高等数学B资料：习题课(6)

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,,,||.,||,|,(2)0x ax x a x a x axa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→>===∀>=<<<-<=-<<∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===- 101100100101001010.(12)lim (0)./,(13)lim (0)0, , .(14)x m m m mnn n x n nmm m n nx n x x a x a x a a b b x b x b b a b m n a x a x a a b n mb xb x b m n--→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩= 1.=00222220(15)()5lim(1)55lim .3(1)(16)0,l xx x x x x xx x x a →→→→=++=++==++>00imlim lim x a x a x a →+→+→+⎫=⎫=+00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎛⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)lim lim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=- 利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fax xe eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin3322.(4)lim arctan arctan lim arctan1.114xxx xex xπ→∞→∞====++()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝ 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭ 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解3330322332220002.,:(1);(2)0;(3)sin 5.()(1)lim(33)limlim (33)3.(2)lim limlim x x x xx x y ax y p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax x y ∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'===根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x xx x xy xxx x x x x x x →→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆ 5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R Rg r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x xy e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+= in cos ).x x + 00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim xx x x x x x x x x xx f x e x x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:sin111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx x xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x xx x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x aππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-2222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa x y a y a a a a a xx a y x x x y x x y y x x x xa y '=>=='=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=--'===-++= 求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=+===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+=+++++ '=⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=+===-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+ 11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+ 2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin 811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ=+'=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos )2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→ 当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dxy y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x-1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-= 求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使 当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

习题三1．填空（1）设f x x x x x ()()(),()=-⋅0ϕϕ在点x 0连续)( 0x f = .答案：)(0x ϕ（2）设f x x x ()||=⋅,则f '(0)= . 答案：0（3）设f x ()在点a 可导,则af x x ([lim +∞→)2x +)](a f -=___________. 答案：)(2a f '（4）曲线y xx =+31在点(,)22处的切线方程为 ，法线方程为 .答案：083 043=-+=+-y x y x（5）设f x x x x x n ()()()()=---12 ,则f '(0)=_____ .答案：!.)1(n n - （6）曲线x y y 236=-在点(,)-22处切线的斜率k =答案：32（7）设z x y x=+()2,则∂∂z x = ∂∂z y =. ．答案：1)2](2)2ln().2[(-++++=∂∂x y x x y x y x x z1)2(-+=∂∂x y x x x z（8）设z z x y =(,)由方程e xyz z-=0所确定,则∂∂zx = .答案：xy e bz x z z-=∂∂（9）设z xf xy e x=(,),则∂∂z x = . ∂∂z y = .答案：1221 ,f x x zf e f y f x z x '=∂∂'+'+=∂∂（10）设z arctgx yx y =+-,则dz = .答案：dy y x xdx y x y dz 2222+++-=（11）设u e xyz =,则∂∂22u x = ∂∂22u y =答案：xyz e ze y x u 2222=∂∂, xyz e z x xyz u 222=∂1．选择题（1）下列各极限均存在,则( )式成立.a ．lim()()'()∆∆∆x f x f x x x f x →-+=0000 b lim ()()'()∆∆∆x f x f x x x f x →--=0000c lim()()'()∆∆∆x f x x f x x f x →--=0000 d lim ()()'()∆∆∆x f x x f x x f x →+-=00002答案：b（2）设{f x xe x x x x()=>≤02,则f x ()在x =0处( )a 连续b 可导c 可微d 连续,不可导 答案：a,d（3）设f x x ()sin =,则f f x '[()]=( ) a sinsin x b cossin x c sincos x d coscos x 答案 b （4）设f x x ()=-1,则函数f x ()在x =1处( )a 连续b 不可导c 可导d 不连续答案：a,b （5）设f x ex()=-1,则lim'()'()∆∆∆x f x f x →--=22( )a 116e b -116e c 316e d -316e答案：c（6）设f t ()可导,且y f e x=(),则dy =( )a dy f e dx x='() b dy f e de x x='() c -dy f e de x x =⋅[()]' d dy f e e dx x x='()答案：b,d（7）设f （x ，y ）在点（a ，b ）处偏导数存在，则有lim(,)(,)x f a x b f a x b x →+--0=（ ）a ．0b .'f a b x (,)2 c. 'f a b x (,) d. 2'f a b x (,)答案：d（8）函数z=),(y x f 在点(,)x y 00处有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）a.必要条件b.充分条件c.充分不必要条件d.既非充分条件又非必要条件答案：a（9）设),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数，则下述结论正确的是( )a.∂∂∂∂∂∂22f x y fy x =b.),(y x f 在D 内连续c. ),(y x f 在D 内可微d.a,b,c,结论都不对 答案：d（10）设z=z (x,y)是由方程F y x z x (,)=0所确定.则x z xy z y ∂∂∂∂+=（ ） a.-z b. z c.-x d.x答案：b（11）函数f x y xy x y (,)()=+-221的极值点是（ ）a.（1，0）b.（0，1）c.（1212,）d.（1212,-）答案：a,b3．设f x ()在x 0可导,求（1）lim()()h f x h f x h →--0002 （2）lim()()h f x h f x h h →+--000αβ解：（1）原式=000(2)()(2)lim2h f x h f x h→---=-(2)-)(0'x f 。

《高等数学(Ⅱ)》B 类练习题答案一、单项选择题1—5：CCCCC 6—10：BBCCA 11—15：AAABD二、填空题1、xy e yz x z z -=∂∂ ，xy e xz y z z -=∂∂ ；2、yzxy z y z z x z x z 2+=∂∂+=∂∂， ； 3、）（）（，）（）（xyz xysin 1xyz xzsin 1y z xyz xysin 1xyz yzsin 1x z -+=∂∂-+=∂∂ ； 4、dz x ylnx dy x zlnx dx yz.x du yz yz 1yz ⋅⋅+⋅⋅+=- ； 5、dy -dx dz -= ； 6、dy 12dx 41-2dz +-=），（ 7、()⎰⎰313ydx y x f dy ， ； 8、⎰⎰y-2y10dx y x f dy），（ ；9、⎰⎰2x x1dy y x f dx ），（ ； 10、）（）（2yx 121e 1y +=+- ； 11、1x y 22+= ； 12、1y x 5y 325=-；三、判断题1--5：对 对 对 错 错 6—10：对 对 错 对 对 11—15：对 错 对 对 对四、计算题1、求下列函数的偏导数（1）、22232232()2 (2) (3)()2(2)(6)xy xy xy xy xy xy ze y x y e x xe yx y x ze x x y e y ye x xy y ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++分分（2）、(3)(6)x y x y x y x y x y x y z e e x e z e e y e ++++++∂=∂=∂=∂=分分（3）、222222222222222222212ln(12[ln()](3)2ln(2ln( (6)z x xx y x y y x y x x y y x y z x x y x y y y y x y x x x y x y y ∂=⋅+⋅∂+=++∂=-⋅+⋅∂+=-++)+)+分)+)分（4）22222212ln ()2ln(3)12ln(6)x y y z x x y x x y x yx x xy z y x y x y '=⋅+⋅-+=-'=⋅+⋅+（）分+（）分（5）22221[sin()]2 (3)1[sin()]22 (6)x y z x y z x y y'=-+='=-+⋅=分分（6）22221cos()22(3)1cos()2(6)xyz x y xz x y'=+⋅='=+=分分（7）2222221ln1(ln) (3)12ln1(2ln) (6) x y x yxx yx y x yyx yz e xy exe xyxz e xy eye xyy++++++'=⋅+⋅=+'=⋅⋅+⋅=+分分（8）22222222222222222ln()2[ln()] (3)2ln()2[ln()] (6) xy xyxxyxy xyyxyxz e y x y ex yxe y x yx yyz e x x y ex yye x x yx y'=⋅⋅++⋅+=+++'=⋅⋅++⋅+=+++分分（9）sin 2cos 22 22cos 2)(3)sin 2cos 22 22cos 2) (6x y z xy xy yxy y xy z xy xy xxy x xy '=+⋅=+'=+⋅⋅=+分)分（10）2222222222222222sin()cos()2 [sin()2cos()] (3)sin()cos()2 [sin()2cos()](xy xy x xy xy xy y xy z e y x y e x y x e y x y x x y z e x x y e x y y e x x y y x y '=⋅⋅++⋅+⋅=+++'=⋅⋅++⋅+⋅=+++分6)分2、求下列函数的全微分 （1）222222222222222 (2(3)2 (2(5)(2x y x y x y x y x y xy xy z e x e y x ez ey e x ye dz e +++++++∂=⋅∂=∂=⋅∂=∴=分分22(2(6)x y dx e dy ++分（2）2222222222242233()2 (2)(3)2()2 2()(5)xy xy xy xy x xy xy ze y x y e x xe x y y x z e xy x y e y ye x y xy y dz e ∂=⋅⋅++⋅∂=++∂=⋅⋅++⋅∂=++∴=分分2222433(2)2()(6)y xy x y y x dx e x y xy y dy +++++分（3）2221ln (1ln )(3)11 ln ()1 (ln 1)(5)1(1ln )(ln 1)z y x y x x y x xy xx y z x y y x y x yxx y y x xdz dx dy x y x y ∂=-⋅⋅∂=-∂=⋅⋅-∂=-∴=-+-+分+分(6)分（4）22211ln ()1 (ln 1)(3)1 ln (1ln )(5)1(ln 1)(1ln)z y x x y x y xyyx z x y xy y x y yx yy x y x ydz dx dy yx y x ∂=⋅⋅-∂=-∂=-⋅⋅∂=-∴=-+-+分+分(6)分（5）sin (3)sin 2(5)2)x y z z ydz dx ydy '=-='=-==+分分(6)分（6）2(3)(5)) (6) xyz xzdz xdx dy'=='===+分分分（7）1ln1) (3)1ln()1) (5)1)xyxzy xxy xxzy yxy yx xdz dxy x'=+⋅=+'=+⋅-=-=++分分1)(6)dyy y-分（8）221ln1(ln(3)()ln(5)1(x xy yxxyx xy yyxyx xy yz e eyeyxz e eyxeydz e dx ey'=⋅⋅='=⋅-⋅==+分分2ln(6xdyy-分（9）22221sin + cos ()(3)1(sin cos )1()sin + cos1(cos sin )(5)x xyy x x yx xyy y x yy y yz e e y x x x y y ye y x x xx y y z e e y x x x y x ye x x y xd '=⋅⋅⋅⋅-=-'=⋅-⋅⋅⋅=⋅-分分2211(sin cos )(cos sin )(6)x xyy y y y y x yz e dx e dy y x x x x x y x=-+⋅-分（10）3、计算下列二重积分 （1）解：D 的图形(略)，{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰--=--=xx D dy y x dx dxdy y x I 2)2(21)2(2110……2分⎰++-=1432)412147(x x x x 12011=……2分 （2）解： D 的图形为: (略){}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰==xx Dxydy dx xydxdy I 21……2分⎰-=153)(21dx x x ……1分241=……1分 （3） 解：D 的图形为: (略){}1,11),(≤≤≤≤-=y x x y x D ……2分⎰⎰-=Dd y x y I σ)(22⎰⎰-=-12211)(xdy y x y dx ……2分⎰---=1122)1(41dx x 154-=……2分（4）解：D 的图形为: (略)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=y x y y y x D 1,21),(……2分 ⎰⎰Dd y x σ22⎰⎰=21122yydx y x dy ……2分 ⎰-=215)313(dy y y ……1分6427=……1分（5）解：⎰⎰⎰⎰-++==210222x y x D y x dy edxdxdy eI ……2分⎰-=22)(dx e e x ……2分2=……2分（6）解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,10),(πy x y x D ……2分 ⎰⎰⎰⎰=2212sin sin πσydy x dx yd xD……2分⎰=12dx x 31=……2分 （7） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x dx d y x 22)sin()sin(ππσ……2分⎰=2cos πxdx ……1分1=……1分（8） 解：⎰⎰⎰⎰=11dx ye dy d ye xyDxyσ……2分 ⎰-=1)1(dy e y ……2分2-=e ……2分（9） 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=x y x y x D 20,20),(ππ……2分⎰⎰⎰⎰-+=+xDdy y x x dx d y x x 22)sin()sin(ππσ……1分⎰⎰=+-=-2220cos )cos(πππxdx x dx y x x x……1分12-=π……2分（10） 解：{}x y x x y x D ≤≤≤≤=2,10),(……2分⎰⎰⎰⎰+=+xx Ddy y x xy dx y x xy 2)()(10……2分⎰⎰+--=+=146710322)652131()3121(2dx x x x dx xy y x x x ……1分 563=……1分4、求下列微分方程的通解（1）解：方程变形为23)(3)(1xy x y dxdy +=令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得2331u u dx du x u +=+……2分 分离变量得x dxdu u u =-32213……1分两边积分得13ln ln )12ln(21C x u +=--……2分 微分方程的解为：Cx x y =-332……1分（2）解：方程变形为1)(2-=xy x y dx dy令x y u =，则ux y =，dxdux u dx dy +=，代入方程中得12-=+u u dx du x u ……2分分离变量得xdxdu u =-)11(……1分 两边积分得1ln ln C x u u +=-……2分 微分方程的解为：C xyy +=ln ……1分（3）解：方程变形为)ln 1(xy x y dx dy += 令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得)ln 1(u u dxdu x u +=+……2分分离变量得xdxu u du =ln ……1分 两边积分得1ln )ln(ln C x u +=……2分 微分方程的解为：Cx e xy=……1分（4）解：方程变形为3)(1xx ydx dy +=令x y u =，则ux y =，dx dux u dx dy +=，代入方程中得31u u dx du x u +=+……2分分离变量得xdxu du u =+-43)1(……1分 两边积分得143ln ln 31C x u u+=-……2分 微分方程的解为：333yx Ce y =……1分（5）解：原方程变为：1sin 1222+-=++x x y x x dx dy ()122+=x x x p ，()1sin 2+-=x xx q()()⎰⎰+=+=1ln 1222x dx x xdx x p()()()x dx x dx e x x dx e x q x dxx p cos sin 1sin 1ln 22=-=+-=⎰⎰⎰⎰+所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()()c x x c x ex ++=++-cos 11cos 21ln 2 （c 为任意常数） （6）解：原方程变为：x x y x y 122+=-' ()x x p 2-= , ()xx x q 12+=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx xdx x p ()()⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-23ln 2211112x x dx x dx e x x dx ex q x dxx p所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =2121232ln 2-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cx x c x x ex （c 为任意常数）（7）解：()xx p 1-= , ()x x q ln =()⎰⎰-=-=x dx x dx x p ln 1()()()()2ln ln ln 2ln x dx x x dx e x dx e x q x dx x p ===⎰⎰⎰⎰- 所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dx x p dx x p =()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c x x c x e x2ln 2ln 22ln （c 为任意常数） （8）解：原方程变为：x e x y xy 32=-' ()xx p 2-= , ()x e x x q 3=()⎰⎰-=-=2ln 2x dx x dx x p()()⎰⎰⎰-===⎰-x x x x x dxx p e xe dx xe dx e e x dx e x q 2ln 3所以 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x q e y dxx p dx x p =()()c e xe x c e xe e x x x x x +-=+-2ln 2（c 为任意常数）（9）解：两边积分，得⎰+-=='12ln 2ln 2c x x x xdx y两边再积分，得()dx c x x x y ⎰+-=12ln 2212223ln c x c x x x ++-= （1c ，2c 为任意常数）（10）解：两边积分，得()11cos sin sin 1cos c x x x x c x x xd dx x x y +++=++=+='⎰⎰两边再积分，得()21212sin 2cos cos sin c x c x x x x dx c x x x x y ++++-=+++=⎰（1c ，2c 为任意常数）五、应用题1、 求下列函数的极值 （1）解： 解：⎩⎨⎧=-+==++=012012y x f y x f yx解得驻点(-1,1). ……………4分 又,2,1,2======yy xy xx f C f B f A ……………7分0032>>=-A B AC 且，故0)1,1(=-f 是极小值. ……………10分（2） 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=01230622''y f x f y x 解得驻点(3,2)，(3, -2). ……………4分又 y f f f yy xy xx 6,0,2''''''==-= ……………6分关于驻点(3,2)有，,12,0,2==-=C B A,0242<-=-B AC 故函数在点(3,2)没有极值。

高等数学习题课材料习题课一一、多项选择题1．若函数f(x,y)在点(x?,y?)处不连续，则(c)（a） Limf（x，y）必须不存在；（b） f（x？，y？）必须不存在；x?x?y?y?（c）f(x,y)在点(x?,y?)必不可微；（d）fx(x?,y?)、fy(x?,y?)必不存在。

2．考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：①函数f(x,y)在点(x?,y?)处连续；② 点（x？y？）处的函数f（x，y）两个连续偏导数；③ 点（x？y？）处的函数f （x，y）可微；④函数f(x,y)在点(x?,y?)处两个偏导数存在。

则下面结论正确的是（a）（a）②? ③? ①；（b）③? ②? ①；（c）③? ④? ①； d）③? ①? ④。

x2y,x2y203．设函数f(x,y)??x4?y2，则在(0,0)点处（c）22 0，x？Y0（a）存在连续偏导数；（b）不存在连续的偏导数；（c）存在不连续的偏导数；（d）不连续的，偏导数不存在。

解决方案：拿y？十、∵2x?0y?x?02limf(x,y)?lim1??f(0,0)?0,十、0x4？X42x4‡f（0,0）在点（0,0）处不连续，而FX（0,0）？fy（0,0）？因此，选择（c）4。

放你鸽子？那么YZ？ux（3,2,2）？（c）y（a）4ln3；（b）8ln3；（c）324ln3；（d）162ln3。

一5．若函数f(x,y)在区域d内具有二阶偏导数：2f？2f？2f？2F，然后（d）22？十、Y十、YY十、2f？2F（a）强制性；（b） F （x，y）在D中必须是连续的；？？十、YYX（c）f（X，y）在D中必须是可微的；（d）以上结论都不正确。

二、填空题1.z？1f（xy）？Y（x？y）、f、？偏导数x？那是2Z？yf？？（xy）（x？y）？Y（x？y）？十、Y解决方案：z1y2f(xy)f(xy)y(xy)，?xxx?2z11??f?(xy)?f?(xy)?yf??(xy)(x?y)?y? (x?y)?x?yxx?yf(xy)?(x?y)?y?(x?y)。

北大版高等数学课后习题答案完整版习题 1.11. 证明 3为无理数. 证若 3不是无理数,则 3 p p2 , p, q为互素自然数.32 , p 2 3q 2 .3除尽p 2 , q q必除尽p, 否则p 3k , 1或p 3k , 2. p 2 9k 2 , 6k , 1, p 2 9k 2 ,12k , 4,3除 p 2 将余1.故p 3k ,9k 2 3q 2 , q 2 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 2. p是正的素数, 证明p是无理数. 设证设 p a a2 , a, b为互素自然数,则p 2 , a 2 pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a pk . p k pb , pk b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.(1)若x 0, 则 , x , 1 , x 3, 2 x 3. 解下列不等式 : (1) | x | , | x ,1| 3.\;(2) | x 2 , 3 | 2. 解,2, x ,1, (,1, 0); 若0 x 1, 则x , 1 , x 3,1 3, (0,1); 若x 1, 则x , x , 1 3, x 3 / 2, (1,3 / 2). X (,1, 0) (0,1) (1,3 / 2). (2) , 2 x 2 , 3 2,1 x 2 5,1 | x |2 5,1| x | 5, x (1, 5) ( , 5, ,1). 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a , b | |a | , |b |;(2)设 | a , b | 1, 证明 | a | | b | ,1. 设证(1) | a | | a ,b , (,b) | | a , b | , | ,b | | a , b | , | b |,| a , b | | a | , | b | .(2) | a| | b , (a , b) | | b | , | a , b | | b | ,1. 5. 解下列不等式: (1) | x , 6 | 0.1;(2) | x , a | l. 解(1)x , 6 0.1或x , 6 ,0.1.x ,5.9或x ,6.1.X (, , ,6.1) (,5.9, , ). (2)若l 0, X (a , l , , ) (, , a , l ); 若l 0, x a; 若l 0, X (, , , ). a ,1 6. a 1, 证明0 n a , 1 若 , 其中n a b 1.a , 1 n a , 1 ( n a , 1)(b n ,1 , b n , 2 , , 1) n为自然数. n 证若a 1, 显然n( n a , 1). 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 设证取自然数n 满足1/10nb , a.考虑有理数集合 m A=An { n | m Z}. 若An (a, b) , 则A B C , B A {x | x b}, 10 C A {x | x a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 , 1) /10 n C , b , a m0 /10n -(m0 , 1) /10n =1/10 n ,此与n的选取矛盾. 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 设证取自然数n 满足1/10n b , a.考虑无理数集合An { 2 , m | m Z}. 以下仿8题. 10nn习题 1.2-1-13.证明函数y 1 , x , x在(1, , )内是有界函数. ( 1 , x , x )( 1 , x , x ) 1 1 ( x 1). 1, x , x 1,x , x 2 ,1 x6 , x4 , x2 13.研究函数y 在(, , , )内是否有界. 1 , x6x6 , x4 , x2 x 6 , x 4 , x 2 3x 6 解 | x | 1时, 3,| x | 1时, 6 3, 1 , x6 1 , x6 x | y | y 3, x (, , , ). 证y 1 , x , x习题 1.41.直接用 - 说法证明下列各极限等式: (1) limx axa ( a 0); (2) lim x 2 a 2 ; (3) lim e x e a ; (4) lim cos x cos a.x a x a x a证(1), 0, 要使 | 只需x,| x-a| | x-a| | x-a| a | ,由于 , x, a x, a a x a.| x,a| ,| x , a | a .取 a , 则当 | x , a | 时,| x , a | , 故 lim x a a 2 2 (2), 0, 不妨设 | x , a | 1.要使 | x , a | | x , a || x , a | ,由于| x , a | | x , a | , | 2a | 1, |2a |, 只需(1, | 2a |) | x , a | ,| x , a | | x 2 , a 2 | , 故 lim x2 a 2 .x a1, | 2a |.取 min{ ,1}, 则当 | x , a | 时, 1, | 2a |(3) , 0, 设x a.要使 | e x , e a | e a (e x , a , 1) , 即0 (e x , a , 1)ea,1 e x , a 1 ,ea,0 x , a ln 1 , a , 取 min{ ,1}, 则当0 x , a 时,| e x , e a |, e 1, | 2a | 故 lim e x e a . 类似证 lim e x e a . lim e x e a . 故x a , x a , x ax,a x,a x,a x,a (4) 0, 要使 | cos x , cos a | 2 sin , sin 2 sin sin | x , a |, 2 2 2 2 取, 则当|x , a | 时,| cos x , cos a | , 故 lim cos x cos a.x a2.设 lim f ( x) l , 证明存在a的一个空心邻域( a , , a) ( a, a , ),使得函数u f ( x)在x a该邻域内使有界函数. 证对于 1, 存在 0, 使得当 0 | x - a | 时,| f( x ) , l | 1, 从而 | f ( x) | | f ( x) , l , l | | f ( x) , l | , | l | 1, | l | M . 3. 求下列极限 : (1) limx 0(1 , x ) 2 , 1 2x , x2 x lim lim(1 , ) 1. x 0 x 0 2x 2x 22x x 2 sin 2 sin 2 1 , cos x 2 1 lim 12 1 . (2) lim lim 1 x 0 x 0 x x2 x2 2 x 0 2 2 2 (3) limx 0x,a , xalimx 0x x( x , a ,a)1 ( a 0).2 ax2 , x , 2 2 x2 , 2 x , 3 x2 , x , 2 (5) lim x 0 2 x 2 , 2 x , 3 (4) limx 1,2 . ,3 ,2 . ,3-2-(6) lim(2 x , 3) 20 (2 x , 2)10 230 30 1. x (2 x , 1)30 2x 0(7) lim1, x , 1, x 2x lim 1. x 0 x ( 1 , x , 1 , x ) x3 x2 , x , 1 , 3 x2 , x , 2 1 (8) lim , 3 lim lim x ,1 x , 1 x , 1x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) ( x , 1)( x , 2) ( x , 2) ,3 lim lim 2 ,1. 2 x ,1 ( x , 1)( x , x ,1) x ,1 ( x , x , 1) 3 (9) limx 41, 2x , 3 ( 1 , 2 x , 3)( x , 2)( 1 , 2 x , 3) lim x 4 x ,2 ( x ,2)( x , 2)( 1 , 2 x , 3)lim(2 x , 8)( x , 2) 2 4 4 . x 4 ( x , 4)( 1 , 2 x , 3) 6 3n nn(n , 1) 2 y , , yn x,1 (1 , y ) , 1 2 (10) lim lim lim n. x 1 x , 1 y 0 y 0 y y 2 (11) lim x 2 , 1 , x 2 , 1 lim 0. x x x2 , 1 , x2 ,1 a x m , a x m ,1 , , am a (12) lim 0 n 1 n ,1 (bn 0) m . x0 b x , b x , , bn bn 0 1 ny ,,,a0 / b0 , m n a0 x m , a1 x m ,1 , , am (13) lim (a0 0 0) 0, b n m x b x n , b x n ,1 , , b 0 1 n , m n. x4 , 8 1 , 8 / x4 (14) lim 2 lim 1. x x , 1 x 1 , 1/ x 23(15) limx 01 , 3x , 3 1 ,2 x x , x22 2limx 0( 3 1 , 3 x , 3 1 , 2 x )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) ( x , x 2 )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x ,3 1 , 2 x ) 5x2 2 2 2limx 0x(1 , x)( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 5 5 lim . 22 x 0 (1 , x)(3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 3 (16) a 0, lim x , a , x,a x2 , a2x a , 0x, a 1 lim , 2 2 x a , 0 x,a x ,a( x , a )( x , a ) 1 lim x , a x , a( x , a) , x , a x a ,0-3-( x , a) 1 lim , x a , 0 x,a x , a x , a( x , a) x,a 1 1 lim x , a( x , a ) ,x , a 2a . x a , 0sin x 1 4.利用lim 1及 lim 1 , e求下列极限: x x x x sin x sinx (1) lim lim lim cos x . x 0 tan x x 0 sin x x 0 sin(2 x 2 ) sin(2x 2 ) 2x2 lim lim 1 0 0 x x 0 x 0 3 x 3x 2x2 tan 3 x , sin 2 x tan 3 xsin 2 x 3 2 1 (3) lim lim , lim , . x 0 x 0 sin 5 x x 0 sin 5 x sin 5 x5 5 5 x x (4) lim lim 2.x 0 , 1 , cos x x 0 , x 2 sin 2 x,a x,a cos sin sin x , sin a 2 2cos a. (5) lim lim x a x a x,ax,a 2 (2) lim k (6) lim 1 , x x,x xk lim 1 , x xx (,k ) kx k k lim 1 , x x ,5,ke, k .(7) lim(1 , 5 y )1/ y lim(1 , 5 y )1/(5 y ) e ,5 . y 0 y 0 1 11 (8) lim 1 , lim 1 , lim 1 , e. x x x xx x 5.给出lim f ( x) , 及 lim f ( x) , 的严格定义.x x a x , x ,100 100lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当0 | x - a | 时f ( x)A.x a x ,lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当x , 时f ( x) , A.习题 1.5-4-1.试用 , 说法证明 (1) 1 , x 2 在x 0连续 (2) sin 5 x在任意一点x a连续. 证(1), 0, 要使 | 1 , x 2 , 1 , 02 | x2 1, x ,12.由于x2 1, x ,12x 2 , 只需x 2 ,| x | , 取 , 则当 | x | 时有 | 1 , x 2 , 1 , 0 2 | , 故 1 , x 2 在x0连续. (2)(1), 0, 要使 | sin 5 x , sin 5a | 2 | cos 由于2 | cos 5x , 5a 5( x , a ) || sin |. 2 25 x , 5a 5( x , a) || sin | 5 | x , a |, 只需5 | x , a | ,| x , a | , 2 2 5取 , 则当 | x , a | 时有 | sin 5 x , sin 5a | , 故 sin 5 x在任意一点x a连续. 5 2.设y f ( x)在x0处连续且f ( x0 ) 0, 证明存在 0使得当 | x , x0 | 时f ( x) 0. 证由于f ( x)在x0处连续, 对于 f ( x0 ) / 2, 存在存在 0使得当 | x , x0 | 时 f ( x) , f ( x0 ) | f ( x0 ) / 2, 于是f ( x) f( x0 ) , f ( x0 ) / 2 f ( x0 ) / 2 0. 3.设f ( x)在(a, b)上连续, 证明 |f ( x) | 在( a, b)上也连续, 并且问其逆命题是否成立 ? 证任取 x0 (a, b), f 在x0连续.任给 0, 存在 0使得当 | x , x0 | 时 | f ( x) , f ( x0 ) | , 此时 || f ( x) | , | f ( x0 ) || | f ( x) , f ( x0 ) | , 故 | f | 在x0连续.其逆命题 1, x是有理数不真, 例如f ( x) 处处不连续, 但是|f ( x) | 1处处连续. ,1, x是无理数 4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 1 , x 2 , x 0, ln(1 , x), x 1, (1) f ( x) (2) f ( x) x 0;a arccos x, x 1. a , x 解(1) lim f ( x) lim 1 , x 2 1 f (0), lim f ( x) f (0)a 1.x 0 , x 0, x 0,(2) lim f ( x) lim ln(1 , x) ln 2 f (1), lim f ( x) lim a arccosx ,a f (1) ln 2,x 1, x 1, x 1, x 1,a , ln 2. 5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限 : (1) lim cosx ,1, x , x 1, x , x cos lim cos 0 1. x , x x 2 2.lim sin 2 x 2(2) lim xx 2 x 0x(3) lim e sin 3 x e x 0 sin 3 x e 3 . (4) lim arctanxsin 2 xx4 , 8 x4 , 8 arctan lim 2 arctan1 . 2 x x , 1 x ,1 4-5-(5) lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | xx 3| x |3 3 lim . lim 2 2 2 2 x x 2 x ,1 , x , 2 1 , 1/ x , 1 , 2 / x 6.设 lim f ( x) a 0, lim g ( x) b, 证明 lim) f ( x) g ( x ) a b .x x0 x x0 x x0证 lim) f ( x) g ( x ) lim)e(ln f ( x )) g ( x ) e x x0x x0 x x0lim [(ln f ( x )) g ( x )]eb ln a a b .7.指出下列函数的间断点及其类型, 若是可去间断点, 请修改函数在该点的函数值, 使之称为连续函数: (1) f ( x) cos ( x , [ x]), 间断点n Z,第一类间断点. (2) f ( x) sgn(sin x), 间断点n , n Z, 第一类间断点. x 2 , x 1, (3) f ( x) 间断点x 1, 第一类间断点. 1/ 2, x 1. x 2 , 1, 0 x 1 (4)f ( x) 间断点x 1, 第二类间断点. ,1 x 2, sin x ,1 1 2 , x , 0 x 1, (5) f ( x) x,1 x2, 间断点x 2, 第一类间断点. 1 , 2 x 3. 1 , x8.设y f ( x)在R上是连续函数, 而y g ( x)在R上有定义, 但在一点x0处间断. 问函数h( x) f ( x) , g ( x)及 ( x) f ( x) g ( x)在x0点是否一定间断? 解h( x) f ( x) , g ( x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续, g ( x) ( f ( x) , g ( x)) , f ( x)将在x0点连续,矛盾.而( x) f ( x) g ( x)在x0点未必间断.例如f ( x) 0, g ( x) D( x).习题 1.6-6-1.证明 : 任一奇数次实系数多项式至少有一实根. 证设P ( x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则 lim P ( x) , ,x , x ,lim P ( x) , , 存在A, B, A B, P ( A) 0, P ( B ) 0, P在[ A, B]连续,根据连续函数的中间值定理, 存在x0 ( A, B), 使得P ( x0 ) 0. 2.设0 1, 证明对于任意一个y0 R, 方程y0 x , sin x有解, 且解是唯一的. 证令f ( x) x , sin x, f ( , | y0 | ,1) , | y0 | ,1 , , | y0 | y0 , f (| y0 | ,1) | y0 | ,1 , |y0 | y0 , f 在[, | y0 | ,1,| y0 | ,1]连续,由中间值定理, 存在 x0 [, | y0 | ,1,| y0 | ,1], f ( x0 ) y0 .设x2 x1 , f( x2 ) , f ( x1 ) x2 , x1 , (sin x2 , sin x1 ) x2 , x1 , | x2 , x1 | 0, 故解唯一. 3.设f ( x)在(a, b)连续, 又设x1 , x2 (a,b), m1 0, m2 0, 证明存在 (a, b)使得 f ( ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) . m1 , m2 m1 f ( x1 ) , m2 f ( x1 ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) m1 f ( x2 ) , m2 f ( x2 ) f ( x2 ), m1 , m2 m1 , m2m1 , m2证如果f ( x1 ) f ( x2 ), 取 x1即可.设f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x1 ) 在[ x1 , x2 ]上利用连续函数的中间值定理即可. 4.设y f ( x)在[0,1]上连续且0 f ( x)1, ,x [0,1].证明在存在一点t [0,1]使得 f (t ) t. 证g (t ) f (t ) ,t , g (0) f (0) 0, g (1) f (1) , 1 0.如果有一个等号成立, 取t为0 或1.如果等号都不成立, 则由连续函数的中间值定理, 存在t (0,1), 使得g (t ) 0, 即f (t ) t. 5.设y f ( x)在[0, 2]上连续, 且f(0) f (2).证明在[0, 2]存在两点x1与x2 , 使得 | x1 , x2 | 1, 且f( x1 ) f ( x2 ). 证令g ( x)f ( x , 1) , f ( x), x [0,1].g (0) f (1) , f (0), g (1) f (2) , f(1) f (0), f (1) , g (0).如果g (0) 0, 则 f (1) f (0), 取x1 0, x2 1.如果g (0) 0, 则g (0), g(1)异号,由连续函数的中间值定理, 存在 (0,1)使得g ( ) f ( , 1) , f ( ) 0, 取x1, x2 , 1.第一章总练习题-7-1.求解下列不等式 : 5x , 8 () 12. 3 | 5x , 8 | 14 2 解 2. | 5 x , 8| 6,5 x , 8 6或5 x , 8,6, x 或x . 3 5 5 2 (2) x , 3 3, 5 2 解 , 3 x , 3 3, 0 x 15. 5 (3) | x , 1| | x , 2 | 1 解( x , 1) 2 ( x , 2) 2 , 2 x , 1 ,4 x , 4, x . 2 2.y 2 x , | 2 , x |, 试将x表示成y的函数. 设1 解当x 2时, y x , 2, y 4, x y , 2;当x 2时, y 3x , 2, y 4, x ( y ,2). 3 y , 2, y 4 x 1 3 ( y , 2), y 4. 1 3.求出满足不等式 1 , x 1 , x的全部x. 2 解x ,1.2 1 , x x , 2, 4(1 , x) x 2 , 4 x , 4, x 2 0.x ,1, x 0. 4.用数学归纳法证明下列等式 : 1 23 n n,2 (1) , 2 , 3 , , n 2 , n . 2 2 2 2 2 1, 2 1 证当n 1时,2- 1 , 等式成立.设等式对于n成立,则 2 2 1 2 3 n ,1 1 2 3 n n ,1 , 2 , 3 , , n ,1 , 2 , 3 , , n ,n ,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n , 2 n ,1 2n , 4 , (n ,1) (n , 1) , 3 2 , n , n ,1 2 , 2, , n ,1 2 2 2 2n ,1 即等式对于n , 1也成立.故等式对于任意正整数皆成立. (2)1 , 2 x , 3 x , , nx2 n ,11 , (n , 1) x n , nx n ,1 ( x 1). (1 , x) 21 , (1 , 1) x n , 1x1,1 (1 , x)2 证当n 1时, 1, 等式成立. (1 , x) 2 (1 , x) 2 设等式对于n成立,则 1 , 2 x , 3 x 2 , , nx n ,1 , (n , 1) x n 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (n , 1) x n 2 (1 , x)-8-1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , x)2 (n , 1) x n (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , 2 x , x 2 )( n , 1) x n (1 , x) 21 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n ,2 x n ,1 , x n , 2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n , 2 x n ,1 , x n ,2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 2) x n ,1 , (n , 1) x n , 2 , (1 , x) 2即等式对于n , 1成立.由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5.设f ( x) | 2 , x | , | x | ,2 x (1)求f (,4), f (,1), f (,2), f (2)的值; (2)将f ( x)表成分段函数; (3)当x 0时f ( x)是否有极限: (4)当x ,2时是否有极限? 解(1) f (,4) 2,4,2 1 ,1 , 2 ,2 , 2 4,2,2 ,1, f (,1) 2, f (,2) 2, f (2)0. ,4 ,1 ,2 2 ,4 / x, x ,2; (2) f ( x) 2, ,2 x 0; 0, x 0. (3)无因为lim f( x) 2, lim f ( x) 0 lim f ( x). .x 0 , x 0, x 0,(4)有. lim f ( x)lim ( ,4 / x) 2, lim f ( x) lim 2 2 lim f ( x), lim f ( x) 2.x ,2 , x ,2 , x ,2 , 2 x ,2 , x ,2 , x ,26.设f ( x) [ x , 14], 即f ( x)是不超过x , 14的最大整数.23 (1)求f (0), f , f ( 2)的值; 2 (2) f ( x)在x 0处是否连续 ? (3) f ( x)在x2处是否连续 ? 1 3 9 解(1) f (0) [ ,14] ,14, f , 14 ,6 ,,7. f ( 2) [ ,12] ,12. 4 2 4 (2)连续因为 lim f ( x) lim[ y , 14] ,14f (0). .x 0 y 0 ,(3)不连续因为 lim f ( x) ,12, lim f ( x) ,11. .x 2 , x 2 ,7.设两常数a, b满足0 a b, 对一切自然数n, 证明 : (1) b n ,1 , a n ,1b n ,1 , a n ,1 (n , 1)b n ;(2)( n , 1) a n . b,a b,a-9-证b n ,1 , a n ,1 (b , a )(b n , b n ,1a , , a n ) b n , b n ,1b , , b n (n , 1)b n , b,a b,a b n ,1 , a n ,1类似有 (n , 1)a n . b,an n ,11 1 8.对n 1, 2,3, , 令an 1 , , bn 1 , . n n 证明 : 序列{an }单调上升, 而序列{bn }单调下降,并且.an bn . 证令a = 1 , 1 1 , n n ,11 1 , b 1 , , 则由7题中的不等式, n ,1 nn ,11 , 1 , n ,1 1 1 , n n ,1 1 , 1 , n ,1n1 (n , 1) 1 , , n 1 1 (n , 1) 1 , n n(n , 1)n ,1 nn1 1 , n 1 1 , nn ,1n ,1n ,11 1 1 , 1 , 1 , n n n ,1n ,1,1 1 1 , 1 , n n ,1n.n ,1 n ,11 1 n 1 , , 1 , 1 n n ,1 (n , 1) 1 , 1 1 n ,1 , n n ,11 1 1 (n , 1) 1 , 1 , n , 1 n(n , 1) n 1 1 1 1 ,1 , n ,1 n nn n n ,1 n n ,11 , 1 , n ,1n ,1n ,11 , 1 , n ,1n ,11 1 1 1 1 , ,1, 1 , n ,1 n n ,1 n2.1 1 1 我们证明 , 1 , 1 , . n n ,1 n ,1 1 12 1 ,1, 1, , n n ,1 n , 1 (n , 1) 2 1 1.最后不等式显然成立. n(n , 1) (n , 1) 2 1 1 当n 时, 1 , e, 1 ,n n9.求极限- 10 n n ,11 1 e, 故 1 , e 1 , n nnn ,1.1 1 1 1 lim 1 ,2 1 , 2 1 , 21 ,2 n 234 n 1 1 1 1 解 1 , 21 ,2 1 , 2 1 , 2 234 n 1 3 2 4 35 n n ,1 1 n ,1 1(n ). 2 2 3 34 4 n n n 2 2 nx 10.作函数f ( x) lim 2 ( a 0)的图形.n nx , a 0, x 0; nx 解f ( x) lim 2 n nx , a 1/ x, x 0.11.在 ? 关于有界函数的定义下, 证明函数f ( x)在区间[ a, b]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [a, b]. 证设存在常数M 1 , N 使得M1 f ( x)N , ,x [a, b], 取M max{| M 1 |,| N |} , 1, 则有 | f ( x) | M , ,x [ a, b]. 反之, 若存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [ a, b], 则 , M f ( x) M , ,x [a, b]. 12.证明 :若函数y f ( x)及y g ( x)在[a, b]上均为有界函数, 则f ( x) , g ( x )及f ( x ) g ( x ) 也都是[a, b]上的有界函数. 证存在M 1 , M 2 ,| f ( x) | M 1 ,| g ( x) | M 2 , ,x [ a, b]. | f ( x) , g ( x)| | f ( x) | , | g ( x) | M 1 , M 2 , | f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) | M 1M 2 , ,x [ a, b]. 13.证明 : f ( x) 1 cos 在x 0的任一邻域内都是无界的, 但当x 0时f ( x )不是无穷大量.x x 1 1 证任取一个邻域(, , ), 0和M 0, 取正整数n, 满足和n M , 则f ( ) n M , n n 1 故f ( x)在(, , )无界.但是xn 0, f ( xn ) (2n , 1/2) cos(2n , 1/ 2) 0 , 2n , 1/ 2 故当x 0时f ( x )不是无穷大量.- 11 -14.证明 lim n( x n , 1) ln x( x 0).n 1 1 ln x 证令x , 1 yn , 则 ln x ln(1 , y ), n .lim yn lim x n , 1 0. n nln(1 , y ) n 1 n1ln(1 , y ) 注意到 lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1, y 0 y 0 y 0 y1 1我们有n( x n , 1)1yn ln x ln x(n ). ln(1 , yn )15.设f ( x)及g ( x)在实轴上有定义且连续.证明 : 若f ( x)与g ( x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等. 证任取一个无理数x0 , 取有理数序列xn x0 , f ( x0 ) lim f ( xn ) lim g ( xn ) g ( x0 ).n n16.证明 lim1 , cos x 1 . x 0 x2 2 2sin 2x 2 2 2 lim 2sin y 1 lim sin y 1 2 1 . 1 y 0 x2 4 y2 2 y 0 y2 2 x,a x ln(1 , y ) e ,e 17.证明 : (1) lim 1;(2) lim ea . y 0 x 0 y x 1 , cos x 证 lim lim x 0 x 0 x2 ln(1 , y ) 证(1) lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1. y 0 y 0 y0 y1 1e x , a , ea e a (e x , 1) ex ,1 a y 1 lim e a lim e lim ea x 0 x 0 x 0 y 0 ln(1 , y ) ln(1 , y ) x x x lim y 0 y 1 ea ea . 1 18.设y f ( x)在a点附近有定义且有极限 lim f ( x) 0, 又设y g ( x)在a点附近有 (2) limx a定义,且是有界函数.证明 lim f ( x) g ( x) 0.x a证设 | g ( x) | M , 0 | x , a | 0 .对于任意 0, 存在 1 0, 使得当0 | x , a |1时 | f ( x) | / M .令 min{ 1 , 0 }, 则0 | x , a | 时,| f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) |MM , 故 lim f ( x) g ( x) 0.x a19.设y f ( x)在(, , , )中连续, 又设c为正的常数, 定义g ( x)如下 f ( x) 当 | f ( x) | c g ( x ) c 当f ( x) c ,c 当f ( x) ,c 试画出g ( x)的略图, 并证明 g ( x)在(, , , )上连续.- 12 -证(一)若 | f ( x0 ) | c, 则存在 0 0, 当 | x , x0 | 0时|f(x)|&lt;c,g(x)=f(x),x x0lim g ( x) lim f ( x) f ( x0 ) g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则存在 0 0,当 | x , x0 | 0时f ( x) c,g(x)=c,x x0lim g ( x) lim c c g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则g ( x0 ) c.对于任意 0, 不妨设 c, 存在 0, 使得当 |x , x0 | 时 | f ( x) , c | .设 | x , x0 | .若f ( x) c, 则g ( x) f( x),| g ( x) , g ( x0 ) | | f ( x) , c | , 若f ( x) c, 则g ( x) c,| g ( x) - g ( x0 ) | 0 . 证(二)利用g ( x)min{ f ( x), c} , max{ f ( x), ,c} , f ( x). max{ f1 ( x), f 2 ( x)} (| f1 ( x) , f 2 ( x) | , f1 ( x) , f 2( x)) / 2. min{ f1 ( x), f 2 ( x)} (, | f1 ( x) , f 2 ( x) | ,( f1 ( x) , f 2 ( x)) / 2. 1 20.设f ( x)在[a, b]上连续, 又设 [ f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )], 3 其中x1 , x2 , x3 [a, b].证明存在一点c [a, b], 使得f (c) . 证若f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ), 则 f ( x1 ), 取c x1即可. 否则设f ( x1 ) min{ f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x3 ) min{ f( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x1 )f ( x3 ), f 在[ x1 , x3 ]连续, 根据连续函数的中间值定理, 存在一点c [a, b], 使得f (c). 21.设 y f ( x)在点x0连续而g ( x)在点x0附近有定义, 但在x0不连续问kf ( x) , l g( x ) 是否在x0连续, 其中k , l为常数. 解如果l 0,kf( x) , l g( x)在x0连续;如果l 0,kf ( x) , l g( x )在x0不连续,因否则 g ( x) [[kf ( x) , lg( x)] , kf ( x)] / l 将在x0连续. 22.证明Dirichlet函数处处不连续. 证任意取x0 .取有理数列xn x0 , 则D( xn ) 1; 取无理数列xn x0 , 则D( xn ) 0; 故 lim D( x)不存在, D( x)在x0不连续.x x023.求下列极限: 1 1, x (1) lim 0;(2) xlim (arctan x) sin 0 0; x 1 ,2 x , x 2 tan 5 x tan 5 x / x 5 (3) lim lim 5. 2 2 2 x 0 ln(1 , x ) , sin x x 0x[[ln(1 , x )] / x ] , sinx / x 1| x|(4) lim( x )x 11 x ,1lim(1 , y )1/ y e.y 024.设函数y f ( x)在[0, , )内连续, 且满足0 f ( x) x.设a1 0是一任意数, 并假定 a2 f (a1 ), a3 f (a2 ), , 一般地an ,1 f (an ).试证明{an }单调递减, 且极限 lim an 存在.n若l lim an , 则l是方程f ( x) x的根,即f (l ) l.n证an ,1 f (an ) an ,{an }单调递减.又an ,1 f (an ) 0(n 1, 2, ),{an }单调递减有下界,- 13 -故an有极限.设l lim an , 则l lim an ,1 lim f (an ) f (lim an ) f(l ).n n n n25.设函数y E ( x)在(, , , )内有定义且处处连续, 并且满足下列条件 : E (0) 1, E (1)e, E ( x , y ) E ( x) E ( y ). 证明E ( x) e x (,x (, , , )). 证用数学归纳法易得E ( x1 ,, xn ) E ( x1 ) E ( xn ).于是E (nx) E ( x) n . 设n是正整数, 则E (n) E (1 , , 1) E (1) n e n . 1 E (0) E (n , (, n)) E ( n) E ( , n) e n E ( , n), E ( ,n) e , n .于对于任意整数 E ( n) e n .1 1 1 1 1 对于任意整数n, E (1) E (n ) E (n) E ( ) e n E ( ), E ( ) e n . n n nn m 1 m 1 1 n E ( ) E (m ) E ( ) e e n .即对于所有有理数r , E (r ) e r . n n n 对于无理数x, 取有理数列xn x,由E ( x)的连续性, m mE ( x) lim E ( xn ) lim e xn e n (e x的连续性) e x .n nlim xn习题 2.11.设一物质细杆的长为l , 其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点O, 杆所在直线为x轴设从左端点到 . . 细杆上任一点x之间那一段的质量为m( x) 2 x 2 (0 x l ) (1)给自变量x一个增量 x, 求的相应增量 m; m ,问它的物理意义是什么? x m (3)求极限 lim ,问它的物理意义是什么? x 0 x (2)求比值解(1) m 2( x , x) 2 , 2 x 2 2( x 2 , 2 x x , x 2 ) , 2 x 2 2(2 x x , x 2 ). m 2(2x x , x 2 ) m 2(2 x , x). 是x到x , x那段细杆的平均线密度. x x x m m (3) lim lim 2(2 x , x) 4 x. lim 是细杆在点x的线密度. x 0 x x 0 x0 x (2)- 14 -2.根据定义, 求下列函数的导函数 : (1) y ax3 ;(2) y 2 px , p 0;(3) y sin 5 x. 解(1) y lim a( x , x)3 , ax3 x 0 x 3 2 ( x , 3x x , 3x x 2 , x 3 ) , x 3 a lim a lim(3x 2 , 3x x , x 2 ) 3ax 2 . x 0 x 0 xx 0(2) y lim 2 p lim 2 p lim2 p( x , x) , 2 px x , x , x 2 p lim x 0 x x( x , x , x )( x , x , x ) x 2 p lim x 0 x 0 x ( x, x , x( x , x , x ) x)x 02p 1 . x , x , x 2 x5(2 x , x) 5 x 2 cos sin sin 5( x , x) , sin 5 x 2 2 (3) y lim lim x 0 x 0 xx 5 5(2 x , x) 5 x 5 x 2 cos sin sin 5(2 x , x) 2 2 5 lim cos 2 5cos 5 x. lim 2lim x 0 x 0 x 0 5 x 5 x 2 2 23.求下列曲线y f ( x)在指定点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线方程 : (1) y 2 x , M (0,1); (2) yx 2 , 2, B(3,11). 解(1) y 2 x ln 2, y (0) ln 2, 切线方程y , 1 ln2( x - 0), y (ln 2) x , 1. (2) y 2 x, y (3) 6, 切线方程 : y , 11 6( x , 3). 4.试求抛物线y 2 2 px( p 0)上任一点M ( x, y )( x 0, y 0)处的切线斜率, p 并证明:从抛物线的焦点F , 0 发射光线时, 其反射线一定平行于x轴. 2 - 15 -证y 2 px , y2p p p , 过点M 的切线PMN 方程:Y , y ( X , x). y 2 2 px yp y2 切线与x轴交点N(X 0 ,0),, y ( X 0 , x), X 0 x , , x. y p p p p FN , x,FM x , , y 2 x , , 2 px 2 2 2 p p p x 2 , px , x ,x , FN , 故 FNM FMN . 2 2 2 过M 作PQ平行于x轴, 则 PMQFNM FMN .5.曲线y x 2 , 2 x , 3上哪一点的切线与直线y 4 x , 1平行, 并求曲线在该点的切线和法线方程. 解 y 2 x , 2 4, x0 1, y0 6, k 4 1 25 1 切线方程:y , 6 4( x , 1), y4 x , 2.法线方程 : y , 6 , ( x , 1), y , x , . 4 4 46.离地球中心r处的重力加速度g是r的函数, 其表达式为 GMr R 3 , r R;g (r )其中R是地球的半径, M 是地球的质量, G是引力常数. GM , r R r2 (1)问g (r )是否为r的连续函数 : (2)作g (r )的草图; (3) g (r )是否是r的可导函数. 解明显地,r R时g (r )连续.lim g (r ) limr R, r R, r R,2222GMr GM 2 , R3 Rlim g (r ) limr R,GM GM 2 lim g (r ), g (r )在r R连续. r R, r2 R(2)(3)r R时g (r )可导. g , ( R) GM 2GM , g , ( R) , 3 g , ( R), g (r )在r R不可导. 3 R R- 16 -7.求二次函数P( x),已知 : 点(1,3)在曲线y P ( x)上, 且P (0) 3, P (2) 1. a , b , c3 解P ( x) ax , bx , c, P ( x) 2ax , b. b 3 4a , b 121 1 1 1 b 3, a , , c 3 , (a , b) , P( x) , x2 ,3 x , . 2 2 2 28.求下列函数的导函数 : (1) y 8 x3 , x , 7, y 24 x 2 , 1. (2) y (5 x , 3)(6 x 2 , 2), y5(6 x 2 , 2) , 12 x(5 x , 3) 90 x 2 , 36 x , 10. (3) y ( x , 1)( x , 1) tan x ( x 2 , 1) tan x, y (2x) tan x, ( x 2 , 1) sec 2 x. 9 x , x2 (9 , 2 x)(5 x , 6) , 5(9 x , x 2 ) 5x 2 , 12 x , 54 , y . 5x , 6 (5 x , 6) 2(5 x , 6) 2 1, x 2 2 (5) y ,1 , ( x 1), y . 1, x 1, x (1 , x) 2 (4)y2 ,6 x 2 ( x 1), y3 . x3 , 1 ( x , 1) 2(6) y (7) yx2 , x , 1 (2 x , 1)e x , e x ( x 2 , x , 1) , x 2 , x , 1 , y . exe2 x ex (8) y x x , y 10 x ,x x ln10 10 x (1 , x ln10). 10 10 sin x x cos x , sin x , y cos x ,x sin x , . x x2 (10) y e xsin x, y e x sin x , e x cos x e x (sin x , cos x). (9) y x cos x ,9.定义 : 若多项式P( x)可表为P( x) ( x , x0 ) m g ( x), g ( x0 ) 0则称x0是P ( x)的m重根.今若已知x0是P ( x)的k重根,证明x0是P ( x)的(k , 1)重根 (k 2). 证P ( x) ( x , x0 )k g ( x), g ( x0 ) 0 P ( x) k ( x , x0 ) k ,1 g ( x) , ( x , x0 ) kg ( x) ( x , x0 ) k ,1 (kg ( x) ,( x , x0 ) g ( x)) ( x , x0 ) k ,1 h( x), h( x0 ) kg (0 x) 0,由定义x0是P ( x)的(k , 1)重根.- 17 -10.若f ( x)在( ,a, a)中有定义, 且满足f ( , x) f ( x), 则称f ( x)为偶函数.设f ( x) 是偶函数,且f (0)存在, 试证明f (0) 0. f ( x) , f (0) f (, x) , f (0) f ( ,x) , f (0) lim , lim , f (0), f (0) 0. x 0 x 0 x x ,x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 11.设f ( x)在x0处可导, 证明 lim 2 f( x0 ). x 0 2 x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 1 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 证 lim lim , x 0 2 x 2 x 0 x x 证f (0) = lim x 01 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) lim ,2 x 0 x , x f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 1 1 lim , lim x 0 2 [ f( x0 ) , f ( x0 )] f( x0 ). x 0 2 x , x12.一质点沿曲线y x 2 运动, 且已知时刻t (0 t / 2)时质点所在位置 P(t )( x(t ), y (t ))满足 : 直线OP与x轴的夹角恰为t.求时刻t时质点的位置速度及加速度.y (t ) x 2 (t ) 解 x(t ) tan t , y (t ) tan 2 t , x(t ) x(t ) 位置(tan t , tan 2 t ), v (t )(sec2 t , 2 tan t sec 2 t ), v (t ) (2sec2 t tan t , 2sec 4 t , 4tan 2 t sec 2 t ) 2sec2 t (sec2 t , 2tan 2 t ).y=x2- 18 -13.求函数 x ,x 0 f ( x) 1 , e1/ x 0, x 0 在x 0的左右导数. x x 1/ x1/ x 1 1 解f - (0) lim 1 , e lim 1, f + (0) lim 1 , e lim 0. 1/ x x 0 ,x 0 , 1 , e x0 , x 0 , 1 , e1/ x x x 14.设f ( x) | x , a | ( x), 其中 ( x)在x a处连续且 (a) 0.证明f ( x)在x a不可导. (a , x) (x) ( x , a) ( x) 证f , (a) lim , (a), f+ (a) lim ( a) f - ( a). x a , x a , x,a x,a习题 2.2- 19 -1.下列各题的计算是否正确, 指出错误并加以改正 : (1)(cos x ) , sin x , 错.(cos x ) , sin x x , (2)[ln(1 , x)] (3) x 2 sin x . 2 x1 1 1 , 错.[ln(1 , x)] (1 , x) . 1, x 1, x x ,1 x 1 , x2 , x 2 , 1 , x 2 2 x , 错.1 , x2,,x 2 1 , x 2 , x 2 , 2x 1 , x2 , x3,1 , x2 , , x2 , 2 x , 3x3,,1 , x2, 2 x 1 , x2, x2x 1 , x2. 1 , x2 1 (4) ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x) cos x, 错. 1 ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x cos x). 2.记f ( g( x)) f (u ) |u g ( x ) .现设f ( x)x 2 , 1. 1 , x2 (1)求f ( x), f (0), f ( x 2 ), f (sin x); d d (2)求f ( x 2 ), f (sin x); dx dx (3) f( g ( x))与 f ( g ( x)) 是否相同 ? 指出两者的关系. 解(1) f ( x) 2 x, f (0) 0, f ( x 2 ) 2 x 2 , f (sin x) 2sin x. (2) d f ( x 2 ) f ( x 2 ) , x 2 , 2 x 2 2 x 4x 3 . dxd f (sin x) f (sin x)(sin x) 2sin x cos x sin 2 x. dx (3) f ( g ( x))与 f ( g ( x))不同, f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x).3.求下列函数的导函数: (1) y 2 2 x 2 3 6 x2 , y , , . 2 2 3 3 x3 , 1 , x , 1, , x , 1,(2) y sec x, y , (cos x) ,1 , ,(cos x) ,2 (cos x) ,(cos x) ,2 ( ,sin x) tan x sec x. (3)y sin 3 x , cos 5 x, y 3cos 3 x , 5sin 5 x. (4) y sin 3 x cos 3x, y3sin 2 x cos x cos3x , 3sin 3 x sin 3 x 3sin 2 x(cos x cos 3x , sin x sin 3x) 3sin 2 x cos 4 x.- 20 -1 , sin2 x 2sin x cos x cos x 2 , (1 , sin 2 x)( , sin x 2 )2 x (5) y ,y cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x cos x 2 , 2 x(1 , sin 2 x)(sin x 2 ) .cos 2 x 2 1 (6) y tan 3 x , tan x , x, y tan 2 x sec 2 x , sec 2 x , 1 3 2 tan x sec 2 x , tan 2 x tan 2 x(sec 2 x , 1) tan 4 x.(7) y e ax sin bx, y ae ax sin bx , be ax cos bx e ax (a sin bx , b cos bx). x (8) y cos5 1 , x 2 , y 5cos 4 1 , x 2 ( , sin 1 , x 2 ) 1 , x2 , 5 x cos 4 1 , x 2 sin 1 , x 2 1 , x2 .1 1 x x (9) y ln tan , , y sec2 , 2 x 2 4 2 4tan , 2 4 1 1 1 1 2 x x x x tan , cos 2 ,2sin , cos , 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 sec x. cos x sin( x , ) 2 1x,a 1 x , a ( x , a) , ( x , a) 1 (10) y ln (a 0, xa ), y 2 . 2 2a x , a 2a x , a ( x , a) x , a24.求下列函数的导函数 : x (1) y arcsin (a 0), y a 1 1 . 2 a2 , x2 x a 1,a 1 x 1 1 1 1 (2) y arctan (a 0), y 2 . 2 a a a x a a , x2 1, ax2 2 2 x arccos x , (3) y x arccos x(| x | 1), y . 1 , x2 1 1 ,1 1 (4) y arctan , y , . 1 x2 x 1 , x2 1, 2 x 2 x 2 a x (5) y a , x 2 , arcsin ( a 0), 2 2 a 1- 21 -y1 2 x ,2 x a2 a , x2 , , 2 2 a2 , x2 21 2 x a 1, a11 2 x2 a2 2 a ,x , , a2 , x2 . 2 2 2 2 2 a ,x a ,x x 2 a2 x , x2 ,a2 2 (6) y x , a , ln (a 0) 2 2 aa2 1 x , 1 , 2 x2 , a2 2 x , x2 , a2 x , a2 1 2 x2 a2 x , a2 , , x2 , a2 . 2 2 2 2 2 2 x ,a2 x ,a 2x (7) y arcsin 2 , x 1. x ,1 1 2( x 2 , 1) , 2 x 2 x 1 1 , x 2 2sgn(1 , x 2 ) y 2 2. 2 ( x 2 , 1) 2 x2 , 1 x ,1 x ,1 4x2 1, 2 ( x , 1) 2 y 1 2 x x ,a2 , 2 2 x (8) y y a ,b x arctan tan ( a b 0). a,b 2 a 2 , b2 2 22 21 a ,b x 1 sec2 2 2 a , b 1 , a , b tan 2 x a , b a,b 2 1 x 1 sec 2 x 2 ( a , b) cos 2 x , ( a , b) sin 2 x a , b , (a , b) tan 2 2 2 2 1 .a ,b cos x (9) y (1 , x )(1 , 2 x )(1 , 3 x ), ln y ln(1 ,x ) , ln(1 , 2 x ) , ln(1 , 3 x ) y / y 1 2(1 , x ) x , 2 3 , , 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x1 2 3 y y , , . 2(1 , x ) x 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x 1, 4x (10) y 1 , x , 2 x 2 , y . 2 1 , x , 2 x2 x (11) y x 2 , a 2 , y . x2 , a2 ,x (12) y a 2 , x 2 , y . a2 , x2- 22 -x 1 . 1 , 2 x , x2 , a2 x , a2 x2 , a2 2 1 (14) y ( x , 1) 3 (3 x , 1) 2 (2 , x).ln yln( x , 1) , ln(3 x , 1) , ln(2 , x), 3 3 y 1 2 1 ,1 , , y x , 1 3x , 1 3 2 , x (13) y ln( x , x 2 , a 2 ), y1 2 1 ,1 1 y y , , . x , 1 3x , 1 3 2 , x (15) y e x , ee , y e x ,ee e xe x (1 , e e ).x x x(16) y x a , a x , a a (a 0).a a xy a a x a aa xaaa,1, a x ln a (ax a ,1 ) , a a ln aa x ln aa x a x,1, a ln aa x x a ,1 , a a a x ln 2 a.5.一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s2垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角 (t )的变化速率是多少? 1 x(t ) t 2 解x(t ) 2 4t 2 , tan (t ) 8t , 2 400 100t2 1 t 1 10 (t ) arctan , (t ) , (10) 0.1(弧度 / s). 2 2 2 2 50 100 t 50 10 1, 1, 100 100 6.在图示的装置中, 飞轮的半径为2m且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为 = 时,活塞向右移动的速率是多少? 2- 23 -解x(t ) 2 cos8 t , 36 , 4sin 2 8 t , ,8sin 8 t cos8 t (8 ) x(t ) ,16 sin 8 t , , 236 , 4sin 2 8 t 1 1 (t ) 8 t ,, t0 , x ( ) ,16 . 2 16 16 活塞向右移动的速率是16 m/s.习题 2.3- 24 -1.当x 0时, 下列各函数是x的几阶无穷小量 ? (1) y x , 10 x 2 , 100 x 3 .1阶. (2) y ( x , 2 , 2) sin x x sin x , 2阶. x,2, 2x (3) y x(1 , cos x) x 2sin 2 , 2阶. 2 2.已知 : 当x 0时, ( x) o( x 2 ).试证明( x) o( x). ( x) ( x) 证 2 x o(1) x o(1). x x 3.设 ( x) o( x)( x 0), ( x)o( x)( x 0).试证明: ( x) , ( x) o( x)( x 0). o(1) , o(1) o(1). x x x 上述结果有时可以写成o( x) , o( x) o( x). 证 4.计算下列函数在指定点x0处的微分: 11 (1) y x sin x, x0 / 4. y sin x , x cos x, y 1 , , dy 1 ,dx. 2 4 2 4 4 (2) y (1 , x) ( 0是常数). y (1 , x) ,1 , y (0), dy dx. 5.求下列各函数的微分: (1) y 1, x 2 2 2dx ,1 , , y , , dy , .2 1, x 1, x(1 , x) (1 , x) 2( x) , ( x)( x),( x)(2) y xe x , y e x , xe x e x (1 , x ).dy e x (1 , x )dx. 2 6.设y( x 1), 计算当x由3变到3.001时, 函数的增量和向相应的微分. x ,1 2 1 解 y = , y(3) , . 2 (x -1) 2 2 0.001 0.001 y ,1 , , dy , . 2.001 2.001 2 7.试计算5 32.16的近似值. 1 .16 解 5 32.162 5 1 , .16 / 32 2 (1 , ) 2.002. 5 32 8.求下列方程所确定的隐函数的导函数 : 1 ,1 1 ,1y 3 (1) x , y a ( a 0). x 3 , y 3 y 0, y , . 3 3 x2 3 2 3 2 3 1。

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设A=(-∞,-5)⋃(5,+∞),B=[-10, 3),写出A⋃B,A⋂B,A\B 及A\(A\B)的表达式.解A⋃B=(-∞, 3)⋃(5,+∞),A⋂B=[-10,-5),A\B=(-∞,-10)⋃(5,+∞),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (A⋂B)C=A C ⋃B C.证明因为x∈(A⋂B)C⇔x∉A⋂B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈A C或x∈B C⇔x∈A C ⋃B C,所以(A⋂B)C=A C ⋃B C.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A⋂B)⊂f(A)⋂f(B).证明因为y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A⋃B,使f(x)=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = ,Y I g f = ,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f-1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=;解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin=;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. 8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xx y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=;(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数.(4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f xx x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

高等数学b试题及答案1. 解析几何试题：一座高楼的顶端A和底端B相距240米，从A点观察到地面上某点C的角BAC为60°，从B点观察到地面上同一点C的角ABC为45°。

已知楼的高度为h米，求h的值。

答案：设AC为x米，则BC为(240-x)米。

由正弦定理可得：sin60° = h / xsin45° = h / (240-x)化简上述两个方程得：x = 2h√3240 - x = h√2将第一个等式代入第二个等式，得：240 - 2h√3 = h√2化简得：2h√3 + h√2 = 240(2√3 + √2)h = 240解得：h ≈ 80.24所以楼的高度约为80.24米。

2. 平面向量试题：已知向量A = (3, 2)B = (-1, 4)求向量C，使得 A + B + C = 0。

答案：由题意得：A +B +C = 0即：(3, 2) + (-1, 4) + (x, y) = (0, 0)化简得：(3 - 1 + x, 2 + 4 + y) = (0, 0)(x + 2, y + 6) = (0, 0)解得：x = -2y = -6所以向量C为(-2, -6)。

3. 微分试题：已知函数y = ln(x^2 + 1)，求y的导数dy/dx。

答案：将y = ln(x^2 + 1) 进行求导，得：dy/dx = d/dx(ln(x^2 + 1))根据链式法则，有：dy/dx = 1 / (x^2 + 1) * d/dx(x^2 + 1)化简得：dy/dx = 2x / (x^2 + 1)所以y的导数dy/dx为2x / (x^2 + 1)。

4. 微分方程解微分方程 dy/dx + 2y = 4x，给出y的表达式。

答案：首先写出齐次方程对应的解：dy/dx + 2y = 0将上述方程移项得：dy/y = -2dx对两边同时积分得：ln|y| = -2x + C1 （C1为常数）化简得：|y| = e^(-2x + C1)移项得：|y| = e^C1 * e^(-2x)设A = e^C1，则上述表达式可化简为：|y| = A * e^(-2x)当y≠0时，可进一步得到：y = ± A * e^(-2x)所以y的表达式为y = ± A * e^(-2x)。

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。