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数学分析11.1反常积分概念(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十一章 反常积分 1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22xmgR .于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为：⎰rR 22x mgR dx=mgR 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：⎰+∞R22x mgR dx=⎰+→r R 22∞r xmgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：21mv 02=mgR. 以g=s 2, R=×106m 代入，可得v 0=mgR ≈s.例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度.设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2dx=v πr 2dt ，即有dt=x)-2g(h rR 22dx. ∴流完一桶水所需的时间为：t f =⎰h22x)-2g(h rR dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为： t f =⎰-→u22h u x)-2g(h rR lim dx=)u -h -h (grR 2lim22h u -→=grR 2h lim 22hu -→.二、两类反常积分的定义定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限⎰+→ua ∞u f(x)dx lim =J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=⎰+∞a f(x)dx ，并称⎰+∞af(x)dx 收敛. 若极限不存在，则称⎰+∞af(x)dx 发散.类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：⎰-b∞f(x)dx=⎰-→bu ∞u f(x)dx lim .又有⎰+-∞∞f(x)dx=⎰+∞a f(x)dx +⎰-b∞f(x)dx, 其中a 为任意实数，仅当右边两个无穷积分都收敛时，⎰+-∞∞f(x)dx 才收敛.例3：讨论无穷积分⎰+∞1px dx的收敛性. 解：当p=1时，⎰+∞1p xdx=⎰+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞, 当p>1时，⎰+∞1p x dx =⎰+→u 1p ∞u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1-p 1,∴当p ≤1时，⎰+∞1p x dx发散于+∞; 当p>1时，⎰+∞1p xdx 收敛.例4：讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞2p x(ln x)dx; (2)⎰+-+∞∞2x 1dx . 解：(1)∵⎰+∞2px(ln x)dx=⎰+∞ln2p t dt ; 根据例3的结论可知， 当p ≤1时发散; 当p>1时收敛. (2)⎰+-+∞∞2x 1dx =⎰++∞02x 1dx +⎰-+0∞2x 1dx =⎰++→u 02∞u x 1dxlim +⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =⎰++→u02∞u x 1dxlim+⎰+-→0v 2∞v x 1dx lim =∞u lim +→arttanu-∞v lim -→arttanv=π，收敛.定义2：设函数f 定义在区间(a,b]上，在a 点的任一右邻域内无界，但在任何[u,b]⊂(a,b]上有界且可积. 如果存在极限⎰+→bu a u f(x)dx lim =J ，则称此极限为无界函数f 在(a,b]上的反常积分，记作J=⎰ba f(x)dx ，并称反常积分⎰b a f(x)dx 收敛. a 称为f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba f(x)dx 又称为瑕积分. 若极限不存在，则称⎰ba f(x)dx 发散.类似的，可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰ba f(x)dx =⎰-→ua b u f(x)dx lim .其中f 在[a,b)有定义，在点b 的任一左邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,b)上可积.又若f 的瑕点c ∈(a,b)，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰→u acu f(x)dx lim -+⎰+→bvcv f(x)dx lim ,其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义，在点c 的任一邻域内无界，但在任何[a,u]⊂[a,c)和[v,b]⊂(c,b]上都可积. 当且仅当⎰ca f(x)dx 和⎰bc f(x)dx 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.又若a,b 都是f 的瑕点，而f 在任何[u,v]⊂(a,b)上可积，则定义瑕积分⎰baf(x)dx =⎰c af(x)dx+⎰b cf(x)dx =⎰+→c uau f(x)dx lim +⎰-→vcbv f(x)dx lim , 其中c 为(a,b)内任一实数. 当且仅当⎰+→c u a u f(x)dx lim 和⎰-→vc b v f(x)dx lim 都收敛时，⎰ba f(x)dx 才收敛.例5：计算瑕积分⎰102x -1dx 的值.解：⎰102x -1dx =⎰→u21u x -1dx lim -=-1u lim →arcsinu=2π.例6：讨论瑕积分⎰10qx dx(q>0)的收敛性. 解：当q=1时，⎰10q xdx=⎰+→1u 0u x dx lim =-+→0u lim lnu=+∞, 当0<q<1时，⎰10q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =1-q 1, 当q>1时，⎰1q x dx =⎰+→1u q 0u x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→1-q 0u u 11q -11lim =+∞, ∴当q ≥1时，⎰10q x dx发散于+∞; 当0<q<1时，⎰+∞1p xdx 收敛.注：∵⎰∞+0p x dx=⎰10p x dx +⎰∞+1px dx (p>0)，右边两个反常积分不同时收敛， ∴⎰∞+0p xdx对任何实数p 发散.习题1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：(1)⎰∞+0x -2xe dx ；(2)⎰∞+∞-x -2xe dx ；(3)⎰∞+0xe 1dx ；(4)⎰+∞+12)x 1(x dx；(5)⎰++∞+∞-254x 4x dx ；(6)⎰∞+0x -x sin e dx ；(7)⎰∞+∞-x-x sin e dx ；(8)⎰+∞+02x 1dx . 解：(1)⎰∞+0x -2xe dx=⎰+→u0x -∞u 2xelim dx=)e 1(lim 212u -∞u -+→=21，收敛. (2)∵⎰0∞-x -2xe dx=⎰-→0u x -∞u 2xe lim dx=)1(e lim 212u -∞u --→=-21. ∴⎰∞+∞-x -2xe dx=⎰0∞-x -2xe dx+⎰∞+0x -2xe dx=0，收敛. (3)⎰∞+0xe1dx=-2⎰-+→u 02x∞u e lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2x =-2)1e (lim 2u∞u --+→=2，收敛. (4)⎰+∞+12)x 1(x dx =⎰++→u 12∞u )x 1(x dx lim =1]u 12ln )1u 1[ln(lim ∞u +--++→=1-ln2，收敛. (5)∵⎰++0∞-254x 4x dx =⎰++-→0u 2∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→212u arctan 21arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫⎝⎛+2π21arctan 41； ⎰+++∞254x 4x dx =⎰+++→u 02∞u 54x 4x dx lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→21arctan -212u arctan lim 41∞u=⎪⎭⎫ ⎝⎛21arctan -2π41； ∴⎰++∞+∞-254x 4x dx =⎰++0∞-254x 4x dx +⎰+++∞0254x 4x dx =4π，收敛.(6)⎰∞+0x -x sin e dx=⎰+→u0x -∞u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[-e -u(cosu+sinu)+1]=21，收敛.(7)∵⎰0∞-xx sin e dx=⎰→0ux ∞-u x sin e lim dx=∞u lim 21+→[e u (cosu-sinu)-1]= +∞，发散； ∴⎰∞+∞-x x sin e dx 发散. (8)⎰+∞+02x 1dx =⎰++→u2∞u x 1dx lim =)u 1u ln(lim 2∞u +++→=+∞，发散.2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值. (1)⎰bap a)-(x dx；(2)⎰102x -1dx ；(3)⎰20|1-x |dx ；(4)⎰102x-1x dx ； (5)⎰10x ln dx ；(6)⎰1x -1xdx ；(7)⎰102x -x dx ；(8)⎰10p x(lnx)dx . 解：(1)当p=1时，⎰ba p a)-(x dx =⎰+→b u a u a -x dx lim =a -u a-b ln lim a u +→=+∞，发散； 当p ≠1时，⎰bap a)-(x dx =⎰+→b u p a u a)-(x dx lim =1-p a u 1-p a)-(u 1lim p -11a)-p)(b -(11+→-， ∴当p ≥1时，⎰ba pa)-(x dx=+∞，发散. 当p<1时，⎰ba p a)-(x dx =1-p a)-p)(b -(11，收敛. (2)⎰12x -1dx =⎰-→u 021u x-1dx lim =u -1u 1ln lim 211u +-→=+∞，发散. (3)⎰2|1-x |dx =⎰211-x dx +⎰1x-1dx =⎰+→2u1u 1-x dx lim + ⎰-→v1v x-1dx lim=2)1-u 1(lim 1u -+→-2)1v -1(lim 1v --→=4，收敛.(4)⎰12x -1x dx=⎰-→u21u x -1x lim =-)1u -1(lim 21u --→=1，收敛.(5)⎰10x ln dx=⎰+→1u 0u lnx lim dx =+→0u lim (-ulnu-1+u)=-1，收敛.(6)⎰a0x -1x dx=⎰+a -1a 0222)t (12t dt=2(⎰+a -1a 02t 11dt-⎰+a -1a 022)t (11dt). 又⎰+a-1a 02t 11dt=arctan a -1a ，当a →1-时，其极限为2π.⎰+a-1a 022)t (11dt=⎰+a-1aarctan 022)θtan (11dtan θ=⎰a-1a arctan 02θcos d θ=21sinarctana -1a cosarctan a -1a +21arctan a-1a， 当a →1-时，其极限为4π. ∴⎰1x-1x dx=2(2π-4π)=2π，收敛.(7)取a ∈(0,1)，则⎰102x-x dx =⎰1a2x-x dx +⎰a2x-x dx =⎰-→ua21u x-x dx lim +⎰+→av20v x-x dx lim=2⎰-→u arcsin a arcsin 1u dt lim +2⎰+→aarcsin v arcsin 0v dt lim =π，收敛.(8)∵⎰p x(lnx)dx =⎰p (lnx)d(lnx)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=1p p)(lnx)-(111p |x ln |ln 1-p ，，又⎰10p x(lnx)dx =⎰1a p x(lnx)dx +⎰a 0px(lnx)dx, a ∈(0,1).∴当p=1时，⎰1a p x(lnx)dx=⎰-→u a 1u xlnx dx lim =-→1u lim [ln(ln1)-ln(lna)]=-∞，发散. 当p ≠1时，⎰1ap x(lnx)dx =⎰-→u a p 1u x(lnx)dx lim =-→1u lim [1-p p)(lnu)-(11-1-p p)(lna)-(11]=∞，发散. ∴⎰10p x(lnx)dx 发散.3、举例说明：瑕积分⎰ba f(x)dx 收敛时，⎰ba 2(x)f dx 不一定收敛.解：令f(x)=x1，则⎰10f(x)dx=2，收敛. 但⎰102(x)f dx=⎰10x1dx 发散.4、举例说明：⎰+∞a f(x)dx 收敛且在[a,+∞)上连续时，不一定有f (x)lim ∞x +→=0.解：例如由狄利克雷判别法知，⎰+∞12sinx dx=⎰+∞1tsint dt 收敛，但∞x lim +→sinx 2不存在.5、证明：若⎰+∞a f(x)dx 收敛，且存在极限f (x)lim∞x +→=A ，则A=0. 证：若A ≠0，不妨设A>0，则由f (x)lim ∞x +→=A ，取ε=2A>0，存在M ，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2A ，即2A <f(x)<23A . 记f(x)=g(x)+2A，则⎰+∞a f(x)dx=⎰+∞a g(x)dx+⎰+∞a 2A dx ，∵⎰+∞a 2Adx 发散，∴⎰+∞a f(x)dx 发散，矛盾. ∴f (x)lim ∞x +→=A=0.6、证明：若f 在[a,+∞)上可导，且⎰+∞a f(x)dx 与⎰+'∞a (x)f dx 都收敛，则f (x)lim ∞x +→=0.证：∵⎰+'∞a (x)f dx=⎰'+→ua ∞u (x)f lim dx=∞u lim +→ [f(u)-f(a)]=f (x)lim ∞x +→-f(a)，收敛. ∴f (x)lim∞x +→存在，又⎰+∞af(x)dx 存在，根据第5题的结论有f (x)lim ∞x +→=0.11。
127第十一章 反常积分§1 反常积分的概念教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．教学要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学重点：无穷积分与瑕积分的定义与计算方法． 教学难点：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学方法：系统讲授法． 教学程序：一 问题的提出例1度至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为地面重力加速度为g在距地心x 处火箭受到的引理为22()mgR F x x =于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为22211()rRmgR dx mgR x R r =-⎰ 当r →∞时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功2222lim rr R RmgR mgR dx dx mgR x x ∞→∞==⎰⎰ 再由能量守恒定律，可求得处速度0v 至少应使200111.2(/)2mv mgR v km s =⇒=≈ 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x -时，水从小 孔里流出的速度为v =设在很短一段时间t ∆内，桶里水面降低的x128高度为x ∆，则有下面关系：22R x v r t ππ∆=∆由此得2,[0,]t x x h ∆=∈所以流完一桶水所需的时间应为220(2()hf R t dx rgh x =-⎰但是，被积函数在(0,]h 上是无界函数，，所一我们取220lim (2()lim uf u h u hR t dx r g h x --→→=-==⎰相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分．二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义⎰=AaA F )(，⎰+∞-+∞=aa F F f)()(.无穷限反常积分几何意义例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞∞-+21xdx的敛散性 . ⑵ 计算积分⎰+∞++0252x x dx. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴ ⎰+∞1p xdx; ⑵⎰+∞2)(ln p x x dx. 例3 讨论积分⎰+∞axdx cos 的敛散性 .129二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点）1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈ 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分⎰-121xdx 的敛散性 .例10 讨论瑕积分⎰>10) 0 ( q xdxq 的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞0 p xdx的敛散性 . 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有⎰⎰∞+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====baab xb t dt t t b f dx x f 12111)(,3. 把瑕积分化成了无穷积分;设0>a , 有⎰⎰⎰∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====a aaxt tdtt g t dt t g dx x g 011022111 )(， 把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 . 例11 证明瑕积分⎰101sin 1dx x xα当2<α时收敛. 证明⎰⎰∞+-=====1211sin dt tttx α, 由例6 , 该积分当2<α时收敛.作业：P269 1(2)(4)(6)(8), 2(1)(3)(5)(7)。
第十一章反常积分§1 反常积分的概念(一) 教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限教学要点——————————————————————————§1 反常积分概念一问题的提出例1在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球， 问初速度至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为m 地面重力加速度为g ，有万有引力定理， 在距地心x 处火箭受到的引理为22()mgR F x x =于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为22211()rRmgR dx mgR x R r =-⎰ 当r →∞时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功2222lim rr R RmgR mgR dx dx mgR x x ∞→∞==⎰⎰ 再由能量守恒定律，可求得处速度0v 至少应使200111.2(/)2mv mgR v km s =⇒=≈ 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x -时，水从小 孔里流出的速度为v =设在很短一段时间t ∆内，桶里水面降低的x高度为x ∆，则有下面关系：22R x v r t ππ∆=∆由此得2,[0,]t x x h ∆=∈所以流完一桶水所需的时间应为220(2()hf R t dx rgh x =-⎰但是，被积函数在(0,]h 上是无界函数，，所一我们取220lim (2()lim uf u h u hR t dx r g h x --→→=-==⎰相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
二 两类反常积分的定义 无穷限反常积分的定义⎰=AaA F )(，⎰+∞-+∞=aa F F f)()(.无穷限反常积分几何意义例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞∞-+21xdx的敛散性 .⑵ 计算积分⎰+∞++0252x x dx. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴ ⎰+∞1p xdx; ⑵⎰+∞2)(ln p x x dx. 例3 讨论积分⎰+∞axdx cos 的敛散性 .二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点）1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈ 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9 判断积分⎰-121xdx 的敛散性 .例10 讨论瑕积分⎰>10) 0 ( q xdxq 的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞0 p xdx的敛散性 . 2. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有⎰⎰∞+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====baab xb t dt t t b f dx x f 12111)(,3. 把瑕积分化成了无穷积分;设0>a , 有⎰⎰⎰∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====a aaxt tdtt g t dt t g dx x g 011022111 )(， 把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 . 例11 证明瑕积分⎰101sin 1dx x xα当2<α时收敛. 证明⎰⎰∞+-=====1211sin dt tttx α, 由例6 , 该积分当2<α时收敛.§2 无穷积分的性质与收敛判别(一) 教学目的：掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．(二) 教学内容：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题． (2) 举例说明：当⎰∞adx x f |)(|收敛时，不一定有lim ()0x f x →+∞=，由此使学生对柯西准则有进一步的理解．一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区) , [∞+a 上可积 , 且 ⎰+∞=akdx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间) , [∞+a 上可积 , 且 ⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )Th 积分⎰+∞adx x f )(收敛εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 . 3. 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判敛法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a , )(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim. 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤px 1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且 λ=+∞→)(lim x f x px . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx x x p 与⎰+∞1cos dx xxp) 0 (>p 的敛散性. 例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x . 例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果,积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 . 但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )§3 瑕积分的性质与收敛判别:Th ( 比较原则 ) 推论1 ( Cauchy 判别法 )推论2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) 例12 判别下列瑕积分的敛散性 :⑴⎰1,ln dx xx ( 注意被积函数非正 ). ⑵ ⎰21ln dx x x. 例13 讨论非正常积分⎰+∞-+011dx x x α的敛散性. [1]P330 E13 §4 C —R 积分与R 积分的差异:1. )(x f ∈R ],[b a , ⇒ 在],[b a 上)(x f =)1(0; 但)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上有界 . 例如函数⎩⎨⎧≠≥==. 1 , 0,, )(n x x n x n x f 但 2. )(x f ∈R ],[b a ,⇒|)(x f |∈R ],[b a ,但反之不确. R 积分是绝对型积分.|)(x f |在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 ,但反之不确. C —R 积分是非绝对型积分.3. )(x f ,)(x g ∈R ],[b a , ⇒ )(x f )(x g ∈R ],[b a ;但)(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(x f )(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积. 可见, )(x f 在区间) , [∞+a 上可积 , ⇒/ )(2x f 在区间 ) , [∞+a 上可积.。
第十一章反常积分【教学要求】1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别方法【教学重点】反常积分的含义与性质【教学难点】反常积分敛散性的判别【教学时数】8学时§1 反常积分概念【教学要求】深刻理解反常积分的概念【教学重点】反常积分的含义与性质【教学难点】反常积分的含义与性质【教学时数】2学时一、问题的提出例（P264）.二、两类反常积分的定义定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限（1），则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作,并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区上则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作有界且可积，如果存在极，并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分发散.，例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .⑵计算积分.例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴; ⑵.例3 讨论积分的敛散性 .例4 判断积分的敛散性 .例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .三、瑕积分与无穷积分的关系设函数连续 , 为瑕点. 有, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果四、作业P269 1(1)(3)(5)(7) 2(1)(4)(7)§2. 无穷积分的性质与收敛判定【教学要求】深刻理解反常积分敛散性的含义【教学重点】反常积分敛散性的判别【教学难点】反常积分敛散性的判别【教学时数】2学时一、无穷积分的性质⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积, 且.在区间上可积 , 在区间上可积 ,⑵和且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:Th 积分收敛 .⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .二、比较判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性判别法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则 < , < ；, .例6 判断积分的敛散性.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时, . ( 证 )推论2 （Cauchy判敛法）: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )设对任何>, , 且,且, .< ；若Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则ⅰ> < ；ⅱ> . ( 证 )例7 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ>三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.例8 讨论无穷积分与的敛散性.例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, , .由例6的结果, 积分收例10 ( 乘积不可积的例 ) 设,。
第十一章反常积分教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。
教学内容：§1 反常积分的概念（4学时）反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。
§2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时）无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。
§3 瑕积分的性质与收敛判别瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。
教学要求：掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。
1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点.2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。
§1 反常积分概念教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法．教学内容：无穷积分；瑕积分．教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出1、为什么要推广Riemann 积分定积分()ba f x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。
这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？解： 设地球半径为，火箭质量为，地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为于是火箭上升到距地心处需要做到功为当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：由此得所以流完一桶水所需的时间应为但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。
