高三数学第5讲指数与指数函数专题辅导

第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n>1且n∈N *.n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n∈N *，n>1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n∈N *时.(2)根式的性质①(n a)n ＝a(n∈N *,且n>1)． ②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a<0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn n a m (a>0,m,n ∈N *,且n>1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a>0,m,n∈N *,且n>1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a>0,r,s ∈Q)； ③(ab)r＝a r b r(a>0,b>0,r ∈Q)． 3．指数函数的图象及性质函数 y ＝a x(a>0,且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x 轴上方,过定点(0,1)当x 逐渐增大时,图象逐渐下降当x 逐渐增大时,图象逐渐上升性质定义域 R 值域(0,＋∞)单调性 减增函数值 变化 规律当x ＝0时,y ＝1当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1； 当x>0时,y>14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出指数函数y ＝a x,y ＝b x,y ＝c x,y ＝d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线x ＝1,分别与四个图象自上而下交于点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),得到底数的大小关系是：a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.根据y 轴右侧的图象,也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)n a n ＝(n a)n＝a.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝a －x是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝ax2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞)．( ) (5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(6)若a m<a n(a>0,且a≠1),则m<n.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]1．(必修1P59A 组T4改编)化简416x 8y 4(x<0,y<0)＝________． 解析：因为x<0,y<0,所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y|＝－2x 2y.答案：－2x 2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y ＝2x与y ＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y ＝2x与y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略),观察可知其关于y 轴对称． 答案：y 轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f(x)＝a x －2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,则A 的坐标为________．解析：令x －2＝0,则x ＝2,f(2)＝3,即A 的坐标为(2,3)． 答案：(2,3) [易错纠偏](1)忽略n 的范围导致式子n a n(a∈R)化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 22．若函数f(x)＝(a 2－3)·a x为指数函数,则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a ，a ≠1，a 2－3＝1，即a ＝2.答案：23．若函数f(x)＝a x 在[－1,1]上的最大值为2,则a ＝________． 解析：当a>1时,a ＝2；当0<a<1时a －1＝2, 即a ＝12.答案：2或124．函数y ＝21x －1的值域为________． 解析：因为1x －1≠0,所以21x －1>0且21x －1≠1. 答案：(0,1)∪(1,＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312(a,b>0)．【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数．(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12. 解：(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为( )(2)函数f(x)＝|a x＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a ＋b 的取值范围是________．(3)若方程|3x－1|＝k 有一解,则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f(x)＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,单调递减且过点(0,2),选项A 中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a>1,f(12)＝0,b<0.所以a ＋b ＝0,所以a ＋b ＝a －a>1－1＝0.(3)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示．当k ＝0或k≥1时,直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0,＋∞) (3){0}∪[1,＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除． (3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地,当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解．1．函数y ＝xax|x|(a>1)的图象大致是( )解析：选B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>0，－a x ，x<0，因为a>1,依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m,函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示,则要使其图象不经过第一象限,则m≤－2.答案：(－∞,－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性,特别受到高考命题专家的青睐,常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小设a ＝0.60.6,b ＝0.61.5,c ＝1.50.6,则a,b,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．b<a<cD ．b<c<a【解析】 因为函数y ＝0.6x是减函数,0<0.6<1.5,所以1>0.60.6>0.61.5,即b<a<1.因为函数y ＝1.5x在(0,＋∞)上是增函数,0.6>0,所以1.50.6>1.50＝1,即c>1.综上,b<a<c. 【答案】 C角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0 ，若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)【解析】 当a<0时,不等式f(a)<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0<12<1,所以a>－3,此时－3<a<0；当a≥0时,不等式f(a)<1可化为a<1,所以0≤a<1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.【答案】 C角度三 复合函数的单调性(1)函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． (2)(2020·金华十校联考)若函数f(x)＝2|x －a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x),且f(x)在[m,＋∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1,因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上为减函数, 所以函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞,1], 所以f(x)的减区间为(－∞,1]． (2)因为f(x)＝2|x －a|,所以f(x)的图象关于x ＝a 对称．又由f(1＋x)＝f(1－x),知f(x)的图象关于直线x ＝1对称,故a ＝1,且f(x)的增区间是[1,＋∞),由函数f(x)在[m,＋∞)上单调递增,知[m,＋∞)⊆[1,＋∞),所以m ≥1,故m 的最小值为1. 【答案】 (1)(－∞,1] (2)1 角度四 函数的值域(最值)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a>0,a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14,则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 【解析】 令a x＝t,则y ＝a 2x＋2a x－1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a>1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增,所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14,解得a ＝3(负值舍去)． 当0<a<1时,因为x∈[－1,1],所以t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a , 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增,则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14,解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13.【答案】 D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题,应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒] 在研究指数型函数单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论．1．已知函数f(x)＝a x＋b(a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时,函数f(x)＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－322．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ≤x<0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1],则实数a 的取值范围是________．解析：当0≤x≤4时,f (x)∈[－8,1],当a≤x<0时,f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－1,所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1],即－8≤－12a <－1,即－3≤a<0,所以实数a 的取值范围是[－3,0)． 答案：[－3,0)[基础题组练]1．函数f(x)＝1－e |x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)＝1－e |x|是偶函数,且值域是(－∞,0],只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ,故选C.3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中,因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数,2.5<3,所以1.72.5<1.73.B 中,因为y ＝0.6x在R 上是减函数,－1<2,所以0.6－1>0.62.C 中,因为0.8－1＝1.25,所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数,0.1<0.2,所以1.250.1<1.250.2,即0.8－0.1<1.250.2.D 中,因为1.70.3>1,0<0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0,a ≠1)满足f(1)＝19,则f(x)的单调递减区间是 ( )A ．(－∞,2]B ．[2,＋∞)C ．[－2,＋∞)D ．(－∞,－2]解析：选B.由f(1)＝19得a 2＝19.又a>0,所以a ＝13,因此f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g(x)＝|2x －4|在[2,＋∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,＋∞)．5．已知函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,当函数y ＝f(x)和y ＝F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y ＝f(x)的“不动区间”,若区间[1,2]为函数y ＝|2x－t|的“不动区间”,则实数t 的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∪[)4，＋∞ 解析：选C.因为函数y ＝f(x)与y ＝F(x)的图象关于y 轴对称,所以F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|,因为区间[1,2]为函数f(x)＝|2x－t|的“不动区间”,所以函数f(x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同, 因为y ＝2x－t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反, 所以(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立, 即1－t(2x＋2－x)＋t 2≤0在[1,2]上恒成立, 即2－x≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立, 即12≤t ≤2,故答案为C. 6．指数函数y ＝f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)＋f(－m)＝________． 解析：设f(x)＝a x(a ＞0且a≠1),所以f(0)＝a 0＝1. 且f(m)＝a m＝3.所以f(0)＋f(－m)＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·杭州中学高三月考)已知e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0,则ex ＋3y的值为________． 解析：因为e x＋x 3＋x ＋1＝0,1e3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e－3y ＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0,所以x ＝－3y,即x ＋3y ＝0,所以ex ＋3y ＝e 0＝1.答案：18．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x>1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，2－3a<0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，349．当x∈(－∞,－1]时,不等式(m 2－m)·4x－2x<0恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞,－1]上是减函数, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2,当x∈(－∞,－1]时,m 2－m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m<2,解得－1<m<2. 答案：(－1,2)10．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3,求a 的值．解：(1)当a ＝－1时,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3, 令g(x)＝－x 2－4x ＋3, 由于g(x)在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,＋∞)上单调递减,而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减, 所以f(x)在(－∞,－2)上单调递减,在(－2,＋∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(－2,＋∞),单调递减区间是(－∞,－2)． (2)令g(x)＝ax 2－4x ＋3,f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值－1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1, 即当f(x)有最大值3时,a 的值为1.11．已知函数f(x)＝a |x ＋b|(a>0,a ≠1,b ∈R)．(1)若f(x)为偶函数,求b 的值；(2)若f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,试求a,b 应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R ,都有f(－x)＝f(x),即a |x ＋b|＝a |－x ＋b|,|x ＋b|＝|－x ＋b|,解得b ＝0.(2)记h(x)＝|x ＋b|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x<－b. ①当a>1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,所以－b≤2,b ≥－2.②当0<a<1时,f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,＋∞)上是减函数,但h(x)在区间[－b,＋∞)上是增函数,故不存在a,b 的值,使f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2,＋∞)上是增函数时,a,b 应满足的条件为a>1且b≥－2.[综合题组练]1．已知函数f(x)＝|2x－1|,a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A ．a<0,b<0,c<0B ．a<0,b ≥0,c>0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D.作出函数f(x)＝|2x －1|的图象,如图,因为a<b<c 且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a <1.所以f(a)＝|2a －1|＝1－2a <1,所以f(c)<1,所以0<c<1.所以1<2c <2,所以f(c)＝|2c －1|＝2c －1,又因为f(a)>f(c),所以1－2a >2c －1,所以2a ＋2c <2,故选D.2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0,则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 解析：选B.作出函数y ＝f(x)图象如图所示：再作出－y ＝f(－x),即y ＝x 2－4x,恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点, 因此满足条件的对称点只有一对,图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B.3．(2020·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b(a>0,且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),如图所示,则4a －1＋1b的最小值为________,此时a,b 的值分别为________． 解析：由函数y ＝a x ＋b(a>0且a≠1,b>0)的图象经过点P(1,3),得a ＋b ＝3,所以a －12＋b 2＝1,又a>1,则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92,当且仅当2b a －1＝a －12b ,即a ＝73,b ＝23时取等号,所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：92 73,23 4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f(x)＝e |x|,将函数f(x)的图象向右平移3个单位后,再向上平移2个单位,得到函数g(x)的图象,函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x>5，若对于任意的x∈[3,λ](λ>3),都有h(x)≥g(x),则实数λ的最大值为________．解析：依题意,g(x)＝f(x －3)＋2＝e |x －3|＋2,在同一坐标系中分别作出g(x),h(x)的图象如图所示,观察可得,要使得h(x)≥g(x),则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2,故4≥e 2x －9,解得2x －9≤ln 4,故x≤ln 2＋92,实数λ的最大值为ln 2＋92. 答案：ln 2＋925．已知函数f(x)＝2a·4x －2x－1.(1)当a ＝1时,求函数f(x)在x ∈[－3,0]上的值域；(2)若关于x 的方程f(x)＝0有解,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f(x)＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1, 令t ＝2x ,x ∈[－3,0],则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1, 故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a(2x )2－2x－1＝0有解,设2x ＝m>0,等价于方程2am 2－m －1＝0在(0,＋∞)上有解,记g(m)＝2am 2－m －1,当a ＝0时,解为m ＝－1<0,不成立．当a<0时,开口向下,对称轴m ＝14a<0, 过点(0,－1),不成立．当a>0时,开口向上,对称轴m ＝14a>0,过点(0,－1),必有一个根为正,综上得a>0.6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ∈[－1,1],函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值为h(a)．(1)求h(a)；(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n 2,m 2]？若存在,求出m,n 的值；若不存在,说明理由． 解：(1)因为x∈[－1,1], 所以f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3, 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 则y ＝φ(t)＝t 2－2at ＋3＝(t －a)2＋3－a 2.当a<13时,y min ＝h(a)＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时,y min ＝h(a)＝φ(a)＝3－a 2； 当a>3时,y min ＝h(a)＝φ(3)＝12－6a. 所以h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a<13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a>3. (2)假设存在m,n 满足题意．因为m>n>3,h(a)＝12－6a 在(3,＋∞)上是减函数,又因为h(a)的定义域为[n,m],值域为[n 2,m 2],所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n)＝(m －n)(m ＋n),即m ＋n ＝6,与m>n>3矛盾, 所以满足题意的m,n 不存在．。

第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（ ） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（ ） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（ ）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （ ）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（ ） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（ ）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六： 指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·海南·模拟预测）设0.22e a -=，0.2e b =， 1.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<⑤根据指数函数单调性解不等式1．（2022·全国·高一）若1()273x >，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（ ） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（ ） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（ ） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。

第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)。

2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。

(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)。

②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)。

③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)。

3．指数函数的图象与性质R1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 。

2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。

3．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。

一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。

解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。

答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。

解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫22－1＝2。

答案2答案c<b<a 二、走近高考答案 A 三、走出误区微提醒：①忽视n的范围导致na n(a∈R)化简出错；②忽视底数的讨论出错；③忽视底数a的范围出错。

高中数学第一轮复习05幂和指数、指数方程·知识梳理·模块01：幂与指数一、指数幂的拓展1、幂的有关概念：a 的n 次方叫做a 的n 次幂，记作n a 。

称a 为幂的底数（简称为底），n 为幂的指数。

对任意给定的实数,ab 及正整数,s t 都有，s t s t a a a +=；()s t st a a =；()t t t ab a b =成立。

正整数指数幂：零指数幂：01(0)a a =≠*)n n a a a a n N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（负整数指数幂：1n n a a-=≠（a 0,n为正整数）分数指数幂：0,,1)m na a m n n =>>为正整数且有理指数幂：10,,,1)m nm naa m n n a-==>∈>正整数2、整数指数幂：对任意给定的非零实数,a b 及整数,s t ，s t s t a a a +=；()s t st a a =；()t t t ab a b =成立。

3、根式的概念：一般地，如果n 为大于1的整数，且n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根是唯一存在的，表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a 的正的nn 次方根用.而负数没有偶次方根。

0的任何次方根都是0=。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

当n a =；当n ||a =。

[知识补充]1、一般地说，设n 是大于1的整数，当0a >时，称满足n x a =的唯一正数x 为a 的1n次幂，记作1n x a =。

这样在条件0a >时，1n a 就是a 的n 1n a =0,a n >为大于1的整数）。

2、当0a <且n 是正奇数时，存在唯一的实数x ，使得0n x a =<，此时1n a 能被定义。

2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第5讲指数与指数函数含解析第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果错误!x n＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个错误!正数，负数的n次方根是一个错误!负数错误!零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有错误!两个，它们互为错误!相反数±n，a(a＞0)负数没有偶次方根2．分数指数幂（1)a错误!＝错误!错误!(a＞0，m，n∈N*,n＞1）；(2)a－错误!＝错误!错误!＝错误!错误!（a＞0,m，n∈N＊，n＞1）;（3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质（1）a r·a s＝a r＋s(a〉0,r，s∈Q)；(2）(a r）s＝a rs（a〉0，r,s∈Q）；(3）（ab）r＝a r b r（a>0,b>0,r∈Q）．二、指数函数及其性质1．指数函数的概念函数错误!y＝a x（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数．说明：形如y＝ka x,y＝a x＋k(k∈R且k≠0，a〉0且a≠1)的函数叫做指数型函数．2．指数函数的图象和性质底数a〉10〈a〈1图象性质函数的定义域为R，值域为（0,＋∞)函数图象过定点(0，1）,即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y〉1；当x〈0时，恒有0〈y〈1当x>0时，恒有0〈y<1;当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1．（n，a)n＝a（n∈N＊且n〉1）．2.n，a n＝错误!n为偶数且n>1.3．底数对函数y＝a x（a〉0，且a≠1)的函数值的影响如图（a1〉a2〉a3〉a4)，不论是a>1，还是0〈a〈1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a〉0,且a≠1时，函数y＝a x与函数y＝错误!x的图象关于y 轴对称．1．化简［（－2）6］错误!－(－1)0的结果为(）A．－9 B．7C．－10 D．9答案B解析［(－2）6］错误!－(－1）0＝（26)错误!－1＝7.2．函数f（x）＝错误!x＋1(x≥0）的值域为()A．（－∞，2］B．（2,＋∞)C．（0,2］D．(1,2］答案D解析∵当x≥0时，错误!x∈（0，1］，∴错误!x＋1∈（1,2］，即f（x）的值域为(1，2］．3．（a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2）2x＋5的解集为(）A．（－∞,－4) B．（－4，＋∞)C．(－∞,－2) D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2>1，∴－x－1〈2x＋5，∴x>－2,选D．4．（2019·德州模拟）已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则（）A．a〈b<c B．c<b<aC．c<a〈b D．b〈c〈a答案D解析因为y＝错误!x在R上为减函数，错误!>错误!,所以b<c.又y ＝x错误!在(0，＋∞）上为增函数，错误!〉错误!，所以a〉c，所以b 〈c<a.故选D．5．(2020·蒙城月考)已知0<a〈1，b<－1,则函数y＝a x＋b的图象必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析y＝a x＋b的图象如图．由图象可知,y＝a x＋b的图象必定不经过第一象限．6．若x＋x－1＝3，则x错误!＋x－错误!＝________；x2＋x－2＝________.答案错误!7解析∵(x错误!＋x－错误!）2＝x＋x－1＋2＝5,且x错误!＋x－错误!>0，∴x错误!＋x－错误!＝错误!。

高三数学一轮复习知识点讲解专题3.5 指数与指数函数【考纲解读与核心素养】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。

2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.5. 高考预测：（1）指数幂的运算；（2）指数函数的图象和性质的应用；（3）与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等6.备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n次方根2.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①(na)n＝a.②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【典例剖析】高频考点一 根式、指数幂的化简与求值 【典例1】化简3234[(5)]-的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【答案】B【解析】3234[(5)]-===，故选B【典例2】计算：．【答案】12.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：．【规律方法】化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－13×76⎛⎫-⎪⎝⎭0＋80.25×42＋(32×3)6－2323⎛⎫⎪⎝⎭【答案】110【解析】原式＝11313323442222232108110 33⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－.2.计算：1332-⎛⎫⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148×42－2323⎛⎫-⎪⎝⎭＝________.【答案】2【解析】原式＝1323⎛⎫⎪⎝⎭×1＋342×142－13223⎛⎫=⎪⎝⎭.【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）n0＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式na m 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对m n进行约分，否则，有时会改变a 的取值范围而导致出错，如8a 2，a ∈R ，化成分数指数幂应为a 28 ，a ∈R ，而a 14 ＝4a ，则有a ≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 高频考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【典例4】设11223x x -+=，求1x x -+ 的值．【答案】7 【解析】11223x x-+=,21112222327x x x x --⎛⎫∴+=+-=-= ⎪⎝⎭.【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】 已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223a a-+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=.（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=.（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 高频考点三：指数函数的概念【典例5】若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有 ( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠1【答案】C【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0a ≠1，解得a ＝2，故选C. 【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，a ≠1)这一结构形式． 【变式探究】若函数y ＝(m －2)a x ＋3－2n (a >0，且a ≠1)是指数函数，则k ＝ ，b ＝ . 【答案】3，32.【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝13－2n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.高频考点四：指数函数的图象【典例6】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（ ）A ．(1,1)B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．1(,1)2【答案】D 【解析】令12102x x -=⇒=，所以函数21()x f x a-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2． 【典例7】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）函数x y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.当1a >时，xy a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选项错误.当01a <<时，xy a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.所以B 选项错误.综上所述，正确的选项为C. 故选：C2.如图所示是下列指数函数的图象： (1)y ＝a x ；(2)y ＝b x ；(3)y ＝c x ；(4)y ＝d x . 则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是 ( )A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c【答案】B 【解析】可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c ，d 的大小，由(1)(2)比较a ，b 的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x 轴，故选B. 【特别提醒】指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 高频考点五：指数函数的性质及其应用【典例8】【2016新课标全国III 】已知，，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选A ．【典例9】（2020·上海高三专题练习）函数22811(31)3x x y x --+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域是_________.【答案】991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】设22281229t x x x =--+=-++（），31x -≤≤，∴ 当2x =- 时，t 有最大值是9；当1x = 时，t 有最小值是-9，99t ∴-≤≤ ，由函数1()3x y = 在定义域上是减函数，∴原函数的值域是99[33]-，． 故答案为99[33]-，．【典例10】(2020·上海高一课时练习）已知函数(0,1)xy a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大3a，求实数a 的值.【答案】43a =或23【解析】1a >时，x y a =是增函数，则23aa a -=，解得43a =（0a =舍去）； 01a <<时，x y a =是减函数，则23aa a -=，解得23a =（0a =舍去）．综上，43a =或23． 【典例11】（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)， （1）求a 值； （2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（ 【解析】 （1）函数()2x f x a-=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴=（2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（【规律方法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．5.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．6.有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象和性质，数形结合求解．【变式探究】1.（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.2.（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是A． B． C． D．【答案】B【解析】将化为，即，解得，所以，所以函数的值域是.故选C.3.(2019年高考北京理)设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 若函数()e e xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立， 即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.4．（2015·山东省高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-【解析】 若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解； 若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.。