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复变函数与积分变换期末考试试卷（A 卷）一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
第二章 解析函数一、选择题：1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。
2．B 注： 函数)(z f 在点z 可导，)(z f 在点z 不一定解析；反之，)(z f 在点z 不解析，则函数)(z f 在点z 可导；函数)(z f 在一 区域内处处可导等价于处处解析3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；B 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不一定不可导C 解析的条件; v u ,在区域D 内可微，v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，4． C 由柯西黎曼方程可得。
5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。
6．C 注：选项A ，B ，D 中函数)(z f 只是有定义，并为要求解析。
反例：x i x z f sin cos )(+= 选项C 设解析函数),(),()(y x iv y x u z f += 则 解析函数 ),(),()(y x iv y x u z f -=两式相加得到解析函数),()(y x u z g 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此0=∂∂xu 两式相减得到解析函数),()(y x v z h 2= 满足柯西黎曼方程 ，因此 0=∂∂xv 所以，函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导数0=∂∂+∂∂=x v i x u z f )(' 根据：第二节例2.3的结论： 解析函数若)(z f '在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。
7．A 导数公式 xv i x u z f y x iv y x u z f ∂∂+∂∂=+=)('),(),()(，则导数若 8．A 注： 本题 函数是 z e ，不是 ze 。
))sin()(cos(y i y e e e x iy x z -+-==-判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
复变函数与积分变换试卷 本试卷分两部分，第一部分为选择题， 1页至 3页，第二部分为非选择题， 4页至 8 页，共 8 页；选择题 40 分，非选择题 60 分，满分 100 分，考试时间 150 分钟。
第一部分 选择题一、单项选择题 (本大题共 20小题，每小题 2分，共 40 分>在每小题列出的四个选项中只 有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
b5E2RGbCAP1． 复数的辐角为 < )A ． arctanB ． -arctanC ． π - arctanD ． π+arctan p1EanqFDPw2．方程A ． 圆所表示的平面曲线为 < )B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 DXDiTa9E3d3．复数的三角表示式为 <)A ．B ．C ．D ．4．设 z=cosi ，则 A ． Imz=0<)B ． Rez= πC．|z|=0D ．argz=π RTCrpUDGiT5．复数 对应的点在 < )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．设 w=Ln(1-I>, 则 Imw 等于 < ) A ． B ．C ．D ．7． 函数 把 Z 平面上的扇形区域： 映射成 W 平面上的区域<)A ．B ．C ．D ．8．若函数 f(z>在正向简单闭曲线 C 所包围的区域 D 内解读，在 C 上连续，且 z=a 为 D 内任一点， n 为正整数，则积分 等于 < ) 5PCzVD7HxAA ．B ．C ．D ．9．设 C 为正向圆周｜ z+1|=2,n 为正整数，则积分 等于< )<0)18．下列积分中，积分值不为零的是 < )A ．B ．C ．D ．A ．B ．2πiC ．0D ．10．设 C 为正向圆周 |z|=1，则积分 等于 <A ．0B ．2πiC ．2πD．11．设函数 f(z>=，则 f<z )等于 <A ．B ．C ．D ．12．设积分路线 C 是帖为 z=-1 到 z=1 的上半单位圆周，则等于<A ．B ．C ．D ．13．幂级数的收敛区域为 <)A ．B ．C ．D ．14．是函数 f(z>=A ．一阶极点奇点B ．可去奇点C ．一阶零点D ．本性15． z=-1 是函数的<A ．极点3 阶极点B ．4 阶极点C ． 5 阶极点D ． 6 阶16．幂极数的收敛半径为 <A ．B ．1C ．2D ．＋17．设 Q<z ) 在点 z=0 处解读，,则 Res[f(z>,0]等于 <)A ． Q<0)B ．－ Q<0 )C ． Q ′<0)D ．－ Q ′19．映射下列区域中每一点的伸缩率都大于 1 的是<)B ．D ．第二部分 非选择题<共 60 分)二、填空题 <本大题共 10空，每空 2分，共 30 分) 不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
学号和姓名务必正确清楚填写。
因填写错误或不清楚造成不良结果的，均由自己负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。
系别专业班级姓名XXXX学院 2016— 2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30 20 30 30复查人得分答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一吻合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。
）勿1. Re(i z) ( )超过 A. Re(i z) B. Im(i z)此 C. Im z D. Im z密2. 函数f ( z)2( )封z 在复平面上线 A. 各处不连续 B.各处连续，各处不可以导， C. 各处连续，仅在点z 0 处可导 D. 各处连续，仅在点z 0 处剖析否1，则a b的值则 3. 设复数a与b有且仅有一个模为( )视1 abA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D.为无量大无4. 设z x iy， f ( z) y i x ，则 f ( z) ( )效 A. 1 i B. i C. 1 D. 0。
C z 1sin z2 i ，则整数n 等于设是正向圆周，5. C z n dz ( )A. 1B. 0C. 1D. 26. z 0 是f (z)e z 1的( )z2A. 1 阶极点B. 2 阶极点C. 可去奇点D. 本性奇点7. 幂级数( 1)n z n 的和函数是( )n 02n n!z zA. e zB. e2C. e 2D. sin z8. 设C是正向圆周z 2 ，则dz( )C z2A. 0B. 2 iC. iD. 2 i9. 设函数f ( z)在0 z z0 R (0 R ) 内剖析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是( )A. lim f (z) a （a为复常数）B. lim f ( z)z z0 z z0C. lim f (z) 不存在D. 以上都对z z010. ln z 在 z 1处的泰勒级数张开式为( )A. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11B. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 1 n 1 n 1 nC. ( 1) n ( z 1)n 1, z 11D. ( 1)n ( z 1)n , z 1 1n 0 n 1 n 0 n得分评卷人复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )11. z 1 2i 的共轭复数 z ________ .12. 设 z (2 3i )( 2 i ) ，则arg z ________ .13. 在复平面上，函数 f (z) x2 y 2 x i (2xy y2 ) 在直线________ 上可导 .14. 设 C 是正向圆周z 1 ，则cos5z________ .dzC z15. 若级数z n收敛，而级数z n发散，则称复级数z n为________ .n 1 n 1 n 1《复变函数》试卷第 1页（共 4 页）《复变函数》试卷第2页（共4页）1 / 3得分评卷人复查人5 小题，每题8 分，共 40 分 ) 1 i 2dz .三、计算题 ( 本大题共20. 计算积分z16.利用柯西 - 黎曼条件谈论函数 f (z) z的剖析性 .17. 判断数列2017 ni 的收敛性 . 若收敛，求出其极限 . 得分评卷人复查人z n三、证明题 ( 本大题共 1 小题，每题 15 分，共 15 分 )n 121. 试证明柯西不等式定理: 设函数f ( z)在圆C : z z0 R 所围的地域内剖析，且在 C上连续，则f ( n) ( z0 ) Mn! ( n 1,2,...)R n其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.18. 求在照射w z2下， z 平面上的直线z ( 2 i )t 被照射成 w 平面上的曲线的方程.19. 求e z在z0 处的泰勒张开式.《复变函数》试卷第 3页（共 4 页）《复变函数》试卷第4页（共4页）2 / 33 / 3XXXX 学院 2016-2017 学年度第一学期期末考试复变函数 答案（ A 卷）一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1 －5 C C B B D 6-10 A C A B C二、单项选择题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）11. 1 2i 12. arctan813. 1y 14. 2 i 15.2条件收敛三、计算题（本大题共 5 小题，每题 8 分，共 40 分） 16. 解：因 f ( z)z x iy ，故 u( x, y)x, v(x, y)y ，从而u 1,u 0,u 0,u 1,x yxy因此在任何点 ( x, y) 处，uv，因此 f (z) 在复平面内各处不剖析。
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
吉林师范成人教育期末考试试卷《复变函数与积分变换》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题(每空2分，共16分)1.复数-2是复数________的一个平方根。
2.设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
3.设a>0，则Lna=________。
4.记号Res z=af(z)表示________。
5.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。
6.方程z=t+i t(t 是实参数)给出的曲线为________。
7.设幂级数∑c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则c n =______(n=0,1,…)。
8.cosz 在z=0的幂级数展式为________。
二、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。
每小题2分，共14分)1.lim z 0→e z =∞.( ) 2.设z 0为围线C 内部的一点，则∫c dz z z -0=2πi.( ) 3.若函数f(z)在围线C 上解析，则∫c f(z)dz=0.( )4.z=0是函数124-e z x的4级极点。
( )5.若z 0是f(z)的本性奇点，则z 0是f(z)的孤立奇点。
( )6.若f(z)在|z|≤1上连续，在|z|<1内解析，而在|z|=1上取值为1，则当|z|≤1时f(z)≡1.( )7.若f(z)与f(z)都在区域D 内解析，则f(z)在D 内必为常数。
( )三、完成下列各题(每小题5分，共30分)1.求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。
2.试证：复平面上三点a+bi,0,1-a +bi 共直线。
3.计算积分∫c (x-y+ix 2)dz,积分路径C 是连接由0到1+i 的直线段。
4.说明函数f(z)=|z|在z 平面上任何点都不解析。
5.将函数z +1z (z -1)2在圆环1<|z|<+∞内展为罗朗级数。
