2012 年（秋）季学期
课程名称：计算方法 C卷（闭卷）
2012 年（秋）季学期
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2012 年（秋）季学期
2012 年 秋 季 (计算方法) (C) 卷标准答案及评分细则
一、 填空题 （每题2分，共20分）
1、 截断 舍入 ；
2、则
()0n k
k l x =∑= 1 ，()0
n
k j
k
k x l x =∑=
j
x
，
4、 12 。
4、 2.5 。
5、10 次。
6、A 的各阶顺序主子式均不为零。
7
、1A ρ=+（） ，则6 A
∞
=。
二、综合题（共80分）
1. （本题10分）已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。
解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯
--+-+⨯+------⨯
=x x x x x x x L （6分）
)1)(1(34
)2)(1(23)2)(1(32-+--+---=
x x x x x x （2分）
04167.024
1
)5.1()5.1(2≈=
≈L f （2分）
2. （本题10分）用复化Simpson 公式计算积分()⎰=1
0sin dx x x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。
()()0.9461458812140611=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=
f f f S （3分）
()()0.94608693143421241401212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
f f f f f S （4分）
5-12210933.0151
⨯=-≈
-S S S I 94608693.02=≈S I （3分）
或利用余项：()()
-+-+-==!9!7!5!31sin 8
642x x x x x x x f () -⨯+⨯-=!49!275142)
4(x x x f
()51
)4(≤
x f
()()54
)
4(4
5
105.0528801
2880-⨯≤⨯≤
-=
n f
n a b R
η，2≥n ， =≈2S I
3. （本题10分）取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题
⎩⎨
⎧=+='1)0(32y y
x y )10(≤≤x ，并求02(.)y 的近似值。
答案：解：
⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)
0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y （6分）
即
04
.078.152.01++=+n n n y x y
（2分）
02(.)y =1.82 （2分）
4. （本题10分）写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
解：：
()()[]n n n x x x cos 141
1+=
=+φ，n=0,1,2,…（5分）
()()141
sin 41'<≤=
x x φ （3分）∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。
（2分）
5.（本题10分）用直接三角分解（Doolittle ）法解方程组 12312312
32314
252183520
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩。
答案：解：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==244132
11531
21LU A （6分） 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，（2分）y x =U 得T
)3,2,1(=x .（2分）
6、（本题10分）已知方程组Ax b =，其中
211121112A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
(1)列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式； (2) 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。
解：（1）Jacobi 迭代法：
112312131312121212
()()()
()()()
()()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩ （3分）
Gauss-Seidel 迭代法：
112311213111312121212
()()()
()()()
()()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩（3分）
（2）Jacobi 迭代矩阵：
11
10221
10221102
2
()B D L U -⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2分）
1()B ρ= 收敛性不能确定 （2分）
7. （本题10分）假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。
试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。
解：h r V 2π= （2分）
)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325 （6分）
V
V
V -*=2r r r -*=0.0002 （2分）
8. （本题10分）已知数值积分公式为：
)]
()0([)]()0([2)(''20
h f f h h f f h
dx x f h
-++≈⎰
λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精确度尽量高，
并指出其代数精确度的次数。
解：1)(=x f 显然精确成立；（1分） x x f =)(时，
]
11[]0[22220
-++==⎰
h h h h xdx h
λ；（2分）
2)(x x f =时，12122]20[]0[2332
230
2
=
⇒-=-++==⎰λλλh h h h h h h dx x h
；（2分）
3)(x x f =时，]
30[121
]0[24223403
h h h h h dx x h
-++==⎰；（2分）
4)(x x f =时，6]40[121]0[2553
2450
4
h h h h h h dx x h
=
-++≠=⎰；（2分）
所以，其代数精确度为3。
（1分）
（10分）。
