(新)高中数学奇偶性练习题及答案

专题14函数的奇偶性（求值）主要考查：利用奇偶性求函数值一、单选题1．已知函数()f x 为奇函数，当0x <时，()22x f x =+，则()1f =（）A ．4-B ．52-C ．4D ．522．已知奇函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，则()()12f g -+=（）A ．11-B ．7-C ．7D ．113．已知函数()()()()1lg ,,11,,1x f x x f a b x ∞∞+=∈--⋃+=-，则()f a -=（）A ．bB ．b -C ．1bD ．1b-4．已知函数1()ln sin 21x f x a x x -=+++，且()5f m =，则()f m -=（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．35．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22x f x g x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-6．已知函数3()2f x ax bx =++，()lg53f =，则()lg 0.2f =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数2()1f x mx =+为定义在()2,23m m --上的偶函数，则(2)f -=（）A ．0B ．7C ．0或7D ．-38．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x a x a =+，若()4f e -=，则(0)(1)f f +=（）A ．-1B ．0C ．-2D ．1二、多选题9．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x a =++-，则（）A ．2a =B ．()22f =C ．()f x 是增函数D ．()312f -=-10．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c Z ∈)，选取a ，b ，c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果可能是（）A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和211．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当(2,3)x ∈时，()25f x x =-，则下列结论正确的有（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增C ．(2.5)0f -=D ．(2021.2)0.6f =-12．已知函数()f x 满足x R ∀∈，()()f x f x -=-，且当0x >时，22()f x x x =-，则（）A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 在[单调递减D ．(1,0)x ∃∈-，()2f x >三、填空题13．若函数()()22g x f x x =-是奇函数，且()12f =，则()1f -=______．14．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=_________15．设函数22(1)sin(2)()(2)1x x f x x -+-=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________.16．已知3311sin ,sin 288x x m y y m +=+=-，且,,,44x y m R ππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，则tan 23x y π⎛⎫++= ⎪⎝⎭_____四、解答题17．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x x =-+．（1）计算()0f ，()1f -；（2）当0x <时，求()f x 的解析式．18．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．19．已知奇函数()()()3x x a f x x-+=.()1求()3f -的值；()2求实数a 的值．20．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，()12()log 1f x x =-.（1）求()0f ，()1f ；（2）求函数()f x 的解析式.21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =-（1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+.22．已知函数224,0(),0x x x f x x ax x ⎧--≤=⎨+>⎩，为奇函数.（1）求(2)f 和实数a 的值；（2）求方程()(2)f x f =的解.。

高中数学例题：判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+； (5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈ 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)23()3x f x x =+； (2)()|1||1|f x x x =++-； (3)222()1x x f x x +=+； (4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x x f x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.【变式3】设函数()f x和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A．()f x-|g(x)|是奇函数f x+|g(x)|是偶函数 B．()C．|()f x|- g(x)是奇函数f x| +g(x)是偶函数 D．|()【答案】A例2.已知函数(),∈，若对于任意实数,a b都有f x x Rf x的奇偶性.+=+，判断()()()(f a b f a f b【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =.又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性. 【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -= ∴()f x 是偶函数.。

课时分层作业(十一) 奇偶性的概念(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，那么f (1)＝( )A ．－32B ．－12C ．32D ．12A [因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.]2．假设函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，那么必有( ) A ．f (x )f (－x )>0 B ．f (x )f (－x )<0 C ．f (x )<f (－x ) D ．f (x )>f (－x )B [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )≠0，∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2<0.] 3．函数f (x )＝2x －1x的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．直线y ＝x 对称D ．坐标原点对称D [函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 那么f (－x )＝－2x ＋1x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数，那么函数f (x )＝2x －1x的图象关于坐标原点对称．应选D.]4．以下函数为奇函数的是( ) A ．y ＝－|x | B ．y ＝2－x C ．y ＝1x3D ．y ＝－x 2＋8C [A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．] 5．以下说法中错误的个数为( ) ①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过坐标原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交． A ．4 B ．3 C ．2D ．1C [由奇函数、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x )＝1x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x )＝1x2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以④说法错误．应选C.]二、填空题6．f (x )＝x 3＋2x ，那么f (a )＋f (－a )的值为________． 0 [∵f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )， ∴f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (a )＋f (－a )＝0.]7．假设函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，那么m 的值是________． 2 [∵f (x )为偶函数，故m －2＝0，∴m ＝2.]8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，那么f (－2)＋f (0)＝________． －5 [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5.] 三、解答题9．定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f (x )是奇函数，其局部图象如下图．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象； (2)比拟f (1)与f (3)的大小．[解] (1)由于f (x )是奇函数，那么其图象关于原点对称，其图象如下图．(2)观察图象，知f (3)<f (1)． 10．函数f (x )＝x ＋mx，且f (1)＝3.(1)求m 的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性．[解] (1)由题意知，f (1)＝1＋m ＝3， ∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x，x ≠0.∵f (－x )＝(－x )＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．[等级过关练]1．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，那么以下结论中正确的选项是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数，应选C.]2．f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，那么f (3)＝( ) A ．21 B ．－21 C ．26D ．－26B [设g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，那么g (x )为奇函数，由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，求得gg (x )为奇函数，所以g (3)＝－g (－3)＝－13，于是f (3)＝g (3)－8＝－13－8＝－21.]3．设函数f (x )＝〔x ＋1〕〔x ＋a 〕x为奇函数，那么a ＝________．－1 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即〔－x ＋1〕〔－x ＋a 〕－x ＝－〔x ＋1〕〔x ＋a 〕x.显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.] 4．设奇函数f (x )的定义域为[－6，6]，当x ∈[0，6]时f (x )的图象如下图，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．[－6，－3)∪(0，3) [由f (x )在[0，6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0，3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．]5．函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数，且f (1)＝3，f (2)＝5，求a ，b ，c 的值．[解] 因为函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，故a 〔－x 〕2＋1b 〔－x 〕＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c ，即ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c， 所以－bx ＋c ＝－(bx ＋c )，即c ＝－c ，解得c ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1bx .而f (1)＝a ×12＋1b ×1＝a ＋1b＝3，所以a ＋1＝3b .①由f (2)＝5，即a ×22＋1b ×2＝4a ＋12b＝5.②解①②组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，b ＝32.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，b ＝32，c ＝0.。

函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。

【巩固练习】1．函数2()||f x x x =+的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．不具有对称轴2．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 43．设函数3()1f x ax bx =+-，且(1)3,f -=则(1)f 等于（ ）A.-3B.3C.-5D. 54．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)3(=f ，则使0)(<x f 的x 的范围是A ．)3,(-∞B ．),3(+∞C ．),3()3,(+∞-∞D ．)3,3(-6．（2016 天津静安区二模）若函数2()()x F x f x =+为奇函数，且g （x ）=f （x ）+2，若f （1）=1，则g （－1）的值为（ ）A ．－1B ．－3C ．2D ．－27．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是( )A ．)23(-f >)252(2++a a fB ．)23(-f <)252(2++a a fC ．)23(-f ≥)252(2++a a fD ．)23(-f ≤)252(2++a a f 8．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）．A ．()f x 为奇函数B ． ()f x 为偶函数C ．()1f x +为奇函数D ．()1f x +为偶函数9．已知函数)(x f 为奇函数，且当x ＞0时,xx x f 1)(2+=，则)1(-f 的值为 （ ） A ．2 B ．﹣2 C ．0 D ．110．（2016 浙江绍兴一模）已知函数222,0()2,0x x x f x ax x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是奇函数，则a =____，f （f （1））=____． 11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)f f -+-= .12．已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -，则()f x 的值域 ． 13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．(1)()f x = (2) 2,1,1(),1122,1x x f x x x x +<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎪⎩14．已知奇函数()f x 在（-1，1）上是减函数，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．15．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,a b R ∈都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．（1）求(0),(1)f f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论．16．（2016 江苏扬州一模）定义在[－1，1]上的函数y =f （x ）是增函数且是奇函数，若f （－a +1）+f （4a －5）＞0．求实数a 的取值范围．17．函数f (x )对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f (x )+f (y )成立，且当x ＞0时f (x )＜0恒成立．（1）证明函数f (x )的奇偶性；（2）若f (1)= －2，求函数f (x )在[－2，2]上的最大值；（3）解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【答案与解析】1. 【答案】B.【解析】因为22()()||||()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称.2. 【答案】B.【解析】 奇次项系数为0,20,2m m -==3. 【答案】C.【解析】因为3()1f x ax bx +=+是奇函数，所以3()1f x ax bx -+=--，所以(1)1((1)1)f f -+=--+(1)1(1)1,31(1)1,(1)5f f f f ∴-+=--∴+=--∴=-.4. 【答案】A.【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性5. 【答案】A.【解析】 ()()()()F x f x f x F x -=--=-6．【答案】A【解析】∵函数2()()x F x f x =+为奇函数，∴F （－X ）=－F （x ）．由f （1）=1，则F （1）=2，∴F （－1）=－2，即f （－1）+1=－2，∴f （－1）=－3，∴g （－1）=f （－1）+2=－1故选A ．7. 【答案】C.【解析】 225332(1)222a a a ++=++≥，2335()()(2)222f f f a a -=≥++ 8. 【答案】C.【解析】解法一：（特殊函数法）由条件1212()()()1f x x f x f x +=++可取()1f x x =-，所以()1f x x +=是奇函数.解法二：令120x x ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，∴(0)1f =-令12,x x x x ==-，则(0)()()1f f x f x =+-+，[][]()1()10f x f x ∴++-+=，()1f x ∴+为奇函数，故选C.9. 【答案】21x x --+【解析】 设0x <，则0x ->，2()1f x x x -=+-，∵()()f x f x -=-∴2()1f x x x -=+-，2()1f x x x =--+10．【答案】－1，1【解析】若函数f （x ）是奇函数，则f （－1）=－f （1），即a +2=－（1－2）=1，则a =－1，则f （1）=1－2=－1，f （－1）=a +2=－1+2=1，故答案为：－1，111. 【答案】15-【解析】 ()f x 在区间[3,6]上也为递增函数，即(6)8,(3)1f f ==-2(6)(3)2(6)(3)15f f f f -+-=--=-12．【答案】311,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数2()3f x ax bx a b =+++为[]1,2a a -上的偶函数，所以120,0,a a b -+=⎧⎨=⎩即1,30.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩即21()13f x x =+，所以21()13f x x =+在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为311,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13．【解析】(1)定义域为[]1,1-，()()g x g x -=-=-，所以()g x 是奇函数．(2)函数的定义域为R ，当1x <-时，()2f x x =+，此时1x ->，()()22()f x x x f x -=--+=+=． 当1x >时，()2f x x =-+，此时1x -<-，()2()f x x f x -=-+=．当11x -≤≤时，1()()2f x f x ==-． 综上可知对任意x R ∈都有()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．14．【解析】由已知2(1)(1)f m f m -<--，由()f x 为奇函数，所以2(1)(1)f m f m -<-， 又()f x 在()1,1-上是减函数，22111,111,1 1.m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩解得02,002 1.m m m m <<⎧⎪<<<⎨⎪-<<⎩或01m ∴<<15．【解析】（1）(0)(00)0(0)0(0)0;f f f f =⋅=+=(1)(11)1(1)1(1)2(1)f f f f f =⋅=⋅+⋅=，(1)0f ∴=．（2）[](1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)0f f f f f =-⋅-=--+--=--=，(1)0f ∴-=．[]()(1)(1)()(1)f x f x f x xf ∴-=-⋅=-⋅+-=()0()f x f x -+=-故()f x 为奇函数．16．【答案】4332a <≤ 【解析】由f （－a +1）+f （4a －5）＞0得f （4a －5）＞－f （－a +1），∵定义在[－1，1]上的函数y =f （x ）是增函数且是奇函数，∴不等式等价为f （4a －5）＞f （a －1），则满足1451111451a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪->-⎩，得2130243a a a ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩，即4332a <≤，即实数a 的取值范围是4332a <≤．17．【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x 即得f(－x)=－f(x ）∴f(x ）是奇函数（2）设任意12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，由已知得21()0f x x -< （1） 又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=- （2）由（1）（2）可知12()()f x f x >，由函数的单调性定义知f (x )在(-∞，+∞)上是减函数∴x ∈[－2，2]时，[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=，∴f (x )当x ∈[－2，2]时的最大值为4．（3）由已知得：[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--由（1）知f(x ）是奇函数，∴上式又可化为：[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+ 由（2）知f(x ）是R 上的减函数，∴上式即：22424x x x --<+化简得(2)(1)0x x ++>∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-。

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.1 函数的奇偶性A 级必备知识基础练1.(多选题)下列函数是奇函数的有( )A.y=x(x -1)x -1B.y=-3xC.y=x-2xD.y=πx 3-35x 2.(2022安徽合肥高一期末)若奇函数f (x )在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f (x )在区间[1,2]上( )A.单调递增,且有最小值f (1)B.单调递增,且有最大值f (1)C.单调递减,且有最小值f (2)D.单调递减,且有最大值f (2)3.若函数f (x )=(k-2)x 2+(k-1)x+3是偶函数,则f (x )的单调递减区间是. 4.定义在R 上的偶函数f (x ),对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为 .5.若函数f (x )={2x 2+7x -4,x >0,g(x),x <0为奇函数,则f (g (-1))= . 6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= .7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.9.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;③f(1-a)+f(1-a2)<0.求实数a的取值范围.B级关键能力提升练10.(2021陕西西安长安一中高一月考)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数11.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上()A.有最小值-5B.有最大值-5C.有最小值-1D.有最大值-312.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是()A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)13.定义在区间(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .14.如果f(x)是定义域为R的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)<5的解集是.15.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象<0的解集是.如图所示,则不等式f(x)g(x)16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)求出函数f(x)的解析式;(2)求出函数f(x)的值域.C级学科素养创新练17.(2021吉林高一月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)若函数g(x)=f(x)-2ax+2,x∈[1,2],求函数g(x)的最小值.4.1函数的奇偶性1.BCD先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,D中函数定义域均为R,且f(-x)=-f(x),故为奇函数;选项C中函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),也是奇函数.2.C因为奇函数的图象关于原点对称,所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.3.[0,+∞)因为函数f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1,所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).4.f(3)<f(-2)<f(1)由已知条件可知f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(3)<f(2)<f(1).再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).5.-81当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4=2x2-7x-4,所以f(x)=-2x2+7x+4.即g(x)=-2x2+7x+4,因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.6.-26令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,所以h(-2)=f(-2)+8=18,所以h(2)=-h(-2)=-18,所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.7.解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).8.解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f (-x )=x 2-3x+2,故f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.∴当x ∈[1,32]时,f (x )单调递增;当x ∈(32,3]时,f (x )单调递减.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f (32)=14,f (x )min =f (3)=-2.∴m=14,n=-2,从而m-n=94.9.解∵f (x )为奇函数,∴f (1-a 2)=-f (a 2-1),∴f (1-a )+f (1-a 2)<0⇒f (1-a )<-f (1-a 2)⇒f (1-a )<f (a 2-1).∵f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,∴{1-a >a 2-1,-1<1-a <1,-1<a 2-1<1,解得0<a<1,故实数a 的取值范围为(0,1).10.C ∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,∴f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).对于A,f (-x )g (-x )=-f (x )g (x ),故f (x )g (x )是奇函数,故A 错误;对于B,|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),故|f (x )|g (x )是偶函数,故B 错误;对于C,f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,故f (x )|g (x )|是奇函数,故C 正确;对于D,|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,故|f (x )g (x )|是偶函数,故D 错误.故选C .11.C ∵函数f (x )和g (x )都是奇函数,∴F (x )-2=af (x )+bg (x )为奇函数.又F (x )在区间(0,+∞)上有最大值5,∴F (x )-2在区间(0,+∞)上有最大值3,F (x )-2在区间(-∞,0)上有最小值-3,∴F (x )在区间(-∞,0)上有最小值-1.12.A g (x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-2)=g (0)=0,结合函数的图象,由xf (x )≤0可知{x ≥0,f(x)≤0或{x <0,f(x)≥0.结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .13.-15 根据题意,f (x )是定义在区间(-8,a )上的奇函数,则a=8.又由f (x )在区间[2,7]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f (6)=a=8,f (3)=-1.函数f (x )是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.14.(-7,3) 因为f (x )为偶函数,所以f (|x+2|)=f (x+2),则f (x+2)<5可化为f (|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,所以|x+2|<5,解得-7<x<3,所以不等式f (x+2)的解集是(-7,3).15.{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3} 不等式f(x)g(x)<0可化为f (x )g (x )<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f (x )是偶函数,y=g (x )是奇函数,∴f (x )g (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )g (x )<0的解集为(-2,-1).综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2<x<-1,或0<x<1,或2<x<3}.16.解(1)∵f (x )的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b ,即b=2.∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.∵f (x )为偶函数,∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),则1=a ·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.综上,f (x )={x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f (x )的值域为(-∞,2].17.解(1)由题意知当x ≥0时,f (x )=x 2-2x=(x-1)2-1,此时函数f (x )的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).又函数f (x )为偶函数,所以当x<0时,其单调递增区间为(-1,0), 所以函数f (x )的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)设x<0,则-x>0,所以f (-x )=(-x )2-2(-x )=x 2+2x ,由已知f (x )=f (-x ),所以当x<0时,f (x )=x 2+2x ,所以f (x )={x 2-2x(x ≥0),x 2+2x(x <0).(3)由(2)可得g (x )=x 2-(2a+2)x+2,x ∈[1,2],对称轴为直线x=a+1.当a+1<1,即a<0时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递增, 故函数g (x )的最小值为g (1)=1-2a ;当1≤a+1≤2,即0≤a ≤1时,函数g (x )在对称轴处取得最小值, 故函数g (x )的最小值为g (1+a )=-a 2-2a+1;当a+1>2,即a>1时,函数g (x )在区间[1,2]上单调递减, 故函数g (x )的最小值为g (2)=2-4a.综上,函数g (x )的最小值为g (x )min ={1-2a,a <0,-a 2-2a +1,0≤a ≤1,2-4a,a >1.。

2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)课时过关·能力提升1下列函数是奇函数的是( ) A.y=x (x -1)x -1B.y=-3x 2C.y=-|x|D.y=πx 3-35x,再确定f (-x )与f (x )的关系.选项A 中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C 中函数的定义域均是R ,且函数均是偶函数;选项D 中函数的定义域是R ,且f (-x )=-f (x ),则此函数是奇函数.2设函数f (x )=√x +1+√1-x +1,则f (x )( ) A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数{x +1≥0,1-x ≥0,得-1≤x ≤1,即函数定义域为[-1,1],关于原点对称. 又因为f (-x )=√-x +1+√1+x +1=f (x ), 所以f (x )是偶函数.3若函数f (x )=6x -xx 4+1是定义域为R 的奇函数,则实数b 的值为( ) A.1 B.-1 C.0D.1或-1f (0)=0,即6×0-x 04+1=0,故b=0,且此时f (x )=6x x 4+1,f (-x )=6·(-x )(-x )4+1=-6xx 4+1=-f (x ),即f(x)是奇函数.4已知偶函数y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,则下列不等式一定成立的是()A.f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(3)C.f(1)>f(a2+2a+3)D.f(a2+2)>f(a2+1)y=f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,且f(x)为偶函数,所以y=f(x)在区间[0,+∞)内是减函数.因为a2+2a+3=(a+1)2+2>1,所以f(a2+2a+3)<f(1)肯定成立,故选C.5已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4,得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.6若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}x≥0时,令f(x)=2x-4>0,得x>2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)>0的解集为{x|x<-2或x>2}.故f(x-2)>0的解集为{x|x<0或x>4}.7若函数f (x )(x ∈R )为奇函数,f (1)=12,f (x+2)=f (x )+f (2),则f (5)等于( ) A.0B.1C.52D.5f (x+2)=f (x )+f (2)中,令x=-1得f (1)=f (-1)+f (2).因为f (1)=12,f (x )是奇函数,所以f (-1)=-12,f (2)=1, 所以f (x+2)=f (x )+1,故f (5)=f (3)+1=f (1)+1+1=12+2=52.8设函数f (x )=(x +1)(x +x )x为奇函数,则实数a= .f (x )是奇函数,所以f (-1)=(-1+1)(-1+x )-1=0=-f (1)=-(1+1)(1+x )1=-2(1+a ).所以a=-1.当a=-1时,f (x )=(x +1)(x -1)x=x-1x (x ≠0),f (x )为奇函数,故a=-1.19已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2+4x+m ,则当x<0时,f (x )= .f (x )是定义域为R 的奇函数,所以f (0)=0,即02+4×0+m=0,解得m=0,当x ≥0时,f (x )=x 2+4x.设x<0,则-x>0, 故f (-x )=(-x )2+4·(-x )=x 2-4x. 又因为f (-x )=-f (x ), 所以当x<0时,f (x )=-x 2+4x.2+4x10已知奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x+4)=f (x )+f (2),且f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 016)等于 .11已知定义在(-1,1)内的奇函数f (x ),在定义域上为减函数,且f (1-a )+f (1-2a )>0,求实数a 的取值范围.f (1-a )+f (1-2a )>0,∴f (1-a )>-f (1-2a ).∵f (x )是奇函数,∴-f (1-2a )=f (2a-1),即f (1-a )>f (2a-1). 又f (x )在(-1,1)内是减函数, ∴{1-x <2x -1,-1<1-x <1,-1<2x -1<1,∴{x >23,0<x <2,0<x <1,∴23<a<1.故a 的取值范围是(23,1). ★12函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f (x )=2x -1.(1)求f (-1)的值;(2)求当x<0时函数的解析式;(3)用定义证明f (x )在(0,+∞)内是减函数.f (x )是偶函数,所以f (-1)=f (1)=2-1=1.x<0时,-x>0,故f (-x )=2-x -1.因为f (x )为偶函数,所以当x<0时,f (x )=f (-x )=2-x -1=-2x -1.x 1,x 2是(0,+∞)内的任意两个不相等的实数,且0<x 1<x 2,则Δx=x 2-x 1>0,Δy=f (x 2)-f (x 1)=2 x2-1-(2x1-1)=2x2−2x1=2(x1-x2)x1x2.因为x1-x2<0,x1x2>0,所以Δy<0.故f(x)=2x-1在(0,+∞)内是减函数.★13(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:f(x)为奇函数;(2)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证:f(x)是偶函数;(3)设函数f(x)定义在(-l,l)内,求证:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.设a=0,则f(b)=f(0)+f(b),故f(0)=0.设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x),即f(-x)=-f(x).因此,f(x)是奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.设x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①设x1=x,x2=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②由①②,得f(-x)=f(x).故f(x)是偶函数.(3)由于对任意的x∈(-l,l),也必有-x∈(-l,l),可见,f(-x)的定义域也是(-l,l).若设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则F(x)与G(x)的定义域也是(-l,l),显然是关于原点对称的区间.∵F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.。

函数的奇偶性练习题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34． 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－126． 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27． 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a2＝( )A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能9． 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10． 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11． 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．1． 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －x D ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4． 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假 9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________． 10． 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．1．A [解析] y ＝sin2x 在R 上不单调，y ＝－13x 不是奇函数，y ＝2x 为增函数，所以B ，C ，D 均错．故选A.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A. 4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1， ∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A.6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A.8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2. 又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)． 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0， 所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②，③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x＝－x －2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法) 【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，所以a ＝2.(2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0. 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13.3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D.6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15.10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10， 所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}．12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b1＋ab.(2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3， 又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*) 方法一：因为f (x )为偶函数， 所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R .所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为 x⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。

第二章 函数2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）知识梳理一 函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。

2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。

2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x --<，则函数在该区间单调递减。

3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。

(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x -为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x -为减函数。

(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

二 函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =- ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=- ⇔函数()f x 是奇函数。

高中数学复习题库及答案1. 函数的奇偶性若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。

判断下列函数的奇偶性：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 - 4x + 4答案：A. 偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。

B. 奇函数，因为f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

C. 偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) + 4 = x^2 + 4x + 4 = f(x)。

2. 二次函数的图像与性质二次函数y = ax^2 + bx + c的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

计算下列二次函数的顶点坐标：A. y = 2x^2 - 4x + 1B. y = -3x^2 + 6x - 5答案：A. 顶点坐标为(1, -1)，因为-b/2a = -(-4)/2*2 = 1，代入得f(1) = 2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。

B. 顶点坐标为(1, -2)，因为-b/2a = -6/2*(-3) = 1，代入得f(1) = -3*1^2 + 6*1 - 5 = -2。

3. 直线的斜率与截距直线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为斜率，b为y轴截距。

求下列直线的斜率和截距：A. 直线过点(1, 2)和(3, 6)B. 直线方程为2x - 3y + 1 = 0答案：A. 斜率m = (6-2)/(3-1) = 2，截距b = 2 - 2*1 = 0。

B. 将方程化为y = (2/3)x - 1/3，斜率m = 2/3，截距b = -1/3。

4. 圆的标准方程圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

写出下列圆的方程：A. 圆心在(2, -3)，半径为5B. 圆心在(-1, 4)，半径为3答案：A. 圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。