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广东省广州市 2017-2018学年高二数学上学期 10月段考试题一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 Mx ln x 1, N1, 2,3，则 M N ( ) A ．1 B ．1,2 C ．2,3D ．1,2,32. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )A ． y x 3B ． y 2xC ． yx D ． ysin 2x1x 3. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和 方差分别为（ ） A ．5和1.6 B ．85和1.6 C. 85和 0.4 D ．5和 0.44.在正方体 ABCD A B C D 中， E 是线段 BC 上的动点， F 是线段CD 上的动点,且 E ,F 不1 1 1 11重合，则直线 AB 与直线 EF 的位置关系是( )1A ．相交且垂直B ．共面C ．平行D ．异面且垂直x y 10,5.若 x , y 满足约束条件则的最大值是( ) x 2y 0,zx yx 2y 2 0,1 A ． 3 B ． C ．1D ．2326.在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 （A ）（B ）（D ）7. 过点 A a,0a0，且倾斜角为30 的直线与圆 O : xyrrB AB3OAB222相切于点 ，且 ，则的面积是( ) 13 A ．B ．C ． 1D ．2229. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是( )11 1 A ．B ．0C. D ． 223 210．小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视 图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 ，则小明绘制的建筑物的体积为（A ） （B ）（C ） （D ） 11. 已知函数（，）， ，，若的最小值为 ，且的图象关 于点 对称，则函数 的单调递增区间是（ ）A. ，B. ，C.，D.，2x aa ln x , x12.若函数为奇函数，，则f (x )g (x )2 1 e , xxax不等式 g (x ) 1的解集为（ ） 1 A ． (,0) (0, ) B ．C. D ．(e ,)(,0) (0,e )(, 1)ee 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从 400袋牛奶中抽取 5袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x≥1}，则A∪（∁U B）＝（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．1C．D．23．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则离心率e＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知x＞0，y＞0，2x4y＝2，则+的最小值是（）A．6B．5C．3+2D．45．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝3x+y的取值范围为（）A．[﹣2，10）B．（﹣2，10]C．[6，10]D．（6，10]6．（5分）设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．（5分）若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣48．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）＝，则输出的结果是（）A．16B．8C．216D．289．（5分）观察下列事实|x|+|y|＝1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|＝2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|＝3的不同整数解（x，y）的个数为12…．则|x|+|y|＝20的不同整数解（x，y）的个数为（）A．76B．80C．86D．9210．（5分）在[﹣4，4]上随机地取一个数m，则事件“直线与x2+y2+2x﹣2＝0有公共点”发生的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2＝2018c2，则+＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的左右焦点，点P在椭圆上，且到左焦点F1的距离为6，过F1做∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，则（）•＝．14．（5分）已知，，则＝．15．（5分）二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣2在区间（2，5）上存在零点，则实数k的取值范围是．16．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则球O的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知正项数列满足4S n＝a n2+2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n ＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图所示，已知长方体ABCD中，AB＝4，AD＝2，M为DC的中点．将△ADM 沿AM折起，使得AD⊥BM．（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．19．（12分）近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查，各户人均月收入（单位：千元）的频数分布及赞成楼市限购令的户数如表：若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”（Ⅰ）求“非高收入户”在本次抽样调杳中的所占比例；（Ⅱ）现从月收入在[1.5，3）的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；（Ⅲ）根据已知条件完成如图所给的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．附：临界值表参考公式：，n＝a+b+c+d．20．（12分）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．21．（12分）已知函数的导函数为，其中a为常数．（I）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；（2）点P为直线l上的一动点，过点P作直线P A，PB与圆C相切于点A，B，求四边形P ACB的面积的最小值23．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；（2）若∃x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年广东省广州大学附中、铁一中学、外国语学校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，∴A＝（0，2），∵全集U＝R，B＝{x|x≥1}，∴∁U B＝（﹣∞，1），则A∪（∁U B）＝（﹣∞.2），故选：C．2．【解答】解：z＝＝＝＝，∴|z|＝1，故选：B．3．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y＝±x，又由双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则有＝2，即b＝2a，则c＝＝a，则其离心率e＝＝，故选：B．4．【解答】解：∵2x4y＝2x22y＝2x+2y＝2，∴x+2y＝1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故选：C．5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，z取最大值，由，得A（4，﹣2），此时z max＝3×4﹣2＝10；当直线y＝﹣3x+z过点B时，由，解得B（0，﹣2），故z＞3×0﹣2＝﹣2．综上，z＝3x+y的取值范围为（﹣2，10]．故选：B．6．【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴＝（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴＝，∴＝（+），∴＝﹣＝﹣（+）＝（﹣）﹣（+）＝﹣+．故选：A．7．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a＝﹣16≤0，执行循环体，b＝16＝14＜0，a＝4＝﹣2＜0，不满足条件a＞4，执行循环体，b＝2＝﹣1＜0，a＝1＝0，不满足条件a＞4，执行循环体，b＝2°＝1＞0，a＝21＝2，不满足条件a＞4，执行循环体，b＝22＝4＞0，a＝24＝16，满足条件a＞4，退出循环，输出a的值为16．故选：A．9．【解答】解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n＝4n，则所求为第20项，所以a20＝80故选：B．10．【解答】解：圆的方程即：（x+1）2+y2＝3，直线与圆有公共点，应满足：，解得：﹣2≤m≤4，则满足题意的实数m的取值范围是[﹣2，4]，结合几何概型公式可得满足题意的概率为．故选：D．11．【解答】解：由a2+b2＝2018c2，得sin2A+sin2B＝2018sin2C，再由余弦定理可得：cos C＝，∴2sin A sin B cos C＝2017sin2C．∴+＝＝＝＝．故选：D．12．【解答】解：延长F1M和PF2交于N，椭圆C：+＝1的a＝5，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝10，由|PF1|＝6，可得|PF2|＝4，由等腰三角形的三线合一，可得|PF1|＝|PN|＝6，可得|NF2|＝6﹣4＝2，由OM为△F1F2N的中位线，可得|OM|＝|F2N|＝×2＝1．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．【解答】解：单位向量，的夹角为120°，则（）•＝+＝1+1×＝．故答案为：．14．【解答】解：∵α∈（，π），sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝﹣，则tan（α﹣）＝．故答案为：﹣715．【解答】解：由二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣2的二次项系数与常数项异号，得：函数f（x）＝x2﹣kx﹣2有两个符号相异的实根，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣2在区间（2，5）上存在零点，则，即解得：k∈，故答案为：．16．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴BC＝＝2，由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），r＝＝2，又∵球心到平面ABC的距离d＝R，∴球O的半径R＝，∴R2＝，故球O的表面积S＝4πR2＝，故答案为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），又，得a1＝1，∴a n＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝．18．【解答】（I）证明：∵AD＝DM＝2，CM＝BC＝2，∠ADM＝∠BCM＝90°，∴AM＝BM＝2，又AB＝4，∴AM2+BM2＝AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM＝A，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；（2）解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM＝MC＝2，DC＝DF＝＝2，∴S△DMC＝，设点E到平面DMC的距离为d，则V E﹣DMC＝＝＝＝＝，∴d＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知，，所以“非高收入户”本次抽样调查中的所占比例为；（Ⅱ）人均月收入在[1.5，3）中，有5户赞成楼市限购令，分别记为A1，A2，A3，A4，A5；l户不赞成楼市限购令，记为B；现从中随机抽取两户，所有的基木事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，B），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，B），（A3，A4），..，（A3，B），（A4，A5），（A4，B），（A5，B）共15个；事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A2，A3），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4），（A3，A5），（A4，A5）共10个，∴所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为；（Ⅲ）由题意，可得如下2×2列联表：计算＝，∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．20．【解答】解：（1）由对称关系可知AB1＝AB2，∵△AB1B2是面积为4的直角三角形，∴AB1＝AB2＝2，∴OB1＝OA＝2，∴A（0，2），F2（4，0），设椭圆方程为，则c＝＝4，b＝2，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＝1，离心率e＝＝＝．（2）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），设直线PQ的方程为x＝my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16＝0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1x2＝（my1﹣2）（my2﹣2）＝，x1+x2＝my1+my2﹣4＝．∵＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），∴＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝﹣，∵PB2⊥QB2，∴＝0，即﹣＝0，∴m＝±2直线PQ的方程为x+2y+2＝0或x﹣2y+2＝0．21．【解答】解：（I）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝．………………（2分）当a≤0时，显然，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．……………（4分）当a＞0时，令f′（x）＝0可得x＝，所以当x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．……………………………（6分）（II）当a＝﹣1时，，所以不等式即为，分参可得，于是转化为在（0，+∞）上恒成立．……………（9分）令，则，故g max（x）＝g（1）＝1，所以m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞）．………………………………………………（12分）22．【解答】解：（1）由，得ρsinθ+ρcosθ＝1，…（2分）所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣1＝0.6由（φ为参数），得（x+1）2+y2＝1，所以圆C的普通方程为（x+1）2+y2＝1…（5分）（2）S四边形P ACB＝2S△P AC＝|CA|•|P A|＝|P A|．由切线性质，可知…（7分）当PC⊥l时，|PC|取最小值，所以…（9分）所以，即四边形P ACB的面积的最小值为1．…（10分）23．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＞8⇔|2x+1|+|x﹣2|＞8⇔或或（3分）⇔x＞3或x∈∅或x＜﹣⇔x＞3或x＜﹣，所以原不等式解集为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．（5分）（2）因为∃x∈R，使得f（x）≤成立，所以f（x）min≤，（6分）因为f（x）＝，所以f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，（8分）所以f（x）min＝f（﹣）＝+a，所以+a≤，所以a≤1，又a＞0，所以实数a的取值范围（0，1]．（10分）。
2017-2018学年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C． D．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．11．已知下列四个：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C． D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P 为AC 上靠近A 点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P 为边AC 靠近A 点的三等分点，∴△PAB 与△PBC 的面积比为1：2． 故选：B ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24【考点】y=Asin （ωx +φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6． 故选：B ．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x ＞100，跳出循环体，确定输出k 的值．【解答】解：模拟执行程序，可得 x=3，k=0 x=9，k=2不满足条件x ＞100，x=21，k=4 不满足条件x ＞100，x=45，k=6 不满足条件x ＞100，x=93，k=8 不满足条件x ＞100，x=189，k=10满足条件x ＞100，退出循环，输出k 的值为10． 故选：C ．7．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（ ）【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f（α+）=sin（α++）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣（﹣）=，故选：C．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n=n+10．故选：A．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．11．已知下列四个：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥BD．CO⊥BD．即可证明BD⊥平面A1CO．（Ⅱ）解法一：说明点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．设点C到平面OBB1的距离为d，通过，求解点C到平面OBB1的距离．解法二：连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，推出OA1O1C为平行四边形．证明CH⊥平面BB1D1D，然后求解点C到平面OBB1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD．…因为ABCD是菱形，所以CO⊥BD．…因为A1O∩CO=O，A1O，CO⊂平面A1CO，所以BD⊥平面A1CO．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，AB=AA1=2，∠BAD=60°，所以OB=OD=1，．…所以△OBC的面积为．…因为A1O⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以A1O⊥AO，．…因为A1B1∥平面ABCD，所以点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．…由（Ⅰ）得，BD⊥平面A1AC．因为A1A⊂平面A1AC，所以BD⊥A1A．因为A1A∥B1B，所以BD⊥B1B．…所以△OBB1的面积为．…设点C到平面OBB1的距离为d，因为，所以．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD⊥平面A1CO，因为BD⊂平面BB1D1D，所以平面A1CO⊥平面BB1D1D．…连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，因为AA1=CC1，AA1∥CC1，所以CAA1C1为平行四边形．又O，O1分别是AC，A1C1的中点，所以OA1O1C为平行四边形．所以O1C=OA1=1．…因为平面OA1O1C与平面BB1D1D交线为OO1，过点C作CH⊥OO1于H，则CH⊥平面BB1D1D．…因为O1C∥A1O，A1O⊥平面ABCD，所以O1C⊥平面ABCD．因为OC⊂平面ABCD，所以O•1C⊥OC，即△OCO1为直角三角形．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N （0，），AE 所在直线方程为y=（x +2），取x=0，得y=．则以MN 为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x 2+（y ﹣）2==，即x 2+（y +）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN 为直径的圆经过定点（±2，0）． 可得在x 轴上存在点P （±2，0），使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角．21．已知函数f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）当m ≥1时，证明：f （x ）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f （x ）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m ≥1时，f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1≥e x ﹣lnx ﹣1．要证明f （x ）＞1，只需证明e x ﹣lnx ﹣2＞0，思路1：设g （x ）=e x ﹣lnx ﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可； 思路2：先证明e x ≥x +1（x ∈R ），设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx ﹣1≥0．设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R）．…设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h（0）=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…所以要证明e x﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，则．当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以e x﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x﹣lnx＞2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则．其中，（t＞0）．①设h（t）=e t﹣t（t＞0），则h'（t）=e t﹣1．因为t＞0，所以h'（t）=e t﹣1＞0．所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g（1）=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0，所以，即lnx0=﹣x0﹣lnm．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．2016年7月29日。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2017~2018学年第2学期 考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设{3,1,1}=a,{2,0,1}=b ，则23-=a b .2．函数zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在点(1,1,2)处的全微分为 ．3．设{(,)1}D x y x y =+≤，则二重积分(||)Dx y dxdy +=⎰⎰ ．4．幂级数21(1)2nn n n x +∞=-∑的收敛区间为 ．5．微分方程2(1)2x y xy '''+=满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解为 ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．平面3380x y --=与z 轴的位置关系是（ ）A ．平行于z 轴；B ．垂直于z 轴；C ．斜交于z 轴；D ．包含z 轴．2．函数(3)zxy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)； （B ）(1,1)； （C ）(3,0)； （D ）(0,3) 3．2111(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （ ）A ．12112(,)xdy f x y dx ⎰⎰； B ．2111(,)xd y f x y dx ⎰⎰；C ．12112(,)ydy f x y dx ⎰⎰； D ．2211(,)ydy f x y dx ⎰⎰．4．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(2)n n n n +∞=++∑； B ．132nn n n +∞=⋅∑； C ．11ln n n n +∞=+∑； D．1n +∞=． 5．差分方程120t ty y +-=的通解为 （ ）A ．2t t y C =；B ．2t t y Ct =⋅；C ．12()2t t y C t C =+⋅；D ．12()2t t y t C t C =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1. 求过点(2,0,2)-且与212:123x y z L --==垂直的平面方程．2. 设函数ln()z y xy =，求2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂．3. 设2ln z u v =，32,yu x y v x=+=，求dz ．4．试将函数()lg f x x =展开成1x -的幂级数，并求展开式成立的区间．5．计算二重积分sin DyI dxdy y=⎰⎰，其中D 是由直线y x =及2y x =所围成的闭区域．6．设方程组dD Y dt αβ=+；dYY dtγ=，其中，()D D t =表示国民债务，()Y t 表示国民收入， 0,0,0αβγ>>>均为已知常数,若0(0)D D =，0(0)Y Y =，求()D t 和()Y t四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为22(,)1000812C x y x xy y =+-+ (元)。
广州大学附属中学2017-2018学年高一下学期月考试卷数学试题（时间：120分钟 满分：150分）一、填空题：（共12小题，每小题5分，满分60分。
请将答案涂在答题卡上，在试卷上作答无效）1. 已知集合{}32≤<-∈=x Z x A ,{}40<≤∈=x R x B ，则=B A ( ) A.{}30≤≤∈x R x B.{}42<<-∈x Z x C.{}3,2,1,0,1- D.{}3,2,1,02. 已知0>a 且1≠a ，函数x y a log =，x a y =，a x y +=在同一坐标系中的图像可能是（ ）（A ） (B) (C) (D)3. 扇形的周长是4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.21B .2C .1D .4 4. 设3sin sin )(3-+=x b x a x f ，若1)2(=πf ，则=-)2(πf （ ）A. -7B.-5C.-2D.45. 已知向量)sin ,(cos θθ=a，)2,1(-=b ，若b a //，则代数式θθθθcos sin cos sin 2+-的值是（ ） A.25 B.43 C.5 D.23 6.若函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在一个周期内的图像如图所示，M 、N 分别是这段图像的最高点和最低点，且0=⋅,则ω⋅A =（ ）A.6π B .π67 C .π127 D .π37 7.设21,e e 是两个互相垂直的单位向量，且2141e e +=，2121e e +=，则在上的投影为（ ） A .410B .35C .1053 D .322 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为（ ）A.21B .22C .25D .26 9. 在三棱锥ABC S -中，41==BC SA ,5==AC SB ,34==AB SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为（ ）A.π25B .π50C .π100 D .π310010. 如图，已知ABC ∆的三内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，M 为该三角形所在平面内一点，若=++c b a ，则M 是ABC ∆的（ ）A. 内心 B .重心 C .垂心 D .外心 11. 对任意R m ∈，直线01=+-y mx 与圆)0(222>=+r r y x 交与不同的两点B A ,,且存在mAB ≥+(O 是坐标原点)成立，那么r 的取值范围是（ ） A.20≤<r B .21<<r C .21≤<r D .2>r12. 已知偶函数)(x f 的定义域为{}0≠∈x R x x 且，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，则函数)1(7log )(4)(+-=x x f x g 的零点个数为（ ） A .6B.8C.1D .12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 直线02)1(2=+-+y a x 与直线023=--y ax 平行，则a =14. 如图，在ABC ∆中，G 是重心，PQ 过G 点，n m ==，若)(21AP AQ AG +=,则=+nm 1115. 如图，E D ,分别是边长为1的正ABC ∆的AB 和BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上，满足EF DE 2=，则=⋅16. 给出定义：若)(21,21为整数其中m m m x ⎥⎦⎤⎝⎛+-∈，则m 叫做实数x 的“亲密的整数”记作{}m x =，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数()上是增函数在1,0)(∈=x x f y ； ②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数1)(期为是周期函数，最小正周x f y =； ④当(]有两个零点时，函数x x f x g x ln )()(2,0-=∈。
广东省广州市2017-2018学年高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．l og32 C．﹣log23 D．log233．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．645．（5分）已知p：∀x∈R，x2＞0，q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列为真的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．[﹣3，﹣1]D．（﹣3，﹣1）7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣18．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为km/h．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n27 0.9[40，50）10 4 b[50，60]20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．l og32 C．﹣log23 D．log23考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用反函数的定义，求解即可．解答：解：函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），可知，=3x，解得x=﹣log32．故选：A．点评：本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的方程，然后求解离心率．解答：解：双曲线C：﹣=1经过点（4，3），可得，解得b2=3，双曲线C：﹣=1，可得a=2，c=，e=．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．64考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=32时，不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=2，z=2满足条件z＜20，x=2，y=2，z=4满足条件z＜20，x=2，y=4，z=8满足条件z＜20，x=4，y=8，z=32不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知p：∀x∈R，x2＞0，q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列为真的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断p，q的真假，然后利用复合与简单真假之间的关系进行判断．解答：解：p：∀x∈R，x2＞0，为假，故￢p为真；q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，当α=﹣β成立，所以q为真，￢q为假，则p∧q为假，p∨（￢q）为假，￢p∧q为真，p∧￢q为假，故选：C．点评：本题主要考查复合的真假判断，要求熟练掌握复合与简单真假之间的关系6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．（1，3）C．[﹣3，﹣1]D．（﹣3，﹣1）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先解出集合B={x|﹣1＜x＜5}，而集合A显然不是空集，从而由A⊆B便得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解答：解：B={x|﹣1＜x＜5}，A={x|a﹣2＜x＜a+2}；若A⊆B，则：；∴1≤a≤3；∴实数a的取值范围为[1，3]．故选A．点评：考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合，空集的概念，以及子集的概念，也可借助数轴．7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式构造等比数列{a n+1}，求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式．解答：解：由a n+1=4a n+3（n∈N*），得a n+1+1=4（a n+1），∵a1=3，∴a1+1=3+1=4≠0，则数列{a n+1}是以4为首项，以4为公比的等比数列，∴，则．故选：D．点评：本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．1考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．解答：解：已知区间[﹣4，4]长度为8，满足f（x0）≥0，f（x）=﹣x02+2x0+3≥0，解得﹣1≤x0≤3，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）≥0成立的概率是=．故选：B．点评：本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答．9．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AOA′=，则∠1=，过C作CF⊥OA，∵C为OB的三等分点，BO=3，∴OC=1，∵∠1=60°，∴∠OCF=30°，∴FO=，∴CF2=CO2﹣OF2=，∵AO=3，FO=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选：B．点评：考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究函数的极值；简单线性规划．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，求解面积即可；解答：解：函数f（x）=x3+3ax2+3bx，可得f′（x）=3x2+6ax+3b，依题意知，方程f′（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f′（﹣1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为，满足这些条件的点（a，b）的区域为图中阴影部分．阴影部分的面积为：=1．故选：D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的求模运算法则，求解即可．解答：解：i为虚数单位，复数z=，则|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=﹣3．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算及其相等即可得出．解答：解：∵+=（x，1）+（2，y）=（x+2，1+y）=（1，﹣1），∴x+2=1，1+y=﹣1，∴x=﹣1，y=﹣2．∴x+y=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了向量的坐标运算及其相等，属于基础题．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b（km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为60km/h．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，b=3600a，利用一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），可得3b=ax2，代入即可得出结论．解答：解：由题意，b=3600a，∵一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），∴3b=ax2，∴3×3600a=ax2，∴x=60．故答案为：60．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为4．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BF，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DE，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出△ADE为等腰三角形，根据“三线合一”得到G 为AE中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AE的长，再由△ADE≌△FCE得出AE=FE，即可求出AF的长．解答：解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∵DC∥AB，∴∠BAF=∠DEA，∴∠DAF=∠DEA，∴AD=ED，又E为DC的中点，∴DE=CE，∴AD=DE=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AE=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE=FE，则AF=2AE=4．故答案是：4．点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有1个．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步建立方程组转化成一元二次方程，最后利用判别式求出曲线的交点的个数．解答：1解：已知曲线C1方程（t为参数）转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．曲线C2的方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x2=8y所以：，整理得：x2﹣8x+16=0所以：△=64﹣64=0则：曲线C1和C2的交点有1个．故答案为：1点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，方程组的应用，利用一元二次方程的判别式求方程的根的个数．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）设a=7t，b=5t，c=3t，由余弦定理即可求cosA的值．（2）由（1）可得sinA的值，利用已知及正弦定理求出sinA与sinB及sinC的值，再由正弦定理可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（1）由题意可设：a=7t，b=5t，c=3t，则由余弦定理可得：cosA===﹣．（2）由（1）可得：sinA==，由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：5：3．从而可得：sinB==，sinC==，由正弦定理=2R，以及R=14，得a=2RsinA=14，b=2RsinB=10，∴S△ABC=absinC==45．点评：本题2015届中考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理等知识的综合应用，属于基本知识的考查．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n27 0.9[40，50）10 4 b[50，60]20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求求出n，a，b，c的值，（2）年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100﹣（40+10+20）=30．年龄在[40，50）中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b=4÷10=0.4．年龄在[50，60]中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以a÷20=0.1，解得a=2．根据频率直方分布图，得（0.04+0.03+c+0.01）×10=1，解得c=0.02．（2）因为年龄在[40，50）与[50，60]中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种．其中所抽取年龄在[50，60）的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种．故所求的概率为=．点评：本题考查频率分布直方图，古典概型得概率问题，关键是不重不漏得列举基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接A1B，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形．得到A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，可得MN∥A1B．MN∥D1C．即可证明．（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN﹣DCD1为三棱台．利用体积计算公式即可得出．解答：（1）证明：连接A1B，在四边形A 1BCD1中，，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，∴，∴MN∥A1B．∴MN∥D1C．∴M，N，C，D1四点共面；（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN﹣DCD1为三棱台．∵S△AMN====S1，===S2．∴V1===，﹣V1==．∴=．点评：本题考查了线面平行的判定定理、正方体的性质、三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件求出a1=0，b1=1，然后求出a n，通过点P n（a n，b n）在直线l：y=3x+1上，求出b n．（2）化简f（x）=，假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过①当k为奇数时，②当k为偶数分别求解k即可．解答：（本小题满分14分）解：（1）因为P1（a1，b1）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），所以a1=0，b1=1．…（2分）因为数列{a n}是公差为1的等差数列，所以a n=n﹣1．…（4分）因为点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，所以b n=3a n+1=3n﹣2．所以数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=n﹣1，b n=3n﹣2k∈N*．…（6分）（2）因为f（x）=假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）①当k为奇数时，k+3为偶数，则有3（k+3）﹣2=4（k﹣1），解得k=11，符合题意．…（10分）②当k为偶数时，k+3为奇数，则有（k+3）﹣1=4（3k﹣2），解得k=，不合题意．…（13分）综上可知，存在k=11符合条件．…（14分）点评：本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由条件求得f′（x），再根据有f′（1）=0，求得a的值．（2）由条件求得f′（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间．解答：解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2ax+1，依题意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0．（2）因为f′（x）=，（ⅰ）当a≥0时，因为x∈（0，+∞），所以f′（x）=＞0，此时函数f（x）在（0+∞）是增函数．（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+x=1=0．因为△=1﹣8a＞0，此时，f′（x）==，其中，x1=﹣，x2=﹣．因为a＜0，所以x2＞0，又因为x1•x2=＜0，所以x1＜0．∴当0＜x1＜x2时，f′（x）＞0，当x1＞x2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+∞）上是减函数．综上可知，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，﹣），单调递减区间是（﹣，+∞）．点评：本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出A（0，0）和B（﹣1，1）的垂直平分线方程，得到其与x轴的交点坐标，即圆C的圆心坐标，进一步求得半径，代入圆的标准方程得答案；（2）设出P点坐标，然后求出切线方程，得到切线在y轴上的截距，利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围．解答：解：（1）过两点A（0，0）和B（﹣1，1）的直线的斜率为﹣1，则线段AB的中垂线方程为：，整理得：y=x+1．取y=0，得x=﹣1．∴圆C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，∴圆C的方程为：（x+1）2+y2=1；（2）设P（x0，y0），A（0，a），B（0，b），则直线PA方程为，整理得：（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0．∵直线PA与圆C相切，可得，化简得；同理可得PB方程，因而a，b为的两根，∴丨AB丨=|a﹣b|=，令t=x0+2∈[4，8]，则，配方可求得．故答案为：[]．点评：本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了数学转化、化归等思想方法，是中档题．。
实用标准文案精彩文档华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。
该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。
（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。
或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。
（12分）1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就2下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
6分（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。
开始1k 输入n2017-2018学年度第二学期期末模块考试五校联考高二年级数学（文）科试题第一部分选择题（共50分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。
1．已知集合1(,]2A，函数ln 21y x 的定义域为集合B ，则A BA ．11,22B ．11,22C ．1,2D ．1,22．已知i 为虚数单位，复数12z a i ，22z i ，且12z z ，则实数a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或03．已知1a ，2b，且a 与b 夹角为60，则()b ba 等于A ．1B ．3C ．23D ．434．已知椭圆222104x ya a与双曲线22193xy有相同的焦点, 则a 的值为A ．2B.10 C. 4D ．105．函数cos()12yx 的图象的一条对称轴的方程是( )A ．125x B ．6xC ．12xD ．12x6．各项都为正数的等比数列n a 中，1091a a ，则5a 的值为A ．5B ．10C ．10D ．57．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,xy x y yt表示的平面区域的面积为1，则实数t 的值为A ．0B ．1C ．3D ．18. 阅读右图的程序框图. 若输入1n , 则输出k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．69. 如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积．．．为A ．12B ．16C ．4334D ．43410．定义符号函数1,0sgn 0,01,0xx x x，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x 2()f x ，[0,1]x ，若1()f x 2(1)x ,2()f x 12x, 若()f x a 有两个解，则a 的取值范围是A ．]2,23(B ．]2,1[C ．]2,23(}1{D ．]23,1(第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）11．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是（第二个空填“甲”或“乙”）．12．已知函数523xxxy ，该函数在区间3,0上的最大值是．13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3cC2a b ,则b 的值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙Ｏ的割线PAB 交⊙Ｏ于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，ODCBAP俯视图2 2正(主)视图2 22侧(左)视图2 22PO=5，则⊙Ｏ的半径为_____________.15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线:40l x y 与圆12cos12sin:x y C ，则C 上各点到l 的距离的最小值为_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共80分，要写出详细的解答过程或证明过程）16. （本小题满分12分）已知函数()3sinx cos 1f x x ．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）若为第三象限角，且1()63f ，求cos21cos 2sin 2的值．17．（本题满分13分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如右图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？18.（本小题满分13分）在四棱锥ABCD P中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，CD AB //，90BAD ，1ADAB ，2CD.（1）求证：//PCD AB 平面；（2）求证：BC平面PBD ；19．（本小题满分14分）组号分组频数频率第1组165,160 5 0.050 第2组170,165①0.350 第3组175,17030 ②第4组180,17520 0.200 第5组[180,185]10 0.100 合计1001.000PCDBA已知等差数列n a 的公差0d ，它的前n 项和为n S ，若570S ，且1a ，7a ，37a 成等比数列．（1）求数列n a 的通项公式；（2）设数列1nS 的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤．20.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中xOy ，已知椭圆2222:1(0)x y E a bab过点3(1,)2，且椭圆E 的离心率为32．（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在以(0,)A b 为直角顶点且内接于椭圆E 的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知函数()1xf x emx .（1）当1m时，试判断函数)(x f 的单调性；（2）对于任意的),0[x，0)(x f 恒成立，求m 的取值范围；2014—2015学年度第二学期期末模块考试五校联考高二年级数学（文）科参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBCDCBBAD二、填空题（每小题5分，共20分．14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做者，以14题为准。
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷参考答案及评分标准课程 常微分方程 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名_特别提醒：2017年11月1日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律不授予学士学位。
一、 填空（5*3分=15分）1. 方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当微分方程的充要条件是x Ny M ∂∂=∂∂. 2. 若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐次线性方程1111()()()0n n n n n n d x d xdxa t a t a t x dt dtdt---++++=的基本解组，则该齐次线性方程的所有解可表为112212()()()(),,,,n n n x t c x t c x t c x t c c c =+++为任意常数。
3. 设n 阶常系数齐次线性方程11110n n n n n n d x d xdxa a a x dt dtdt---++++=的特征方程有一对k 重共轭复根i λαβ=±，则它们对应的方程的实值解是11cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,,sin t t k t t t k t e t te t t e t e t te t t e t ααααααββββββ--。
4. 常系数方程组()x Ax f t '=+的通解为0()()(),t tA t s A t x t e c e f s ds -=+⎰ 其中c 为任意常数列向量。
5. 定义微分算子dD dt=。
设()P D 是关于D 的一个n 次多项式，它的逆算子记为1()P D 。
则1()()t e v t P D λ= 1()()t e v t P D λλ+ 。
二、解下列方程（3*10分=30分） 1.1dy dx x y=+ 解：令x y u +=，则原方程化为 1du udx u+=分离变量，得(1)1udu dx u u=≠-+ 积分，得ln |1|u u x c -+=+ … … … （6分） 变量还原，得原方程的通解ln |1|y x y c =+++,c 为任意常数。
广州大学2017-2018 学年第 1 学期考试卷课程有机化学I 1 考试形式（开卷/闭卷，考试）学院系专业班级学号姓名_特别提醒：2017年11月1日起，凡考试作弊而被给予记过（含记过）以上处分的，一律不授予学士学位。
1. SP2杂化轨道的几何形状为（）A．四面体B．平面形C．直线形D．球形2. 甲苯在光照下溴化反应历程为（）（A）自由基取代反应（B）亲电取代（C）亲核取代(D)亲电加成3. 下列四个化合物在水中溶解度最大的是（）：(A) 丙醇(B) 正丁醇(C) 2-氯丙烷(D) 1-氯丁烷4. 分子式为C7H14的化合物，与高锰酸钾和溴的四氯化碳溶液都不发生反应，该分子中含有仲碳原子5个，叔碳原子和伯碳原子各1个，其结构式可能为：（）CH2CH2CH3(A)(B)CH3CH2CH2CH2CH2CH CH2(C)CH2CH2CH2CH3(D)CH35. 化合物分子式为C 5H 10O ，其1HNMR 谱上出现三组峰且其中一个为单峰，最有可能的结构式为 ( )：（A ）(CH 3)2CHCOCH 3； （B ）(CH 3)3C-CHO ； （C ）CH 3CH 2CH 2COCH 3； （D ）CH 3CH 2COCH 2CH 3。
6. 确定分子是否具有碳碳三键结构，通常采用的光谱是（ ）：(A) 红外光谱(IR) (B) 紫外光谱(UV) (C) 核磁共振谱(NMR) (D) 质谱(MS)7. 从庚烷、1-庚炔、1,3-己二烯中区别出1-庚炔最简明的办法是采用：（ ）（A ）Br 2 + CCl 4 (B) Pd + H 2(C) KMnO 4,H + (D) AgNO 3,NH 3溶液 8. 下列化合物中不具有芳香性的是（ ）：9. 下列化合物中最容易发生硝化反应的是（ ）A.B.NO 2C.OHD.Cl10. ClC CH 3C3H分子中，烯键的构型可以加前缀：（ ）(A) E 或顺 (B) Z 或顺 (C) E 或反 (D) Z 或反 11. 下列醇中，最易脱水的是（ ）(A). 叔丁醇 （B ）. 异丁醇 （C ）. 仲丁醇 （D ）. 正丁醇12. H 2NC 6H 5CH 3HH 3CH C 6H 5NH 2一对化合物的相互关系是（ ）：(A) 对映异构体 (B) 非对映异构体 (C) 相同化合物 (D) 不同的化合物13. S N 2反应的特征是（ ）：(I) 生成碳正离子中间体； (II) 立体化学发生构型转化；(III) 反应速率受反应物浓度影响,与亲核试剂浓度无关； (IV) 在亲核试剂的亲核性强时易发生。
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
广州大学 2017---2018 学年第二学期考试卷参考答案与评分标准课程 《线性代数》 考试形式（闭卷，考试）学院 系 专业 班级 学号 姓名一．填空题（每小题3分，共18分）1． 多项式21()1132xx f x x x=--中3x 的系数是2- 2． 设A 为4阶方阵，且||2A =，则1|2|A -=83． 设111222333a x y A a x y a x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，111222333232323b x y B b x y b x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且||2A =，||5B =-，则||A B +=144． 设向量组131a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3231α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，则a =25． 设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则|22|A A E *+-=46．100002000034000=24-1．设1211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3322α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是【 B 】（A ）β不能由向量组123,,ααα线性表示（B ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一 （C ）β可以由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一 （D ）无法确定β能否由向量组123,,ααα线性表示2．矩阵A 与B 相似是A ，B 的特征值相同的【 A 】（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）无关条件3．设A ，B 为n 阶方阵，则必有【 B 】（A ）AB BA = （B ） ||||||||A B B A ⋅=⋅ （C ）222()AB A B = （D ）22()()A B A B A B -=+-4．下列命题正确的是【 A 】（A ）正交向量组必线性无关 （B ）线性无关的向量组必定是正交组（C ）若向量组线性相关，则其部分组必定线性相关 （D ）若向量组的部分组线性无关，则必定整体线性无关5．设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的导出方程组， 则下列结论正确的是【 D 】（A ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ）若0Ax =仅有零解，则Ax b =无解（C ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ）若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解6．设A 、B 是可逆方阵，则10A B -⎛⎫⎪⎝⎭为【 C 】 （A ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （B ）1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭ （D ）1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭1．计算行列式2151130602121476 D---=--解：075131306021207712D---=--………………………………………………………………2分75132127712-=---………………………………………………………………………4分353010772--=-----……………………………………………………………………5分332772-==--………………………………………………………………………7分2．设121101011A-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求1A-解：121100()101010011001A E-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭121100020110011001-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭……………2分1010100201100011/21/21⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………4分1001/21/210101/21/200011/21/21-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭…………………………………………………6分11/21/211/21/201/21/21A--⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭……………………………………………………………7分3．设1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求5A 解：24A E =……………………………………………………………………………4分 416A E =……………………………………………………………………………6分511111111161611111111A A ---⎛⎫ ⎪---⎪== ⎪--- ⎪---⎝⎭ ………………………………………………7分 四（10分）求列向量组11324α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231316α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31211α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，42513α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，51419α-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组表示解：1234213141324131211312131254010117(,,,)231110915341613902831113r r r r r r αααα+-+----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪= ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 2343313121010440915301044r r r r ++--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭324212931011411010440014133000r r r r r r +---⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪⎝⎭13100272201044001413300000r r +--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭……………………………………………………………6分∴123,,ααα为一个最大无关组………………………………………………………8分且412327441αααα=---512322433αααα=---……………………………………………………………10分五．（12分）已知向量111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量（1）确定参数,a b 及p 所对应的特征值 （2）问A 能不能对角化，并说明理由 解：（1）设p 对应的特征值为λ，则()0A E p λ-=即2121053101210a bλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭101203100a a b b λλλλ--==-⎧⎧⎪⎪-+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩……………………………………………………………6分 （2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭特征多项式为3212||533(1)12A E λλλλλ---=--=-+---∴A 的特征根为1231λλλ===-……………………………………………………8分对于齐次方程组()0A E x +=由13213153312101101523523022101312011r r r r r r A E ↔++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭2332122101101011011022000r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()2R A E += ………………………………………………………………………10分于是方程组()0A E x +=的解空间的维数为3213-=<A 不能对角化…………………………………………………………………………12分六．（12分）证明（1）方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充要条件是510i i a ==∑（2）在有解的情况下，写出通解的结构证明：（1）11223344551512341100011000011000110000110()0011000011000111000100000i i r r r r r a a a a a A b a a a a a =++++-⎛⎫-⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪=- ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭∑ 所以()4R A = ………………………………………………………………………………4分方程组有解⇔()()4R A R A b == 即510ii a==∑………………………………………6分（2）当方程有解时111234223433444342321100010001011001001()00110001010001100011000000000000r r r r r r a a a a a a a a a A b a a a a a +++--+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪⎪⎪--+⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…8分 151234252343534454x x a a a a x x a a a x x a a x x a =++++⎧⎪=+++⎪⎨=++⎪⎪=+⎩取50x =， 得原方组的特解为12342343440a a a a a a a a a a η*+++⎛⎫⎪++ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭…9分 对应齐次方程组为15253545x x x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，取51x =，得齐次方程组的基础解系为11111ξ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………10分通解为1234234344111110a a a a a a a x k a a a +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k R ∈…………………………………………12分七．（9分）解矩阵方程2AX X B =+，其中612241311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解：(2)A E X B -=………………………………………………………………………2分由于412|2|22110311A E --==≠- 1(2)A E --存在…………………………………4分13151(2)(2)528|2|416A E A E A E -*--⎛⎫⎪-=-=- ⎪- ⎪--⎝⎭……………………………………7分131513102(2)5282215341631124X A E B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………9分。
广州大学 2017- 2018 学年第 一 学期考试卷课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试授予学士学位。
一、选择题（每小题3分，总计15分） 1．三人各投一次球，设i A 表示“第i 人投中”(1,2,3)i =,则事件123A A A 表示( ). （A ）三人都投中； （B ）至少有一人投中； （C ）至多有两人投中；（D ）三人都没投中.2．设随机事件,A B 满足0()1P A <<,()0P B >,且(/)(/)P B A P B A =,则必有( ). (A) (/)(/)P A B P A B =； (B) (/)(/)P A B P A B ≠； (C) (/)(/)P A B P B A =； (D) ()()()P AB P A P B =.3.设2~(5,3)X N ，且常数c 满足{}{}P X c P X c >=≤，则c =( ). (A) 0； (B) 1； (C) 3； (D) 5.4. 设X 和Y 为两个随机变量，则能说明X 和Y 独立的是( ).(A) (,)()()X Y F x y F x F y = ； (B) ()()()E XY E X E Y =； (C) ()()()E X Y E X E Y +=+； (D) ()()()D X Y D X D Y +=+. 5.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为已知随机事件{0}Y =与{1}X Y +=相互独立，则( ).(A) 0.3,0.2a b ==； (B) 0.4,0.1a b ==；(C) 0.2,0.3a b ==； (D) 0.1,0.4a b ==.二、填空题（每空3分，总计15分）1．设()0.28, P B =(/)0.6, (/)0.75P B A P A B ==，那么()P A B ⋃= . 2．将一颗骰子连续掷三次，则恰好有两次出现“6”点的概率为 .3．从数1，2，3中任取一个数记为X ，再从1，,X 中任取一个数记为Y ，则{2}P Y == .4．设随机变量~(,)U a b ξ，且4, 3E D ξξ==, 则{05}P ξ<≤= . 5．设连续型随机变量X 的分布函数为50, 0,(),0,xx F x a e x -≤⎧=⎨->⎩ 则{1}P X >= .三、（本题满分8分）袋中标有不同号码的红、黑、黄球各2个，现随机从袋中有放回地抽取3次，每次取1个，求下列事件的概率： (1) A={三次未抽到红球}； (2) B={颜色不全相同}. 四、（本题满分8分）已知甲、乙两箱装有同种产品，甲箱装有10只，其中有6只一等品；乙箱装有6只，其中有3只一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次，每次取一只，求：(1) 第一次取到的是一等品的概率；(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.求:(1) (2) 21Y X =-的分布律. 六、（本题满分10分）设某种电子产品的使用寿命X 的概率密度为3()3, ,(,)0, ,x e x f x x ββββ--⎧>=⎨≤⎩ 其中0β>为未知参数，又设12,,,n x x x 是来自X 的一组样本观察值，求参数β的最大似然估计值.设随机变量X 的概率密度为;01;();12;0;x x f x a x x 其它.<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩求：（1）常数a 的值；（2）关于t 的方程22(1)50t X t X ++-+=有实根的概率； （3）()E X .设二维随机变量(,)X Y的联合分布律如下:求:（1）{}>；P X Y（2）X,Y的边缘分布律；（3）Z X Y=+的概率分布.某学校召开家长座谈会，前来参加家长会的家长人数是一个随机变量，已知一个学生无家长、有1个家长来参加会议的概率分别为0.2，0.8。
广州大学2017-2018学年第二学期考试卷课程《数据结构》考试形式（闭卷，考试）物理与电子工程学院电子系电子061、062、063 专业学号姓名一、判断题（对打√，错打×。
每题1分，共15分）1、在单链表中，任何两个元素的存储位置之间都有固定的联系，因此可以从头结点进行查找任何一个元素。
( )2、线性表的线性存储结构优于链表存储结构。
( )3、完全二叉树的某结点若无左孩子，则必定是叶子结点。
( )4、无向图用邻接矩阵表示，图中的边数等于邻接矩阵元素之和的一半。
( )5、在图结构中，结点可以没有任何前趋和后继（）。
6、在拓扑排序序列中，任意两个相继结点v i和v j都存在从v i到v j的路径。
( )7、结点数固定的二叉树中，完全二叉树具有最小路径长度( )。
8、中序线索树中，右线索若不为空，则一定指向其双亲结点( )。
9、有向图用邻接矩阵表示，容易实现求结点度数的操作( )。
10、二叉树是度最大为2的有序树( )。
11、按广度优先搜索遍历图时，与始点相邻的结点先于不与始点相邻的结点访问( )12、若有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零，则该图的拓扑排序序列必定存在( )。
13、若有向图G中包含一个环，则G的结点间不存在拓扑排序( )。
14、图的拓扑排序序列是唯一的( )。
15、网络的最小代价生成树是惟一的（）。
二、选择题（每题2分，共20分）1．在数据结构中，从逻辑上可以把数据结构分成（）。
A．动态结构和静态结构B．紧凑结构和非紧凑结构C．线性结构和非线性结构D．内部结构和外部结构2．常对数组进行的两种基本操作是( )。
A．建立与删除B．索引和修改C．查找和修改D．查找和索引3．下列结论中不正确的是( )。
A．按广度优先搜索遍历图时，与始点相邻的结点先于不与始点相邻的结点访问。
B．一个图按广度优先搜索法遍历的结果是唯一的。
C．无向图的邻接表表示法中，表中结点的数目是图中边的条数2倍。
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷近世代数 参考答案警示：《广州大学授予学士学位工作细则》第五条：“考试作弊而被给予记过、留校察看或开除学籍处分并且被取消相应课程本次考试成绩的，不授予学士学位。
”一、简答题（每小题5分，共25分）1．集合A 上的关系是怎么定义的？答：设R 为直积A A ⨯的子集，则称R 为集合A 上的一个关系。
对于任意的元素A b a ∈,，如果R b a ∈),(，则称a 与b 具有关系R ，否则称a 与b 不具有关系R 。
评分标准：考试要点有两个，一个是：关系是直积的子集，另一个是：两个元素有没有关系的含义。
完整答出这两方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
2．试问n 阶循环群有多少个生成元？答：n 阶循环群有)(n ϕ个生成元，其中)(n ϕ为欧拉函数，定义为集合{1,2,…,n}中与n 互素的整数的个数。
理由是：假定生成元为α，则α的阶为n ，群中每个元素都可写为i α，其中n i <≤0，元素i α为生成元当且仅当i α的阶为n ，而i α的阶等于),/(i n n ，因此i α为生成元当且仅当(n,i)=1，即i 与n 互素，故生成元的个数为)(n ϕ。
评分标准：考试要点有三个，(1) 生成元的阶为n ；(2) a k 的阶的计算方法；(3) 欧拉函数。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
3．试说明什么是剩余类环？答：假定R 为环，I 为R 的理想。
考虑加法群，I 是R 的正规子群，R/I={a+I|a R ∈}。
在集合R/I 中定义加法(a+I)+(b+I)=(a+b)+I, 定义乘法(a+I)(b+I)=ab+I ，则R/I 关于新定义的加法和乘法构成一个环，称为剩余类环。
评分标准：考试要点有三个，(1) 由理想构造剩余类环；(2) R/I 中元素的形式；(3) 如何定义运算。
完整答出这三方面的含义给5分，其余情况酌情给分。
4．试解释什么是域的有限扩张。
广州大学2017-2018学年第一学期考试卷课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________予学士学位。
一、填空题（每空3分，本大题满分15分） 1．设A 为n 阶方阵，2=A ，则2=A .2．设111022003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，100210321⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则=AB .3．矩阵a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的伴随矩阵*=A . 4．若向量组(1,2,3),(2,3,4),(2,2,)a 线性相关，则a = .5．从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 .二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）1．有矩阵322333,,⨯⨯⨯A B C ，下列矩阵运算不可行的是( ).（A ）ABC （B ）BCA （C ）+AB C （D ）+BA C 2．设n 阶方阵,,A B C 满足关系式=ABC E (E 是n 阶单位阵)，则必有( ). （A ）=ACB E （B ）=CBA E （C ）=CAB E （D ）=BAC E .3．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组=0Ax ( ).（A ）当n m >时仅有零解 （B ）当n m >时必有非零解 （C ）当n m <时仅有零解 （D ）当n m <时必有非零解 4．设A 是n 阶方阵，()R r n =<A ，则在A 的n 个列向量中( ). （A ）必有r 个列向量线性无关 （B ）任意r 个列向量线性无关（C ）任意r 个列向量都构成最大线性无关组（D ）任意一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表示5．设A 与对角矩阵100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似，那么齐次线性方程组=0Ax 的基础解系所含解向量的个数为( ).（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3三、（本题满分10分）设12⎛⎫=⎪⎝⎭A O A OA ，其中11111⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，21031⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求2018A.计算行列式2112401412104212D---=---.五、（本题满分12分）设110011101-⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭A，2=+AX X A，求X.求非齐次线性方程组12341234123421,21,255x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=-⎨⎪-++=⎩的通解.七、（本题满分6分） 试证明n 维列向量12, ,, n ααα线性无关的充分必要条件是det 0≠D ，其中T T T 11121TT T21222T T T12n nn n n n ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭D αααααααααααααααααα.设有向量组11320⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，27143⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，3211⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，45162⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α，52141⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪ ⎪⎝⎭α.（1）求此向量组的秩；（2）求此向量组的一个最大无关组，并把其它向量用该最大无关组线性表示.求矩阵022222222--⎛⎫⎪=-⎪--⎝⎭A的特征值和特征向量.广州大学2017-2018学年第一学期考试卷参考解答及评分标准课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________予学士学位。
