§1.3.1三角函数的周期性

三角函数周期性三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们具有周期性的特点。

周期性是指当变量取特定值时，函数的值会重复出现。

三角函数的周期性可以通过一些简单的关系式来描述。

最常见的三角函数是正弦函数和余弦函数。

它们的周期都是2π，也就是当自变量增加2π时，函数的值会再次回到原来的值。

这就是正弦函数和余弦函数的周期性。

对于其他的三角函数，比如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数，它们的周期性是π，也就是当自变量增加π时，函数的值会再次回到原来的值。

不同的三角函数具有不同的周期，这是它们之间的一个重要区别。

三角函数的周期性在数学和物理学中都有广泛的应用。

在数学中，周期性可以帮助我们解决一些复杂的问题。

比如在三角恒等式的证明中，周期性可以帮助我们化简问题，将复杂的计算转化为简单的计算。

在物理学中，周期性是描述波动和振动的重要概念。

波动和振动都是以一定的周期性发生的。

比如声波、光波和电磁波都是具有周期性的波动。

三角函数的周期性可以帮助我们描述这些波动的特征。

例如，正弦函数和余弦函数可以用来描述声波的振动模式，正切函数和余切函数可以用来描述光波的传播方向。

除了周期性，三角函数还具有许多其他的特点。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，它们对称于y轴。

正切函数和余切函数是奇函数，它们对称于原点。

这些特点在解决问题时也非常有用，可以帮助我们简化计算和推导过程。

三角函数的周期性在数学和物理学中都有重要的应用。

它们能够帮助我们解决一些复杂的问题，描述波动和振动的特征。

了解三角函数的周期性，可以帮助我们更好地理解这些函数的性质，提高数学和物理学的建模能力。

总之，三角函数的周期性是它们最重要的特征之一。

周期性可以帮助我们解决问题，描述波动和振动的特征。

了解三角函数的周期性，对于学习和应用数学和物理学都非常重要。

三角函数的周期性与变化规律三角函数是高等数学中的重要知识点之一，它们具有独特的周期性和变化规律。

在本文中，我将详细介绍三角函数的周期性及其相关的变化规律，并对其应用进行一些实际案例分析。

一、三角函数的周期性-----------------------三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性。

正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值将重复。

这是因为正弦函数的定义是在单位圆上，随着自变量的增长，对应的函数值会不断重复。

余弦函数也具有相同的周期，即在每个2π的区间内，函数的值会周期性地重复。

与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量增长时，对应的函数值与正弦函数有90°（或π/2）的相位差。

正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值将周期性地重复。

正切函数的定义是通过正弦函数和余弦函数来计算的，因此也具有相同的周期性。

二、三角函数的变化规律-----------------------1. 正弦函数的变化规律正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，且当自变量为0时，函数取得最小值0。

当自变量增加时，正弦函数的值会先上升到最大值1，然后下降到最小值-1，再回升到0，不断重复这一过程。

2. 余弦函数的变化规律余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，且当自变量为0时，函数取得最大值1。

当自变量增加时，余弦函数的值会先下降到最小值-1，然后上升到最大值1，再下降到0，也会不断重复这一过程。

3. 正切函数的变化规律正切函数的取值范围是整个实数轴，即它可以取任意实数值。

正切函数在某些自变量的取值下是无界的，例如在π/2和3π/2等点。

当自变量增加时，正切函数的值会在相邻的两个无界点之间不断变换，呈现出周期性的特点。

三、三角函数的应用实例-----------------------三角函数的周期性和变化规律在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

下面将以振动和电路分析为例，说明三角函数在实际问题中的应用。

三角函数的周期性（说课稿）江苏省常州高级中学周洁使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）第1章《三角函数》1.3.1 三角函数的周期性一、教材分析(一)教材内容及地位分析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。

《三角函数的周期性》位于本章的第三节，通过此前两节的学习，学生对任意角、弧度以及任意角的三角函数有了基本的认识，本节开始研究三角函数的图象和性质，周期性是其中第一个研究点。

本节的主要内容包括周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性，经过复合的三角函数的周期并形成结论。

老教材以及现行的人教版、湘教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的。

必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数的概念比较抽象，是一个学习难点。

而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性等性质的学习。

因此，苏教版教材的编排顺序突出了三角函数周期性的地位，更符合学生的认知规律。

另一方面，在整个高中数学的学习中，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都不高，因此，从课本内容的编排来看，并没有过多地纠缠于周期函数这一抽象的概念，而是偏重于对具体的三角函数周期性的认识，并且形成了相应的结论，今后只需直接用结论即可，因此，在教学中，教师应注意教学重心的把握。

(二)教学目标了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

根据学生的生活经验创设情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，从具体到抽象建立周期函数的概念，研究三角函数的周期，体会数形结合和化归转化的数学思想方法。

使学生感受到数学与生活的密切联系，体会从感性到理性的思维过程，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。

三角函数的周期性和奇偶性三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

本文将探讨三角函数的周期性和奇偶性，从而帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、周期性1. 正弦函数的周期性正弦函数的周期是2π（或360°），即f(x) = sin(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

换句话说，正弦函数在每个2π的间隔内会重复自身的图像。

例如，f(0) = sin(0) = 0，f(2π) = sin(2π) = 0，f(4π) = sin(4π) = 0，以此类推。

这种周期性特征使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，比如震荡、波动等。

2. 余弦函数的周期性余弦函数的周期同样是2π（或360°），即f(x) = cos(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

与正弦函数类似，余弦函数也在每个2π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = cos(0) = 1，f(2π) = cos(2π) = 1，f(4π) = cos(4π) = 1，以此类推。

余弦函数的周期性可以应用于描述周期性运动、振动等现象。

3. 正切函数的周期性正切函数的周期是π（或180°），即f(x) = tan(x)在一个周期内的值与下一个周期内的值相同。

不同于正弦函数和余弦函数，正切函数在每个π的间隔内重复自身的图像。

例如，f(0) = tan(0) = 0，f(π) = tan(π) = 0，f(2π) = tan(2π) = 0，以此类推。

正切函数的周期性可以应用于解决角度相关问题，比如角度变换、角度关系等。

二、奇偶性1. 正弦函数的奇偶性正弦函数的奇偶性体现在函数的对称性上。

具体来说，f(x) = sin(x)是一个奇函数，即f(-x) = -f(x)。

这意味着当自变量的符号取反时，函数值也取反。

例如，f(-π/2) = sin(-π/2) = -1，f(π/2) = sin(π/2) = 1，它们关于y轴对称。

1.3.1三角函数的周期性一、预习指导1、对于函数()f x ，如果存在一个___________T ，使得定义域内___________x 的值，都满足_______________，那么函数()f x 叫做___________，T 叫做这个函数的_________。

思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？2、对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的_____________。

（注：今后研究函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期）思考：是否所有的周期函数都有最小正周期？3、sin()y A x b 及cos()y A x b （0,0A ）型的三角函数的周期公式为_______________________。

二、典型例题例1、若摆钟的高度h （mm ）与时间t (s) 之间的函数关系如图所示。

（1）求该函数的周期；（2）求t =10s 时摆钟的高度。

例2、求下列函数的周期：（1）cos 2y x （2）1sin 2y x （3）12sin()36y x例3、若函数()2sin()f x x ，x R （其中0,||2）的最小正周期是，且(0)3f ，求,的值。

例4、已知函数(),y f x x R ，满足(2)()f x f x 对一切x R 都成立，求证：4是()f x 的一个周期。

三、课堂练习1、求下列函数的周期：（1）2cos3y x （2）sin 3xy 2、若函数()sin()5f x kx 的最小正周期为23，求正数k 的值。

3、若弹簧振子对平衡位置的位移x ()cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求t ＝10.5s 时弹簧振子对平衡位置的位移。

四、拓展延伸1、已知函数()sin()103kx f x ，其中0k ，当自变量x 在任何两整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，则最小的正整数k 为_______________。

三角函数的周期性与辅助角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。

在学习三角函数时，一个重要的概念是周期性，以及辅助角公式。

本文将探讨三角函数的周期性特点以及辅助角公式的应用。

首先，我们来看三角函数的周期性。

在数学中，正弦函数和余弦函数是两个常见的三角函数。

它们的周期性意味着函数的值会在一段特定的间距内重复。

正弦函数的周期是2π，也就是说，当自变量增加2π时，函数值会回到原来的值。

余弦函数的周期也是2π。

这种周期性特征是由三角函数的定义所决定的，因为正弦函数的定义是一个周期性的函数。

周期性的概念在许多问题中都有重要意义。

例如，在研究周期性现象时，我们可以使用三角函数来描述和分析这些现象。

例如，天文学中的潮汐现象、物理学中的振动现象和电学中的交流电信号等都可以通过三角函数来描述它们的周期性特征。

接下来，让我们来研究辅助角公式。

辅助角公式是用来简化三角函数的计算的一组公式。

它们基于与给定角的正弦、余弦和正切值有关的关系。

常见的辅助角公式包括余弦的平方加正弦的平方等于1、正切等于正弦除以余弦等。

辅助角公式的使用可以帮助我们更方便地计算三角函数的值，尤其是对于不常见的角度值。

通过将辅助角公式与三角函数的周期性特征结合起来使用，我们可以计算各种角度下的三角函数值，并应用到解决实际问题中。

三角函数的周期性和辅助角公式在数学和物理学中的应用非常广泛。

在物理学中，三角函数在描述波动和振动现象时起着重要作用。

例如，声波、光波和电磁波等都可以通过三角函数来描述它们的振动特征。

在工程学中，三角函数的周期性特征和辅助角公式的应用在信号处理、电路分析和控制系统等领域中起着重要作用。

在统计学和经济学中，三角函数的周期性性质可以用来分析时间序列数据和周期性现象。

总结起来，三角函数的周期性与辅助角公式是数学中重要的概念。

周期性特点使得三角函数能够描述和分析许多周期性现象。

辅助角公式的使用可以简化三角函数的计算，并在实际问题的解决中发挥重要作用。

三角函数的周期性三角函数是数学中的重要函数之一，其周期性是其特点之一。

周期性是指一个函数在一个特定区间内重复出现相同的数值。

对于三角函数来说，它们的周期都是一定的，这个特点使得它们在各个领域都有广泛的应用和研究。

1. 正弦函数的周期性正弦函数是最常见的三角函数之一，用符号sin表示。

它的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的值将重复出现。

这意味着，当自变量增加或减小2π倍数时，正弦函数的值将回到初始值。

正弦函数的图像在[0, 2π]区间内是一个完整的波形，其特点是周期性变化、振荡上下。

2. 余弦函数的周期性余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。

它的周期也是2π，与正弦函数相同，即在每个2π的区间内，余弦函数的值也将重复出现。

同样地，当自变量增加或减小2π倍数时，余弦函数的值将回到初始值。

余弦函数的图像也在[0, 2π]区间内是一个完整的波形，它和正弦函数的波形有一定的相似性，但在振荡方向上有所差异。

3. 正切函数的周期性正切函数是三角函数中的另一个重要函数，用符号tan表示。

它的周期是π，即在每个π的区间内，正切函数的值将重复出现。

和前两个函数类似，当自变量增加或减小π倍数时，正切函数的值也将回到初始值。

然而，正切函数的图像没有像正弦函数和余弦函数那样具有明确的边界，其振荡范围可以是无穷大。

4. 三角函数的周期性在实际应用中的意义三角函数的周期性在物理、工程和其他科学领域中有广泛的应用。

例如，在机械振动中，三角函数的周期性被用来描述物体的周期性振动。

在电路中，正弦函数和余弦函数的周期性被用来描述交流电的周期性变化。

在信号处理中，三角函数的周期性用于分析和处理周期性信号。

总之，三角函数的周期性为解决许多实际问题提供了有效的工具和方法。

总结起来，三角函数的周期性是它们的重要特征之一。

正弦函数、余弦函数和正切函数都具有明确的周期，分别为2π和π。

它们的周期性使得它们在各个领域都有广泛的应用，为描述和分析周期性现象提供了有效的数学工具。

课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期. 2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21C.23-D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。

这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。

一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。

也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。

这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。

这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。

2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。

也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。

这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。

需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。

二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。

2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。

这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。

但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。

三角函数的周期性与奇偶性知识点三角函数是数学中重要的概念之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们在数学中有着广泛的应用，涉及到周期性与奇偶性的概念。

本文将详细介绍三角函数的周期性与奇偶性知识点，以便读者更好地理解和运用这些函数。

一、正弦函数的周期性与奇偶性正弦函数是一种周期函数，其周期为2π。

换句话说，当自变量增加2π时，正弦函数的值会再次重复。

具体而言，正弦函数的周期性可以表示为sin(x + 2π) = sin(x)。

这意味着，如果我们将自变量x增加一个周期的长度，正弦函数的值将保持不变。

正弦函数还具有奇偶性。

奇函数的特点是在原点关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)。

对于正弦函数来说，sin(-x) = -sin(x)，因此它是一个奇函数。

这也意味着，正弦函数的图像关于坐标原点对称。

二、余弦函数的周期性与奇偶性余弦函数也是一种周期函数，其周期同样为2π。

与正弦函数类似，余弦函数的值在自变量增加一个周期的长度后会再次重复，即cos(x +2π) = cos(x)。

不同的是，余弦函数是一个偶函数，即f(-x) = f(x)。

在余弦函数中，cos(-x) = cos(x)，这意味着余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的周期性与奇偶性正切函数是一个没有周期的函数，它在某些点上是无界的。

因此我们不能像正弦函数和余弦函数一样讨论它的周期性。

然而，正切函数具有奇偶性。

在正切函数中，tan(-x) = -tan(x)，因此它也是一个奇函数。

与正弦函数一样，正切函数的图像关于原点对称。

综上所述，三角函数的周期性与奇偶性是它们在数学中重要的性质。

正弦函数和余弦函数都是周期函数，正弦函数是奇函数而余弦函数是偶函数。

正切函数虽然没有周期，但仍然是一个奇函数。

这些性质在解决数学问题和实际应用中起到重要的作用。

通过了解三角函数的周期性与奇偶性，我们可以更好地理解和分析三角函数的性质。

这对于解题和应用三角函数来说是非常有帮助的。

§1.3.1三角函数的周期性【学习目标】1．理解周期函数、最小正周期的定义；2．会求正、余弦函数的最小正周期．【学习重点】函数的周期性、最小正周期的定义．【学习难点】函数最小正周期的定义1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立．余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性．3．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有 ()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2） 正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ ()x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：（1）求该函数的周期；（2）求10t s =时钟摆的高度．例2．求证：函数cos2y x =的最小正周期是π．例3．求下列函数的周期：（1）()sin 2f x x =； （2）1()2cos()26g x x π=-．总结：（1）函数sin()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ均为常数，且0,0)A ω≠>的周期T= ．（2）函数cos()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ均为常数，且0,0)A ω≠>的周期T= ． 变式：求下列函数的周期：（1）3cos()y x =-；（2）sin(2)y x =-．例3．(1)已知()()x f x f -=+1，求证：()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期；(2)已知)(1)2(x f x f -=+，求证：)(x f 是周期函数，并求出它的最小正周期．变式：已知()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，求证：()f x 是周期函数．说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立．1．写出下列函数的周期:(1)x y 3sin =； (2)3cosx y =； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos πx y ； (4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2 ． 【课后作业】1． 下列说法正确的是 ．①因为x x sin )sin(=-π，所以π是函数x y sin =的一个周期；②因为,tan )2tan(x x =+π所以π2是函数x y tan =的最小正周期；③因为4π=x 时，等式x x sin )2sin(=+π成立，所以2π是函数x y sin =的一个周期； ④因为x x cos )3cos(≠+π，所以3π不是函数x y cos =的一个周期． 2． 函数sin()24x y π=-+的最小正周期是 ． 3．函数)3cos(2x y ωπ-=的最小正周期是4π，则ω= ． 4．已知函数()2cos()543k f x x π=+-的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值是 ． 5．函数)3sin(2)(π+=kx x f 与函数)6tan(3)(π-=kx x g 的周期之和为π2，则正实数k 的值 为 ．6．若函数()sin ()6n f n n Z π=∈，则(1)(2)(3)(102)f f f f +++⋅⋅⋅+= ． 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf = ． 8．已知函数()f x 对任意x ∈R ，有(5)()f x f x +=，且()()f x f x -=-，若(1)1f -=，则(2016)f = ．9．设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=)0(sin )02(cos )(ππx x x x x f ，则)415(π-f 的值等于 ．10．已知函数()2sin()34k f x x π=+，如果使()f x 的周期在23(,)34内，求正整数k 的值．11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(1)1(x f x f =+，且当[]1,0∈x 时，x x f 2)(=，求(7.5)f ．12．一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移()x cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：（1） 求该函数的周期；（2） 求37.5t s =时，该质点离开平衡位置的位移．13．求证：①x x y 2sin 2cos +=的周期为π； ②x x y cos sin +=的周期为2π．14．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈有(2)[1()]()1f x f x f x +-=+成立．(1)证明：()f x 是周期函数；(2)若(2)2f =-，求(2002)f 的值．。

1.3.1 三角函数的周期性【教学目标】1．理解周期函数的概念；2．会判断一些简单函数、常用的函数的周期性，并会求)sin(ϕ+ϖ=x A y 和)cos(ϕ+ϖ=x A y 的周期；3． 体会事物周期变化的规律，培养分析归纳、逻辑推理通车。

【教学重点】周期函数的概念，正弦、余弦、正切函数的周期性。

【教学难点】周期函数的概念与最小正周期的意义。

【教学过程】一、问题引入我们每天早晨七点到校，每周周三的第三节课都是数学课。

你能从中归纳出什么数学规律？二、讲授新课1．周期函数定义一般地，对于函数)(x f y =，假如存有一个 不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

2．最小正周期对于周期函数)(x f ，假如在它所有的周期中存有一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做)(x f 的最小正周期。

3．关于周期的几点说明⑴周期函数的定义也可表达为：假如函数对于定义域内的每一个值，每增加或减小一个不为零的定值（定值能够有很多个），函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数。

⑵在周期函数和周期的定义中，要特别注意“每一个值”。

否则，T 就不一定是函数的周期。

如：4sin )24sin(π=π+π，但是6sin )26sin(π≠π+π，所以2π不是x y sin =的周期。

⑶三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数。

要注意不管是周期还是最小正周期，它们都是对自变量x 来说的，是自变量x 的改变量。

⑷一般情况下，求函数的周期都是特指最小正周期，但要注意并不是所有的周期函数都有最小正周期。

如C y =（其中C 是一个常数）和⎩⎨⎧=01)(x D )()(是无理数是有理数x x （称为狄利克雷函数）都是周期函数，但都不存有最小正周期。

4．三角函数的周期⑴正弦函数y=sinx 的周期是π2；余弦函数y=cosx 的周期是π2；正切函数x y tan =的周期是π；江苏省丹阳高级中学高一数学教(学)案 班级 学号姓名- 2 - 2022-03-29⑵y=Asin(ωx+φ)的周期是||2ϖπ；y=Acos(ωx+φ)的周期是||2ϖπ；y=tan(ωx+φ)的周期是||ϖπ。