ⊥MQ ． …………6分∴∠PMQ 是二面角A 一MN —C 的平面角． ……………7分 在△PMQ 中，2.2===PQ MP MQ,4222PQ MQ MP ==+.90 =∠∴PMQ ……………8分∴二面角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)作NP 1∥MP 交AB 于点P 1，作NQ 1 ∥MQ 交CD 于点Q 1，由题意知多面体MN —ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M —APQD 和1PBCQ N - 和一个直三棱柱11Q NP MPQ -.四棱锥APQD M -的体积为321213131=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MO AD AP V …………10分 直三棱柱11Q NP MPQ -的体积为222221212=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MN MQ MP V …11分 ∴多面体ABCD MN -的体积为3102322221=+⨯=+=V V V ……………12分长方体1111D C B A ABCD -的体积为3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA BC AB V ………13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ……………14分 解法2：(1)以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，D D 1所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系xyz D -,(如图)，作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP ⊥AB ，垂足为P ，依题意知,1===AP OP MO ,4.21==AA AD 则,)1,1,1(),0,0,2(),0,0,0(M A D )4,0,2(),1,3,1(1-A N ……………1分⋅-=∴)1,1,1(AM ……………2分 ⊥1AA 平面1111D C B A∴平面1111D C B A 的一个法向量为)4,0,0(1-=AA ………3分 设直线AM 与平面1111D C B A 所成角为θ，则33434sin =⨯==θ ……………4分 ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……5分 (2)由(1)知),1,1,1(),0,2,0(==DM MN 设平面ABNM 的法向量为),,,(1z y x n = 由,0,011=⋅=⋅AM n MN n 得⎩⎨⎧==++-.02,0y z y x令1=x ，则0,1==y z∴平面ABNM 的一个法向量为 )1,0,1(1=n ……………6分 设平面CDMN 的法向量为),,(2z y x n = 由0,022=⋅=⋅MN n DM n ，得⎩⎨⎧==++.02,0y z y x令1=x ，则0,1=-=y z∴平面CDMN 的一个法向量为)1,0,1(2-=n ……………7分,0)1(101121=-⨯++⨯=⋅n n∴平面ABNM ⊥平面CDMN ． ……………8分 ∴二而角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)如图将多面体ABCD MN -补成一个直三棱柱,1BCQ ADQ - 依题意知,211====CQ BQ DQ AQ ,11==NQ MQ ,4,21==AA AD多面体ABCD MN -的体积等于直三棱柱1BCQ ADQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥ADQ M -和1BCQ N -的体积2224AD DQ AQ ==+.90 =∠∴AQD∴直三棱柱1BCQ ADQ -的体积为,442221211=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=AB DQ AQ V …………………………10分三棱锥ADQ M -的体积为⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=31122213121312MQ DQ AQ V …………………………11分∴多面体ABCD MN -的体积为310324221=-=-=V V V …………12分 长方体1111D C B A ABCD -的体积为.3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA CD AB V ……13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ………………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的 数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法1：由⎩⎨⎧=+=yx m x y 4,22消去,y 得.0482=--m x x ……………1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，04482=⨯+=∆∴m ，解得4-=m …………3分∴直线l 的方程为42-=x y ……………4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为),,(00y x由241x y =，得x y 21=' ∴直线l 的斜率0210x y k x x ='== ……………1分 依题意得2210=x ，解得.40=x ……………2分 把40=x 代入抛物线2C 的方程，得.40=y ∵点),(00y x 在直线l 上，,424m +⨯=∴解得.4-=m ……………3分∴直线l 的方程为.42-=x y ……………4分(2)解法l ：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分 设点)1,0(1F 关于直线l 的对称点为),(001y x F则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-42221,1210000x y x y ……………7分解得⎩⎨⎧-==.1,400y x∴点)1,4(1-F ……………8分∴直线l 与直线1:21-=y F F 的交点为)1,23(0-P ……………9分 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆.1C 的长轴长,4||||||||||2212121=≥+=+=F F PF PF PF PF a ……………11分 其中当点P 与点0p 重合时，上面不等式取等号．211.2≤=∴≥∴a e a故当2=a 时，,21max =e ……………12分 此时椭圆1C 的方程为13422=+x y ，点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 解法2：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分设椭圆1C 的方程为),1(112222>=-+a a x a y ……………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=11422222a x a y x y 消去,y 得0)16)(1()1(16)45(22222=--+---a a x a x a (*) ……………7分由0)16)(1)(45(4)]1(16[22222≥-----=∆a a a a ……………8分 得020524≥-a a ……………9分 解得.42≥a.2≥∴a ……………10分 ⋅≤=∴211a e ……………11分当2=a 时，,21max=e 此时椭圆1C 的方程为.13422=+x y ……………12分 把2=a 代入方程(*)，解得,23=x .1-=y ……………13分 ∴点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 20．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解：函数)(x f 的定义域为(0，+∞)． ……………1分xx ax ax x x f 111)(2---=+-=' ……………2分①当0=a 时，0)(,0,1)(>∴>+='x f x xx x f ∴函数)(x f 单调递增区间为(0，+∞)． ……………3分②当0=/a 时，令0)(='x f 得012=---x x ax .41.01.02a x ax x +=∆∴=--∴>(i)当0≤∆，即41-≤a 时，得012≤--x ax ，故0)(≥'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为(0,+∞) ……………4分 (ii)当0>∆，即41->a 时，方程012=--x ax 的两个实根分别为 ,24111a a x +-= aa x 24112++= ……………5分若041<<-a ，则0,021<<x x ，此时，当),0(+∞∈x 时，.0)(>'x f∴函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)， ……………6分 若0>a ，则0,021><x x此时，当),0(2x x ∈时，0)(>'x f ，当),(2+∞∈x x 时，,0)(<'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 分7综上所述，当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aa 2411,0，单调递减区间 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 当0≤a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间． …………8分 (2)解：由(1)得当0≤a 时，函数)(x f 在(0，+∞)上单调递增，故函数)(x f 无极值；…………9分当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a 单谢递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+++，a a 2411 则)(x f 有极大值，其值为2222221ln )(x ax x x f +-=，其中a a x 24112++=…10分而01222=--x ax ，即1222+=x ax21ln )(222-+=∴x x x f ……………11分 设函数)0(21ln )(>-+=x x x x h ，则0211)(>+='x x h ……………12分 则21ln )(-+=x x x h 在(0，+∞)上为增函数．又0)1(=h ，则0)(>x h 等价于.1>x021ln )(222>-+=∴x x x f 等价于12>x ……………13分 即在0>a 时，方程012=--x ax 的大根大于1，设,1)(2--=x ax x ϕ由于)(x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称 轴021>=ax ，则只需0)1(<ϕ，即011<--a ，解得2<a ，而.0>a 故实数a 的取值范围为(0，2)． ………………14分 说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分． 1．由于aa a a a a a a 412121412121241122++=++=++在(0，+∞)是减函数， 而12411=++aa 时，,2=a 故12411>++a a 的解集为(0，2)，从而实数a 的取值范围为(0，2) 2．直接解不等式12411>++aa，而0>a 通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2)．21．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方 法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：由于对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f --=- 令0==y x ，得),0()00100()0()0(f f f f =⨯--=-解得.0)0(=f ……………1分令,0=x 得)()010()()0(y f yyf y f f -=⨯--=-,0)0(=f )()(),()(0y f y f y f y f -=--=-∴即 ……………2分∴函数)(x f 是奇函数． ……………3分 (2)解：先用数学归纳法证明10<<n a ①当n=1时211=a ，得.101<<a 结论成立． ②假设n=k 时，结论成立，即10<<k a 当1+=k n 时,由于012,1021>+=<<+kkk k a a a a 又.12212212221==⨯<+=+⋅k kkk k k k a a a a a a a .101<<∴-k a即1+=k n 时，结论也成立．由①②知对任意.10,*<<∈n a N n ……………………4分 求数列)}({n a f 的通项公式提供下面两种方法． 法l ：)()())(1)(()12()(21n n n n n n n n n a f a f a a a a f a a f a f --=-⋅---=+=+……………5分 ∵函数()x f 是奇函数),()(n n a f a f -=-∴)(2)(1n n a f a f =∴+ ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分 法2：)1()()(111nn nn n n a a a a f a f a f +++--=- ……………5分),(1121122322n nn n n n n n n a f a a a f a a a a a f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+= ⋅=∴+)(2)(1n n a f a f ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分(3)证法l ：由(2)知,10<<n a01)1(122221>+-=-+=-+nn n n n n n n a a a a a a a a n n a a >∴+1 ……………8分)2,(12121*1≥∈<<⋅=∴n N n a a n 且 ),,(210*m n N m n a a m n >∈<-<∴且 ……………9分当2≥k 且*N k ∈时，ka a a a A a kk k k +++-=- 21ka a a a a a k k k k )()()(121--++-+-=……………10分k k 21-< …………11分k 2121-= 21<. 210<-<∴k k A a . …………12分 011=-A a ，∴当2≥n 时，21011-<-<∑∑==n A a i ni n i i . ………13分 ∴当2≥n 时，21||11-<-∑∑==n A a ni i ni i . ………14分 证法2：由(2)知10<<n a ，n n n n n a a a a a -+=-+2112 01)1(22>+-=nn n a a a ， n n a a >∴+1. ……8分121,211<<=∴n a a (n ∈N *，且2≥n ) *),(21||N m n a a m n ∈<-∴. ……9分下面用数学归纳法证明不等式21||11-<-∑∑==n A a ni i n i i 成立． ①当n=2时，左边=++-+=|)2(|21121a a a a a =<⨯<-212121||2112a a 右边． ∴n=2时，不等式成立. ………10分 ②假设*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即21||11-<-∑∑==k A a ki i k i i ， 则n=k+1时， 左边||1111i k i k i i A a ∑∑+=+=-=--+=∑∑=+=ki i k k i i A a a 111|1121+++++k a a a k ……………11分+-=∑∑==ki i ki i A a 11)(||1)()1(211++++-++k a a a a k k k )(|11||1111a a k A a k ki i ki i -++-≤+==∑∑|)()(121k k k a a a a -++-+++ ……12分|(|112111a a k k k -++-<+|)|||121k k k a a a a -++-+++ )212121(1121+++++-< k k21121k k k ⨯++-=)1(212121+-+-=k k 2121+-<k 右边． ……………13分 时，不等式也成立．由①②知，当时，成立． ………………14分证法3：由(2)知，故对，有. ……………8分由于对任意x>0，y>0，有，其中表示x 与y 的较大值．于是对，有……9分…………10分. ……………11分故 ……12分……………13分. ……………14分。

广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课 程：高等数学（B 卷）（90学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设2sin z x y =,则z x ∂=∂____________,zy∂=∂____________.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zy ∂=∂__________________,(,)u f u v x ∂'=∂__________________.3.曲面z xy =在点(1,1,1)处的法向量n =______________, 切平面方程为__________________________________.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与柱面坐标(,,)z ρθ的关系为 ________________________________________. 在柱面坐标下,体积元素dv =__________________.5.设L 为曲线弧3(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰________.6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1) 1n x x ++++=__________;(2) 112n x nx -++++=__________.7.若级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为_______.8.微分方程320y y y '''-+=的通解为y =________________________, 微分方程3223y y y x '''-+=-的通解为y =_______________________.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分)1.写出函数z ,并求函数的全微分.2.已知),(y x f z =是由方程22240x y z z ++-=确定的隐函数,求x z ∂∂和22xz∂∂.三．解答下列各题（每小题8分，本大题满分16分）1.计算Dxyd σ⎰⎰,其中D 是由直线1,2y x ==及y x =所围成的闭区域.2.设L 为正向圆周224x y +=,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 22)(.四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）订 线 内不 要 答 题1.判别级数12!n n n n n ∞=⋅∑的收敛性.2.求幂级数21nn x n∞=∑的收敛域.五．解答下列各题（每小题8分，本大题满分16分）1.求微分方程22dy y dx xy x =-的通解.2.求一曲线的方程,这曲线经过原点,并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +.六．（本大题满分10分）订 线 内 不 要答 题设(,)z f x y =满足条件：252z y x x ∂=--∂，2zy x y∂=-∂，且(0,0)1f =. 求(,)f x y 的极值.广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷高等数学（B 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设2sin z x y =,则z x ∂=∂2sin y ,zy∂=∂22cos xy y .2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zy ∂=∂(,)3(,)u v xf u v f u v ''+,(,)u f u v x ∂'=∂(,)2(,)uu uv yf u v f u v ''''+.3.曲面z xy =在点(1,1,1)处的法向量n =(1,1,1)-,切平面方程为10x y z +--=.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与柱面坐标(,,)z ρθ的关系为cos ,sin ,x y z zρθρθ===.在柱面坐标下,体积元素dv =d d dzρρθ.5.设L 为曲线弧3(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰145.6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数:(1) 1n x x ++++=11x-;(2) 112n x nx -++++=21(1)x -.7.若级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1(1)n n n a x ∞=-∑的收敛区间为(0,2).8.微分方程320y y y '''-+=的通解为y =212x xC e C e +,微分方程3223y y y x '''-+=-的通解为y =212x x C e C e x++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数z ,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y +≥。

广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（B 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(0,2)sin lim x y xy x→=2. 2.设2(,)(1)sin xf x y x y y=+-,则(,1)x f x =2x .3.函数x z y=的全微分dz =21xdx dy y y -. 4.设sin x z xyz e -=,则zx∂=∂cos x yz e z xy+-.5.改换积分次序:1(,)xdx f x y dy =⎰⎰11(,)ydy f x y dx⎰⎰. 6.平面2366x y z ++=在第一卦限部分的面积等于72.7.设L 为2x y =从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则L=⎰73. 8.若级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑的敛散性为： 收敛 .9.幂级数214nn n n x ∞=∑的收敛半径R =2.10.微分方程()()y P x y Q x '+=的通解:y =()()[()]P x dx P x dxe Q x e dx C -⎰⎰+⎰.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知(,)f u v 可微, 设2(,ln )z f xy x y =+, 求x z∂∂和2z x y∂∂∂.解:122zyf xf x∂''=+∂…………………………………………………4分 211112212211[]2[]z f y xf f x xf f x y y y∂'''''''''=++++∂∂ 211112222(12)xf xyf x f f y'''''''=++++…………………………7分2.求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解: (,,1)z n y x e =-(2,1,0)(1,2,0)n =…………………………………………………3分所求切平面方程 (2)2(1)0x y -+-=………………………………5分 即 240x y +-=所求法线方程 2120x t y t z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩……………………………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1y =、2x =及y x =所围成的闭区域.解: 积分区域如图(略)………………………………………………2分211xDxydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰…………………………………………4分321()22x xdx =-⎰………………………………………6分 98=……………………………………………………7分2.设L 为正向圆周2220x y x +-=,计算⎰+-Ldy x dx y 33)1(.解: 记22:20D x y x +-≤,由格林公式有⎰+-Ldy x dx y 33)1(22(33)Dx y dxdy =+⎰⎰………………………3分 2cos 326d d πθθρρ=⎰⎰……………………………………………5分42024cos d πθθ=⎰…………………………………………………6分319244222ππ=⋅⋅⋅=………………………………………………7分四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1.级数111(1)sin n n n ∞-=-∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散？解: 因1sinlim 11n n n→∞=,而11n n ∞=∑发散,所以11sin n n ∞=∑发散………………3分又因1lim sin 0n n →∞=,且11sin sin 1n n >+,所以111(1)sin n n n ∞-=-∑收敛,但非绝对收敛,为条件收敛……………………………………………………6分2.在区间(1,1)-内求幂级数20(21)n n n x ∞=+∑的和函数.解: 20(21)nn n x∞=+∑21()n n x∞+='=∑210()n n x ∞+='=∑…………………………3分2()1x x '=-…………………………………………5分 2221(1)x x +=-…………………………………………6分五．（本题满分8分）求函数3(,)3ln f x y x x y y =-+-的极值.解: 由2330110x y f x f y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,得驻点(1,1),(1,1)-…………………………4分 216,0,xx xy yy A f x B f C f y ======……………………………5分 在点(1,1)处,260AC B -=>,且60A =>,所以(1,1)1f =-为极小值………………………………………………7分在点(1,1)-处,260AC B -=-<,所以(1,1)f -不是极值 ………8分 六．（本题满分8分）设Ω是由曲面222z x y =--及22z x y =+所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:1D x y +≤……………………2分Ω的体积为 222120V dv d d dz πρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分21200(22)d d πθρρρ=-⎰⎰…………………………6分42102[]2ρπρ=-π=………………………………8分七．（本题满分7分）求微分方程4x y y xe ''-=的通解.解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ， 特征根为11=r ，12-=r ，齐次通解为 x x e C e C Y -+=21…………………………………………3分 可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得x b ax a 4)2(22=++，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=，…………………6分 原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-………………………7分 八．（本题满分7分）一曲线通过点(1,1),其上任一点的法线都过坐标原点,求该曲线的方程.解: 设(,)P x y 为曲线上一点,由题设OP 为P 处的法线,于是有dy xdx y=-…………………………………………………3分 分离变量得 ydy xdx =-………………………………………………4分 两边积分得221122y x C =-+………………………………………6分 由1,1x y ==,得1C =所求曲线方程为 222x y +=………………………………………7分。

2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。

单项选择题1、级数为( )B、条件收敛但不绝对收敛2、曲线在t=2处的切向量是（）。

A、(2,1, 4)3、在)处均存在是在处连续的（）条件。

D、既不充分也不必要4、设a为常数，则级数( )A、绝对收敛5、二元函数的定义域是（）。

A、6、方程表示的曲面是（）。

D、球面7、有且仅有一个间断点的函数是（）。

B、8、下列级数中,收敛级数是（）A、9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。

已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。

C、5210、平面4y－7z=0的位置特点是（）D、通过x轴11、若满足，则交错级数。

C、可收敛也可发散12、下列无穷级数中发散的是（）。

C、13、下列说法正确的是（）。

C、两向量之间的夹角范围在14、级数收敛，则参数a满足条件（）A、a>e15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。

D、16、求点(1,2,3)到平面的距离是（）。

D、17、以下各方程以为解的是（）。

A、18、，且收敛，则( )。

A、绝对收敛19、当k =（）时,平面与互相垂直。

A、020、设，u=cos x, v=sin x,则=（）。

C、121、二元函数的定义域是( )。

A、22、方程x=2在空间表示( )D、与yoz面平行的平面23、设的三个线性无关的解，则该方程的通解为（）。

D、24、设和是微分方程的解，则（）也是微分方程的解。

D、25、设，当a=（）时。

B、26、当D是由（）围成的区域时，= 2。

D、|x y|=1,|x-y|=127、（），其中L为直线y = x上从点(0,0)到(1,1)的那一段。

A、28、已知某微分方程的通解和初始条件分别为和，则常数和分别等于（）。

A、a,029、设，则以下结果正确的是（）。

C、30、设，其中（x>y>0）,则=（）。

A、31、已知级数的部分和，则该级数的通项为（）C、32、总长度为2的一根铁丝，可以围成矩形的最大面积是（）。

广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第1页广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第2页 0),(=yz xz dF （2分）0)()('2'1=+yz d F xz d F （4分）0)()('2'1=+++ydz zdy F xdz zdx F （7分） '2'1'2'1yF xF dy zF dx zF dz +--= （9分） 4. 利用极坐标计算二重积分其中x y x D 2:22≤+。

解答：原式 = ⎰⎰⎰⎰-=⋅θππρρθθρρρcos 20222d d d d D （4分）⎰⎰==-203223cos 316cos 38πππθθθθd d （7分） 93232316=⋅= （9分） 5. 求解微分方程x xe y y =+''。

解答： 对应齐次方程的特征方程为： 012=+r （2分） 解得： i r ±=2,1 （3分） 对应齐次方程的通解为： x C x C Y sin cos 21+= （5分）设非齐次方程有一个特解：x e x b b y )(10*+=，代入非齐次方程中可以求得： 21,2110=-=b b （7分） 故非齐次方程的通解为：x e x x C x C y )1(21sin cos 21-++= （9分） 6. 在椭圆369222=+y x 的第一象限部分上求一点，使椭圆在该点的切线与坐标轴所围三角形的面积最小，并求最小三角形面积。

解答： 椭圆在点()00,y x 处的切线方程为()()0920000=-+-y y y x x x ，即369200=+y y x x广东工业大学参考答案及评分标准，共3页，第3页。

院、系领导B 卷审批并签名广州大学2012-2013学年第一学期考试卷课程：高等数学Ⅱ（64学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________任课教师是否重补考（）（是打√）题次一二三四五六七八九十总分评卷人分数15 15 18 12 7 18 7 8 100得分一．填空题（每空3分，本大题满分15分）1．____________________.2．曲线在点（1，5）处的切线方程是___________________.3．函数的拐点为____________________.4．若，则____________________.5．____________________.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分1．当时，是的( 无穷小.(A 高阶; (B 低阶; (C 同阶但不等价; (D 等价.2．函数在上连续是在上有界的( . (A 充分条件; (B 必要条件;(C 充要条件; (D 无关条件.3． ( .(A ; (B ; (C ; (D . 4． ( A .(A 1/2; (B 1; (C 3; (D 4.5．在连续，则( .(A 0; (B -1; (C 1; (D 2.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．计算极限.2．计算极限.3．计算极限四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．，求和二阶导数.2．求由方程所确定的隐函数的导数.五．求的极值.（本大题满分7分）六．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．.2．.3．.七．用定义证明：（本大题满分7分）八．求与围成图形的面积.（本大题满分8分）。

05-06(2)高等数学试题(B)解答学院领导审批并签名B卷姓专学业广州大学2005-2006学年第二学期考试卷班名级院高等数学（90学时）参考解答与评分标准题次一二三四五六七八总分分数201021211414100得分评卷人一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1.设z某2ln某z12z1y,则某2某某y,某y某y2.2.曲面z某y在点(1,2,2)处的法向量n(2,1,1),切平面方程为2某yz2.3.设L为曲线y某2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则d14某2d某,L14yd73.(1)n14.级数当p(1,)时绝对收敛,当p(0,1]时条件收敛n1np.5.微分方程y3y2y0的通解为yC1e某C某2e2,满足初始条件y(0)0,y(0)1的特解为ye2某e某.高等数学试卷(B卷)第1页共6页二．选择题(每小题2分,本大题满分10分)1.f(某,y)在点(某0,y0)可微是偏导数f某(某0,y0)和fy(某0,y0)存在的(A).(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充要条件;(D)无关条件.2.lim1某y1某y02某(B).(A)0;(B)1;(C)2;(D).3.设L为正向单位圆周,则(2某y)d某(3某y)dy(L(A);(B)2;(C)3;(D)4.4.幂级数n某2n的收敛半径是(C).n14n(A)R4;(B)R14;(C)R2;(D)R12.5.方程某y(d某dy)y2d某某2dy是(B).(A)可分离变量的微分方程;(B)一阶齐次微分方程;(C)一阶线性微分方程;(D)全微分方程.高等数学试卷(B卷)第2页共6页D).三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）yz2z1.设zf(某y,),求和(其中f(u,v)具有二阶连续偏导数).某某某yzzuzvyyf12f2................................................... ......3分某u某v某某f112zyf2 (4)分f1yf22某yy某2某y11y1f12]2f22[某f21f22]…………..……6分f1y[某f11某某某某1y3f22……………………………………….7分f12f2某yf11某某解2.已知zf(某,y)是由方程z42z24某lny确定的隐函数,求zf(某,y)的偏导数和全微分.解记Fz2z4某lny，则424某3,Fz4z4z…………………….…………2分yFyF某zlnyz 某,……………………..…....5分3某FzzzyFzy(z3z)zzlny某dzd某dy3d某dy…………………………7分3某yzzy(zz)F某4lny,Fy3.求f(某,y)e某y5y的极值.某f某e10解令，4f5y50y得驻点(0,1),(0,1)……………………………………………………………...3分某5Af某某e某,Bf某y0,Cfyy20y3DACB220y3e某……………………...……………………………4分在点(0,1)处，D200，且A10，f(0,1)3为极小值…………6分在点(0,1)处，D200，f(0,1)不是极值…………………………..7分高等数学试卷(B卷)第3页共6页四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1.设二次积分Idy011yf(某,y)d某.1)画出二次积分I中的积分区域D;2)改换二次积分I的积分次序;3)将二次积分I化为极坐标形式的二次积分.解1）作图从略………………………...…………………………………………2分2）I3）I2.计算闭区域.解10d某f(某,y)dy…………..…..………………………………………..4分0某40dec0f(co,in)d…...…..…………………………..7分zd某dydz,其中是由曲面z某2y2及平面z4所围成的有界zzdddz…………………….………………………..2分zd某dyd20dd2zdz................................................................4分02420(165)d.. (6)分64………………………………………………………………………….7分33.证明曲线积分(2,3)(1,1)(2某yy3)d某(某23某y2)dy与路径无关,并计算积分值.3P2某3y2yQ22某3某2y,2某3Q(某,y)y某PQ,曲线积分与路径无关…………………………………………..3分y某解P(某,y)2某yy,原积分=(2某1)d某(46y2)dy1123……………………………………..7分42高等数学试卷(B卷)第4页共6页五．解答下列各题（本大题满分14分）1.(本题6分)(1)n判别级数是绝对收敛,条件收敛,还是发散n2lnn111解记un,则un,又发散,lnnnn2n所以原级数不是绝对收敛…………………………………………………………3分un0,且unun1,因limn所以原级数条件收敛………………………………………………………………6分2.(本题8分)(1)n将函数f(某)arctan某展开成某的幂级数,并求级数n的和.3(2n1)n01解f(某)(1)n某2n,（|某|1）……………………………..2分21某n0f(某)f(0)某某0f(某)d某n2nn某2n1,（|某|1），………….4分[(1)某]d某(1)02n1n0n02n1n 某因f(某)在点某1处连续，而(1)在点某1处收敛，2n1n02n1n某从而f(某)(1)（|某|1）………………………………….5分2n1n0(1)n于是n 3(2n1)n0(1)n132n1n032n1…………………………………………………6分3f(13)3…………………………………………………….…8分6高等数学试卷(B卷)第5页共6页六．解答下列各题（本大题满分14分）1.(本题6分)求微分方程y'解通解为1yco某的通解.某某1ye某d某co某某d某[ed某C]……………………………………….…...3分某1[co某d某C]……………………………..………………………...5分某1某C)…………………………………………………………….6分(in某2.(本题8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c.解设在时刻t物体的温度为T(t)，则有00000dTk(T20)………………………………………………………2分dt且T(0)100，T(20)60dTkdt分离变量得T20积分得ln(T20)ktlnC即T20Cekt…………………………………………………….5分kt由T(0)100得C80，T2080e……………………………………6分再由T(20)60得602080e故T2080eln2t20kt，kln220……………………………………………………………….7分ln2t20令T(t)30，得302080e，t6000共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c…………8分高等数学试卷(B卷)第6页共6页六．解答下列各题（本大题满分14分）1.(本题6分)求微分方程y'解通解为1yco某的通解.某某1ye某d某co某某d某[ed某C]……………………………………….…...3分某1[co某d某C]……………………………..………………………...5分某1某C)…………………………………………………………….6分(in某2.(本题8分)假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c.解设在时刻t物体的温度为T(t)，则有00000dTk(T20)………………………………………………………2分dt且T(0)100，T(20)60dTkdt分离变量得T20积分得ln(T20)ktlnC即T20Cekt…………………………………………………….5分kt由T(0)100得C80，T2080e……………………………………6分再由T(20)60得602080e故T2080eln2t20kt，kln220……………………………………………………………….7分ln2t20令T(t)30，得302080e，t6000共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c…………8分高等数学试卷(B卷)第6页共6页。