大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。

大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。

2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。

3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

4. 函数h(x)=e^x的导数是________。

5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。

三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。

2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。

五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。

求该公司生产100件产品时的平均成本。

六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。

微积分(二)期中复习题第一部分1. 设2,4a b ==，若向量32a b -垂直于向量a b +，向量2a b +垂直于向量43a b -，求a 与b 之间的夹角，并求以32a b -和2a b +为邻边的平行四边形的面积.2.已知向量(,,2)a x y =-与向量(4,1,3)b =垂直，且a 的模等于b 在z 轴上的投影，求 ,x y .3.证明：两直线1111:112x y z L -+-==-与223:12x y L z -+==-相交，并求此两直线所在平面的方程.4.求过直线110:220x y L x y z ++=⎧⎨++=⎩且与直线211:211x y z L -+==--平行的平面方程.5.求过点(1,1,1)P 且与直线12:113x y z L +==-垂直相交的直线方程.6.求曲线222224:3x y z x y z ⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在xOy 面的投影。

7.求曲线2244:0x y y z ⎧++=Γ⎨=⎩绕x 轴旋转一周所得的曲面。

第二部分1、求函数)1ln(4222y x y x z ---=定义域。

2、求()22001lim sin .x y x y xy→→+3、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=2)(2sin ),(2222y x y x y x f 002222=+≠+y x y x 在点（0，0）处的连续性。

4、设(,)z f x y =由ln x z z y =确定，求22,z z x x∂∂∂∂。

5、设222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂，du y u ,∂∂。

6、设),(22y x y x f z -=，其中),(υu f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。

7、求函数223246u x y y x z =-++在原点沿()2,3,1OA =方向的方向导数。

8、设32u x y z =-，求u 在点()2,1,1-处的方向导数的最大值及取得最大值的方向。

1 1 1 ， ≤ 2 ≤ 2 n +n+n n +n+i n +n+n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 2 n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≤ 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 ≤ 2 2 n +n+n n + n +1 n + n + 2 n +n+n n + n +1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 又 lim = = ， lim 2 n →∞ n 2 + n + n 2 n→∞ n + n + 1 2 1 2 n 1 所以由夹逼准则知： lim( 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 )= n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n 2
x < ln(1 + x) < x . 1+ x
五. (本题满分 10 分) 证明：当 x > 0 时，Байду номын сангаас
证：令
f ( x) = ln(1 + x)
所以 至少 ∃ξ
则
f ( x ) 在 [0, x] 上满足拉格朗日定理的条件 f ( x) − f (0) x−0
即
∈ (0, x) 使 f ′(ξ ) =
1 ln(1 + x) − ln1 = 1+ ξ x
又0 <ξ
< x, 所以
1 1 < <1 1+ x 1+ ξ

高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。

3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。

4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。

5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。

7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。

10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。

二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

过 L 和 L2 的平面为
x4 2 4
y 1 1
z4 3 3 0 即 3x 9 y z 8 0
所求直线 L 为
2 x 7 y 5z 12 0 3x 9 y z 8 0
四、计算下列各题（每题６分，共 18 分） １．设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy 求 f ( x, y) 。 解：设


s s1 s2 ＝ 1 1 1 ＝ 4i j 3k 2 1 3
设 ( x, y, z ) 为 L 上任意一点，则过 L 和 L1 的平面为
i
j
k
x2 1 4
y 3 z 1 1 1 1 3 0 即 2 x 7 y 5z 12 0
解：由对称性，只需求 z 0 那部分 面积的两倍。 在 上， dS
2a 2a x y
2 2 2
dxdy ， 在 xoy 面上的投影区域 D ： x 2 y 2 a 2 。
S 2 dS ＝ 2 2a d
D
0
2
a
d
2a
2 2
0
＝ 4 2 ( 2 1)a 2
2z 2 f1 2 x( f11 2 x f12 2 y) 2 y( f 21 2 x f 22 2 y) x 2
广东工业大学试卷用纸，第 4 页， 共 6 页
2 f1 4x 2 f11 2x 8xyf12 4 y 2 f 22
同理
z 2 yf1 2 xf 2 y
2 z 2 f1 4 y 2 f11 8xyf12 4 x 2 f 22 y 2

交通学院2016至2017学年度大一下学期期中考试高等数学试卷参考答案一、选择题（每题2分）1、C2、D3、C4、A5、B 二、填空题（每题3分）6、dx -7、（1,1,1）或i +j +k8、012=---z y x9、π 10、23π三、计算题（每题6分） 11、解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xyxy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦ (3)而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++…………………………………【5】 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=…………………………………【6】（本题用取对数的方法做照样给分） 12、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂，…………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+--…………………………………【6】 13、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (4)（用行列式法求解切向量，只要求对都给分） 故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【5】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (6)14、解：方程组两端对x 求导，得⎩⎨⎧=-+-=-+.0,0222y v u x vv uu x x x x 即：⎩⎨⎧=+-=+yv u x vv uu x x x x ,222…………………………………【2】 则vu yvx v u y v x xu +-=-=∂∂1122122，…………………………………【4】 同样方程组两端对y 求导，得：vu xu y v 2221++=∂∂.…………………………………【6】 （本题用全微分的方法做也给分，在求解方程组时使用克莱姆法则和代换法都可以） 15、解：积分区域对称于x 轴，221xyy x y++为y 的奇函数， 从而知2201Dxydxdy x y =++⎰⎰…………………………………【3】 所以 12120222021ln(1)ln 21122Dr I dxdy d dr r xyr ππππθ-==+=+++⎰⎰⎰⎰极坐标…【6】 16、解：∑的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-． (2)=4】故22012ln()2ln 2aaa a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦ (6)四、解答题（每题8分）17、解：332233'()(+y+)033'()(1+y+)033x y x y x y x x y x y x y yx x f x e y e x e x x f e y e e ++++++⎧=++==⎪⎪⎨⎪=++==⎪⎩解得42(1,),(1,)33---， (2)33222332233''(2)()(+22+)33''+()=(+++1)33''(1)(+2)33x yx y x yxx x y x y x yxy x yx y x yyy x x A f x x e x y e x x y e x x B f e x y e x y e x x C f e y e y e +++++++++==++++=+==++==+++=+ (5)对于4(1,)3-点，11123333,,,0,0,A e B e C e AC B A ---===∆=->> 4(1,)3∴-为极小值点，极小值为13e -- (7)对于2(1,)3--，5552333,,,=0A eB eC e AC B ---=-==∆-<,不是极值 (8)18、解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰． (3)而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (6)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (8)19、解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰……………………【3】 ()3224400002sin cossin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r drπ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰…………………………………【6】 故()(3222320002()222lim lim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦=== (8)20、解：因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为3】此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++- (5)()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ==== (7)3=.…………………………………【8】 五、证明题（7分）21、方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ， (2)右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy ex y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e ex x，…………………………………【4】 所以 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由于2sin sin ≥+-x x e e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy (7)方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ，…………………………………【1】 ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin .…………………………………【2】 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ，…………………………………【4】 故 dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰-- (5)(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x (7)阅卷教师注意事项：计算题、解答题、证明题阅卷时请参考步骤给分，如缺步骤酌情扣分。

大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。

这个定义描述的是（）。

A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。

答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。

答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。

答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。

答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。

答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim()ex y x y x y xy x y +→-+=+5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．x O z 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．x O y 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．x O y 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-zy x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂yx z2（ ）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++; (C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分） 1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。

(6分) 3、解 转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解 所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四 解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分） 六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解 添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分） 阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分） 原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分） 八、解 设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分） 因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分） 引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分） 令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分） 因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。

大一下学期高等数学考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某一个确定的数值，这个确定的数值称为该点处函数的（）。

A. 极限值B. 导数值C. 积分值D. 定积分值答案：A2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）。

A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. 2x^2+3x答案：A3. 曲线y=x^3-3x+2的拐点是（）。

A. (1,0)B. (-1,-2)C. (0,2)D. (2,8)答案：A4. 函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]上的定积分为（）。

A. 0B. 2C. -2D. 4答案：A5. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=cos(x)D. f(x)=sin(x)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。

答案：27. 曲线y=e^x在点(0,1)处的切线斜率为______。

答案：18. 函数f(x)=ln(x)的不定积分为______。

答案：x*ln(x)-x+C9. 函数f(x)=x^3的二阶导数为______。

答案：6x10. 曲线y=x^2-4x+5与x轴的交点个数为______。

答案：0三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)。

答案：112. 计算定积分∫(0 to 1) (x^2-2x+1) dx。

答案：(1/3)x^3 - x^2 + x | from 0 to 1 = 1/3 - 1 + 1 = 1/313. 求函数f(x)=x^2-6x+8的极值点。

答案：极小值点为x=3，极大值点不存在。

四、证明题（每题10分，共10分）14. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。

答案：略五、应用题（每题10分，共10分）15. 一个物体从高度为100米的塔上自由落下，求物体落地时的速度。

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

04-05-2学期《高等数学》期中考试参考答案一、填空与选择题(每小题4分, 共32分)1．以曲线⎩⎨⎧==+xz zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是____x 2+y 2-2x =0____.提示: 这实际上是求曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222关于xoy 面的投影柱面的方程.将方程⎩⎨⎧==+xz zy x 222中的z 消去得x 2+y 2=2x , 这就是投影柱面的方程.2．曲线⎩⎨⎧==-+00422y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是.答: x 2+y 2+z 2-4z =0. 提示:将方程x 2+z 2-4z =0中的x 换成22y x +±, 得 x 2+y 2+z 2-4z =0.3．直线11231-=-=-z yx 与平面3x +4y -z =2的位置关系是( C )(A)平行; (B)垂直; (C)直线在平面内; (D)相交但不垂直. 提示: 直线的方向向量为s =(3, -2, 1), 平面的法线向量为n =(3, 4, -1).因为s ⋅n =0, 所以直线与平面平面. 又因为直线上的点(1, 0, 1)满足平面方程, 所以直线是在平面上的.4．设z =x sin(2x +3y ), 则yx z∂∂∂2=______;解 )32cos(2)32sin(y x x y x xz +++=∂∂,)32s i n (6)32c o s (32y x x y x yx z +-+=∂∂∂.5．函数f (x , y , z )=x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向a ={2, -1, 2}的方向导数为____; 解 f x (1, 1, 1)=(3x 2y 2z )|(1, 1, 1)=3, f y (1, 1, 1)=(2x 3yz )|(1, 1, 1)=2, f z (1, 1, 1)=(x 3y 2)|(1, 1, 1)=1; )2 ,1 ,2(31-=a e .于是 2321)31(2323=⋅+-⋅+⋅=∂∂a f.6．曲线⎩⎨⎧+==222y x z x y 在点(1, 1, 2)处的切线方程为( ). (A)822111-=-=-z y x ; (B)622111-=--=-z y x ; (C)64211+=+=z y x ; (D)822111-=--=-z y x . 提示: C曲线的参数方程为x =t , y =t 2, z =t 2+4t 4. 点(1, 1, 2)所对应的参数为t =1. 曲线在点(1, 1, 2)处的切向量为T =(1, 2t , 2t +4t 3)|t =1=(1, 2, 6).7．设平面区域D : 1≤x 2+y 2≤4, 则⎰⎰+Ddxdy y x f )(22=( ).(A)⎰20)(2dr r rf π; (B)⎰20)(dr r f π; (C)⎰21)(2dr r rf π; (D)⎰21)(dr r f π.答: C . 提示:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+21212022)(2)()()(dr r rf dr r rf d rdrd r f dxdy y x f DDπθθπ.8．改变二次积分⎰⎰210),(x dy y x f dx 的积分次序得____⎰⎰110),(ydx y x f dy ____.二、解下列各题:1. 求经过直线121111-=-+=-z y x 和点(3, -2, 0)的平面方程(8分).解法一: 已知直线的一般方程为⎩⎨⎧-=---=-2111z x y x , 即⎩⎨⎧=+-=+010z x y x .过已知直线的平面束方程为 x +y +λ(x -z +1)=0.将点(3, -2, 0)代入x +y +λ(x -z +1)=0得 41-=λ.于是所求平面的方程为0)1(41=+--+z x y x , 即3x +4y +z -1=0.解法二: 由题意知所求平面的法线向量n 与向量l =(1, -1, 1)及s =(3, -2, 0)-(1, -1, 2)=(2, -1, -2) (4分) 都垂直, 故212111---=kj i n =3i +4j +k , (2分)所求平面的方程为3(x -3)+4(y +2)+(z -0)=0, 即3x +4y +z -1=0. (2分)2．已知z =(x +sin y )xy , 求xz ∂∂(8分).解 设u =x +sin y , v =xy , 则z =u v . (2分)y u u vu xv v z x u u z x z v v ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-ln 11 (4分))s i n l n ()s i n ()s i n (1y x y x y y x xy xy xy ++++=-. (2分)3. 设函数z =z (x , y )由方程(z +1)ln y +e xz -1=0确定. 求yz ∂∂在(1, 1, 0)处的值(8分).解 设F =(z +1)ln y +e xz -1. (2分) 因为在(1, 1, 0)处11)0,1,1(=+=yz F y , 1)(ln )0,1,1(=+=xz z xe y F , (4分)所以在(1, 1, 0)处111-=-=-=∂∂z y F Fy z . (2分)4. 求曲面z =x 2+y 2平行于平面x +y -2z =0的切平面方程(8分). 解 曲面z =x 2+y 2上点(x , y , z )处的法向量为n =(2x , 2y , -1). (2分) 令(2x , 2y , -1)=λ(1, 1, -2), 得21=λ. (2分)当21=λ时, 41=x , 41=y , 81=z .(2分)所求切平面的方程为0)81(2)41()41(=---+-z y x , 即0412=--+z y x . (2分)5. 求函数f (x , y )=e 2x (x +y 2+2y )的极值(10分).解 令⎩⎨⎧=+==+++=0)1(20)2(2)12(2222y e f y y e x e f xy x x x , (2分) 得驻点)1 ,21(-. (2分) f xx =e 2x (4x +3), f xy =4e 2x (y +1), f yy =2e 2x . (2分) 在驻点处f xx =5e , f xy =0, f yy =2e .因为f xx ⋅f yy -f xy 2=5e ⋅2e =10e 2>0, f yy =5e >0, (2分)所以点)1 ,21(-为函数的极小值点, 极小值为e f 21)1 ,21(-=-. (2分)三、解下列各题1．计算积分dy e dx I x y ⎰⎰-=222. (9分)解: 按原积分次序难以积分, 故交换积分次序. 积分区域为D : 0≤x ≤2, x ≤y ≤2, 画出积分区域图形 (1分)积分区域又可表为0≤y ≤2, 0≤x ≤y , (2分) 故 ⎰⎰⎰⎰--==yy xy dx e dy dy e dx I 0202222(2分)⎰-=22dy ye y (2分))1(214--=-e . (2分)2．计算⎰⎰⎰Ω+dv z x )(, 其中Ω是由曲面22y x z +=与221y x z --=围成(9分).解 画出积分区域图形 (1分)积分区域Ω关于yOz 面对称并且f (x )=x 是x 的奇函数, 所以f (x )=x 在Ω上的三重积分为零.(1)在柱面坐标下积分区域Ω可表示为21 ,220 ,20 :r z r r -≤≤≤≤≤≤Ωπθ, (2分)于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d V dV z x )(⎰⎰⎰-=212220r rz r d z drd πθ(4分)8)1(2122222ππ=--⋅=⎰dr r r r .(2分)(2)采用先二后一的方法. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≤+≤++=222222112121z y x z y x zdxdy dzzdxdy dz8)1(12122103πππ=-+=⎰⎰dz z z dz z .(3)利用球面坐标: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=+z d vdv z x )( ⎰⎰⎰⋅=124020s i n c o s dr r r d d ϕϕϕθππ⎰⎰⎰=134020s i n c o s dr r d d ππϕϕϕθ 8|41|s i n 2120104024πϕππ=⋅⋅+=r .3．求由z =4-x 2-y 2及z =0所围成的立体的体积(8分). 解: 画出立体图形 (1分)所求立体的体积可以看成是以曲面z =4-x 2-y 2为顶, 以区域x 2+y 2≤4为底的曲顶柱体的体的体积.⎰⎰≤++=42222)(y x dxdy y x V (2分)⎰⎰⋅-=20220)4(ρρρθπd d (3分)πρρπ8|)412(22042=-⋅=. (2分)高等数学试卷试卷号：B020017校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________（请考生注意：本试卷共 页）一、解答下列各题(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)对函数在上验证拉格朗日中值定理的正确性f x x ()arctan [,].=01 2、(本小题4分)指出x y z 222441+-=的类型，它是由yoz 平面上的什么曲线绕什么轴旋转而产生的？3、(本小题5分)处连续．在之值，使补充定义　0)()0()0()2tan arcsin()(=≠=x x f f x xxx f 二、解答下列各题(本大题共6小题，总计31分) 1、(本小题1分).,d 2是常数其中求　a x x a ⎰ 2、(本小题5分)．求数列的极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++++∞→2)1(321(21lim2n n n n 3、(本小题6分)设　求y xdy =-arcsin,.124、(本小题6分)[][]．试求，，上连续，且，在设)( , )()()()( x F b a x dt t f t x x F b a x f xa''∈-=⎰5、(本小题6分)设A x y z B x y z C x y z (,,),(,,),(,,)111222333为空间不共线的三点，以点P x y z (,,)000为相似中心，将∆ABC 伸缩成∆A B C '''（如图），使面积之比S S k A B C ABC∆∆'''=。

高等数学下学期期中考试试题(指挥类)一、填空题（每小题3分，共15分）1、 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，单位向量n = ，则(1,2,3)u n ∂=∂.2、设22)(),(yx x x y y x f +-=，则=→→),(lim 0y x f y x .3、设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，则=∂∂+∂∂yf x f . 4、交换积分次序=+⎰⎰⎰⎰-6260222),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx .5、设L 是以A （-1,0），B (-3,2)，C (3,0)为顶点的三角形区域的周界，且沿ABCA 方向，则积分⎰-+-=Ldy y x dx y x I )2()3(的值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在（0,0）处（ ）.（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在 ． 2、设),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，),(v u F 可微，a,b 为常数，则必有（ ）.（A ） 1=∂∂-∂∂y z b x z a； （B ）；1=∂∂+∂∂yzb x z a （C ）1=∂∂-∂∂x z a y z b； （D ）1=∂∂+∂∂yz a x z b ． 3、设有三元方程ln 1xzxy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）.（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =，(,)z z x y =； （C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =，(,)z z x y =；（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =,(,)y y x z =.4、极坐标下的累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰化为直角坐标下的累次积分是（ ）.（A ）⎰⎰-12),(y y dx y x f dy （B ）⎰⎰-10102),(y dx y x f dy（C ）⎰⎰1010),(dx y x f dy （D ）⎰⎰-102),(x x dy y x f dx5、设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截去的有限部分，则⎰⎰∑yds 的值是（ ）（A ） 0 （B ）334 （C ）34 （D ）π 三、试解答下列各题（每小题6分，共30分） 1、设{}11,20|),(≤≤-≤≤=y x y x D ，求⎰⎰+Ddxdy yx21的值. 2、在椭球面122222=++z y x 上求一点P ，使得函数222),,(z y x z y x f ++=在点P 处沿着从A （1,1,1）到B （2,0,1）的方向导数具有最大值（不要求判别）.3、由曲面222x y z +=-与z =所围成立体为Ω, 其密度为1, 求Ω关于z 轴的转动惯量.4、设有流速场v xi yj zk =++, S 是以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 为顶点的四面体的边界曲面的外侧, 求通过S 的流量.5、求球面2222R z y x =++被平面a z =及)0(R b a b z <<<=所夹部分的面积. 四、（8分）设),(y x z z =由方程0),(=-yz x y f 所确定的隐函数，其中f 具有对各个变量的二阶连续偏导数，求22xz ∂∂.五、（8分）证明：存在函数),(y x u 使得),()(ln )2(22y x du dy y x x dx y x x y =-++，并求该函数.六、（8分）计算σd y x a yx D⎰⎰+-+)(4122222，其中a 为正常数，D 是由22x a a y -+-=与x y =所围成的平面区域.七、（8分）求曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (333γβα，其中∑是由锥面222y x z +=在01≤≤-z 部分的上侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上任一点处法向量的方向余弦.八、（8分）一质量为M 的质点固定于椭圆1162522=+y x 的焦点（3,0）处，另一质量为m 的质点，沿椭圆正向由点A （5,0）到B (0,4)运动，试求引力所作的功.。

《 高等数学》（下）期中考试题及评分标准一、填空题（每小题4分，共28分，写出各题的简答过程，并把答案填在各题的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）。

.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+=4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故,e z .2xy=设.__________dz )2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdy y x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,x oy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,x oy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解.)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂二、选择题（每小题4分，共28分。