学案 2015.

【考点概述】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题． 【重点难点】三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题．【命题趋势】1、 近几年高考命题加强了对知识综合性和应用性的考察，故三角形中三角问题常常与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变形的技能及三角函数的应用意识．2、解三角形问题在高考中经常以填空题出现（2010年江苏卷第13题，2010年上海理科卷第18题，2010年全国理科卷第16题、2010年天津理科卷第15题、2010年北京理科卷第10题、2010年广东理科卷第11题、2010年山东理科卷第15题等），但近几年来以解答题形式出现的频率较高（2010年江苏卷第17题、2010年陕西理科卷第17题、2010年福建理科卷第19题、2009年海南理理科卷第17题、2009年天津理科卷第17题、2009年辽宁理科卷第17题、2009年安徽理科卷第16题、2009年浙江理科卷第18题等），因为与实际问题的联系密切，今后这部分仍然是高考命题的一个热点．【知识要点】：1、 正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A BC a b c =利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理：=2a A bc cb cos 222-+； cos A ＝bca cb 2222-+=2b B ac c a cos 222-+； cos B ＝acb c a 2222-+=2c C ab b a cos 222-+； cos C ＝abc b a 2222-+利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21=∆＝A bc B ac sin 21sin 21=．4、射影定理： a ＝c cos B ＋b cos C ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A ，【基础训练】1、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-，求sin B ＝ ． 2、在ABC ∆中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝5︰7︰8，则B ＝ ．3、在ABC ∆中，B A sin sin >是A ＞B 的 条件（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”）．4、在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos ABb a =则ABC ∆的形状是 ．【典例分析】：例1、（1）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝32，A ＝30°，则B ＝ ．变式1：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，则边c ＝ ．变式2：在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝33，b ＝32，A ＝30°，则B 有几解？例2：在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2sin2)2cos(12CB A +=++π． (Ⅰ)求角A 的大小；（Ⅱ）当a ＝6时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．例3：如图：在ABC ∆中，若4,7b c ==，BC 的中点为D ，且72AD =，求cos A ．【巩固练习】1、（2010年北京理10）在△ABC 中，若b ＝ 1，c23C π∠=，则a ＝ ． 2、( 2010年上海理18) 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人根据上述条件，下列说法正确的是 ．（1）不能作出这样的三角形 （2）可作出一个锐角三角形 （3）可作出一个直角三角形 （4）可作出一个钝角三角形3、(2009年广东理6) 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ． 4、(2010年广东理11)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，bA ＋C ＝2B ，则sinC ＝ .5、 (2010年全国理16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC的面积为3∠BAC ＝______ _ ．【课外作业】1、（2010年山东理15）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．2、(2007年山东理11)在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的序号是 ．（1）2AC AC AB =⋅ （2） 2BC BA BC =⋅ （3）2AB AC CD =⋅ （4） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=3、(2008年海南理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．4、（08江苏高考13）满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．5、（2010年天津理7）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -=， sin C ＝B ，则A ＝ ．6、（2010年天津理15）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，1==BC ，则AC AD ⋅＝7、（2010年江苏高考17）（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，，请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大E【反思感悟】1、 解三角形常用方法：“化边为角”， “化角为边”．2、 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的个数问题．3、 正、余弦两个定理的的灵活运用及内涵（余弦定理的向量本质）．4、 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝兀，2222π=++C B A 中互补和互余的关系，结合诱导公式可以减少角的种数． 5、三角形中的动态最值问题的解法．课外探究：已知a ，b 及一边对角A ，则三角形解的情况．。

一教材分析1．教学内容高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。

本章主要研究圆锥曲线的定义方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。

2．教材的地位与作用前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。

本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。

由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。

考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。

本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。

这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。

3．教学重点和难点圆锥曲线统一定义及其应用。

突破方法：（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。

（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。

4．教学目标知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。

能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。

（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。

（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。

情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。

（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。

二教法分析高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。

所以设计问题时应考虑灵活性。

采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。

在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。

通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。

《祖国统一大业》导学案年级：高一编写人：审核人：编制时间：【知识链接】港澳台问题的由来：香港: 略澳门：1512年，葡萄牙人以进贡为名来广东从事人口贩卖活动;1535年，贿赂地方官吏，取得在澳门码头停靠船舶进行贸易的权力;1553年，借口曝晒水渍货物，强行上岸，并长期霸占澳门半岛;1840年，乘机巩固和扩大在澳门侵占的地盘;1851年，占领凼仔岛;1864年，占领路环岛;1887年强迫清政府签订《中葡北京条约》，之后葡萄牙一直占领澳门并把澳门作为其领土。

台湾：元朝：设澎湖巡检司，管辖台湾澎湖等岛屿，台湾正式归属中央政权；1662年：郑成功打败荷兰殖民者，收复台湾；1684年：清政府在台湾设立了台湾府，隶属福建省；1885年：中法战争后在台湾设立行省；1895年：通过《马关条约》日本强占台湾；1943年：《开罗宣言》规定日本把台湾归还中国，抗日战争胜利后回归祖国；1949年：蒋介石逃往台湾，海峡两岸再度分离。

教学反思：本课依据课程标准要求，突出重点问题“一国两制”的理论和实践，和难点问题认识实现祖国完全统一对中华民族复兴的伟大历史意义，认真设计了层层递进，有梯度并且能够联系现实，学生感兴趣能解答的问题，适当穿插师生的互动活动，调动学生主动学习，积极探究的求知精神，课堂学习气氛浓厚，在潜移默化中得到爱国主义的情感熏陶，取得良好的教学效果。

本课内容是学生们比较关心和感兴趣的热点问题，因此，我在设计课堂教学时，通过展示史料、播放音乐和影视片段等多媒体手段激发学生兴趣，综合运用启发导学法、讨论法、演示法、比较法等多种教学方法，并采用问题讨论、小组合作、个体探究等活动方式相结合，以“启发——引导——讨论——探究——评价分析——总结”为主线的教学模式进行。

课后，我了解到大部分学生都达到了教学的基本要求，部分学生能运用历史知识较为客观、科学地分析海峡两岸问题；但我也发现学生分析分析问题时缺乏发展的眼光和创新的思维，在日后的教学中，我会加强对学生此方面能力的培养。

What can we do to help the blind?We can help them out by reading newspaper to them.校区：教师: Frank课次：姓名：内容: Unit 2 I’ll help to clean up the city parks. ( Section A)PhrasesNo Meaning Phrasesclean up1打扫（或清洁）干净cheer up2（使）变得更高兴，振奋3分发，散发give out4想出，提出come up with5推迟put off6分发hand outcall up7打电话给某人，征召8曾经…过去…used to9照顾，非常喜欢care fortry out10参加…选拔，试用Part A * * 原文呈现Section A: 1b1. The girl could visit the sick kids in the hospital to cheer them up.2. The boy could give out food at the food bank.3. The girl could volunteer in an after-school study program to teachkids.4. The boy could help to clean up the city parks.Section A: 2b1. We need to come up with a plan to tell people about the city parkclean-up.2. Clean-up Day is only two weeks from now. We can’t put off makinga plan.3. We could put up signs.4. Let’s make some notices, too. Then I’ll hand them out after school.5. We could each call up 10 students and ask them to come.Section A: 2dHelen: Hi, Tom. I’m making some plans to work in an old people’s home this summer.Tom: really? I did that last summer!Helen: Oh, what did they ask you to help out with?Tom: Mmm… things like reading the newspaper to the old people, or just talking to them. They told me stories about the past and how things used to be.Helen: That sounds interesting.Tom: Yeah, a lot of old people are lonely. We should listen to them and care for them.Helen: You’re right. I mean, we’re going to be old one day, too.Section A: 3aStudents who volunteerMario Green and Mary Brown from Riverside High School give up several hours each week to help others.Mario loves animals and wants to be an animal doctor. He volunteers at an animal hospital every Saturday morning. Mario believes it can help him to get his future dream job. “It’s hard work,” he says, “but I want to learn more about how to care for animals. I get such a strong feeling of satisfaction when I see the animals get better and the look of joy on their owners’ face.”Mary is a book lover. She could read by herself at the age of four. Last year, she decided to try out for a volunteer after-school reading program. She still works there once a week to help kids learn to read. “The kids are sitting in the library, but you can see in their eyes that they’re going on a different journey with each new book. Volunteering here is a dream come true for me.I can do what I love to do and help others at the same time.”Read “3a” and finish the following tasks.1. Why do Mario and Mary volunteer to help others?2. What do they say about volunteering?3. Mario would like an animal doctor.4. He works for an animal hospital because he wants abouthow____________ animals.5. Mary decided out for a job at an after-school readingprogram last year. She still works there now kids learn toread.6. Mary has a dream job because she can do what she loves . Grammar FocusI’d like to help homeless people.She decided to try out for a volunteer after-school reading program.You could ask hospitals to let you visit the kids and cheer them up.Mario believes it can help him to get his future dream job.She volunteers there once a week to help kid learn to read.I’m making some sign s to put up around the school.4aFill in the blanks with the phrasal verbs in the box.1. I want to _______ my plan to work in an animal hospital untilnext summer. I’m too busy with my studies this year.put uphand outcall upcheer upcome up withgive output off2. She hopes to _______ at least five primary schools to ask if they needvolunteers for their after-school programs.3. Our class is trying to _______ some ideas to _______ sick childrenbecause they are often sad.4. We decided to _______ signs around the school and _______ notice sto tell students about the book sale. We will _______ themoney from the sale to homeless people.4bin the blanks with the correct forms of the verbs in the box.help move do make visit spendMost people today are only worried about getting good jobs ______ lots of money. In their free time, they think about what ______ for fun. However, few people think about what they can do ______ others. There are many people who are less lucky than us. Volunteering our time to help these people is a good way ______ our free time. For example, we can make plans ______ sick children in the hospital or raise money for homeless people. Some people even stop doing their jobs for a few months to a year ______ to another place, like one of the countries in Afica, and help people there.4cComplete the sentences with your own ideas, Use infinitives.1. I’d like to volunteer __________________________________.2. At 12:00 a.m., I called my friend ________________________.3. I’m very busy but I could help __________________________.4. Summer vacation is coming, and I want ___________________ .5. I want to travel alone. My parents told me (not) _____________.重点句子1. 我们需要为城市公园的清洁日制定一个计划。

青州一中高二政治导学案编制：崔媛审核：吕海涛审批：日期：2015年9月日第九课建设社会主义文化强国第2课时建设社会主义精神文明【学习目标】知识与技能：识记社会主义精神文明建设的重要性和根本任务，知道精神文明建设的内容与途径。

明确教育、科学和文化事业在社会主义精神文明建设中的作用。

能力目标：提高运用马克思主义立场、观点分析文化现象的能力，自觉坚持先进文化的前进方向，积极参与社会主义精神文明建设的能力。

情感、态度和价值观：积极参加各种形式的精神文明创建活动，投身于社会主义精神文明建设的伟大实践，做社会主义先进文化的传播者。

学习重点：（1）社会主义精神文明建设的根本任务。

（2）如何建设社会主义精神文明学习难点：建设社会主义精神文明，必须深化文化体制改革，解放和发展文化生产力。

【课前预习案】使用说明：根据预习提纲，约用10分钟时间，勾画课本知识并写出提示语，理清思路并尝试记忆基础知识。

【教材梳理】一、培育“四有”公民1、为什么加强社会主义精神文明建设？建设社会主义文化强国，必须推动社会主义精神文明和物质文明全面发展；走中国特色社会主义文化发展道路，必须努力建设社会主义精神文明。

精神文明建设搞好了，人心凝聚，精神振奋，各项事业才会全面兴盛。

精神文明建设搞不好，人心涣散，精神颓废，各项事业都难以搞好。

2、建设社会主义精神文明的根本任务是什么？培育一代又一代有理想、有道德、有文化、有纪律的公民，提高整个中华民族的思想道德素质和科学文化素质，以适应社会主义现代化建设的需要。

二、发展教育、科学和文化事业1．优先发展教育事业2．大力发展科学事业3．大力发展文化事业和文化产业（怎样发展？）①建设社会主义精神文明，必须深化文化体制改革，解放和发展文化生产力②要大力发展公益性文化事业，保障人民基本文化权益③加快发展文化产业，推动文化产业成为国民经济支柱性产业。

④要努力为人民提供广阔文化舞台，让一切文化创造源泉充分涌流，开创全民族文化创造活力持续迸发、社会文化生活更加丰富多彩、人民基本文化权益得到更好保障、中华文化国际影响力不断增强的新局面。

第一节集合【考纲下载】1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.集合间的基本关系表示 关系文字语言记法 集合 间的 基本 关系子集集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素 A ⊆B 或B ⊇A 真子集集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于AA ⊂B 或B ⊃A 相等 集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，集合B 的每一个元素也都是集合A 的元素A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B 且B ≠∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集 符号 表示A ∪B A ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形 表示意义{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合．2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．3．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n－1个真子集．1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝() A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．2．(2013·重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为()A．3 B．1 C．±1 D．1或3解析：选D因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.4．满足A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.答案：75．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x ＜2}．答案：{x|1≤x＜2}前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解．[典例](2013·广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[解题指导]先要理解新定义集合S中元素的性质：(1)x，y，z∈X；(2)x＜y＜z，y＜z ＜x，z＜x＜y恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征．[解析]法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，则有x＜y＜z，①y＜z＜x，②z＜x＜y，③三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)∈S，则有z＜w＜x，④w＜x＜z，⑤x＜z＜w，⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种，①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种，①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种，②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种，③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3, 4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S.[答案] B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素的大小关系进行分类讨论．(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解．有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少．例如，对于集合A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{2,4,6，…，2n ，…}，我们可以设计一种方法得出A 与B 的元素个数一样多的结论．类似地，给出下列4组集合：①A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{31,32,33，…，3n ，…}；②A ＝(0,2]与B ＝[－3，＋∞)；③A ＝[0,1]与B ＝[0,3]；④A ＝{x |－1≤x ≤3}与B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}．其中，元素个数一样多的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：选D 可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合．①y ＝3x (x ∈N *)；②y ＝1x －72(0＜x ≤2)；③y ＝3x (0≤x ≤1)；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1＜x ≤0，x 2＋1，0＜x ≤3.综上，元素个数一样多的有4组．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sinx <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法 记法 条件p 、q 对应的集合分别为A 、B关系A ⊆BB ⊆AA ⊂B B ⊂ A A ＝BA ⊄B 且B ⊄ A 结论p 是q 的充分条件p 是q 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，可知⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <ax |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－ax |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.⌝和q⌝之间的关系p、q之间的关系p⌝是q⌝的必要不充分条件p是q的充分不必要条件p⌝是q⌝的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p⌝是q⌝的充要条件p是q的充要条件p⌝是q⌝的既不充分也不必要条件p是q的既不充分也不必要条件p第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考纲下载】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.⌝的真假判定1．命题p∧q、p∨q、p⌝p q p∧q p∨q p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，⌝p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，⌝p(x)1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题．2．全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题的真假性有什么关系？提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题的真假性恰好相反．1．若命题“p或q”与命题“⌝p”都是真命题，则()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假解析：选B由题可知“⌝p”是真命题，所以p是假命题，又因为“p或q”是真命题，所以q是真命题．2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(⌝p)∨(⌝q) B．p∨(⌝q)C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨q解析：选A命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．3．(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则()A．⌝p：∃x∈A,2x∈BB．⌝p：∃x∉A,2x∈BC．⌝p：∃x∈A,2x∉BD．⌝p：∀x∉A,2x∉B解析：选C选C因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为⌝p：∃x∈A,2x∉B.4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A．⌝p B．qC．(⌝p)∨q D．(⌝q)∧p解析：选D依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此⌝p是假命题，(⌝q)∧p是真命题，(⌝p)∨q是假命题．5．已知命题p：∃x0≥0,2x0＝3，则()A．⌝p：∀x＜0,2x≠3B．⌝p：∀x≥0,2x≠3C．⌝p：∃x0≥0,2x0≠3D．⌝p：∃x0＜0,2x0≠3解析：选B因为命题p：∃x0≥0,2x0＝3为特称命题，所以⌝p：x≥0,2x≠3.易误警示(一)含有量词命题的否定中的易错点[典例](2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则⌝p是() A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[解题指导]首先分析命题中所含有的量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后再对命题进行否定．[解析]题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．[答案] C[名师点评] 1.若忽视对量词的改写，易错选D；若对不等号改写不准确，易误选A.2．解决此类问题，还常出现以下错误：有的全称命题的全称量词往往可以不写，从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词．如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”．3．为避免上述错误，对含有一个量词的命题进行否定时，应重点关注以下几点：(1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整体上把握，明确其否定的实质．(2)明确命题的类型，是全称命题还是特称命题．(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.第一节函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素函数由定义域、值域、对应关系三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：自变量x的取值范围．(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析式法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按照确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和x对应，那么就称对应f：A→B叫做从集合A 到集合B的一个映射．1．函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定．3．已知函数f(x)与g(x)．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ (2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是( )解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．3．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，即0≤x <1.4．(2014·青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为________．解析：由题易知，f (2)＝4，1f (2)＝14，故f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 答案：15165．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32时，x ＝30°.答案：1230°数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2014·西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2(x ≤0)，2(x >0). 当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.第二节 函数的单调性与最值【考纲下载】1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2. 会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 2．单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．3．函数的最值前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 是y ＝f (x )的最大值M 是y ＝f (x )的最小值1．如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能．如函数y ＝1x 在(0，＋∞)及(－∞，0)上都是减函数，但函数y ＝1x 在定义域上不是单调函数．2．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”将它们连接起来．如函数y ＝1x 的单调递减区间有两个：(－∞，0)和(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝1xC ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x |解析：选D 函数y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－x 2＋4在(0,1)上都是减函数，y ＝|x |在(0,1)上是增函数．2．(教材习题改编)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：选C 函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 的对称轴为x ＝1－a3，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，1－a 3.所以1－a 3≥1，即a ≤－2.3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选C 由题意知，函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，∴⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0.∴x ∈(－1,0)∪(0,1)． 4．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 5．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]．下列命题： ①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．解析：易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.答案：①③④方法博览(二)五招破解函数的最值问题1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[典例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．[解题指导] 将函数整理成关于e x ＋e －x 的一元二次函数，然后利用配方法求解．[解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x ，则t ≥2，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2.因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后根据单调性求函数的最值． [典例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．[解题指导] (1)先判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，然后求最值；(2)f (x )＞0恒成立⇔f (x )min ＞0.[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3>0，a >－3.所以0<a ≤1.③当a >1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2，2a ＋2>0，显然成立．综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3，＋∞)． [点评] 不等式m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ，m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min . 3．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．[典例3] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．[解题指导] 依据新定义，将f (x )化简为分段函数，画出图象求解． [解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.所以f (x )＝⎩⎨⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝32. [答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．4．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式，灵活选择换元的方法，以便将复杂函数的最值问题转化为简单函数的最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[典例4] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．[解题指导] a 2＋2b 2＝6可变形为⎝⎛⎭⎫a 62＋⎝⎛⎭⎫b 32＝1，故可考虑利用三角换元求解． [解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R ， 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3[点评] 在用换元法时，需特别注意换元后新元的取值范围，如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 确定的．5．基本不等式法(见第六章第四节基本不等式)第三节函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数及其图象特征奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．若函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上有奇偶性，则实数a，b之间有什么关系？提示：a＋b＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定。

1、（a 1+a 2）(b 1+b 2)展开式共有____项，每一项都形如j i b a 形式，括号展开时，每个括号2项，先用期中一项与另一个括号相乘，（a 1+a 2）(b 1+b 2)=a 1 (b 1+b 2)+ a 2 (b 1+b 2)= a 1 b 1+a 1b 2+ a 2b 1+ a 2b 22、（a 1+a 2）(b 1+b 2)（c 1+c 2）展开式共有____项, 每一项都形如k j i c b a 形式.3、（a+b ）2=（a+b ）（a+b ）展开式=a (a+b)+ b(a+b)=b b a b b a a a ⋅+⋅+⋅+⋅=222b b a a +⋅+相当于每个括号先取一个字母与另一份括号中的一个字母相乘 若2个括号，全部取出a ，即0222b aC a C ⋅ 若2个括号，有一个取a ，即b aC C 1112若2个括号，全部取出b ，即00222a bC b C ⋅2022*********)(b a C b a C b a C b a ++=+∴=+∴3)(b a=+∴n b a )(1、（1-x ）3(1+x) 展开式中常数项____________2、（1+2x ）(1-x 2) 展开式中常数项____________3、6)(z y x ++展开式中123z y x 系数__________.1、3033212321303031)1(1)1(1)1(1)1(⋅-+⋅-+⋅-+⋅-x C x C x C x C =2、1010103103210211022221C C C C ++++= 3.1)2(4)2(61)2(4)1(234+-+-+⋅-+-x x x x =n b a )(+展开式中第r+1项=+ 1r T ___________1.在1851⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项_____________2．在82x ⎛ ⎝的展开式中常数项是3.已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120， a=___________ 4.6)3(y x +的二项展开式中，X 2y 4项的系数是（ ）A. 45B. 90C. 135D. 2705.在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,4x 的系数为 （ ）6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） 7．在222)21(-+xx 的展开式中，常数项为________8.nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+231的展开式中含常数项，n 最小值为_______.9．在18333⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，有理项的个数是_________A 、－5B 、 5C 、10D 、－1010．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ ）A ．6B ．-6C ．9D ．-91.n x )1(+=n n n n n n n x C x C x C x C C +++++......332210 2．展开式中二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…,nn C 和推导。