爱提分几何风筝模型

专题02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①BCD A B D ；②AB AD BC CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12（∠A +∠C ）。

条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12（∠D-∠B ）。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．A．19 B．20例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，AB AC BC ，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D .求证：（1）AB AC AD BC ；（2）AB AC AP BP CP . AB D CP 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC 与A 、B 、C 之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点60A ，则ABX ACX ；②如图o 3，ABE 、ACE 的2等分线（即角平分线）CF 相交于点F ，若60BAC ，130BEC ，求BFC 的度数；模型2、风筝模型（鹰爪模型）图1图21）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A +∠O =∠1+∠2；2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A +∠O=∠2-∠1。

风筝模型和梯形蝴蝶定理知识框架板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)例题精讲【例 1】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC =？B【巩固】在△ABC中DCBD=2:1,ECAE=1:3，求OEOB=?【例 2】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【巩固】如右上图，已知BO=2DO，CO=5AO，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD的面积。

【例 3】如图，边长为1的正方形ABCD中，2BE EC=，CF FD=，求三角形AEG的面积．AB CDEFG 【巩固】如图，长方形ABCD中，:2:3BE EC=，:1:2DF FC=，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．AB CDEFG【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．OM NCBA【巩固】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE 的面积是 。

目录目录 (1)模型一——《等积变换》 (2)一、知识点梳理 (2)二、例题精讲 (3)三、自我提升 (5)四、答案与解析 (7)模型二——《一半模型》 (11)一、知识点梳理 (11)二、例题精讲 (13)三、自我提升 (15)四、答案与解析 (16)模型三——《鸟头（共角）模型》 (19)一、知识点梳理 (19)二、例题精讲 (20)三、自我提升 (22)四、答案与解析 (24)模型四——《蝴蝶模型》 (25)一、知识点梳理 (25)二、例题精讲 (26)模型五——《沙漏模型》 (32)一、知识点梳理 (32)二、例题精讲 (32)三、自我提升 (35)四、答案与解析 (36)模型六——《燕尾模型》 (38)一、知识点梳理 (38)二、例题精讲 (39)三、自我提升 (41)四、答案与解析 (43)模块七——《长、正方体、圆柱、圆锥》 (45)一、知识点梳理 (45)二、例题精讲 (46)三、自我提升 (48)四、自我提升答案 (50)模型八——《圆、扇形》 (52)一、知识点梳理 (52)二、例题精讲 (53)三、自我提升 (55)四、答案与解析 (57)模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升四、答案与解析模型二——《一半模型》一、知识点梳理一半模型其实是等积变换模型的延伸，只是将三角形和平行四边形进行了整合与综合考查，但是学生往往遇到此类题目之后很难想到用等积变换，所以我们专门提炼出一半模型，帮助学生加深此部分知识点的理解，提高应用能力。

21b a ba ⨯⨯====⨯=∆∆∆∆BCP S BCD S BCF S BCE S ABCD S 口 平行四边形同理不规则图形ba 21b2b1a 21b2a 21b1a 21b2a 21b1a 21ba ⨯=+⨯=⨯⨯+⨯=+=⨯⨯=⨯=⨯=∆∆∆∆）（阴影；口BCE S ADE S BCE S ADE S ABCD S 拓展图形（比例应用）ba 41b2b1a 41b2221b1221b2221b1221b41b 221⨯=+⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯==∆∆∆∆∆）（阴影；右图：左图：阴影a a BEG S AFG S aBEG S a AFG S a a BFE S常见图形的认识二、例题精讲例1如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．例2如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？例3如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．例4图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．A BG CEFDHGFEDCBAGFED CBA例5正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？例6如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积例7 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．E BA KEBA三、自我提升1、右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．2、如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．3、长方形ABCD 的面积是2011平方厘米．梯形AFGE 的顶点F 在BC 上，D 是腰EG 的中点．试求梯形AFGE 的面积．G4AB CDEF A B C D E FG H4、已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．5、右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．6、如图，正方形ABCG 和正方形FCDE 并排放置，BE 与FC 相交于点H ，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是_________________平方厘米？ 四、答案与解析1、【分析】如图所示，连接AD ，则BC 平行AD ，三角形ABC 和三角形BCD 等底等高，因此三角形ABCJIHGA BCD EF HG F E D C B A的面积就等于小正方形的面积的一半，据此即可得解．解：据分析可知：4×4÷2=8（平方厘米）；答：三角形ABC的面积是8平方厘米．2、【分析】方法一：如图所示，连接AF和BD，则AF平行BD，三角形FAD与三角形FAB等底等高，即面积相同。

风筝模型定理公式
风筝模型定理是一种数学原理，用于描述风筝在飞行过程中所受到的力和力矩的关系。

这个定理可以帮助我们更好地理解和设计风筝。

风筝模型定理的基本公式是：
Fd = Fw + Fg + Fl + Fp
其中，Fd表示风筝所受到的总力，Fw表示风的力，Fg表示重力，Fl 表示升力，Fp表示阻力。

风的力(Fw)是指风对风筝产生的推动力，它的大小和方向取决于风的速度和风筝的面积。

当风的速度增加或者风筝的面积增大时，风的力也会增大。

重力(Fg)是指地球对风筝产生的吸引力，它的大小取决于风筝的质量。

重力始终指向地球的中心，与风筝的飞行方向无关。

升力(Fl)是指风筝产生的垂直向上的力，它的大小取决于风筝的形状和风的速度。

当风筝在飞行过程中，风的流动会产生压力差，从而产生升力。

阻力(Fp)是指风筝在飞行过程中受到的阻碍力，它的大小取决于风筝的形状和风的速度。

阻力的方向与风的方向相反，它会限制风筝的飞行速度。

根据风筝模型定理，我们可以通过调整风筝的形状、重量以及选择合适的风速来控制风筝的飞行。

如果我们希望风筝飞得更高，我们可以增加风筝的升力或者减小风筝的重量。

如果我们希望风筝飞行更稳定，我们可以调整风筝的形状来减小阻力。

风筝模型定理不仅可以应用于风筝的设计和飞行，还可以在其他领域中找到类似的应用。

例如，它可以用于描述飞机、直升机等飞行器的飞行原理，以及某些物体在流体中的运动等。

总之，风筝模型定理是一个重要的数学原理，它可以帮助我们深入理解风筝的飞行原理，并为我们设计和控制风筝提供指导。

板块一 风筝模型：（又叫任意四边形模型）S 4S 3S 2S 1O DC BA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO baS 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)知识框架风筝模型和梯形蝴蝶定理【例 1】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？76EDCBA76【巩固】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA【例 2】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC ？321GDCBA【巩固】 在△ABC 中DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OEOB=? 例题精讲【例 3】 如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BA【巩固】 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．A B【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGF EDC BA【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

K12-小学数学思维拓展-风筝模型
风筝模型是小升初数学几何图形部分的常考题。

小升初数学考试中的几何图形部分有几个重要模型：等高模型、鸟头模型、风筝模型、燕尾定理和相似三角形模型这5个模型。

其中等高模型和风筝模型可能是小升初数学最常考题。

为什么小升初数学常考风筝模型呢？主要是风筝模型涉及到的比例计算正好和六年级的比例部分相对应，并且属于奥数中比较简单的内容，难度适中，非常适合小升初考试。

概念详解：如左图，四边形
ABCD形如一个简单的风
筝，O点是对角线AC和
BD的交点。

根据同底等高
的基本原则，例如SΔAOD与
SΔAOB的比就是底边长度的
比DO/BO，可以得出结论
如红字。

例题分析：
例题1 如右图所示，四边形ABCD中，AC与BD相交于
O点；OA、OB、OC、OD的长度分别为1、2、3、4.求：
(1) S1：S2= S4：S3=
(2) SΔADB：SΔCDB= SΔADC：SΔABC=
难度系数**
例题2 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于O 点，三角形ABO的面积等于10厘米，三角形AOD的面积
等于5平方厘米，三角形DOC的面积等于2平方厘米，
求三角形DOC的面积等于多少？
难度系数**
拓展
例题3 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC,BD,相交于O点，若S△AOB=4，S△COD=9求：
四边形ABCE面积S△ABCD最小值= ？
难度系数***
例题4 如图所示，正方形ABCD的边长为4厘米，E、F分别为AB、BC的中点，求
（1） EG:GC =
（2）求四边形AEGD的面积
难度系数****。

几何风筝模型原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊几何风筝模型原理。

你看那风筝，在天空中飘啊飘的，多自由啊！其实这几何风筝模型原理就跟风筝很像呢。

想象一下，风筝的骨架就像是几何中的线条，把各个部分连接起来，让风筝有了形状。

咱这几何风筝模型里，那些线条和角度可是有着大讲究的。

就好像放风筝的时候，线的长短、角度不一样，风筝飞的状态也不同。

这模型里的线条和角度决定了整个结构的稳定性和灵活性。

比如说吧，要是线条的长度不合适，那整个模型不就歪七扭八的啦？这就好比风筝的一边线长一边线短，那还怎么飞得稳呢。

再说说角度，角度要是不对，那模型看起来就会很别扭呀，就像风筝的骨架歪了，还能好看吗？
而且啊，这几何风筝模型原理在生活中也有很多应用呢！你想想看，那些漂亮的建筑，它们的结构不也得符合一定的几何原理吗？那可不就是一个大大的几何风筝模型嘛！还有那些精美的艺术品，不也是通过巧妙的线条和角度组合而成的。

咱平时做事儿也可以借鉴这原理呀。

做事要有条理，就像风筝的骨架一样，把各个方面都安排得妥妥当当的。

角度呢，就代表着我们看事情的不同视角，多换换角度，也许就能发现不一样的风景呢！
这几何风筝模型原理就像是一个隐藏在生活中的小秘密，等着我们去发现，去运用。

它能让我们的生活变得更加有序，更加有趣。

所以啊，别小看了这看似简单的几何风筝模型原理，它里面蕴含的智慧可多着呢！它就像一个无声的老师，默默地教给我们很多东西。

让我们一起好好利用它，让我们的生活像那高飞的风筝一样，自由自在，精彩无限！。

风筝形的面积公式
风筝形是一种特殊的四边形，其特点是具有两条垂直相交的对角线。

这种特殊的结构使得风筝形在面积计算上具有一定的便利性。

根据几何学原理，我们知道一个多边形的面积可以通过其底和高来计算。

但对于风筝形这种特殊的四边形，我们有一个更为简洁的面积计算公式。

首先，我们需要理解风筝形的对角线性质。

由于对角线互相垂直并且相交于中心点，我们可以将风筝形分为四个直角三角形。

这四个三角形共享一个共同的底和高，即风筝形的对角线。

基于这个观察，我们可以推导出风筝形的面积公式。

由于每个三角形的面积是1/2底×高，而风筝形由四个这样的三角形组成，所以其总面积是2倍的单个三角形面积。

因此，风筝形的面积公式为：面积= (1/2) ×对角线1 ×对角线2。

这里的对角线1和2是风筝形的两条垂直对角线。

这个公式基于几何学中的分割法，通过将复杂的四边形划分为简单的三角形，从而简化了面积的计算过程。

在实际应用中，这个公式为我们提供了一个快速、准确的方法来计算风筝形的面积，无论其形状如何复杂。

总结来说，风筝形的面积公式是基于其特殊结构和对角线性质推导出来的。

通过将风筝形划分为四个三角形，我们得到了一个简洁的公式来计算其面积。

这个公式不仅在数学领域有应用价值，在实际生活中，例如在解决土地测量、建筑规划等问题时也具有广泛的应用。