直角三角形中的分类讨论

12020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）易错04 三角形全等问题的分类讨论中漏解从而产生易错【典型例题】1．（2020·江西南昌市·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB =AC ,BC =12厘米，点D 为AB 上一点且BD =8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t ，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为 ；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当2t =时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？【答案】解:(1) 由题意得出：122BC BP t ==，122PC BC BP t -=-=，故答案为：()122cm t -(2)当2t =时，224BP CQ ==⨯=厘米，8BD =厘米．2又,12PC BC BP BC =-=厘米，1248PC ∴=-=厘米，PC BD ∴=，又AB AC =，B C ∴∠=∠，在BPD △和CQP 中，BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴≌;③P Q v v ≠，BP CQ ∴≠，又,BPD CPQ B C ∠=∠≌，6cm,8cm BP PC CQ BD ∴====，∴点P ，点Q 运动的时间6322PB t ===秒， 83Q CQ V t ∴==厘米/秒． 即点Q 的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等． 【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，题目比较好，但是有一定的难度．【专题训练】一、填空题1．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．34 【答案】8cm 或15cm解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QP A 中，AB QPBC PA =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，5AB PQ AC PA=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 2．（2020·四川成都市·天府四中七年级期中）如图，ABC ∆中，90,6,8ACB ACcm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．【答案】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或7 2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．3．（2020·宁波市曙光中学九年级月考）如图，已知点(44)A-，，一个以A为顶点的45︒角绕点A旋转，角的两边分别交x轴正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF直角三角形时，点E的坐标是________．67 【答案】(8)0，或(40)，①如图所示：90AFE ︒∠=，∴90AFD OFE ︒∠+∠=，∵90OFE OEF ︒∠+∠=，∴AFD OEF ∠=∠，∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，∴45AEF EAF ︒∠==∠，∴AF EF =，在△ADF 和FOE 中，ADE FOEAFD OEF AF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△FDE ，8∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，∴(40)E ，． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，∴(40)E ，， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8,0)或(4,0)故答案为：(8,0)或(4,0)【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解． 4．（2020·常州市北郊初级中学八年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝8，D 为 AB 的中点，点 P 在线段 BC 上以每秒2 个单位的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上以每秒 x 个单位的速度由C 点向 A 点运动．当△BPD 与以 C 、Q 、P 为顶点的三角形全等时，x 的值为_____．【答案】2 或 3解：设经过 t 秒后，使△BPD 与△CQP 全等．∵AB ＝AC ＝12，点 D 为 AB 的中点．∴BD ＝6．∵∠ABC ＝∠ACB ．∴要使△BPD 与△CQP 全等，必须 BD ＝CP 或 BP ＝CP ．9即 6＝8﹣2t 或 2t ＝8﹣2t ．1t ＝1，2t ＝2．当t ＝1 时，BP ＝CQ ＝2，2÷1＝2．当t ＝2 时，BD ＝CQ ＝6，6÷2＝3．即点 Q 的运动速度是 2 或 3，故答案为：2 或 3．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程．5．（2020·铜陵市第二中学）如图，5AB cm =，4AC BD cm ==，60CAB DBA ∠=∠=︒．点E 沿线段AB 由点A 向点B 运动，点F 沿线段BD 由点B 向点D 运动，E 、F 同两点时出发，它们的运动时间记为t 秒．已知点E 的运动速度是1cm s ，如果顶点是A 、C 、E 的三角形与顶点是B 、E 、F 的三角形全等，那么点F 的运动速度为______cm s ．【答案】1或85解：根据题意，∵60CAB DBA ∠=∠=︒，当AE =BF ，AC =BE 时，△ACE ≌△BEF ，∵AE =t ，5BE t =-，AC =4，∴54t -=，∴1t =，∴BF=AE=1，∴点F的运动速度为1cm s；当AE=BE，AC=BF时，△ACE≌△BFE，∴1155222 AE BE AB===⨯=，∴52 t=；∴点F的速度为：584/25cm s ÷=；综合上述，点F的运动速度为1或85cm s．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，点的运动问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意运用分类讨论的思想，数形结合的思想进行解题．6．（2020·全国八年级单元测试）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E 为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或9 2解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∵B＝∵C，10∵∵当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，∵BPE与∵CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t＝2 3，∵BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为2÷23＝3厘米/秒；∵当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，∵BPE与∵CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝4 3，∵点Q的运动速度为6÷43＝92厘米/秒；故答案为3或9 2．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．7．（2020·河南商丘市·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0）、B（3，2），点P在坐标平面内，以A、O、P为顶点的三角形与∵AOB全等（点P与B不重合），写出符合条件的点P的坐标________________．【答案】（3，-2）或（1，2）或（1，-2）如图：11符合条件的点P有3个，（3，-2）或（1，2）或（1，-2）故答案为：（3，-2）或（1，2）或（1，-2）．【点睛】本题考查坐标与图形性质、全等三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2020·广西玉林市·八年级期中）已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标：_______________．【答案】（4，0）（0，6）（4，6）解：如图，符合条件的点P的坐标有三种情况，分别是：（4，0）、（0，6）、（4，6），故答案为：（4，0）、（0，6）、（4，6）．1213【点睛】本题考查三角形全等的判定与直角坐标系的综合运用，根据三角形全等的判定画出全等三角形后写出顶点坐标是解题关键． 9．（2020·江西省宜春实验中学八年级期中）如图，在△ABC 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(0,4)，点C 的坐标为(4,3)，点D 在平面直角坐标系中且不与C 点重合，若ABD △与△ABC 全等，则点D 的坐标是_________．【答案】(4,2)或(4,2)-或(4,3)-解：当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵3∵；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵4∵2∵；点D 点与∵4∵2∵关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为∵-4∵2∵；综上所述，D 点坐标为∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．故答案为：∵-4∵3∵∵∵4∵2∵∵∵-4∵2∵．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了坐标与图形性质．10．（2020·广州市第五中学八年级期中）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8cm，AC=4cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发，以2cm/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动_________秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．【答案】0或2或6或8△≌BDE，解：①当E在线段AB上，AB=BE时，ACB这时E在A点未动，因此时间为0秒；△≌BED，②当点E在线段AB上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB－BE=8－4=4cm，∴点E的运动时间为4÷2=2（秒）；△≌BED，③当E在BN上，AC=BE时，ACB∵AC=4cm，∴BE=4cm，∴AE=AB+BE=8+4=12cm，∴点E的运动时间为12÷2=6（秒）；14△≌BDE，④当E在BN上，AB=BE时，ACB∵AB=8cm，∴BE=8cm，∴AE=AB+BE=8+8=16cm，∴点E的运动时间为16÷2=8（秒），综上所述，当点E运动0或2或6或8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．故答案为：0或2或6或8．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练的掌握直角三角形全等的判定定理．二、解答题11．（2020·兴化市乐吾实验学校八年级月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．Array（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】1516解：（1）当1t =时，1AP BQ ==，3BP AC ==，又90A B ∠=∠=︒，在ACP ∆和BPQ ∆中，AP BQA B AC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACP BPQ SAS ∴∆≅∆．ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒．90CPQ ∴∠=︒，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若ACP BPC ∆≅∆，则AC BP =，AP BQ =，则34tt xt =-⎧⎨=⎩，解得：11t x =⎧⎨=⎩；②若ACP BQP ∆≅∆，则AC BQ =，AP BP =，则34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得：232 tx=⎧⎪⎨=⎪⎩；综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得ACP∆与BPQ∆全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．12．（2020·长春市第九十七中学校八年级期中）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB//DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【答案】（1）证明：在ABC 和EDC中，1718 AC ECACB ECD BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵ABC ∵EDC （SAS ），∵∵A ＝∵E ，AB =DE =4∵AB //DE ．（2）解：当0≤t ≤43时，AP ＝3tcm ； 当43＜t ≤83时，BP ＝（3t ﹣4）cm ，则AP ＝4﹣（3t ﹣4）＝（8﹣3t ）cm ；综上所述，线段AP 的长为3tcm 或（8﹣3t ）cm ；（3）解：由（1）得：∵A ＝∵E ，ED ＝AB ＝4cm ，在ACP 和ECQ 中，A EAC CE ACP ECO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵ACP ∵ECQ （ASA ），∵AP ＝EQ ，当0≤t ≤43时，3t ＝4﹣t ，解得：t ＝1； 当43＜t ≤83时，8﹣3t ＝4﹣t ，解得：t ＝2；19综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为1s 或2s ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．13．（2020·湖南长沙市·八年级月考）如图，已知△ABC 中，20cm AB AC ==，16cm BC =，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以6cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）①因为t ＝1（秒），所以BP ＝CQ ＝6（厘米）∵AB ＝20，D 为AB 中点，20∴BD ＝10（厘米）又∵PC ＝BC −BP ＝16−6＝10（厘米）∴PC ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△BPD 与△CQP 中，BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD ≌△CQP （SAS ），②因为V P ≠V Q ，所以BP ≠CQ ，又因为∠B ＝∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10．所以点P 、Q 的运动时间t ＝84663BP ==（秒）， 此时V Q ＝1043CQ t =＝7.5（厘米/秒）； （2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB ＋AC 的路程， 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得152x＝6x＋2×20，解得x＝803（秒）此时P运动了803×6＝160（厘米）又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2＋48，所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了803秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．21。

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

专题训练(四)直角坐标系中的分类讨论►类型一由距离产生的分类讨论1．若点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为____________________________．2．已知点A(2a＋1，a＋7)到x轴、y轴的距离相等，求a的值．►类型二由面积产生的分类讨论3．已知△ABC的三个顶点均在坐标轴上，A(2，0)，C(0，－4)，且△ABC的面积为6，求点B的坐标．►类型三由直角三角形产生的分类讨论4．已知Rt△ABC的顶点A(2，0)，B(2，3)，斜边BC的长为5，则顶点C的坐标为________________________________________________________________________．►类型四由全等三角形产生的分类讨论5．已知点A(2，3)，AB⊥x轴于点B，O为原点．已知点P，Q分别在x轴、y轴上，且以P，O，Q为顶点的三角形与△ABO全等．(1)若P(3，0)，求点Q的坐标；(2)若点P在x轴的正半轴上，求点Q的坐标．►类型五由等腰三角形产生的分类讨论6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有________个．7．如图4－ZT－1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．图4－ZT－1详解详析1．[答案] (2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3)[解析] 由点P到x轴的距离为3，知点P的纵坐标为±3；由点P到y轴的距离为2，知点P的横坐标为±2.故点P的坐标为(2，3)或(2，－3)或(－2，3)或(－2，－3)．2．解：由题意，得2a ＋1＝a ＋7或2a ＋1＝－a －7，解得a ＝6或a ＝－83. 3．解：设O 为坐标原点．①当点B 在x 轴上时，S △ABC ＝12AB·OC ， ∴12AB ×4＝6， ∴AB ＝3，即B(－1，0)或(5，0)；②当点B 在y 轴上时，S △ABC ＝12BC·OA ， ∴12BC ×2＝6，∴BC ＝6，即B(0，－10)或(0，2)． 综上可知，点B 的坐标为(－1，0)或(5，0)或(0，－10)或(0，2)．4．[答案] (－2，0)或(6，0)[解析] 由BC 是斜边知AB ⊥AC ，而AB ∥y 轴，∴点C 在x 轴上，且AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4，∴C(－2，0)或(6，0)．5．解：在△AOB 中，∠ABO ＝90°，AB ＝3，OB ＝2.在△POQ 中，∠POQ ＝90°.(1)∵OP ＝3＝AB ，当OQ ＝OB ＝2时，△POQ ≌△ABO ，∴点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．(2)①当OP ＝AB ＝3，OQ ＝OB ＝2时，△POQ ≌△ABO ，∴Q(0，2)或(0，－2)； ②当OP ＝OB ＝2，OQ ＝AB ＝3时，△QOP ≌△ABO ，∴Q(0，3)或(0，－3)． 综上可知，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)或(0，3)或(0，－3)．6．[答案] 8[解析] 如图所示，使得△AOP 是等腰三角形的点P 共有8个．7．解：由题意，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：(1)如图①所示，OP ＝OD ＝5.过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE ＝4.在Rt△POE中，由勾股定理，得OE＝OP2－PE2＝52－42＝3，∴此时点P的坐标为(3，4)．(2)如图②所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD－DE＝5－3＝2，∴此时点P的坐标为(2，4)．(3)如图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4.在Rt△PDE中，由勾股定理，得DE＝PD2－PE2＝52－42＝3，∴OE＝OD＋DE＝5＋3＝8，∴此时点P的坐标为(8，4)．综上可知，点P的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．。

三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=21x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15. 由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6. 由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1. 10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.图1图2ABC D H E∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A +∠C+∠E=180°， 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.A BDHCE图3图5AEGFB CD图4剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5 如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.解:在△ABC 中，∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.图6A D 图7数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.图1ACD解：∵△ABC 为斜三角形，∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形， （1） 当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠E.在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。

中考专题复习：直角三角形的分类常见解题思路：（1）分类讨论：按直角顶点进行讨论 （2）借助勾股定理（3）利用相似三角形 一、直角三角形的边不确定1. 直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长为 ．2. 已知x ，y为直角三角形两边的长，满足240x -=，则第三边的长为 .二、图形折叠与直角三角形3、（2012河南）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为__________.三、动点与直角三角形类型一：直角三角形中有一边确定4、在平面直角坐标系中，矩形 OABC,的顶点C （0,2），A （5,0），在直线BC 上找一点D ，使得△OAD 为直角三角形，并求出点D 的坐标。

5、在平面直角坐标系中，直线b kx y +=过A(—4,4)、B （0，34）两点，交x 轴于点C ，点P 是y 轴上的一个动点。

(1)求直线AB 的解析式及点Ｃ的坐标。

(2)点P 运动到什么位置时，△APC 是直角三角形，并求出点P 的坐标。

EF C D B A 第15题5、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E(4,m)两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0).⑴求该抛物线的解析式；⑵设动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标..6、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为()10-，．如图所示，B 点在抛物线211222y x x =+-图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．（1）求证：BDC COA △≌△；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2012广州市）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．8、（2011沈阳）如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．类型二：直角三角形中没有确定的边9、（2011河南）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC C =30°.点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）.过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE =DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由. （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由.10、（2008河南）如图，直线y=434+-x 和x 轴、y 轴的交点分别为B ，C 。

中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。

这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。

例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。

如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。

因此，顶角可能是50°或80°。

同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。

例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。

如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。

圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。

由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。

例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。

这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。

函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。

在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。

例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。

从而可以得到方程的解的取值范围。

总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。

在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。

本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

三角形的分类三角形是几何学中最常见和最基本的图形之一。

根据其特性，三角形可以分为不同的类型。

以下是三角形的一些主要分类：1等边三角形：三条边都相等的三角形称为等边三角形。

这种三角形的所有角都是相等的，每个角都是60度。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形。

2等腰三角形：有两条边长度相等的三角形称为等腰三角形。

这种三角形的两个底角是相等的，顶角与两个底角的和加起来等于180度。

直角三角形：有一个角是90度的三角形称为直角三角形。

这种三角形的斜边长等于其两条直角边的平方和的平方根。

直角三角形的一个锐角是45度。

钝角三角形：有一个角大于90度的三角形称为钝角三角形。

这种三角形的钝角对应的边比其他两边长。

锐角三角形：所有角都小于90度的三角形称为锐角三角形。

这种三角形的所有边都相等。

斜三角形：三条边长度不相等的三角形称为斜三角形。

斜三角形可以进一步分为钝角斜三角形和锐角斜三角形，取决于其最大的角是钝角还是锐角。

这些分类可以根据三角形的不同特性进行进一步的细分。

例如，等腰三角形可以进一步分为等边等腰三角形和底角与顶角不相等的等腰三角形等。

还有等腰直角三角形等腰钝角三角形等特殊形式。

三角形的分类对于理解几何学中的基本概念和性质非常重要。

通过掌握不同类型的三角形的特性和关系，我们可以更好地理解几何学中的基本原理和应用。

三角形是数学几何中一个非常基础且重要的概念，而三角形的分类也是学生需要掌握的一项重要技能。

根据边长和角的特征，三角形可以分为以下几类：等边三角形等腰三角形、直角三角形和普通三角形。

等边三角形是一种三边长度相等的三角形，其中三个角的大小也相等。

等边三角形的判定方法是：如果一个三角形的三边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。

等边三角形是一个特殊的等腰三角形。

等腰三角形是一种两边长度相等的三角形，其中两个角的大小也相等。

等腰三角形的判定方法是：如果一个三角形有两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

与三角形有关的分类讨论多解题1．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC ＝．2．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．3．△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD＝65°，∠DBC＝45°，则∠ABC ＝°．4．已知在△ABC中，∠A＝30°，BD是△ABC的高，∠BCD＝80°，则∠ACB ＝°．5．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的2倍，我们把这个三角形叫做“二倍角三角形”．在一个“二倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为．6．在△ABC中，∠ACB＝60°，CE为△ABC的角平分线，AC边上的高BD与CE所在的直线交于点F，若∠ABD：∠ACF＝2：3，则∠BEC的度数为．7．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．8．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，△ABC的外角∠ACG 的平分线与BD的延长线交于点F．在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠BAC的度数是．9．已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是．10．已知△ABC的高AD与AB、AC的夹角分别是60°和20°，则∠BAC的度数是．11．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝25°，则∠BAC的度数是12．已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为65°，则∠BAC＝．13．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝cm．14．在△ABC中，∠A＝50°，BD、CE为高，直线BD、CE交于点H，则∠BHC ＝．15．AD是△ABC的高，∠B＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝．16．在△ABC中，点H是直线BC上一点，连接AH，若∠BAH＝56°，∠CAH＝27°，则∠BAC＝度．17．在△ABC中，∠A＝47°，高BE、CF所在直线交于点O，且点E、F不与点B、C重合，则∠BOC＝．18．△ABC中，∠B＝35°，∠A＝85°，点D在线段AB上，点F在射线BC上，连接DF与射线AC相交于点E，且∠ADE＝65°，M是EF中点，则∠BCM ＝．19．已知点A（2，0）、B（2，4），以点A、B、P（点P不与点O重合）为顶点的三角形与△ABO全等，则符合要求的点P坐标可以是．20．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在另一点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．21．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，分别过A、B向过C的直线CD作垂线，垂足分别为E、F，若AE＝5，BF＝3，则EF＝．22．已知等边三角形ABC的边长为4，线段AD∥BC，且AD＝BC，直线BD与直线AC交于点E，则△ABE的面积为．23．已知，△ABC中，∠ABC＝30°，过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点Q，若PQ＝CQ＝1，则BC＝．24．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于．25．等边△ABC，AB＝8，点D在直线AB上，若CD＝13，则AD的长为．26．已知△ABC中，AB＝AC，过点B的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ABC ＝°．27．等腰△ABC的腰AB边上的中线CD，把△ABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为．28．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30度，则它的底角的度数为．29．如果等腰三角形有两条边长分别为2cm和3cm，那么它的周长是．30．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于．31．已知△ABC中，AB边的垂直平分线交BC边于点D，AC边的垂直平分线交BC边于点E，若AD＝5，AE＝7，DE＝3，则BC＝．32．△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，P是射线AD上一点，且∠ABD＝2∠PBD，则AP：PD的值是．33．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD∥BC，BD＝BC，∠DBC＝．34．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC＝10，DE＝4，则AD+AE＝．35．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为．36．已知AD是等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB＝50°，这个三角形的顶角的度数是．37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC中点，E为边AB 上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为．38．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD＝AC，则等腰△ABC的顶角度数为．39．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．40．在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝30°，D为BC边上一点，点F是射线BA上一点，DF与射线CA相交于点E，点G是EF的中点，若∠DEC＝∠C，则∠CAG ＝．41．O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝．42．在同一平面内，已知点P在等边△ABC外部，且与等边△ABC三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则∠APC的度数为．43．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为．44．已知在有一角为30°的直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为．。

初中数学分类讨论问题经典题例析(几何部分)山东省沂水县四十里镇第二初级中学（276406） 张荣建在几何计算中，根据题设条件常常可以做出形状不同的独立图形，因而必须针对不同图形进行分类求解。

1、三角形形状不确定时，需考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形、三角形的高在三角形内还是三角形外等情况画出不同图形，分别求解。

经典题1、已知△ABC 的AB=32,AC=2,BC 边上的高AD=3，求BC 长。

分析：三角形的高AD 与AB 、AC 的关系不确定，符合条件的图形有图1和图2，所以要在两个图形中分别求解。

解：在图1中，∵A D ⊥BC,∴BD=3)3(22222=-=-AD AB ，CD=1)3(22222=-=-AD AC ，∴BC=BD+CD=4。

在图2中，同理求得：BD=3，CD=1，BC=BD-CD=3-1=2。

经典题2、平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，A E ：CE=2：3，AB=5，BE=3.求平行四边形的面积。

解：符合条件的图形有两个，如图3和图4，在图3中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()36436=⨯+。

在图４中，∵AB=5，BE=3，∴ＡＥ＝４，∵A E ：CE=2：3，∴ＣＥ＝６，∴平行四边形的面积为()12436=⨯-。

经典题３、已知△ABC 的AB=32,AC=2, BC 边上的高AD=3，有一个正方形的一边在已知△ABC 的AB 边上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求这个正方形的面积。

分析：正方形与三角形的位置关系有两种情况，如图５和图６，所以要在两个图形中分别求解。

解：由经典题1，BC=4或BC=2,当BC=4时，∵()2222216232BC AC AB ==+=+，∴△ABC 为直角三角形，所以图５符合题意，设正方形边长为x ，∵G E ∥AB ，∴3132323422232+=∴-=∴-=∴=x x ，x ，x x ，CA CE AB GE ，即正方形边长为3132+。

专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。

1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。

2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt ABC △方法：两线一圆具体图解：①当︒=∠90BAC 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）②当︒=∠90ABC 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。

③当︒=∠90ACB 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。

例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=2x ，则2x =28；②最长边不是8时，82+62=2x ，则2x =100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在ABC 中，9040BAC C ∠=︒∠=︒，，AH 、BD 分别是ABC 的高和角平分线，点E 为BC 边上一点，当BDE 为直角三角形时，则CDE ∠=︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∵BD 平分ABC ∠∴1DBC ABC ∠=∠=∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒②当90BDE ∠=︒时，如图2，∴902565BED ∠=︒-︒=︒，∵BED ∠=∠综上，CDE ∠的度数为50︒或25︒．故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，题的关键．A．1个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：其中的一条腰．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）外部作等腰直角ABC，或(37)，【答案】(74)∵BAC AOB AEC ∠=∠=∠∵AB AC =，∴AOB △≌△同法可得，当AB BC ='，当AB 是等腰直角三角形的斜边时，综上所述，满足条件的点．【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED ∠'=︒时，先求出时，作AH BC ⊥，证明出ADH 【详解】解：当90B ED ∠'=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，BE ∴=由折叠得BD B D ='，AB AB '=在Rt B DE ' 中，224)8(x -+=当90B DE ∠'=︒时，如图，作AH 90B DE ∠'=︒ ，ADB ADB ∴∠=∠6DH AH ∴==，BD BH DH ∴=-【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，5(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接．．写出AD 的长．【答案】(1)BDF V 是等边三角形；见解析(2)40A ∠=︒；(3)AD 的长是3或6【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD 的长度．【详解】（1）解：BDF V 是等边三角形，理由如下：∵60B DE BC ∠=︒，∥，∴60ADE B ∠=∠=︒，由折叠可得60FDE ADE ∠=∠=︒，∴60BDF ∠=︒，∴60DFB B BDF ∠=∠=∠=︒，∴BDF V 是等边三角形；（2）解：由折叠可得A DFE ∠=∠，∵60FDE ADE ∠=∠=︒，∴120ADC ∠=︒，∵CF EF =，∴FEC FCE ∠=∠，设FEC FCE x ∠=∠=，则2A DFE FEC FCE x ∠=∠=∠+∠=，在ADC △中，180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，即2120180x x ++︒=︒，解得20x =︒，∴240A x ∠==︒；（3）解：AD 的长是3或6，理由如下：当90BFD ∠=︒时，点F 在ABC 内（如图所示）∵60BDF ∠=︒，∴30DBF ∠=︒，∴2BD DF=由折叠得DF AD =，∴2BD AD =，∴39AD =，∴3AD =；当90DBF ∠=︒时，点F 在ABC 外，同理可得2AD DF BD ==，∴6AD =．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线1l 经过点()5,6，交x 轴于点()30A -,，直线2:3l y x=交直线1l 于点B ．(1)求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)在x 轴上是否存在点C ，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．39=+；()1,3(2)9(3)()1,0 y x②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中C 的位置：设【答案】（1）见解析；（2）①721y x =--；②()4,2Q 或2022,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得D E ∠=∠，ACD EBC ∠=∠，然后根据（2）①：过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，由（1三角形的性质求出C 的坐标，再利用待定系数法求2l 的解析式即可；②可得：(AAS)AMQ QNP ≌，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．∵45BAC ∠=︒，∴ABC ∵14:43l y x =+，令y =令0x =，则4y =，∴∴437OD =+=．∴C 将点(3,0)A -，(4,7C -当90AQP ∠=︒时，由（1）同理可证：∴QN AM =，即86(2m m -=--【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练A．2【答案】D【分析】由条件可求得t<<两种情况，根据当610三角形的性质求解即可得．△【详解】解：在Rt ABC【答案】90︒或34︒【分析】分当90A ∠=︒时，当【详解】解：当90A ∠=︒时，满足【答案】2483-或【分析】由等边三角形的性质可得角三角形的性质可求【答案】125或247或325①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12②当46t <≤时，312BP t =-，①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =②当46t <≤时，312BP t =-，在【答案】3-【分析】分两种情况：即可求得EF；当EF．【答案】103或53【分析】分BMN ∠=【详解】解：由题意得，当90BMN ∠=︒时，【答案】30︒或45︒【分析】分两种情况：当点E在∆外时，由折叠可得：AE在ACB【详解】解：分两种情况：如图，由折叠可得：AE AC =，C ∠= AD 平分CAE ∠，45CAD ∴∠=︒，故答案为30︒或45︒．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角【答案】4，6或73【分析】由题意分AD =BD 【详解】解：如图，当AD ∵Rt △ABC 中，∠C =90°∵AB =BD ，∴CD BD BC =-如图，当AB =AD 时，∵AB =BD ，∠C =90°，∴综上可得CD 的长为4，【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键12．（2023春·江苏·八年级期末）在为线段AB 上的动点，当【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠时，通过三角形内角和求出∠【详解】∵80C ∠=︒，∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBE如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画一共可作出6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．5类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC 边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．24＝5，PB′2，是矩形，2，1，17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，60ABC ∠=︒，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，ABP △形状在发生变化，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当ABP △是直角三角形时，t 的值为______；（2）当ABP △是钝角三角形时，t 满足的条件是__________．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）(1)点M，N运动几秒后，AMN如存在，请求出此时∆？到直角三角形AM N【答案】(1)12秒(2)存在，，AMN ANM ∴∠=∠，∴∠AB BC AC == ，ΔACB ∴AMC ANB Ð=ÐQ ，C ∠=CM BN ∴=，1236t ∴-=2BN t = ，AM t =，AN ∴如图，若90ANM ∠=︒，由2AN AM =，则2(12当点N 在AC 上运动时，点当点N 在BC 上运动时，如图，当点由ABC ∆时等边三角形知如图，当点M 位于BC 中点处时，由ABC ∆时等边三角形知AM 综上，当3t =或245或15或【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．(1)在图2的ABC 中，20C ∠=︒，110ABC ∠=︒．请在图2中画出ABCDBC ∠的度数；(2)已知20C ∠=︒，在图3中画出两种不同于图1、图2的ABC ，所画ABC 同时满足：①∠C 为最小角；②存在关于点B 的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画ABC 中各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质．23．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB=OC ，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若△ABD 的面积为27．（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为y （y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若∴EF=-m+4，∴-m+4=3 2③当∠PFE=90°时，如图∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°∴∠PFR=180°-∠FPE-∠∵点R与点E的纵坐标相同，∴∴PR=FR=-m+4=-107+4=18。

中考分类讨论思想常见的六种类型：
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。

1、方程:
若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论。

2、等腰三角形:
如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决。

3、直角三角形:
在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解。

4、相似三角形:
如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论。

解题反思：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．
5、一次函数:
已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论。

6、圆:
圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论。

分类讨论专题在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （3）分类讨论应逐级有序进行．（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型. 综合中考的复习规律,分类讨论的知识点可分为三大类：1. 代数类：代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点坐标未给定所在象限等.2. 几何类：几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3. 综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.代数类考点1与数与式有关的分类讨论1. 化简：|x-1|+|x-2|2. 已知α、β是关于x 的方程x 2+x+a=0的两个实根;1求a 的取值范围； 2试用a 表示|α|+|β|; 3. 代数式a ab b ab ab ||||||++的所有可能的值有 A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个考点2与方程有关的分类讨论4. 解方程：①a -2x =b -1 ②试解关于x 的方程111=--x )x (5. 关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实数根,则k 的取值范围是A ．4k≤ B.104k k ≤≠或 <14 D. k≥146. 已知关于x 的方程22(4)(4)0kx k x k +++-= 1若方程有实数根,求k 的取值范围2若等腰三角形ABC 的边长a=3,另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根,求ΔABC 的周长. 考点3函数部分7. 一次函数ykx b x =+-≤≤，当31时,对应的y 值为19≤≤x ,则kb 的值是 ;A. 14B. -6C. -4或21D. -6或148. 设一次函数21y ax a 的图象不经过第一象限,求a 的取值范围;9. 比较一次函数12y x 与二次函数2212y x 的函数值y 1与y 2的大小; 10. 图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,-4. 1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；2将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.变式就b 的取值范围,讨论.直线)1(<+=b b x y 与此图象有公共点的个数图9几何类一、与等腰三角形有关的分类讨论 考点4与角有关的分类讨论1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________ 考点5与边有关的分类讨论1. 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________. 考点6与高有关的分类讨论1. 一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角是______度.3. 为美化环境,计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.4. 如图,在网格图中找格点M,使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴. 考点7综合应用1. 在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知A －2,2,试在x 轴上确定点P,使△AOP 为等腰三角形,求符合条件的点P 的坐标2. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A 3,4．连接OA ,若在直线a 上存在点P ,使△AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是3. 直角坐标系中,已知点P －2,－1,点Tt ,0是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；2当t 取何值时,△P 'TO 是等腰三角形 (2)A －二、与圆有关的分类讨论圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.考点8 由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论1.已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.考点9 由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论1.A、B是⊙O上的两点,且∠AOB=136o,C是⊙O上不与A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是___________.考点10 由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论1.已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深度.考点11 由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论1.⊙O的直径AB=2,过点A有两条弦AC=2,AD=3,求∠CAD的度数.考点12 由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为3,-3,当该圆向上平移个单位时,它与x轴相切.2.如图,直线443y x=-+与x轴,y轴分别交于点M,N1求M,N两点的坐标；2如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,125为半径的圆与直线443y x=-+相切,求点P的坐标.考点13 由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论1.已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3 cm,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是 cm ．2. 如图,在8×4的方格每个方格的边长为1个单位长中,⊙A 的半径为1,⊙B 的半径为2,将⊙A 由图示位置向右平移 个单位长后,⊙A 与⊙B 相切．3. 如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为a ,0,半径为5,如果两圆内含,那么a 的取值范围是_________．4. 在直角坐标平面内,O 为原点,点A 的坐标为1,0,点C 的坐标为0,4,直线CM x ∥轴如图7所示．点B 与点A 关于原点对称,直线b x y +=b 为常数经过点B ,且与直线CM 相交于点D,联结OD ．1求b 的值和点D 的坐标；2设点P 在x 轴的正半轴上,若△POD 是等腰三角形,求点P 的坐标； 3在2的条件下,如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切,求⊙O 的半径．三、与直角三角形有关的分类讨论1. 已知点M 0,1,N 0,3,在直线y=2x ＋4上找一点P 使△MPN 为直角三角形,求点P 的坐标.2. 如图,已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,点B 的横坐标是1． 1求P 点坐标及a 的值；2如图1,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的关系式；3如图2,点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点点E 在点F 的左边,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标．x四、与相似三角形有关的分类讨论考点14 对应边不确定1. 如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm,BC=6cm.．某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm ／s 的速度向B 点匀速运动；同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm ／s 的速度向A 点匀速运动,问：是否存在时刻t,使以A,.M,N 为顶点的三角形与ΔACD 相似 若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由． 2.考点15 对应角不确定1. 如图1,∠A=500,∠B=600,一直线l 与△ABC 的边AC 、AB 边相交于点D 、E 两点,当∠ADE 为________度时,△ABC 与△ADE 相似. 考点16 图形的位置不确定1. 在平面直角坐标系中,已知点P －2,－1. 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标轴上的一点.若以P,O,T 为顶点的三角形与△AOP 相似,请写出点T 的坐标变式 若点T 在第四象限,请写出点T 的坐标.2. 如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,E 是AB 的中点,过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4,BC ＝6,∠B ＝60°．1求点E 到BC 的距离；2点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ,过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ,连结PN ,设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时如图2,△PMN 的形状是否发生改变 若不变,求出△PMN 的周长；若改变,请说明理由；ABCEDl图1C②当点N 在线段DC 上时如图3,是否存在点P ,使△PMN 为等腰三角形 若存在,请求出所有满足要求的x 的值；若不存在,请说明理由．F E A DBC图5备用F E A DBC 图4备用F E A DB C图2N P MF E A D B C图3MPN F E A DBC 图1课下巩固练习一、填空题：1. 已知AB 是圆的直径,AC 是弦,AB ＝2,AC ＝2,弦AD ＝1,则∠CAD＝ ．2. 直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .3. 已知两圆内切,一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是________．4. 等腰三角形的一个内角为70°,则其顶角为______．5. 在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中,作格点△ABC 和△OAB 相似相似比不为1,则点C 的坐标是_____. 二、选择题：1. 若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个内角为 A ．500,80oB ．650, 650C ．500,650D ．500,800或 650,6502. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3. 等腰三角形的一边长为3cm,周长是13cm,那么这个等腰三角形的腰长是 A ．5cm C ．5cm 或3cm D ．不确定4. 若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°,则弦AB 所对的圆周角的度数为 A ．300 B 、60C ．150D ．300或 15005. 若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a,最小距离为ba>b,则此圆的半径为 A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b二、解答题：1. 在ΔABC 中,∠BAC＝90°,AB＝AC ＝圆A 的半径为1,如图所示,若点O 在BC 边上运动,与点B和C 不重合,设BO ＝x,ΔAOC 的面积为y . 1求y 关于x 的函数关系式.2以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时ΔAOC 的面积.2. 在直角坐标系XOY 中,O 为坐标原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A5,0,B0,4,C －1,0,点M 和点N 在x轴上,点M 在点N 的左边点N 在原点的右边,作MP⊥BN,垂足为P 点P 在线段BN 上,且点P 与点B 不重合直线MP 与y 轴交于点G,MG ＝BN. 1求点M 的坐标.2设ON ＝t,△MOG 的面积为S,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.3过点B 作直线BK 平行于x 轴,在直线BK 上是否存在点R,使△ORA 为等腰三角形 若存在,请直接写出R 的坐标；若不存在,请说明理由.3. 如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x 轴,OC 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系．已知OA ＝3,OC ＝2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处．1直接写出点E 、F 的坐标；2设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的关系式．4. 在平面直角坐标系内,已知点A2,1,O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,有k 个就标到P K 为止,不必写出画法5. 已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点． 1求k 的值；2若点(10)C -，,则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ,使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形 若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．6. 如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A 3,0,B 0,3两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . 1求直线AB 的关系式;2若S 梯形OBCD 43,求点C 的坐标; 3在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 7. 二次函数2312y x x =--的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点C .1求ABC △的面积．；2在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ACBD 为直角梯形 若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．。