下载文档原格式
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时,函数大体上变化了多少,即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节 导数的概念1.1 导数概念的引入1。
1。
1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少？整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ,于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 1.1.2 平面曲线的切线斜率问题已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置,容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2—1如图2—1所示，取曲线C 上另外一点00(,)M x x y y +∆+∆，则割线0M M 的斜率为000()()tan M M f x x f x y k x x+∆-∆===∆∆ϕ． 当点M 沿曲线C 趋于0M 时,即当0x ∆→时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0M 的切线0M T ，此时割线的倾斜角ϕ趋于切线的倾斜角α，故切线的斜率为00000()()lim tan limlimx x x f x x f x yk x x∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ϕ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题,虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景,从数学角度看,却有着相同的数学形式,即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质—-导数．1。
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
5.2 课后习题详解习题5-1 定积分的概念与性质1．利用定积分定义计算由抛物线y ＝x 2＋1，两直线x ＝a 、x ＝b （b ＞a ）及x 轴所围成的图形的面积．解：因为函数f(x)＝x 2＋1在区间[a ，b]上连续，所以函数可积，为计算方便，不妨把[a ，b]分成n 等份，则分点为每个小区间长度为取ξi 为小区间的右端点x i ，则当n→∞时，上式极限为即为所求图形的面积．2．利用定积分定义计算下列积分：解：因为被积函数在积分区间上连续，所以把积分区间分成n等份，并取ξi为小区间的右端点，得到（1）（2）3．利用定积分的几何意义，证明下列等式：证：（1）根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y＝2x、x＝1及x轴围成的图形的面积，该图形是底边长为1、高为2的三角形，因此面积为1，即（2）根据定积分的几何意义，定积分表示的是由曲线以及x轴、y轴围成的在第I象限内的图形面积，即单位圆的四分之一的图形，因此有（3）因为函数y＝sinx在区间[0，π]上非负，在区间[－π，0]上非正．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y＝sinx（x∈[－π，0]）与x轴所围成的图形D2的面积，显然图形D1与D2的面积是相等的，所以有（4）因为函数y＝cosx在区间上非负．根据定积分的几何意义，定积分表示曲线与x轴和y轴所围成的图形D1的面积加上曲线与x轴和y轴所围成的图形D2的面积，而图形D1的面积和图形D2的面积显然相等，所以有4．利用定积分的几何意义，求下列积分：解：（1）根据定积分的几何意义，表示的是由直线y＝x，x＝t以及x轴所围成的直角三角形面积，该直角三角形的两条直角边的长均为t，因此面积为因此有（2）根据定积分的几何意义，表示的是由直线x＝－2，x＝4以及x轴所围成的梯形的面积，该梯形的两底长分别为梯形的高为4－（－2）＝6，因此面积为21．因此有（3）根据定积分的几何意义，表示的是由折线y＝|x|和直线x＝－1，x＝2以及x轴所围成的图形的面积．该图形由两个等腰直角三角形组成，一个由直线y＝－x，x＝－1和x轴所围成，其直角边长为1，面积为另一个由直线y＝x，x＝2和x轴所围成，其直角边长为2，面积为2．因此（4）根据定积分的几何意义，表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积，因此有5．设a＜b，问a、b取什么值时，积分取得最大值？解：根据定积分几何意义，表示的是由y＝x－x2，x＝a，x＝b，以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去x轴下方部分面积．因此如果下方部分面积为0，上方部分面积为最大时，的值最大，即当a＝0，b＝1时，积分取得最大值．6．已知试用抛物线法公式求出ln2的近似值（取n＝10，计算时取4位小数）．解：计算y i并列表表5-2-1按抛物线法公式，求得7．设求解：（1）（2）（3）（4）8．水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力．已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p＝9.8h（kN／m2）．若闸门高H＝3m，宽L＝2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P．解：在区间[0，3]上插入n－1个分点，取ξi∈[h i－1，h i]，并记Δh i＝h i－h i－1，得到闸门所受水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为因为被积函数连续，而连续函数是可积的，因此积分值与积分区间的分法和ξi的取法无关．为方便计算，对区间[0，3]进行n等分，并取ξi为小区间的端点所以。
高等数学辅导教材推荐高等数学是大学阶段的重要学科之一，对于理工科、经济学等专业的学生来说，它是必修课程。
好的辅导教材可以帮助学生更好地理解和掌握高等数学的概念和方法。
本文将为大家推荐几本适合高等数学辅导的教材。
一、《高等数学（上、下册）》（同济大学版）同济大学出版社的《高等数学》是一套经典的高等数学教材。
该教材从基础概念出发，逐步深入，内容结构合理，逻辑严谨。
它既包含了数学原理的讲解，又涵盖了大量的例题和习题，可以帮助学生巩固所学知识。
该教材通俗易懂，注重培养学生的实际运算能力，是高等数学学习的首选教材之一。
二、《高等数学导学与习题解析》（高等教育出版社）《高等数学导学与习题解析》是高等教育出版社出版的一本辅导教材。
该教材以导学方式呈现知识点，每个知识点都附带大量习题。
通过讲解和解题过程的详细分析，学生可以更清晰地理解和掌握数学概念和方法。
该教材注重思维方法的培养，凸显数学的应用，对于理解高等数学的思维逻辑起到了积极的辅助作用。
三、《高等数学分析习题解法详解》（清华大学出版社）清华大学出版社的《高等数学分析习题解法详解》是一本专门针对高等数学分析课程的辅导教材。
它选取了一些经典的高等数学分析习题，详细解析了解题的方法和技巧。
该教材旨在帮助学生更好地理解和运用高等数学分析的基本概念，强化学生的问题解决能力。
它的解题思路独特，注重方法的总结和推广，对于数学分析课程的学习具有较高的参考价值。
四、《高等数学习题精选与解析》（人民邮电出版社）《高等数学习题精选与解析》是人民邮电出版社出版的一本高等数学辅导教材。
该教材以习题为主线，选取了一些典型的难题，通过详细解析和分析，帮助学生理解习题的解题技巧和思路。
该教材的解析过程详细，习题数量较多，对于提高学生的解题能力和应对考试有一定的帮助。
以上是本文为大家推荐的几本适合高等数学辅导的教材。
需要强调的是，教材只是辅助学习的工具，学生在选择教材时应根据个人的学习特点和需求来进行选择。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
第四章 不定积分4.1 复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念（1）原函数①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．③注意两点a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．b ．若和都是的原函数，则()Fx ()x φ()f x（C 0为某个常数）（2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量．2．基本积分表3．不定积分的性质（1）性质1设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法1．第一类换元法设具有原函数,可导，则有换元公式()[()]()[()]u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]t x f x dx f t t dtψψψ-='=⎰⎰其中的反函数．三、分部积分法1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则.①“反对幂指三”定义“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】3．常见函数的不定积分四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）相关概念①有理函数 两个多项式的商称为有理函数．②有理分式 有理函数又称有理分式．③真分式 当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式．④假分式 当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，称这有理函数为假分式．（2）真分式的分解对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积且Q 1(x)与Q 2(x)没有公因式，则它可分拆成两个真分式之和。
第二章 导数与微分第一节 导数概念教材习题2--1答案（上册P91）1. 解:(1) 21110(1)(1)1022t g t g h V t t ⎛⎫⎛⎫+∆-+∆-- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭==∆∆=1102g g t --⋅∆.(2) 10,dhgt dt=-∴'111lim(10)10,t tt t V h gt g ==→==-=-(3) 2200001110(1)(1)1022t g t t gt h V t t ⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭==∆∆=01102gt g t --⋅∆.(4) 10,dhgt dt=-∴000lim(10)10.t t t t t t dh V gt gt dt==→==-=-2.解:2100(1)(1)10()201010lim lim x x x dy f x f x x dxx x=-∆→∆→-+∆--∆-⋅∆+-==∆∆ =0lim (1020)20.x x ∆→⋅∆-=-3.解:[]000()()lim lim lim .x x x a x x b ax b dy y a xa dx x xx ∆→∆→∆→+∆+-+∆∆====∆∆∆ 4.解:可导.令0()lim ,x f x a x →=0000()()(0)lim ()lim lim lim 00,x x x x f x f x f f x x x a x x→→→→====⋅='00()(0)()(0)limlim .0x x f x f f x f a x x→→-∴===- 5.解：(1)'34.y x =(2) '21'332.3y x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭(3) ' 1.60.61.6.y x x ==(4) ''13'221.2y x x --⎛⎫===- ⎪⎝⎭(5) ()'''23212.y x x x --⎛⎫===- ⎪⎝⎭(6) ('1611''5516.5y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(7) ''15'661.6y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 6.解：物体在t 时刻的运动速度为：'()()2(/),v t h t t m s ==(2)224(/)v ms ∴=⋅= 7.证：'00()()cos()cos (cos )limlim x x f x x f x x x xx x x∆→∆→+∆-+∆-===∆∆00sin2lim sin()limsin .22x x x x x x x∆→∆→∆∆-+=-∆# 则''1()sin ,()sin,662f x x f ππ=-=-=-'()sin 33f ππ=-= 8.证：''00()(0)()(0)(0)limlim (0),00x x f x f f x f f f x x →→---==-=---- (()())f x f x -=注： ''2(0)=0(0)=0.f f ∴，即#9.解：（1）y sin ,x = ∴0lim sin sin 00,x x →==所以y sin x =在0x =处连续.'00sin 0sin y (0)limlim ,0x x x x x x→→-==- '00sin sin y (0)lim lim 1,x x x x x x +++→→∴==='00sin sin y (0)lim lim 1,x x x x x x-+-→→-===-故'sin y (0)limx xx→=不存在,即y sin x =在0x =处不可导. （2）1sin0y ,00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴01lim sin0(0),x x y x→==所以函数在0x =处连续. '001sin 01y (0)lim limsin ,0x x x x x x →→-==- 该极限不存在, ∴1sin 0y 0x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不可导.（3）21sin 0y ,00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴201lim sin 0(0),x x y x →==所以函数在0x =处连续. 2'001sin 01y (0)lim lim sin 0,0x x x x x x x→→-===- 极限存在,∴1sin 0y 00x x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处可导.10.解：()''sin cos ,y x x == ''2321cos,cos 1,32x x y y ππππ====-==-∴s i ny x =在23x π=处的切线斜率为1,2-在x π=处的切线斜率为-1. 11.解：抛物线2y x =上的两点为(1,1),(3,9),过此两点的直线的斜率为：914,31k -==- 而()''22,yxx ==令24,x =得 2.x =∴抛物线2y x =上过点(2,4)的切线平行于此割线.12.解:显然点1(,)32π在曲线cos y x =上.'33sin 2x x yxππ===-=- ∴c o sy x =在点1(,)32π处切线的斜率为 在点1(,)32π处法线的斜率为:3∴cos y x =在点1(,)32π处切线的方程为：1--223y x π=（）. cos y x =在点1(,)32π处的法线方程为：1--233y x π=（）.13.解：设该物体在0t 时刻的角速度为0t ω.则0'0000()()lim ().t t t t t t tθθωθ∆→+∆-==∆ 14.解：该物体在t 时刻的变化速度为；'0()()()lim().t T t t T t V t T t t∆→+∆-==∆15.证：设00(,)x y 为双曲线2xy a =上任一点，则200,a y x = 过点00(,)x y 的切线斜率为：22'2(),x x a a xx ==-∴过点00(,)x y 的切线方程为： 20020(),a y y x x x -=--∴切线与两坐标轴所构成的三角形面积为：22001222.2a S x a x =⋅= 第二节 函数的和、积、商的求导法则教材习题2-2答案（上册P99） 1.解：（1）'2'2''34(3)(2)56.y x x x x-=-+=+（2）3'2'2'225()(2(22(24.2y x x x xx x =++=++=+ （3）()()'5'3357'4223(1)(1)523.2x x x x y x x x x --+-+==--（4）2'441,8 4.y x x y x =-+∴=-2.解：（1）'2'001()()().2v t h t v t gt v gt ==-=- （2）当物体达到最高点时速度为0，令()0,v t =即000.v v gt t g-=⇒=∴物体达到最高点的时刻为：.v g3.解：当0x =时，0,y =故所求的切线及法线均过原点.因为'2cos 2,y x x =+则切线斜率为'(0)2,y =法线斜率为1.2-所以切线及法线方程分别为:12,.2y x y x ==-4.解：令0y =即10x x -=得曲线1y x x =-与横轴的交点为(-1,0)和(1,0). '211,y x=+ 则点(-1,0)处切线的斜率为'(1)2,y -=点(1,0)处切线的斜率为'(1)2,y =∴过(-1,0)和(1,0)两点的切线方程分别为: 2(1),2(1).y x y x =+=- 5.解：设曲线32y x x =+-上点00(,)x y 处的切线与直线41y x =-平行. '231,y x =+ 则'200()31,y x x =+∴20031411x x +=⇒=-或,故曲线32y x x =+-上点(-1,-4)或(1,0)与直线41y x =-平行.6.证：(1) ()()()''''222cos sin sin cos cos 1cot csc sin sin sin x x x x x x x x x x -⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭. (2) ()()'''2sin 1cos csc csc cot .sin sin sin sin x x x x x x x x x ⎛⎫==-=-=-⋅ ⎪⋅⎝⎭7.解:(1) ()''22'2cos (cos )2cos sin .y x x x x x x xx =+=-（2）'''sin ).ρϕϕϕ==（3）()()''''2tan tan 2(sec )tan sec 2sec tan .y x x x x x x x x x x =+-=+-（4）()()''22'42cos cos 12cos (sin )x x x xx y x x x x-==-+ （5）'''3(sin )13cos .u v v v =-=- （6）()''10'9(10)1010ln10.x x y x x=+=+（7）()''22'2(31)(31)(54).x x x y exx e x x e x x =+++++=++（8）()'''(cos sin )(cos sin )(cos sin cos ).x xxy ex x x e x x x e x x x x x =+++=++（9）'()()()()()().y x b x c x c x a x a x b =--+--+-- （10）'2cot )cos (1csc )cot )sin .y x x x x x x x x =-++-8.解：（1）()()()()()()()()()'''22211111112.1111x x x x x x x y x x x x -+-+-+---⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+++，（2）()()()2'''1sin (1cos )1cos (1sin )1cos t t t t st ++-++=+ ()()22cos (1cos )sin (1sin )cos sin 1.1cos 1cos t t t t t t t t +++++==++（3）()()()()''222'2222csc (1)1csc csc cot (1)2csc 2211x x x xx x x x xy x x +-+-+-==++()2222csc cot (1)21x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=+.（4）()()()''22'232sin sin cos 2sin .x x x xx x xy x x --==（5）()()()()''533543'2233(2)22(5).22v v v v v v u vv----==--（6）()((()'''2cot 11cot 1x xy +-+==，()221csc cot .11x x+==-++（7）()()()'2'222221121.111x x x y x x x x x x +++⎛⎫==-=-⎪++⎝⎭++++，（8）'''y ==-，11== .（9）()''''2(tan csc )tan (csc )tan +sec csc cot .y x x x x x x x x x x x =-=-=+（10）()()'''2sin (1tan )(1tan )sin sin 1tan 1tan x x x x x x x x y x x +-+⎛⎫==- ⎪+⎝⎭+，()()22s i n c o s (1t a n )s i n s e c.1t a n x x x x x x x x ++-=+9.解:(1) ''(cos sin )cos2,y x x x == ''641cos 2,cos 20.624x x y y ππππ==∴=⋅==⋅=(2)'11(sin cos )sin cos ,22d d ρϕϕϕϕϕϕϕ=+=+41sin cos ).244442d d πϕρππππϕ=∴=+=+(3)()f t ==()()()()()'''21111()11tt t tf t t t -----∴==-- 故'41(4).18f =∴==-(4) ()()()''2'22532()3,5555x x x f x x x -⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭ ''317(0),(2).2515f f ∴== 第三节 反函数和复合函数的求导法则教材习题2-3答案（上册P107） 1.解：[][]'''''''()()(),(3)(3)(3)7(5)7.F x fg x g x F f g g f =∴===-[][]'''''''()()(),(3)(3)(3)2(5)248.G x g f x f x G gff g =∴==-=-⋅=- 2. 解: (1)()2''2'242()2(arctan ).11x xy x x x ===++(2)'''')arctan )y x x x x ==+=(3)''2arcsin (arcsin )y x x ==(4)'arcsin(ln )y x =(5) ()'2'224212.1(1)22x xy x x x -=-=+--+(6)'''1e y ex===+(7)''y ====(8) 'ar cc ar cc .y osx osx ==(9) ()''22221111.1111111x x x y x x x x x -+⎛⎫⎪--⎝⎭===-+++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭(10)()()'''2arcsin arccos arc s arcsin (arccos )x x co x x y x -=-=. (11) ()()'''22ln ln 2ln .y x x x x x x x =+=+(12) ()()()()()()'''221ln 1ln 1ln 1ln 2.1ln 1ln x x x x yx x x -+-+-==-++ 3.解: (1)()''445(31)3115(31).y x x x =++=+(2)''3()3.x xy e x e --=-=-(3) ''cos()()cos().s A t t A t ωϕωϕωωϕ=++=+(4) ''112()().n n b b nb by n a a a x x x x--⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭(5) 22'2'()2.x x y e x xe --=-=-(6) ''cos tan .cos x y x x==- (7) ''cos(2)(2)2cos(2)ln 2.xx xxy == (8) 'sin 'sin 2ln 2(sin )2cos ln 2.x x y x x ==(9) ''22sec (sec )2sec tan .y x x x x ==(10) '2'221111sc()sc .y c c x x x x=-=(11) ''1t y +⎛⎫ ⎪== (12) 2ln(1),ln x x y a ++= 2''22(1)21.(1)ln (1)ln x x x y x x a x x a +++∴==++++4.解(1) '2'22'tan sec ()sec 1tan 22222s .tan tan 2tan 2tan 2222x x x x x y c cx x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=====(2)''x y +===(3) 2'22'2'tan y x x ====-(4) ''y ==(5) ()'''2cos(2)cos(2)2cos(2)sin(2)(2).s a t t a t t t ωϕωϕωϕωϕωϕ=++=-+++2s i n 2(2)a t ωωϕ=-+ (6) '''(ln ln )(ln )1.ln ln ln ln ln ln ln ln x x s x x x x x x===⋅⋅⋅ (7) ()'''22sin 2sin 22cos 2sin 2.x x x x x x x y x x --==(8) ()'''sin()cos()()t ty e t et t ααωϕωϕωϕ--=++++[]i n ()c o s ()c o s ()i n ().tt tes t e t e t st ααααωϕωωϕωωϕαωϕ---=-+++=+-+(9) '22''22x x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭(10) ''ln ln 2ln 12ln 2()2ln 2.ln ln xxxxx x y x x-==⋅⋅(11) '22'4'224sec tan (tan )tan (tan )sec (1tan tan ).y x x x x x x x x =-+=-+(12) '22''tan sec sec 2x x xx y ⎛⎫ ⎪⎫===⎪⎭ 5.解：'22'''''()()f x g x y +===6.解：（1）2'22'2()()()2().dy d f x f x x x f x dx dx ===⋅ （2）2222((sin )(cos ))(sin )(cos )dy d d d f x f x f x f x dx dx dx dx=+=+ ()()'''2'2(sin )2sin sin (cos )2cos cos f x x x f x x x =+'2'2sin 2(sin )(cos ).x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦7.解：222''()()()2'2222()(),2x a x a x a D D D x a y x ee D ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==-=⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭令'()0,y x=即2()200.x a D x a x a --=⇒-=⇒=8.解：011()(),kt T t T T e T -=-+ ∴物体温度的变化速度为：'01()()(),kt v T t T T e k -==--即10().kt v k T T e -=-9.解：0(),kt m t m e -= ∴函数的变化率为：0().kt dm t km e dt-=- 10.解：当0x =时，(0) 1.y = '2'22,(0)2,xy e x y =+=∴ 过（0,1）点的法线方程的斜率为12-，法线方程：11(0),2y x -=--即220.x y +-=原点到法线的距离为：d ==第四节 高阶导数教材习题2-4答案（上册P112） 1. 解：（1）'''2114,4.y x y x x=+∴=- （2）'21'21''21(21)2,4.x x x y ex e y e ---=-=∴=（3）'''cos sin ,2sin cos .y x x x y x x x =-∴=--（4）'''cos sin ,2s .t t t y e t e t y e co t ---=-∴=- （5）2'''y y =∴=（6）13521'2''32221324,44,48.24y x xx y x x x y x x ------=++∴=--=++（7）()2'''22222(1),.11x x y y x x -+=∴=--- （8）'2''2sec ,2sec tan .y x y x x =∴= （9）()()23'''233336(21),.11x x x y y xx--=∴=++（10）'''22arctan 1,2(arctan ).1xy x x y x x=+∴=++ （11）22'''cos cos 2sin 2-sin 2ln ,2cos 2ln .x x x y x x y x x x x x =+∴=--- （12）2'''23(22),.x x x xe e e x x y y x x --+=∴= （13）222'2''22,2(32).x x x y e x e y xe x =+∴=+ （14）'''y y =∴=2.解： '5''4'''3'''36(10),30(10),120(10)(2)12012.y x y x y x y =+=+=+∴=⨯3.解：'2''''''22()()()()()(),()().()()()dy f x d y d dy d f x f x f x f x f x dx f x dx dx dx dx f x f x -=∴=== 4.解：由物体运动的规律sin s A t ω=得：物体运动的速度为：cos dsv A t dtωω==和加速度222sin .d sa A t dtωω==-下验证2220.d s s dtω+=左边=22sin sin 0A t A t ωωωω-+⋅==右边.5.解：由12x x y c e c e λλ-=+得: '''221212,,x x x x y c e c e y c e c e λλλλλλλλ--=-=+所以,左边=''2y y λ-=(2212x x c e c e λλλλ-+)212()x x c e c e λλλ--+=0=右边. 6.解：(1) ()()()00(1)21!.n n n yx n n n =++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅⋅=(2) ()()'''2''sin sin 2,sin 22cos 2,y x x y x x ====''''(2c o s 2)4s i n 2,y x x ==-所以,一般地得: ()12sin 2+.2n n y x π-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n-1） (3) ()()''''2312222221,,,11111x y y y x x x x x +-⋅⎛⎫==-+∴==-= ⎪+++⎝⎭++ ()'''4223,1y x ⋅⋅=-+所以,一般地得: ()()()12!1.1nn n n y x +⋅=-+(4) ()()()'11112'''11111,(1)1,m m m y x x y x mm m --⎡⎤=+=+=-+⎢⎥⎣⎦ 所以,一般地得:()1()111(1)(1)1.nn m yn x m m m-=-⋅⋅⋅-++ (5)由莱布尼兹公式得:()()()()1()01'l n (l n )(l n )00n n n n n n y x x c x x c x x -==⋅+⋅++⋅⋅⋅+()()1(l n )(l n ),n n x x n x -=⋅+'''''''231112(ln ),(ln ),(ln ),x x x x x x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭一般地得:()()()11!(ln )(1).n n nn x x --=-()()()()()()()()112()11!2!ln (ln )(ln )(1)(1)n n n n n n nn n n ny x x x x n x x x ------∴==⋅+=-+-()12!(1)(2).nn n n x --=-≥()()1ln 1,(1)=.2!(1)(2)n n n x n y n n x -+=⎧⎪∴⎨--≥⎪⎩第五节 隐函数的导数以及由参数方程所确定的函数的导数教材习题2-5答案（上册P122）1.解:(1)方程2290y xy -+=两边分别对x 求导得: 2220,d y d y yy x d x d x --=解得: .dy y dx y x=- (2) 方程3330x y axy +-=两边分别对x 求导得:2222333()0.dy dy dy ay x x y a y x dx dx dx y ax-+-+=⇒=-(3) 方程x y xy e +=两边分别对x 求导得:(1).x y x yx ydy dy dy e y y x e dx dx dx x e +++-+=+⇒=- (4) 方程1y y xe =-两边分别对x 求导得:.1y y y ydy dy dy e e xe dx dx dx xe=--⇒=-+ 2.解: 方程222333x y a +=两边分别对x 求导得: 1133.dyx y dx-=- ∴曲线上点44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为: 1.dydx ⎝⎭=-该点的切线方程为: 1(),44y x -=--即0.2x y +-= 该点的法线方程为: (),44y x -=-0.x y -= 3.解:(1) 方程sin()y x y =+两边分别对x 求导得:cos(),1cos()dy x y dx x y +=-+ 所以22cos()()1os()d y d x y dx dx c x y +=-+[][]2s i n ()(1)1o s ()c o s ()s i n ()(1),1c o s ()d y d yx y c x y x y x y d x d x x y -++-+-+++=-+把cos()1cos()dy x y dx x y +=-+代入即得[]232sin().os()1d y x y dx c x y +=+- (2) 方程221x y -=两边分别对x 求导得:,dy xdx y=所以222(),dyy xd y d dy d x dx dx dx dx dx y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭将dy x dx y=代入即得2222233()1.xy x d y y x ydx y y y---=== 4.解：（1）方程1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取以e 为底的对数得：ln ln ,1x y x x =+ 两边分别对x 求导得：'''111ln ln .11111xx x x x x y x y y x x x x x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）方程()cot 2tan 2xy x =两边取以e 为底的对数得：ln cotln tan 2,2xy x = 两边分别对x 求导'22cot112csc ln tan 22sec 222tan 2xx y x x y x=-+⇒cot2'2(tan 2)(csc ln tan 28cot csc 4).222x x x xy x x ⇒=-- （3）方程y =e 为底的对数得：211ln ln(5)ln(2)55y x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦， 两边分别对x 求导整理得：2'426252531010.25(2)x x y x ++=-+（x-5（4）方程y =两边取以e 为底的对数 得：1l nl n (2)4l n (3)5l n (1)2y x x x =++--+，两边分别对x 求导整理得：4'5)145.(1)2(2)31x y x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++-+⎣⎦5.解：（1）由2223332,3,.22dyx at dx dy dy bt bt dt at bt dt dt dx at a y btdt⎧=⇒==⇒===⎨=⎩ （2）由(1sin )1sin cos ,cos sin cos x dx dyy d d θθθθθθθθθθθθ=-⎧⇒=--=-⎨=⎩cos sin .1sin cos dy dy d dx dx d θθθθθθθθ-⇒==--6.解：（1）由sin (sin +cos ,cos sin ,cos t t ttx e t dx dy e t t e t t dt dt y e t ⎧=⇒=+=-⇒⎨=⎩）（） sin +cos cos sin dydy t tdt dx dx t t dt==-. 所以，33sin +cos 2cos sin t t dy t t dxt tππ====--7.解:(1)当 4t π=时,曲线上对应的点为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,2sin 24sin ,cos dydy t dt t dx dxt dt-===-44s i n 24t dy dxππ=∴=-=-⎫⎪⎪⎝⎭的切线斜率. 则切线方程为:0(),2y x -=--即20,y +-=法线方程为0(42y x -=-410.y --=(2) 当 0t =时,曲线上对应的点为()2,1,2,22t tt dydy e e dt dx dx e dt---===-12t dy dx =∴=-为过点()2,1的切线斜率. 则切线方程为: 11(2),2y x -=-- 即240,x y +-=法线方程为12(2),y x -=-即230.x y --=8.解：（1）由2,1,21t x dx dy t dt dt y t⎧=⎪⇒==-⎨⎪=-⎩1,dy dy dt dx dx t dt⇒==- 222311111()()().d y d d y d d y d t d dx dx dx dx dt dx dx dt t t t t dt⇒===-== （2）由cos sin ,cos ,sin x a t dx dya tb t y b tdt dt =⎧⇒=-=⎨=⎩cos cot ,sin dy b t b t dx a t a ⇒==-- 22231()()(cot ).sin d y d dy d dy dt d b bt dx dx dx dx dt dx dx dt a a t dt⇒===-=- 9.解：（1）由sin (sin +cos ,cos sin ,cos t t ttx e t dx dy e t t e t t dt dt y e t ⎧=⇒==-⇒⎨=⎩）（） 22cos sin sin +cos dydy t t d y d dy d dy dtdt dx dx t t dx dx dx dt dx dxdt-⎛⎫⎛⎫==⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin +cos d dy dt d t t dxdt dx dx dt t t dt-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23212,(cos sin )(sin +cos )(cos sin )t t t t e t t e t t --==++则 左边222()d y x y dx =+=2322(sin cos ),(cos sin )cos sin t t t t e e t e t e t t t t --+=++ 右边=cos sin 22()2(sin cos )sin +cos cos sin t tt dy t t e x y e t e t dx t t t t---=-=+， 左边=右边第六节 变化率问题举例及相关变化率教材习题2-6答案（上册P130）1. 解：速度函数是位置函数的导数.由于32() 1.5,s f t t t t ==+-所以速度2()33 1.dsv t t t dt==+-当()5v t =时,即233151(0).t t t t +-=⇒=> 2.解:由题意得: 3sin ,x θ=则33cos 3cos1.5(/).3dx dx m rad d d πθπθθθ==⇒==3.解:设细棒AB 上任意一点M 处的坐标为,x 质量为(),m m x =则2(0),m kx k =>为比例系数因为当2l =时8,m =即2822k k =⋅⇒=,所以22(0).m x k =>为比例系数故细棒AB 上任意一点M 处的密度为4(/).dmx g cm dx = 4.解:由21000(1)50(1)(040),4040t dV tV t dt =-⇒=--≤≤所以 5550(1)43.75(/m i n )40t dV L dt ==--=-(负号表示容器内的水在减少), 101050(1)37.5(/min)40t dV L dt ==--=-, 202050(1)25(/min)40t dV L dt ==--=- . 5.解:(1)由()2(sin cos ),sin cos sin cos W dF W F d μμθμθμθθθμθθ-=⇒=++ (2)令0,dF d θ=即 ()2(s i n c o s )0t a n t a n .s i n c o s W a r c μθμθθμθμμθθ-=⇒=⇒=+ 6.解:由2.c dv cpv c v p dp p=⇒=⇒=- 7.解:由22111.()fq dp f p f p q q f dq q f =+⇒=⇒=--- 8.解:由2150.020.040.04.t dm dmm t t dt dt==-⇒=-⇒=-9.解:(1) 由2'()420 1.50.002() 1.50.004C x x x C x x =++⇒=+得:'(100)1.90,C =(101)(100) 1.C C -≈(2) 由23'2()200030.010.0002()30.020.0006C x x x x C x x x =+++⇒=++得:'(100)11,C =(101)(100)11.07C C -≈10.解: 由3432D V π⎛⎫= ⎪⎝⎭=36D V π= (其中V 为雪球体积, D 为雪球直径),两边对间t 求导得:22dV D dDdt dtπ=,当1,10dV D dt ==时, dD dt =211.450dV dt D ππ=11.解：设飞机与雷达站的距离为S ，则经过时间t 后，S =，则6dS dt =，又两者相距4km时的时间1000t =，则t dS dt =.12.解：解：记12:00整时0.t =设经过时间t 后两船相距S ，则S =则dSdt=，经过4个小时即16：00时472013t dS dt==13.解：设圆锥形容器中溶液的深度为h ，溶液表面的半径为r ，则h ，r 都是时间t 的函数。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
