福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试数学(文)试题

⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．下面给出的四组函数中，)(x f 和)(x g 是同一个函数的是（ ）A ．11)(,11)(2--=+=x x x g x x f B ．x x g x x f 222log 2)(,log )(==C ．|1|)(,)1()(2-=-=x x g x x fD ． 0)(,1)(x x g x f ==3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．函数23-+=x x y 在1=x 处的导数为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若0,0>>y x ，则下列不等式成立的是（ ）A ．x y x y ->22B ．x y x y -<22C ．x y x y -≤22D ．x y xy -≥228．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则x 的值是（ ）A ．125-B ．125 C ．－31 D ．31 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．应用简单随机抽样方法，从总数为N 的一批产品中抽取一个容量为20的样本，若每个产品被抽取的概率均为0.1，则N = . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.已知数列{}n a 为等差数列，且.30,226352=+=+a a a a（1）求{}n a 的通项公式；（2）设*)(2N n a b n n ∈=，求{}n b 的前n 项和.n S已知三次函数)0(5)(23≠++-=a d cx x ax x f 图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且)(x f 在x =3处有极值. （1）求)(x f 的解析式；（2）若当),0(m x ∈时，)(x f >0恒成立，求实数m 的取值范围.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在过边AC 的中点D ，且不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，使得||||=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（文科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．200；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---= C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288……………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒⎩⎨⎧≥----≠0)()232(22a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）设等差数列首项为1a ，公差为d ，则………………………………1′⎩⎨⎧=+=+3072225211d a d a ………………………………3′解得⎩⎨⎧==411d a 344)1(1-=⋅-+=∴n n a n ………………6′（2）*)(2N n a b n n ∈=2183211321)21(243)2222(49)324()324()324()324(33232321'--='---⋅=-++++='-⋅++-⋅+-⋅+-⋅=++++=∴+ n n nb b b b S n n n n nn21．解：（1）)(x f 图象过点C （1，8） 85=++-∴d c a ………①………………1′Cx ax x f +-='103)(2点（1，8）处的切线经过（3，0），,43108)1(-=--='∴f 即4103-=+-c a63=+∴c a ………………②………………………………3′又)(x f 在3=x 处有极值.3027,0)3(=+='∴c a f 即……………③…………………………4′联立①、②、③解得9,3,1===d c a 935)(23++-=∴x x x x f ……………………………………………………6′（2）)3)(13(3103)(2--=+-='x x x x x f由0)(='x f 得3,3121==x x ……………………………………………………7′ 当)31,0(∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增 9)0()(=>∴f x f ；…………………………………………………………9′当)3,31(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减 0)3()(=>∴f x f 又0)31(>f 又),0(0)(,3,0)3(m x f m f 在时当>>∴= 内不恒成立…………………………11′∴ 当且仅当]3,0(∈m 时，),0(0)(m x f 在>内恒成立m ∴取值范围为]3,0(……………………………………………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a b y a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴CB CA a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）由已知得D （0，)3,0(),23G 设)0(23:≠+=k kx y l 代入双曲线方程，整理得：04213)3(22=---kx x k ……………………………8′直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设),(),,(2211y x N y x M 0)3(219,03222>-+=∆≠-∴k k k 且解得3,0221221±≠≠<<-k k k 且 根据韦达定理：)3(421,33221221k x x k k x x --=⋅-=+…………………………9′ 又设MN 中点为F （00,y x ），则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=)3(2923)3(23)(212002210k kx y k k x x x …………………………11′ l GF ⊥∴=||||000,13x kx y 消去-=-∴、0y 得： 1,1)3(233)3(29222=-=---k kk k k0,1>∆±=∴满足k …………………………………………………………13′∴存在直线23:+±=x y l ，满足题设要求………………………………14′。

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.）1. 设全集是实数集，已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题选择C选项.2. 已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】即的共轭复数对应的点位于复平面的第四象限.本题选择D选项.3. 已知数列为等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4. .我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示.故它的体积为.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5. .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依据程序框图进行循环运算：第一次第二次第三次第四次第五次跳出循环，输出本题选择B选项.点睛：利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.6. 将函数（）的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，解得，当时,ω取得最大值为.本题选择B选项.7. 已知实数，满足，若使得目标函数取最大值的最优解有无数个，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如下图所示.由得；当时，直线化为，此时取得最大值的最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值，此时最优解只有一个C点，不满足条件；当时，直线截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线与AC 平行，由直线AC的斜率，解得；综上，满足条件的.本题选择D选项.点睛：简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．8. 若圆：（）始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程为，由题意知直线经过圆的圆心(−1,−1)，因而.时取等号.的最小值为3.本题选择A选项.9. .下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于①，若，则显然成立；若a，成立；若，成立；故对任意的a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件，故①正确；对于②，在△ABC中，若A>B，则a>b，又由正弦定理知，a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，故②正确；对于③,非零向量若,则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；对于④,∵，；同理可得,；，故④正确。

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足•1z i i =+，则z =（ ） A .1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】由题意，得1i1i iz +==-.故选B. 2.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A.11a b> B.11a b a>- C. |a|>|b|D. 22a b >【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立； 选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立； 选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥0．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ￢∧C. p q ∧￢D. p q ∧￢￢【答案】B 【解析】 【分析】先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】命题p ：∃x=0∈R ，使x 2-x+1≥0成立． 故命题p 为真命题；当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选B ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．4.“0x ≠”是“0x >”的（ ） A. 充分而不必要 B. 充分必要条件． C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由条件得0x ≠，则x 值可以小于0可以大于0，故推不出0x >；反之，当0x >时，一定有0x ≠．故“0x ≠”是 “0x >”的必要而不充分条件.故答案为C ．5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A. “若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B. “p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C. “22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ” D. “若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题【答案】C 【解析】选项A 中，由否命题的定义知，结论正确．选项B 中，由“p q ∧是真命题”可得“p q ∨是真命题”，反之不成立．故“p q ∧是真命题”是“p q∨是真命题”的充分不必要条件．所以B 正确．选项C 中，“22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃>-≤ ”，故C 不正确．选项D 中，所给命题的逆命题为“若()2f x ax bx c =++是偶函数，则0b =”为真命题．故D 正确．选C ．6.设0,0a b >>，若3是3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A .5B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】∵3是3a 与23b 的等比中项， ∴222333(3)3a b a b +⨯===， ∴21a b +=， ∴212144(2)()4428b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =且21a b +=，即11,24a b ==时等号成立．选D ．7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示,12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,2212,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A. 221212,x x s s >< B. 221212,x x s s => C. 221212,x x s s == D. 221212,x x s s =<【答案】D 【解析】由甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图可得，1914151516216x +++++==15，2813151517226x +++++==15，2116s =×[(-6)2+(-1)2+02+02+12+62]=2237136s =，×[(-7)2+(-2)2+02+02+22+72]=533．所以 221212,x x s s =<．选D ．点睛：(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，再进一步估计总体情况．8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A.1716B.12C. 2D. 17【答案】A 【解析】等比数列{}n a ，42511188.2a a a q a q q =⇒=⇒= 81884414(1)1171.(1)1161a q S q q a q S qq---===--- 故答案选A ．9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S -=，则11S =（ ） A. 11 B. 11-C. 10D. 10-【答案】B 【解析】由等差数列的知识可得，数列{}nS n为等差数列，且首项为1111S a ==-，设其公差为d ，则1081081108S S d -==-， ∴11111(111)111S=-+⨯-=-， ∴1111S =-．选B ．10.设1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点，点(,)M a b .若1230MF F ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ） A.32B.2C. 2D.3【答案】C 【解析】如图，由题意得点M 在直线x a =上，则1AMF ∆是直角三角形，其中190MAF ∠=︒， 且1,AF a c AM b =+=， ∵1230MF F ∠=︒， ∴122MF AM b ==，则2222()(2)4a c b b b ++==，∴2222222233()33a ac c b c a c a ++==-=-， 整理得2220c ac a --=， ∴220e e --=，解得2e =或1e =-(舍去)．选C ．点睛：求椭圆或双曲线的离心率（或范围）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于,,a b c 的方程或不等式，消去b 后转化为关于,a c 的方程或不等式，再根据ce a=得到关于离心率e 的方程或不等式，求解后可得离心率或其范围． 11.设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ） A. 18 B. 19C. 20D. 21【答案】C【解析】{}n a 为等差数列,n S 有最小值，则0d >，1011a a <，又11101a a <-，说明11100,0a a ><，111010a a +< ，1110100a a a +< ，则11100a a +> ，20120101110()10()0S a a a a =+=+> ，191191019()1902S a a a =+=<，则20S 为最小正值.选C. 12.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A. y 2＝9xB. y 2＝6xC. y 2＝3xD. 23y x ＝【答案】C 【解析】 【分析】分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，计算∠BCB 1＝30°，得到1111122KF A F AA AF ＝＝＝计算得到32p =. 【详解】如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1， 由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点， 设l 交x 轴于K ， 则1111122KF A F AA AF ＝＝＝，即32p =，∴抛物线方程为y 2＝3x 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，做辅助线判断△AA 1F 为等边三角形是解题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22149x y -=的焦距为__________．【答案】【解析】因为224,9,a b c c =====22149x y-=的焦距为14.在数列{}n a 中，232a =，373a =且数列{}1n na +是等比数列，则n a =__________．【答案】21n n- 【解析】试题分析：由于数列{}1n na +是等比数列，2337,23a a ==，所以23214,318a a +=+=，所以公比是2，所以数列{}1n na +的通项公式是12nn na +=，进而n a =21n n -，故答案填21n n-. 考点：1.通项公式；2.等比数列.15.已知点P 为抛物线C ：24y x =上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()24244x y +++=上点的距离为2d ，则12d d +的最小值为__________．【答案】3【解析】易知圆()()24244x y +++=的圆心为(2,4)M --，半径为2，设抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，连接PF ，由抛物线的定义，得122d d PF d +=+，要求2||PF d +的最小值，需,,F P M 三点共线，且最小值为222(12)(04)23FM -=++--=．点睛：本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型，往往利用抛物线的定义进行合理转化，而本题中，要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径.16.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为________.3【解析】 【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为Q ，P ，结合抛物线的定义在梯形ABPQ 中可得2a b MN +=，在AFB ∆中由余弦定理得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，利用基本不等式得到3)AB a b ≥+，进而可得所求的最大值．【详解】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A ，B 作准线l ：2px =-的垂线，垂足分别为Q ，P ，由抛物线定义得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |． 在梯形ABPQ 中2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ， ∴2a bMN +=. 在AFB ∆中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ， 又2()2a b ab +≤， ∴222213()()()()44a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，∴)AB a b ≥+，∴2a bMN AB +≤=a b =时等号成立． ∴MN AB【点睛】（1）由抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离间的转化，另外对于弦长||AB 可在三角形中由余弦定理求得．（2）对于圆锥曲线中的最值问题，可根据题意得到目标函数后利用基本不等式或利用函数的知识解决．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题A ：方程22151y x t t +=--表示焦点在y 轴上椭圆；命题B ：实数t 使得不等式2340t t --<成立.（1）若命题A，求实数t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.【答案】（1）2t =（2）命题A 是命题B 的充分不必要条件. 【解析】试题分析：（1）利用椭圆的焦点在y 轴上确定几何元素间的关系，再利用离心率公式进行求解；（2）利用椭圆标准方程的分母化简命题A ,通过解一元二次不等式化简命题B ，再利用数集间的包含关系进行判定.试题解析：（1）椭圆离心率，解得：.(2) 由已知得：，解得：，即命题A 成立的条件为 ， 命题B 成立的条件为，由此可得命题A 是命题B 的充分不必要条件. 18.已知函数()()211(0)f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.【答案】（1）322322a --≤≤-+2）见解析 【解析】 试题分析：（1）由条件可得不等式()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可得所求范围．（2）原不等式化为()()110ax x --<，根据a 的不同取值解不等式即可． 试题解析：（1）由()2f x ≤在R 上恒成立，可得()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立．∴()20140a a a <⎧⎪⎨++≤⎪⎩， 解得322322a --≤≤-+∴实数a 的取值范围为322,322⎡---+⎣．（2）由不等式()()2110f x ax a x =-++<得()()110ax x --<．①当01a <<时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得 11x a<<；②当1a =时，不等式等价于()210x -<，无解；③当1a >时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， 解得11x a<<； ④当0a <时，不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 解得1x a<或1x >； 综上当01a <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当1a =时，()0f x <的解集为∅；当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线G ：()220x py p =>相交于B ，C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =.（1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）()2,b ∈+∞ 【解析】试题分析：（1）设抛物线方程为22x py =，与直线l 方程1(4)2y x =+联立，并设1122(,),(,)B x y C x y ，结合韦达定理可1212,y y y y +，而已知条件4AC AB =告诉我们有214y y =，这样可解得p ，得抛物线方程；（2）设直线l 方程为(4)y k x =+，与抛物线方程联立方程组，同时设BC 中点为00(,)x y ，结合韦达定理可得00,x y ，从而得BC 中垂线方程，求出纵截距（关于k 的函数），由直线与抛物线相交可得k 的范围，从而可求得纵截距的范围．试题解析：（1）设()12,B x y ，()22,C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+， 即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++= ()2864p ∴∆=+- ()160p p =+>， 124y y =①，1282p y y ++=②， 又4AC AB =Q ， 214y y ∴=③，由①②③及0p >得：2P =，得抛物线G 的方程为24x y =.（2）设l ：()4y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ 022C B x x x k +∴==，()200424y k x k k =+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k --=--， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2224221b k k k =++=+对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k >-，()2,b ∴∈+∞.20.已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-， ()211n n nb n b n n +-+=+ ()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T . 【答案】（1）2n n a =（2）见解析（3）7127499n n n T -=+⋅ 【解析】试题分析：（1）利用n S 与n a 的关系，即1(2)n n n a S S n -=-≥，可得数列{}n a 的递推式，知其为等比数列，同时由11a S =求得首项，从而得通项公式n a ；（2）在已知等式21(1)n n nb n b n n +-+=+中两边同时除以(1)n n +可证得结论；（3）由（2）可求得通项n b ，从而得通项n c ，最终得1(41)4n n P n -=-，利用错位相减法可求得和n T ．试题解析：（1）当1n >时，112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 122n n n a a a -⇒=- 12n n a a -⇒= 当1n =时，1122S a =- 12a ⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2n n a =.（2）214a b =Q ，11b ∴=，()211n n nb n b n n +-+=+Q ，111n n b b n n+∴-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列. （3）由（2）知：11n b n n=+- 2n b n ⇒= 212n n n P c c -∴=+()()222122122224n n n n --⋅⋅=-+ ()()221412414n n n n --=-⋅=-⋅()012134+74+114+414n n T n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅12343474114n T ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅ ()()1454414n n n n -+-+-⋅两式相减得：0123344444n T -=-⨯+⨯+⨯+ ()144414n n n -⋅⋅⋅+⋅--()()141433441414n n n T n --∴-=+⨯--⋅- 7127499n n n T -∴=+⋅. 21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点. （1）求该椭圆的离心率；（2）求直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）12（2）x 轴上存定点(1,0)P 或(7,0)P ，使得MP NP ⊥. 【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出a,b,c 的值，求出离心率；（2）假设在x 轴上存在点p ，设直线BC 的方程为1x ty =+，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +的表达式，求出M,N 的坐标，由MP ⊥NP ，求出P 点的坐标，即得出定点．试题解析： (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝，从而椭圆的半焦距c ＝＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝＝.(2)依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入＋＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝，y 1y 2＝.易知直线AB 的方程是y ＝ (x ＋2)，从而可得M (4，)，同理可得N (4，)．假设x 轴上存在定点P (p ，0)使得MP ⊥NP ，则有·＝0. 所以(p －4)2＋＝0.将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得(p －4)2＋＝0，所以(p －4)2＋＝0，即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7. 所以x 轴上存在定点P (1，0)或P (7，0)，使得MP ⊥NP .点睛：本题主要考查椭圆的几何性质以及定点问题，属于难题．本题关键是利用韦达定理求出1212,y y y y +的表达式，再表示出M,N 的坐标．22.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +.【答案】（1）22(5) 5.x y +-=（2）|PA|+|PB|=32．【解析】【详解】试题分析：（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式即可求解；（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，利用t 的几何意义和根与系数的关系进行求解. 试题解析：（1）由得， 即.（2）将直线的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根， 所以，又直线过点，故由上式及t 的几何意义得：.。

福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}610A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．()1,6-B ．()1,1-C ．()1,6D ．∅2.若复数11a z i=++为纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23.已知()()1,2,1,1a b ==-，2c a b =-，则c =（ ）A 26．32106234sin 15cos15︒-︒︒= （ ） A ．12B 2C ．1D 25.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x 3若点M 在C上，且12MF MF ⊥，M 3C 的方程为（ ） A ．22148x y -= B ．22148y x -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 6.已知圆柱的高为23个球的表面积等于（ ）A ．4πB ．163πC ．323π D ．16π 7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588. 将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移12个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 2cos y x x =- B ．2sin cos y x x =-C ．sin 2cos y x x =-+D ．2sin cos y x x =-- 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．24223+B ．22243+C ．263+．842+10.已知函数()22log ,0,41,0.x x a x f x x -+>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩若()3f a =，则()2f a -=（ ） A ．1516- B ．3 C ． 6364-或3 D ．1516-或3 11.过椭圆()2222:10x y C a ba b =>>+的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭12.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2e C ．21e + D ．331e e + 第Ⅱ卷（共90分）13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．14.曲线3222y x x x =-+在1x =处的切线方程为 ．15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为 ．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比是多少？（精确到0.1%)参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92≈≈≈.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90AB CD ABC ∠=︒,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明：//AF 平面BCE ；（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=︒=，求三棱锥B CEF -的体积.20.抛物线2:24C y x x a =-+与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .（1）若点() 14,()Q x y x <<在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆E 过定点.21.已知函数()()ln f x e x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20x xf x e ex -+≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题 13. 2314. y x = 15. 75︒ 16. 2100000 三、解答题17. 解：（1）当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =，当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（1）知，12n n a -=，所以()1212n n b n -=-，所以()()22113252232212n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+-⋅ （1） ()()2121232232212n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+-⋅（2）（1）-（2）得：()()12112222212n n n T n --=++++--⋅()12221221212n n n --⨯=+⨯--- ()3223n n =--，所以()2323n n T n =-+.18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有 ()()()()()()()222222221[928384838683788389837483838310s =-+-+-+-+-+-+-+ ()()()222788377838983]33-+-+-=（3）由题意知评分在(83之间，即()77.26,88.74之间，由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5100%50.0%10⨯=.另解：由题意知评分在(83，即()77.26,88.74之间，，从调查的40名用户评分数据中在()77.26,88.74共有21人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为21100%52.5%40⨯=. 19.解法一：（1）证明：取CE 的中点M ，连接,FM BM .因为点F 为棱DE 的中点，所以//FM CD 且122FM CD ==， 因为//AB CD 且 2AB =，所以//FM AB 且FM AB =，所以四边形ABMF 为平行四边形，所以//AF BM ，因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .（2）因为 //90AB CD ABC ∠=︒,，所以CD BC ⊥. 因为,254,2CD CE DE ===222 C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥，因为BC CE C ⋂=,BC ⊂平面BCE ，CE ⊂平面BCE , 所以CD ⊥平面BCE .因为点F 为棱DE 的中点，且4CD =， 所以点F 到平面BCE 的距离为2.11sin 42sin1202322BCE S BC CE BCE ∆=⋅∠=⨯⨯︒=三棱锥B CEF -的体积123B CEF F BCE BCE V V S --∆==⨯1432323=⨯. 解法二：（1）证明：在平面ABCD 内，分别延长,CB DA ，交于点N . 因为//,2AB CD CD AB =，所以A 为DN 中点.又因为F 为DE 的中点，所以//AF EN .因为EN ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ， 所以//AF 平面BCE .（2）同解法一.解法三：（1）证明：取棱CD的中点G，连接,AG GF，因为点F为棱DE的中点，所以//FG CE，因为FG⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以//FG平面BCE；因为//,2==，AB CD AB CG所以四边形ABCG是平行四边形，所以//AG BC，因为AG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以//AG平面BCE；又因为FG AG G⋂=,FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，所以平面//AFG平面BCE；因为AF⊂平面AFG，所以//AF平面BCE.（2）同解法一.20.解法一：（1）由题意得()()()()20,0,,2414P a a Q x x x a x ≠-+<<. 故224PQ x x a k x-+= 24x =-()2,4∈-（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠. 令2240x x a -+=，解得1x =±，故1,1A B ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故可设圆E 的圆心为()1,M t ， 由22MP MA =得，()22221t a t +-=+⎝⎭， 解得124a t =+，则圆E的半径为r MP =所以圆E 的方程为()22211112442a a x y ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知，点P 坐标为()()0,0a a ≠，设抛物线C 与x 轴两交点分别为()()12,0,,0A x B x . 设圆E 的一般方程为：220x y Dx Fy G ++++=，则21122220,0,0.x Dx G x Dx G a Fa G ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩因为抛物线C 与x 轴交于()()12,0,,0A x B x ，所以12,x x 是方程2240x x a -+=，即2202a x x -+=的两根， 所以2,2a D G =-=， 所以212G a F a a --⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 所以圆E 的一般方程为2212022a x y x a y ⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭， 即22112022x y x y a y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由22120,210,2x y x y y ⎧+--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故E 都过定点110,,2,22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.解：（1）()()0e f x a x x'=->， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为増函数；②若0a >，则当e x a <时，()0f x '>；当e x a>时，()0f x '<. 故在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 为増函数；在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 为减函数.（2）因为0x >，所以只需证()2xe f x e x≤-， 由（1）知，当a e =时，()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 所以()()max 1f x f e ==-.记()()20xe g x e x x =->，则()()21xx e g x x -'=， 所以，当1x <<0时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以()()min 1g x g e ==-.所以当 0x >时，()()f x g x ≤，即()2xe f x e x≤-，即()20x xf x e ex -+≤.解法二：（1）同解法一.（2）由题意知，即证2ln 20x ex x ex e ex --+≤， 从而等价于ln 2xe x x ex-+≤. 设函数()ln 2g x x x =-+，则()11g x x'=-. 所以当()0,1x ∈)时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<， 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.从而()g x 在()0,+∞上的最大值为()11g =.设函数()xe h x ex=，则()()21x e x h x ex -'=. 所以当()0,1x ∈)时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>. 故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递増.从而()h x 在()0,+∞上的最小值为()11h =.综上，当0x >时，()()g x h x <，即()20x xf x e ex -+≤.22. 解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l 的距离d =，故d=解得t =又因为0t >，所以t =.23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中数学(文）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.) 1。

设集合1{|216}4x A x N =∈≤≤,2{|ln(3)}B x y x x ==-，则AB中元素的个数是（ )A ．1B ．2C ．3D ．4 2。

复数z 满足(1)3|i z i +=，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3。

有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同,则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．344.下列判断错误的是（ )A ．若p q ∧为假命题，则p ，q 至少之一为假命题B ．命题“x R ∀∈，3210x x --≤"的否定是“x R ∃∈，3210xx -->"C ．“若a b ∥且b c ∥，则a b ∥"是真命题D ．“若22ambm <，则a b <”的否命题是假命题5.已知双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)的右焦点与抛物线220yx=的焦点重合,且其渐近线方程为43y x=±，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．2213664x y -= D ．2216436x y -=6.将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标压缩为原来的12倍(纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ） A ．36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．263ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，7.已知nS 是公差不为0的等差数列{}na 的前n 项和，且1S ，2S ，4S ，成等比数列，则231a a a +等于（ )A ．4B ．6C ．8D ．10 8.若实数x ，y 满足12622x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≤，则34z x y =+的最大值是（ )A ．3B ．8C ．14D ．159.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ )A ．31B ．13C ．41D ．3210.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是( ）A ．1007B ．2015C ．2016D ．3024 11.已知椭圆:22214x y b+=(02b <<），左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5,则b 的值是（ ）A ．1 BC ．32D12.若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对".点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()2x x xx f x x e⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥，则()f x 的“姊妹点”对"有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）．1. 设集合或则下列结论正确的是（）A. B. C. D.2. 已知集合若则的子集个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 323. 函数的定义域为（）A. B. C. D.4. 计算的值为（）A. B. C. D.5. 已知向量与反向，则下列等式中成立的是（）A. B. C. D.6. 设为平行四边形对角线的交点，O 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）A. B. C. D.7. 若点是所在平面内一点，且满足，则等于（）A. B. C. D.8. 已知全集，，则（）A. B. C. D.9. 已知幂函数的图像经过点，则下列正确的是（）A. B. （其中）C. D. （其中）10. 若的内角满足，则（）A. B. C. D.11. 设函数的最小正周期为，且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称12. 已知是定义在R上的偶函数，且，若，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若非零向量，满足，，则与的夹角为__________．14. 已知则__________．15. 函数的定义域为__________．16. 设函数，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①的最小正周期为；②在区间上单调递增；③取得最大值的的集合为④将的图像向左平移个单位，得到一个奇函数的图像三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，．(I)求的坐标及；(Ⅱ)设为单位向量，且，求的坐标18. 已知函数．(I)求的最小正周期及对称中心坐标；(Ⅱ)求的递减区间．19. 已知角终边上一点．(I)求的值：(Ⅱ)若为第三象限角，且，求的值20. 已知的周长为，且(I)求边的长；(Ⅱ)若的面积为，求角的度数.21. 根据两角的和的正弦公式，有：①②由①+②得，③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状.22. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）若且求实数的取值范围.闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学解析（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）．1. 设集合或则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合或∴故选：C2. 已知集合若则的子集个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 32【答案】C则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由2cosx﹣1≥0，得cosx，解得：．∴函数的定义域为故选：B．4. 计算的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B5. 已知向量与反向，则下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】向量与反向：=，=，故选：C6. 设为平行四边形对角线的交点，O 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．7. 若点是所在平面内一点，且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：则M为△ABC的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，3S△ABM=S△ABC，∴S△ABM：S△ABC=，故答案选：B．8. 已知全集，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全集A={y|y=log2x，1＜x＜2}=（0，1），=（，+∞），则A∩B=（，1），故选：C．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.9. 已知幂函数的图像经过点，则下列正确的是（）A. B. （其中）C. D. （其中）【答案】D【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点，∴2α==解得α=，∴f（x）=；∴f（x）在R递减，故选：D．10. 若的内角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.11. 设函数的最小正周期为，且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】函数的最小正周期为π，即：，∴ω=2．则f（x）=sin（2x+φ），向左平移个单位后得：sin（2x++φ）是奇函数，即+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，∴|φ|，则φ=．故得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）．由对称中心横坐标可得：2x﹣=kπ，可得：x=，k∈Z．∴A，B选项不对．由对称轴方程可得：2x﹣=kπ+，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得．故选：D点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则.12. 已知是定义在R上的偶函数，且，若，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（3﹣x）=f（x），f（x﹣3）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在区间（0，6）内，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是：4．故选：B．点睛：本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若非零向量，满足，，则与的夹角为__________．【答案】【解析】设向量的夹角为，由题意可得：，即与的夹角为120°.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14. 已知则__________．【答案】【解析】由可得：cos，∴ cos故答案为：15. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】由log0.9（2x﹣6）≥0，得0＜2x﹣6≤1，即3＜x．∴函数的定义域为．故答案为：．16. 设函数，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①的最小正周期为；②在区间上单调递增；③取得最大值的的集合为④将的图像向左平移个单位，得到一个奇函数的图像【答案】①②④【解析】对于函数，由于它的周期为=π，故①正确．令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故f（x）在区间上单调递增，故②正确．令2x﹣=2kπ，求得x=kπ+，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}，故③不正确．将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）=2sin2x 的图象，由于y=﹣2sin2x为奇函数，故④正确．故答案为：①②④．点睛：点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，．(I)求的坐标及；(Ⅱ)设为单位向量，且，求的坐标【答案】（1）,（2），或【解析】试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接求的坐标及；（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．试题解析：（I）,(Ⅱ)设单位向量，所以，即又,所以即由，解得或者所以，或18. 已知函数．(I)求的最小正周期及对称中心坐标；(Ⅱ)求的递减区间．【答案】（1），对称中心坐标为.;（2）递减区间为（2）利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可．试题解析：（I），则的最小正周期，由，得即，的对称中心坐标为.;(Ⅱ)由，得，的递减区间为.19. 已知角终边上一点．(I)求的值：(Ⅱ)若为第三象限角，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简，代入求解即可；（2）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．试题解析：因为为角终边上一点，所以，.=，==;(Ⅱ),又因为第三象限角，且，所以，则=点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.20. 已知的周长为，且(I)求边的长；(Ⅱ)若的面积为，求角的度数.【答案】（1）边的长为1；（2）【解析】试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即为已知,又由结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式,由上述所得这两式,就可求得的值; (2)由三角形的面积公式,结合已知可以求得的值,结合余弦定理得,这样即可求出的值,又结合三角形中的范围,进而得到的值.试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：,,两式相减得. （6分）(2)由,得, （8分）由余弦定理得，,又,（14分）考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式21. 根据两角的和的正弦公式，有：①②由①+②得，③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状. 【答案】（1）见解析（2）直角三角形【解析】试题分析：解法一：(Ⅰ)因为，①，② 2分①-② 得. ③ 3分令有，代入③得. 6分(Ⅱ)由二倍角公式,可化为, 8分即. 9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得. 11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为， 8分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而. 10分又因为,所以，即.所以为直角三角形. 12分考点：两角和与差三角函数公式、二倍角公式点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等22. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）若且求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；（2）先研究内层函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0转化为f （b﹣2）＞f（2﹣2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．试题解析：（I）因为是奇函数。

福州市2018届高三上学期期末考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A）2.A．1 D．23.c=）A（）A．1 D若点M在C5.）A6.已知圆柱的高为2个球的表面积等于（）A7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.执行该程序框图，则输出的）A．23 B．38 C．44 D．588. ）AC9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A10.）A．3 C． 3 D 311.左焦点和上顶点.）A3个整数解，则实12.A．1 B第Ⅱ卷（共90分）13、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是．14.处的切线方程为．大小为．16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是元.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为19..（1（2.20.（1（2.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC二、填空题三、解答题17. 解：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3由（1）中容量为105人，则该地区满意度等级为40名用户评21人，则该地区满意度等级为19.解法一：（1（22.解法二：（1.（2）同解法一.解法三：（1（2）同解法一.20.解法一：（1（2）由（1解法二：（1）同解法一. （2）由（1）知，21.解：（1. （2由（1解法二：（1）同解法一.（2..22. 解：（1（2）由（123.解：（1（2。

闽侯四中 2017-2018 学年上学期期末考试试题高一数学（时间 120 分钟，满分 150 分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分）．1. 设集合或则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合或∴故选：C2. 已知集合若则的子集个数为（）A. 14B. 15C. 16D. 32【答案】C则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由2cosx﹣1≥0，得cosx，解得：．∴函数的定义域为故选：B．4. 计算的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，.故选：B5. 已知向量与反向，则下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】向量与反向：=，=，故选：C6. 设为平行四边形对角线的交点，O 为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．7. 若点是所在平面内一点，且满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：则M为△ABC的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，3S△ABM=S△ABC，∴S△ABM：S△ABC=，故答案选：B．8. 已知全集，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全集A={y|y=log2x，1＜x＜2}=（0，1），=（，+∞），则A∩B=（，1），故选：C．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解，在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.9. 已知幂函数的图像经过点，则下列正确的是（）A. B. （其中）C. D. （其中）【答案】D【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点，∴2α==解得α=，∴f（x）=；∴f（x）在R递减，故选：D．10. 若的内角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.11. 设函数的最小正周期为，且图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】函数的最小正周期为π，即：，∴ω=2．则f（x）=sin（2x+φ），向左平移个单位后得：sin（2x++φ）是奇函数，即+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，∴|φ|，则φ=．故得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x﹣）．由对称中心横坐标可得：2x﹣=kπ，可得：x=，k∈Z．∴A，B选项不对．由对称轴方程可得：2x﹣=kπ+，可得：x=，k∈Z．当k=0时，可得．故选：D点睛：本题主要考查了三角函数中的平移变换以及的对称性等，对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标；在平移过程中掌握“左加右减，上加下减，左右针对，上下针对而言”的原则.12. 已知是定义在R上的偶函数，且，若，则方程在区间内解的个数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（3﹣x）=f（x），f（x﹣3）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在区间（0，6）内，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是：4．故选：B．点睛：本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若非零向量，满足，，则与的夹角为__________．【答案】【解析】设向量的夹角为，由题意可得：，即与的夹角为120°.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．14. 已知则__________．【答案】【解析】由可得：cos，∴ cos故答案为：15. 函数的定义域为__________．【答案】【解析】由log0.9（2x﹣6）≥0，得0＜2x﹣6≤1，即3＜x．∴函数的定义域为．故答案为：．16. 设函数，则下列结论正确的是__________．（写出所有正确的编号）①的最小正周期为；②在区间上单调递增；③取得最大值的的集合为④将的图像向左平移个单位，得到一个奇函数的图像【答案】①②④【解析】对于函数，由于它的周期为=π，故①正确．令2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ，k∈z，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故f（x）在区间上单调递增，故②正确．令2x﹣=2kπ，求得x=kπ+，k∈z，故f（x）取得最大值的x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}，故③不正确．将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+）=2sin2x 的图象，由于y=﹣2sin2x为奇函数，故④正确．故答案为：①②④．点睛：点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，．(I)求的坐标及；(Ⅱ)设为单位向量，且，求的坐标【答案】（1）,（2），或【解析】试题分析：（I）利用向量的坐标运算直接求的坐标及；（II）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可．试题解析：（I）,(Ⅱ)设单位向量，所以，即又,所以即由，解得或者所以，或18. 已知函数．(I)求的最小正周期及对称中心坐标；(Ⅱ)求的递减区间．【答案】（1），对称中心坐标为.;（2）递减区间为（2）利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可．试题解析：（I），则的最小正周期，由，得即，的对称中心坐标为.;(Ⅱ)由，得，的递减区间为.19. 已知角终边上一点．(I)求的值：(Ⅱ)若为第三象限角，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用任意角的三角函数定义，求出角的正弦函数与余弦函数值，利用诱导公式化简，代入求解即可；（2）利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．试题解析：因为为角终边上一点，所以，.=，==;(Ⅱ),又因为第三象限角，且，所以，则=点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.20. 已知的周长为，且(I)求边的长；(Ⅱ)若的面积为，求角的度数.【答案】（1）边的长为1；（2）【解析】试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即为已知,又由结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式,由上述所得这两式,就可求得的值; (2)由三角形的面积公式,结合已知可以求得的值,结合余弦定理得,这样即可求出的值,又结合三角形中的范围,进而得到的值.试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：,,两式相减得. （6分）(2)由,得, （8分）由余弦定理得，,又,（14分）考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式21. 根据两角的和的正弦公式，有：①②由①+②得，③令，则，代入③得：(I)类比上述推理方法，根据两角的和差的余弦公式，求证：；(Ⅱ)若的三个内角、、满足试判断的形状. 【答案】（1）见解析（2）直角三角形【解析】试题分析：解法一：(Ⅰ)因为，①，② 2分①-② 得. ③ 3分令有，代入③得. 6分(Ⅱ)由二倍角公式,可化为, 8分即. 9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得. 11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为， 8分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而. 10分又因为,所以，即.所以为直角三角形. 12分考点：两角和与差三角函数公式、二倍角公式点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等22. 已知函数是定义在上的奇函数.（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）若且求实数的取值范围.【答案】（1）（2）增函数，见解析；（3）【解析】试题分析：（1）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；（2）先研究内层函数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0转化为f （b﹣2）＞f（2﹣2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．试题解析：（I）因为是奇函数。

2017-2018学年 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}{}3,1,2,4,|28xA B x R =--=∈<，则AB =（ ）A ．{}3-B ．{}1,2-C ．{}3,1,2--D ．{}3,1,2,4-- 2. 已知复数z 满足()23z i i i -=+，则z = （ ）A ．．10 D ．18 3. 若函数()21f x ax x=+，则下列结论正确的是 （ ） A ．a R ∀∈,函数()f x 是奇函数 B ．a R ∃∈,函数()f x 是偶函数C ．a R ∀∈,函数()f x 在()0,+∞上是增函数D ．a R ∃∈,函数()f x 在()0,+∞上是减函数4. 已知sin 2αα=，则 tan α=（ ）A ． 5. 在如图所示的程序框图中，若124231,log 2,log 3log 216a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则输出的x = （ ）A ．0.25B ．0.5 C. 1 D ．26. . 已知,A B 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点， P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为 （ ）A 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．223π-B ．423π- C.53π D ．22π- 8. 已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()1,1,1,3,2,2A B C ，对于ABC ∆（含边界）内的任意一点(),,x y z ax y =+的最小值为2-，则a = （ ）A ．2-B ．3- C. 4- D ．5-9. 某商场销售A 型商品.已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售里的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件) 应为（ ）A ．4B ．5.5 C. 8.5 D ．1010. 已知三棱P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2,2AB AC BAC π==∠=，则棱PA 的长为（ ）A ．32B 3 D ．9 11. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 的图象关于直线712x π=-对称 D ．函数()f x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 12. 已知函数()321132f x ax bx cx d =+++，其图象在点()()1,1f 处的切线斜率为0.若a b c <<，且函数()f x 的单调递增区间为(),m n ，则n m -的取值范围是（ ）A ． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,3 D ．()2,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知两点()()1,1,5,4A B ，若向量(),4a x =与AB 垂直，则实数x = __________.14. 若函数()()2,1ln 1,1x a x f x x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.15. 已知抛物线2:4C x y =的焦点,F P 为抛物线C 上的动点，点()0,1Q -，则PF PQ的最小值为 _________.16. 已知抛物线列{}n a 满足111,cos3n n n a a a π+=-=，则2016a = _________. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a B c b =-.（1）求A 的大小;（2）若2a =，4,b c +=求 ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且254,30a S ==,数列{}n b 满足122...n n b b nb a +++=.（1）求n a ;（2）设1n n n c b b +=,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.（1）求证: 1B C 平面 1A BD ;（2）若1160,,2,1A AB ACB AB BB AC BC ∠=∠====,求三棱锥1AABD -的体积.20.（本小题满分12分）已知过点()0,2A 的直线l 与椭圆22:13x C y +=交于,P Q 两点. （1）若直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围.（2若以PQ 为直径的圆经过点()1,0E ，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()21,02xf x e x x x =--≥. （1）求()f x 的最小值;（2若()1f x ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，,,,A B C D 是半径为1的O 上的点，1,BD DC O ==在点B 处的切线交AD 的延长线于点E .（1）求证:EBD CAD ∠=∠； （2） 若AD 为O 的直径，求BE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程; （2）若射线()06πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数(),f x x a a R =-∈.（1）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集;（2）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-，求a 的取值范围.福建省福州市2016届高三上学期期末考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CADDC 6-10.BAACC 11-12.DB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 3- 14.[)2,+∞15. 216.0 三、解答题17.解：（1）因为2cos 2a B c b =-,由余弦定理得, 222222a c b ac b ac +-=-,即222b c a bc +-= ，根据18.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由254,30a S ==,得114545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得12,2a d ==,所以 ()2122,n a n n n N *=+-⨯=∈.（2）由（1）得,122...2n b b nb n +++=, ① 所以2n ≥时,()()1212...121n b b n b n -+++-=-, ②①-②得,()22,.n n nb b n ==* 又112b a == 也符合()*式 ,所以2,n b n N n*=∈,所以()1411411n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭,所以111111441...41223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19.解：（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 中点,D 是AC 的中点, 1OD BC ∴.又OD ⊂平面11,A BD B C ⊄平面11,A BD B C ∴平面1A BD .（2）2222,1,60,2cos 3,3AC BC ACB AB AC BC AC BC ACB AB ==∠=∴=+-∠=∴=.取AB 中点M ,连结1111,,60AM AB BB AA A AB ==∠=,1ABA ∴∆为等边三角形,1A M AB ∴⊥, 且132AM =.又平面11AA B B ⊥平面ABC ,平面11AA B B 平面1,ABC AB A M =⊂平面111,AA B B A M ∴⊥平面ABC .111313,23ABD ABC A ABD ABD S S V S A M ∆∆-∆==∴==. 20.解：（1）依题意，直线l 的方程为2y kx =+，由22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()22311290k x kx +++=,令()()221236310k k ∆=-+>,解得1k >或1k <-,所以 k的取值范围是()(),11,-∞-+∞.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =,则()()0,1,0,1P Q -,此时以PQ 为直径的圆过点()1,0E ，满足题意.直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2,y kx =+()()1122,,,P x y Q x y ,又()1,0E ,所以()()11221,,1,EP x y EQ x y =-=-.由（1）知，121222129,3131k x x x x k k +=-=++,所以 ()()()()()121212*********EP EQ x x y y x x x x kx kx =--+=-+++++ ()()()()()22121222911212152153131k k k x x k x x k k k +⎛⎫=++-++=+--+ ⎪++⎝⎭2121431k k +=+. 因为以PQ 直径的圆过点()1,0E ，所以0EP EQ =，即21214031k k +=+，解得76k =-，满足0∆>.故直线l 的方程为726y x =-+.综上，所求直线l 的方程为0x =或726y x =-+. 21.解：（1）因为()212xf x e x x =--, 所以()'1x f x e x =--,令()1xg x e x =--,则()'1x g x e =-,所以当0x >时，()'0g x >,故()g x 在[)0,+∞上单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，即()'0f x >，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，故当0x =时，取得最小值1.（2）①当0a ≤时，对于任意的0x ≥，恒有11ax +≤，又由（1）得()1f x ≥，故()1f xa x ≥+恒成立. ②当0a >时，令()2112xh x e x x ax =----，则()'1x h x e x a =---，由（1）知()1xg x e x =--在[)0,+∞上单调递增 所以()'1xh x e x a =---在[)0,+∞上单调递增，又()'00h a =-<，取x =1）得(2112e≥+，((221'11102h ea a a =--≥+--=>，所以函数()'h x 存在唯一的零点(00,x ∈，当()00,x x ∈时，()()'0,h x h x <在[)00,x 上单调递减 ，所以当()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()1f x ax <+，不符合题意. 综上，a 的取值范围为(],0-∞. 22.解：（1）因为BE 是O 的切线，所以EBD BAD ∠=∠,因为BD DC =, 所以BD DC =,所以BAD CAD ∠=∠,所以EBD CAD ∠=∠.（2）若AD 为O 的直径（如图），连结OB ，则OB BE ⊥，由1OB OD BD ===，可得60BOE ∠=，在Rt OBE ∆中，因为tan BEBOE OB∠=，所以tan603BE==.23.解：（1）由2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩,所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=.把cos ,sin x y ρθρθ==, 代入()2211x y -+=,得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=,化简得，曲线2C 的极坐标方程2cos ρθ=. （2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=,将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=,解得13ρ=.同理将()06πθρ=>曲线2C的极坐标方程得2ρ所以123AB ρρ=-=.24.解：（1）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥, 当1x <-时，原不等式化为()()111x x -++≥,即21≥，此时，不等式的解集为{}|1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥,即12x ≤-，此时，不等式的的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭.当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥,即21-≥，此时，不等式的的解集为∅.综上,原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.（2）不等式()30f x x +≤的解集包含{}|1x x ≤-,等价于30x a x -+≤,对(],1x ∈-∞-恒成立，即3x a x -≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对(],1x ∈-∞-恒成立，故a 的取值范围为[]4,2-.。

福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）,故选 A.3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.， C.，则 D.（）， （ ），故选 B.A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】 ，故选 D.5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）.若点在 上，到原点的距离为A. 【答案】C 【解析】B.C.D.由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选 C.6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.可得，球的表面积为7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如表.执行该程序框图，则输出的 等A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ），故选 D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）A. 【答案】A 【解析】B.C.D.由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为 ，底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.10. 已知函数若，则（）A. 【答案】A 【解析】 若B. 3C.或3D.或3， 得， 若，不合题意，，故选 A.11. 过椭圆的右焦点作 轴的垂线， 交 于两点， 直线 过 的左焦点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.）【解析】直线 的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选 A.12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.，若关于 的不等式恰有 3 个整数解，则实数 的D.【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，合题意， 合题意，当时， 有且只有 个整数解， 又第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为 .14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角在处的切线方程为__________．，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，（2）由（1）知， 所以 所以， 所以 .18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .参考数据：解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，则有（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为之间，即之间，之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，，即之间， ，从调查的 40 名用户评分共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为,，点 为棱的（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且平面； ，求三棱锥 的体积.的中点 的中点，，连接.， ， ， 为平行四边形，所以 因为 所以， 平面 平面 . ， 平面 ，（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以，，，平面,因为点 为棱 所以点 到平面，.三棱锥的体积.20. 抛物线 （1）若点与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.解：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题 数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i i ⋅=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2.若0a b <<，则下列不等式中错误．．的是（ ） A ．11a b a >- B ．11a b> C ．a b > D ．22a b > 3.已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥，命题q ：若22a b <，则a b <下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∨⌝ 4.“0x ≠”是“0x >”的（ ）A ．充分而不必要B 充分必要条件． C.必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A ．“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝” B.“p q ∧是真命题”是 “p q ∨是真命题”的充分不必要条件C.“2x ∀>，220x x ->”的否定是“2x ∃≤，220x x -≤” D ．“若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题6.设0a >，0b >3a 与23b 的等比中项，则21a b+的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C.7 D ．87.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示.1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21s ，22s 分别表示甲、乙两名与动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A ．12x x >，2212s s <B ．12x x =，2212s s < C.12x x =，2212s s = D ．12x x =，2212s s <8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A ．1716 B ．12C.2 D ．17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，111a =-，1082108S S -=则11S =（ ） A ．11 B ．11- C.10 D ．10-10.设1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点，点(,)M a b .若1230MF F ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B2 D11.设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ）A ．18B ．19 C.20 D ．2112.如图所示，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B .交其准线'l 于点C ，若2BC BF =，且3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x = C.23y x = D．2y第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22149x y -=的焦距为 ．14.在数列{}n a 中，232a =，373a =且数列{}1n na +是等比数列，则n a = ． 15.已知点P 为抛物线C ：24y x =上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()24244x y +++=上点的距离为2d ，则12d d +的最小值为 ．16.抛物线()220y px P =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120FAB ︒∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题A ：方程22151y x t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式2340t t --<成立.（1）若命题A 中的椭圆的离心率为3t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.18. 已知函数()()211(0)f x ax a x a =-++≠.（1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <.19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线G ：()220x py p =>相交于B ，C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =. （1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.20.已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，()211n n nb x b n n +-+=+()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. （3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n nn n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T .21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点. （1）求该椭圆的离心率；（2）求直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？乳品存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22.在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.试卷答案一、选择题1-5: AABCC 6-10:DDABC 11、12：CC二、填空题13.21n n - 15.3三、解答题17.解：（1）由已知得：501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得13t <<：椭圆离心率e =3=，解得:2t =. （2）命题A 成立的条件为13t <<， 命题B 成立的条件为14t -<<，由此可得命题A 是命题B 的充分不必要条件.18.解：（1）()2f x ≤ 在R 上恒成立，即()2110ax a x -+-≤在R 上恒成立，所以()2140a a a <⎧⎪⎨++≤⎪⎩⇒33a --≤≤-+（2）()0f x <⇔()2110ax a x -++<()()()110*ax a ⇔--<当01a <<时，()*等价于()11101x x x a a⎛⎫--<⇔<< ⎪⎝⎭； 当1a =时，()*等价于()210x -<⇔x ∈∅；当1a >时，()*等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a ⇔<<； 当0a <时，()*等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a⇔<或1x > 综上，当01x <<时，()0f x <的解集为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当1a =时，()0f x <的解集为∅； 当1a >时，()0f x <的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当0a <时，()0f x <的解集为()1,1,+a ⎛⎫-∞⋃∞ ⎪⎝⎭.19.解：（1）设()12,B x y ，()22,C x y ，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为()142y x =+， 即24x y =-，由2224x py x y ⎧=⎨=-⎩得：()22880y p y -++=()2864p ∴∆=+-()160p p =+>，124y y =①，1282py y ++=②， 又4AC AB = ， 214y y ∴=③，由①②③及0p >得：2P =，得抛物线G 的方程为24x y =. （2）设l ：()4y k x =+，BC 的中点坐标为()00,x y ，由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得24160x kx k --=④ 022C Bx x x k +∴==，()200424y k x k k =+=+. ∴线段BC 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：()2224221b k k k =++=+对于方程④，由216640k k ∆=+>得0k >或4k >-，()2,b ∴∈+∞.20.解（1）当1n >时，112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩122n n n a a a -⇒=-12n n a a -⇒= 当1n =时，1122S a =-12a ⇒=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2nn a =.（2）214a b = ，11b ∴=，()211n n nb n b n n +-+=+ ，111n nb b n n+∴-=+ 综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1，首项为1的等差数列. （3）由（2）知：11nb n n=+-2n b n ⇒= 212n n n P c c -∴=+()()222122122224n n n n --⋅⋅=-+()()221412414n n n n --=-⋅=-⋅()012134+74+114+414n n T n -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅12343474114n T ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅()()1454414n n n n -+-+-⋅两式相减得：0123344444n T -=-⨯+⨯+⨯+()144414n n n -⋅⋅⋅+⋅-- ()()141433441414n n n T n --∴-=+⨯--⋅-7127499nn n T -∴=+⋅. 21.解：（1）由椭圆方程可得2a =，b =1c =. 所以椭圆得离心率为12c e a ==. （2）依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为1x ty =+.将其代入22143x y +=，整理得()2243690t y ty ++-=设()11,B x y ，()22,C x y ，则122643t y y t -+=+，122943y y t -=+.易知直线AB 的方程是()1122y y x x =++， 从而可得1164,2y M N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，同理可得2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.假设x 轴上存在定点(),0P p 使得MP NP ⊥，则有0PM PN ⋅=. 所以()()()21212364022y y P x x -+=++，将111x ty =+，221x ty =+代入上式，整理得：()()21221212364039y y p t y y t y y -+=+++ 所以()()()22236940936943p t t t t ⋅--+=-+-++，即()2490p --=，解得1p =或7p =.所以x 轴上存在定点(1,0)P 或(7,0)P ，使得MP NP ⊥. 22.解：（1）由ρθ=得220x y +-=，即(225x y +=.（2）将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22(3))5++=，即240t ++=由于24420∆=-⨯=>，故可设1t ，2t 是上述方程得两实根，所以12124t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，又直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义得：1212PA PB t t t t +=+=+=。

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期期末考试试题数学（文） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足•1z i i =+，则z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --2.若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A. 11a b >B. 11a b a >-C. |a|>|b|D. 22a b > 3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥0．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ）A . p q ∧ B. p q ￢∧ C. p q ∧￢ D. p q ∧￢￢4.“0x ≠”是“0x >”的（ ）A. 充分而不必要B. 充分必要条件． C 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 5.下列命题中，说法错误．．的是（ ） A. “若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”B. “p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的充分不必要条件C. “22,20x x x ∀>-> ”的否定是“22,20x x x ∃≤-≤ ”D. “若0b =，则()2f x ax bx c =++是偶函数”的逆命题是真命题 6.设0,0a b >>，若3是3a 与23b 的等比中项，则21a b +的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 87.甲、乙两名运动员在某项测试中6次成绩的茎叶图如图所示,12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,2212,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有( )A. 221212,x x s s ><B. 221212,x x s s =>C. 221212,x x s s ==D. 221212,x x s s =<8.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则84S S =（ ） A. 1716 B. 12 C. 2D. 17 9.在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S -=，则11S =（ ） A. 11 B. 11- C. 10D. 10- 10.设1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左右焦点，点(,)M a b .若1230MF F ︒∠=，则双曲线的离心率为（ ）A. 32B. 2C. 2D. 311.设{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 2112.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A. y 2＝9xB. y 2＝6xC. y 2＝3xD. 23y x ＝ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线22149x y -=的焦距为__________．14.在数列{}n a 中，232a =，373a =且数列{}1n na +是等比数列，则n a =__________． 15.已知点P 为抛物线C ：24y x =上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()24244x y +++=上点的距离为2d ，则12d d +的最小值为__________．16.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB 的最大值为________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题A ：方程22151y x t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式2340t t --<成立.（1）若命题A中的椭圆的离心率为3，求实数t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.18.已知函数()()211(0)f x ax a x a =-++≠. （1）若()2f x ≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x <.19.已知过点()4,0A -的动直线l 与抛物线G ：()220x py p =>相交于B ，C 两点.当直线l 的斜率是12时，4AC AB =.（1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.20.已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，()211n n nb n b n n +-+=+ ()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T . 21.已知椭圆22143x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点. （1）求该椭圆的离心率；（2）求直线AB 和AC 分别与直线4x =交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP NP ⊥？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22.在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为322x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P的坐标为(，求PA PB +.。

1 2018届高三毕业班质量检测文科数学本试卷共23题，共150分，共6页，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=｛x∈NⅠ-4＜x ＜5｝，集合A=｛x∈NⅠx 2+x-6＜0｝，则UC A 的子集的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.42.若复数z 满足11z i i=-+（i 为虚数单位），则复数z = ( ) A. 1 B. 2 C. i D. 2i3.已知1sin 23α=,则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.13- B.13 C.23- D.234.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 5.已知数列{}n a 满足：为正整数）m m a (1=,⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时）（当为偶数时）当n n n n a a a a 13(2,若16=a ，则m 的所有可能值为A ．2或4或8B ．4或5或8C ．4或5或16D ．4或5或326.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈()sin()f x A x b ωϕ=++（＞0，ω＞0，||2πϕ<）的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 744f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1≤x≤12，+∈N x ）。

福州市2018年高中毕业班质量检查数学试卷（文科）本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：①答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.②第Ⅰ卷第每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目睥答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C k n p k(1-p)n-k.球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径球的体积公式V=43πR3，其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本小题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个项选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合I={0,1,2,3},A={1},B={0,2}，则A∪(1B)A.{1}B.{1,3}C.{0,3}D.{0,1,3}2．等差数列{a n} ，若a2+a8=16,a4=6，则公差d的值是A．1 B.2 C.-1 D.-23. 条件p:a≤2，条件q:a(a-2)≤0，则p是q的A．充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C．充要条件 D.既不充分又不必要条件4．若一个球的表面积为16π，一个平面与球心的距离为1，则这个平面截球所得的圆面面积为A．πB. C.3ππ复数3443ii-++等于A．i B.-i C.5i D.-5i5. 已知a=（t,-1），b=(1,1)，且2a与b的夹角是锐角，则实数t的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,+∞]C.(-∞,1)D.(-∞,-1)6.P是双曲线22145x y-=右支上一点,F是该双曲线的右焦点,PF=8,则点P到双曲线左准线的距离为A．403 B.323 C.16 D.87.以下给出的函数中，以π为周期的偶函数是A.y=cos 2x-sin 2x B.y=tanx C.y=sinxcosx D.y=cos x26．函数f(x)=1xx --1的反函数为f (x),若f -1(x)＜0,则x 的取值范围是A.（-∞，0）B.(-1,1)C.(1,+ ∞)D.(-∞,-1)8.点M 、N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M 、N 关于直线x-y+1=0对称，则该圆的半径等于 A ．C.1D.3 9.对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是 A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥α B ．如果m ⊂α,n ∥α,n 与α相交，那么m 、n 异面直线 C.如果m ⊂α，n ∥α，m 、α共面，那么m ∥n D ．如果m ∥α,n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n10．某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有A.6种B.8种C.12种D.16种11．已知函数f(x)=x ，g(x)是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时g(x)=lg x ，则函数y=f(x)·g(x)的大致图象为12．设x 1、x 2是函数f(x)=e x定义域内的两个变量,x 1＜x 2，若α=121(),2x x +那么下列不等式恒成立的是A ．|f(a)-f(x 1)| ＞|f(x 2)-f(a)| B.|f(a)-f(x 1)|＜|f(x 2)-f(a)|C.|f(a)-f(x 1)|=|f(x 2)-f(a)|D.f(x 1)f(x 2)＞f 2(a)第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，满分16分.请把答案填表在下面横线上13.不等式1x ＜1解集为_______14.已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7,则a 0+a 1+a 2+…+a 7=_______.15.若原点和点(0,1)在直线x+y-a=0的两侧,则实数a 的取值范围是______. 16.一只电子蚂蚁在如图2所示 的网络线上由原点(0,0)出发,沿和上或向右方向爬至点(m,n)(m,n ∈Ｎ)，记可能的爬行方法总数为f(m,n), 下列有４逐步形成结论： ①f(2,1)=f(1,2)=3; ②f(2,2)=6; ③f(3,3)=21;④f(n,n)= 2(2)!,(!)n n其中所有下确结论的序号是＿＿＿三、解答题：本大题共６小题，共７４分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分１２分）在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边的长，且sin(B+)sin()44B ππ--=(1)求角B 的大小；（2）若a 、b 、c 成等比数列，试判断△ABC 的形状. 18.（本小题满分１２分）狗年春节联欢晚会上，中央电视台为赠送台湾的一对熊猫举办了选乳名的观众投票活动.某家庭有6人在观看春节联欢晚会，他们每人参加投票活动的概率都为0.5，且各个人是否参加投票互不影响，问这个家庭中（1）恰好2人参加投票活动的概率是多少？ （2）至少有4人参加投票活动的概率是多少？ 19.（本小题满分１２分）如图３，在四棱锥Ｐ-AB ＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是正方形，侧棱ＰＤ⊥面ＡＢＣＤ，ＰＤ＝ＤＣ.过BD 作与PA 平行的平面，交侧棱PC 于点E ，又作DF ⊥B ，交PB 于点F.1． 证明：点E 是PC 的中点； 2． 证明：PB ⊥平面EFD ； 3． 求二面角C-PB-D 的大小.20．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{a n }满足：lga1+32lg lg lg ().23n a a a n n N n *+++=∈(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为 s n ,证明：不存在正整数K ，使得S n-k ·S n+k =S 2n21.(本小题满分14分)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 0)是椭圆22221y x a b +=(a ＞b ＞0)上的两点,满足1122(,)(,)0,x y x y b a b a ⋅=椭圆的离心率短轴长为2,O 为坐标原点.(1) 求椭圆的方程; (2) 若直线AB 过椭圆的焦点F(0,C)(C 为半焦距),求直线AB 的斜率K 的值; (3) 试问:三角形AOB 的面积是否为定值?如果是,请写出推理过程;如果不是,请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+1在区间(,2]-∞-上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且b ≥0.(1) 求f(x)的表达式； (2) 设0＜m ≤2，若对任意的x ′、x ″[2,],|()()|m m f x f x '''∈--不等式≤m 恒成立，求实数m 的最小值.福洲市2018年高中毕业班质量检查数学试卷(理科)参考答案及评分标准一、选择题1．B 2.C 3．B 4．C 5.A 6．D 7．A 8．D 9．C 10.C 11.C 12.B 二、填空题13．{x|x＜0或x＞-3 14.-1 15.0＜a＜1 16.①、②、④三、解答题t17．（1）sin()sin()44B Bππ+--=，sin coscos sinsin coscos sin4444B B B B ππππ∴+++=1cos ,01802B B B =∴=<∠< °,∴∠B=60°;（2）∵a 、b 成等比数列，∴b 2=ac, ∵b 2=a 2+c 2-2acosB=a 2+c 2-ac,∴ac=a 2+c 2-ac, ∴a 2+c 2-2ac=0,∴(a-c)2=0,∴a=c, ∵∠B=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 18．（本小题满分12分）（1）设M 为事件“恰有2人参加投票活动”. 则P （M ）=C 26446(0.5)(0.5)-=15;64(2)设A 为事件“有6人参加投票活动”，B 为事件“有5人参加投票活动”，C 为事件“有4人参加投票活动”,则“至少有4人参加投票活动”这一事件为A+B+C ，且A 、B 、C 互斥. 因此，至少有4人参加投票活动的概率为： P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）=C665646666161511(0.5)(0.5)(0.5)0.2343756432C C ++++===.答：略. x19.方法一:)证明:连结AC,交BD 于0,连结EO.∵PA ∥平面BDE,平面PAC ∩平面BDE=OE,∴PA ∥OE. ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点， ∴点E 是PC 的中点;(2)证明:∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD,∴PD ⊥DC,△PDC 是等要直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线,∴DE ⊥PC ① 又由PD ⊥平面ABCD,得PD ⊥BC.∵底面ABCD 是正方形,CD ⊥BC,∴BC ⊥平面PDC. 而DE ⊂平面PDC,∴BC ⊥DE. ②由①和②推得DE ⊥平南PBC.面PB ⊂平面PBC, ∴DE ⊥PB,又DF ⊥PB 且DE ∩DF=D ， 所以PB ⊥平面EFD ；（3）解：由（2）知PB ⊥EF ，已知PB ⊥DF ，故∠ EFD 是二面角C —PB-D 的平面，由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB.设正方形ABCD 的边长为a,则1,,.2PC DE PC =====在Rt △中,DF=.PD BD PB ⋅==在Rt △EFD 中,sinEFD=DE DF ==∴∠EFD=3π.所以,二面角C-PB-D 的大小为3π.方法二:(1)同方法一;(2)证明:如图所示建立空间直角坐标系, D 为坐标原点,设DC=a.依题意得P(0,0,a)B(a,a,0),(,,),(0,,),22a a PB a a a DE =-= 又 2200,,22a a PB DE PB DE ⋅=+-=∴⊥由已知DF ⊥PB,且DF ∩DE=D,所以PB ⊥平面EFD;(,,),(,0,0),(,,0),PB a a a CB a DB a a =-==设平面PBC 法同量为n =(x,y,z),由n ·0PB = 及0m DB ⋅=得 0,.0,x y z x ++=⎧⎨=⎩ 取x=1,y=-1,z=0,则m=(1,-1,0) cos<n ,m>=1,2||||n m n m ⋅==-二面角C-PB-D 为锐角，所以其大小为.3π20．（1）当n=1时，lga 1=1,∴a 1=10.∵lga 1+32lg lg lg ,23n a a a n n +++= ①当n ≥2时，lga 1+312lg lg lg 1,231n a a a n n -+++=-- ②①-②得lg 1,lg ,10,n nn n a a n a n =∴=∴=综上知，对于n ∈N *，a n =10n;（2）∵S n =*1(1)10(110)10(101)(),11109n n n a q n N q ⋅---==∈--∴若存在正整数k ，使得S n-k ·S n+k =S 2,n则2101010(101)(101)[(101)]999n k n k n -+-⋅-=-，即(10n-k-1)·(10n+k-1)=(10n-1)2,整理得10n-k +10n+k =2×10n,两边同除以10n-k ，得1+118k =2×10k,∵k 为正整数，∴1+118k =2×10k左边为奇数，右边为偶数，显然不成立. ∴不存在k 值，使得S n-k ·S n+k =S 2.n21.（1）由已知,2b=2,b=1,e=,,c cc aa a∴==代入a2=b2+c2，解得1, b=∴椭圆方程为221; 4yx+=(2)焦点F（0AB方程为(k2+4)x2∴Δ＞0且x1+x21221,4 x xk=-+y1y2=(kx12 kx+=k2x1x212()3x x++=k2(-21)(34k+++=224(3),4kk-+∵(1122121222,)()0,0, x y x y x x y yb a b a b a⋅⋅=∴+=∴x1x2+120, 4y y=∴-2222130,2,44kk k k k-+==∴= ++解得∴直线AB的斜率k为22．(1)f（x）=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.∵f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增，在区间[-2,2]上单调递减，∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有两个不等实根x1、x2，且x1=-2,x2≥2,∵x1+x2=-122,, 33 b cx x=∴x2=-222,20, 33b b+∴-+≥∴b≤0，已知b≥0，∴b=0,∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1(2)对任意的x′、x″∈[m,-2,m]，不等式|f(x′)-f(x″)|≤16 m恒成立，等价于在区间[m,-2,m]上，[f(x)]min-[f(x)]min≤16 m.f(x)=x3-12x+f,f′(x)=3x2-12.由f′(x)=3x2-12＜0解得-2＜x＜2.∴f(x)的减区间为[-2,2].∵0＜m≤2,∴[m-2,m]⊂[-2,2].∴f(x)在区间[m-2,m]上单调递减，在区间[m-2,m]上，[f(x)]max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,[f(x)]min=f(m)= m3-12m+1,[f(x)]max-f(x)]min=[(m-2)3-12(m-2)+1]-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,∵[f(x)]max-f(x)]min≤16m,∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,解得m≤-2,或m≥min4 02,m.3 m<≤∴=。

2018届高三第一学期开学考试数学(文科)试卷（共4页；完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为1，则z =（ ）．A ． 2B ．C D 3. 若2cos 2sin()4παα=-，且()2παπ∈，，则cos2α的值为（ ）A ． 78-B ．C ．1D 4. 下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为500尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．6B ．7C ．8D ．96. 记21sin 23sin,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ） A ．A B C >> B ．A C B >> C ． B A C >>D. C B A >>7. 如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A 1 ， A 2 ， …A 14 ， 如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 7 8. 函数f （x ）＝｜x ｜＋2ax （其中a∈R）的图象不可能是9. 函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，的图象与2()2cos ()16g x x π=-+的图象的对称轴相同，则()f x 的一个增区间为（ ）A ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10. 已知数列{}n a 满足11a =，()112n n a a n n +-=+，若2121n n a a +->，222()n n a a n N *+<∈则数列{}(1)nn a -的前40项的和为（ ） A.1920 B. 325462 C. 4184 D. 204111. 已知函数2()ln(1)(2)()f x x x a x a a R =+-+--∈若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. ln3ln 21,32+⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ln 3ln 21(,)32+C. ln3ln 21,32+⎛⎤⎥⎝⎦ D. ()ln3,ln 21+ 12．已知f （x ）为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量,a b 满足(4,3),3a b =-=，若向量,a b 的夹角为23π，则23a b +=_____. 14. 已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .15. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为______________16. 已知直线n l ：y x =与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为________ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足 12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1s i n c o s s i n c o s3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且cos 5B BD ==， (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 求△ABC 的最短边的边长。

泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数y =ln(2)y x =-的定义域分别为M 、N ，则M N =（ ）A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(,1](2,)-∞+∞D ．(2,)+∞2.若2iz i=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则++=（ ）A ．B ．C ．D ．4.从编号为1,2,…，79,80的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为10的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ） A ．72B ．73C ．74D ．755.已知角α（0360α︒≤<︒）终边上一点的坐标为(sin150,cos150)︒︒，则α=（ ） A ．150︒ B ．135︒C ．300︒D ．60︒6.函数ln ||()||x x f x x =的大致图象是（ ）7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（ ）A．6 B．4.5 C．7.5 D．98.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．34πB．24π+C．12π+D．324π+9.实数x，y满足1|1|12x y x+≤≤-+时，目标函数z mx y=+的最大值等于5，则实数m的值为（）A．1-B．12-C．2D．510.三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D11.已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为(3,0)，点M 满足||1AM =，0PM AM ⋅=，则||PM 的最小值是（ ） ABC．D ．312.已知函数()[]()cos ,1,1lg 2,1x x f x x x π⎧∈-⎪⎨>⎪⎩，关于x 的方程()f x a =的五个实根由小到大依次为12345,,,,x x x x x ，则345x x x +的取值范围是（ ） A. 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式可能为 ．14.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的图象如图所示，则(0)f 的值为 ．15.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点M 关于渐进线的对称点恰为右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 ．16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c，其面积S =1()2p a b c =++．已知在ABC ∆中，6BC =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+…，*n N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2211log log n n n b a a +=⋅，12n n T b b b =+++…，求证：对任意的*n N ∈，1n T <.18.在如图所示的多面体ABCDEF 中，ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，四边形ADEF 为等腰梯形，//EF AD ，已知AE EC ⊥，2AB AF EF ===，4AD CD ==．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADEF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1,2,3,4,表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 求由随机模拟的方法得到的概率值；（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x （单位：毫米）与其出售的快餐份数y 成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：降雨量（毫米） 1 2 3 4 5快餐数50 85 115 140 160（份）试建立y 关于x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）附注：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-20．已知点P 是圆F 1：（x ﹣1）2+y 2=8上任意一点，点F2与点F 1关于原点对称，线段PF 2的垂直平分线分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点． （1）求点M 的轨迹C 的方程； （2）过点的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数1()(1)1xax f x a x e +=-+-，其中0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若0x ≥，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线1:1C ρ=． （I ）若直线l 与曲线1C 相交于点(),,1,1A B M ，证明：MA MB ⋅为定值； （II ）将曲线1C 上的任意点(),y x 作伸缩变换''x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到曲线2C 上的点()',y'x ，求曲线2C 的内接矩形ABCD 最长的最大值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2|1||1|f x x x =+--.（Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线1y =围成的封闭图形的面积m ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a 、b 满足2a b abm +=，求2a b +的最小值.泉港一中2017-2018学年上学期期末质量检测高三数学（文科）试题答案一、选择题1-5:BAACC 6-10:BADBB 11、C 12： B 二、填空题13.22211121123(1)1n n n +++++<++…14.212 三、解答题17. 解：（Ⅰ）当1n >时，1121212(1)222-1)(2)22n n nn a a na n a a n a n +-+++=-++++=-+①（②①-②得1(1)2(2)22n n n n na n n n +=---=⋅,2n n a =， 当1n =时，12a =，所以2,*n n a n N =∈． （Ⅱ）因为2n n a =，2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +===-⋅++. 因此1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+， 所以n T 1<.18.（Ⅰ）证明：取AD 中点M ，连接EM ，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=12AD ，∴AE ⊥DE ，又AE ⊥EC ，DE EC E = ∴AE ⊥平面CDE ，∵CD CDE ⊂平面 ，∴AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，ADAE A = ,∴CD ⊥平面ADEF．（Ⅱ）由(1)知 CD ⊥平面ADEF ，CD ⊂ 平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADEF ；作EO⊥AD ，∴EO ⊥平面ABCD， 连接AC ，则ABCDEF C-ADEF F ABC V V V -=+111(24)4332C-ADEF ADEF V S CD ==⨯⨯+=111243323F-ABC ABC V S OE ==⨯⨯⨯=△， ∴ABCDEF V ==19.解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有191 271 932 812 393 ，共5个，所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为51==204P . （Ⅱ）由题意可知1234535x ++++==，50+85+115+140+160=1105y =，51521()()275==27.510()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑， ==27.5a y bx -所以，y 关于x 的回归方程为：ˆ27.527.5yx =+． 将降雨量6x =代入回归方程得：ˆ27.5627.5192.5193y=⨯+=≈. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份． 20.【解答】解：（1）由题意得，∴点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆∵，∴点M 的轨迹C 的方程为．（2）直线l 的方程可设为，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立可得9（1+2k 2）x 2+12kx ﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y 轴上是否存在定点Q （0，m ），使以AB 为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21.解：（Ⅰ）当1=a时，xexxf-+-=)1(1)(，当1=x时，exf21)(-=，1'(1)fe=，所以所求切线方程为：131y xe e=+-．（Ⅱ）首先xeaaxaxf--++-=)1()1()('，令其为)(xg，则xeaaxxg--+-=)12()('．1）当12≤a即210≤≤a时，,0)('≤xg)(xg单调递减，即)('xf单调递减，)('≤xf，)(xf单调递减，0)(≤xf，所以210≤≤a成立；2）当21>a时，0)12()('=-+-=-xeaaxxg解得：ax12-=，当)12,0(ax-∈时，,0)('>xg)(xg单调递增，即)('xf单调递增，)('>xf，)(xf单调递增，0)(>xf，所以21>a不成立．综上所述：210≤≤a．22. 22.（I）曲线221:1C x y+=．()2221cos1sin2cos sin101x ty t t tx yαααα=+⎧⎪=+⇒+++=⎨⎪+=⎩，121MA MB t t⋅=⋅=．（II）伸缩变换后得222:13xC y+=．其参数方程为：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩．不妨设点(),A m n在第一象限，由对称性知：周长为())4,4sinm nθθ=+8sin83πθ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭，（6πθ=时取等号）周长最大为8．23. 解：（Ⅰ）函数3,1,()21131,11,3, 1.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪+≥⎩它的图象如图所示：函数)(x f 的图象与直线1=y 的交点为(4,1)-、(0,1)，故函数)(x f 的图象和直线1=y 围成的封闭图形的面积14362m =⨯⨯=．（Ⅱ）ab b a 62=+ ,621=+∴ab844244)21)(2(=+≥++=++abb a a b b a ，当且仅当ab b a 4=， 可得31,32==b a 时等号成立，b a 2+∴的最小值是34。