【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 2.11.2导数与函数极值、最值课件 理

课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．±3 C ．±9D ．9解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9，选D.答案：D2．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限解析：画出函数图象即可． 答案：D3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A ．lg x >x12>2xB ．2x>lg x >x12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x 解析：当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所以2x >x12>lg x .答案：D4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 答案：D5．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.答案：A6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a >－2C ．a >－6D ．a <－6解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以g (x )≤g (4)＝－2，所以a <－2. 答案：A 二、填空题7．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab )＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，b ＝－2，又f (x )的最大值为4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋48．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a24－c <0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：99．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1，3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．1．幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如上图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1 解析：在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0,1)内作直线x ＝x 0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1<n <0<m <1，故选D.答案：D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≥3或x ≤－2x 2－1，－2<x <3，f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.答案：D3．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，又在二次函数的图象上，区间[t －1，t ＋1]离对称轴越远，f (x )max －f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：84．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0. (1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1a ，证明：当x ∈(0，p )时，g (x )<f (x )<p －a .解：(1)设函数g (x )图象与x 轴的交点坐标为(a,0)， 又∵点(a,0)也在函数f (x )的图象上，∴a 3＋a 2＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.(2)由题意可知f (x )－g (x )＝a (x －p )(x －q )． ∵0<x <p <q <1a ，∴a (x －p )(x －q )>0，∴当x ∈(0，p )时，f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )．又f (x )－(p －a )＝a (x －p )(x －q )＋x －a －(p －a )＝(x －p )(ax －aq ＋1)，x －p <0，且ax －aq ＋1>1－aq >0，∴f (x )－(p －a )<0，∴f (x )<p －a ，综上可知，g (x )<f (x )<p －a .。

课时作业73 离散型随机变量及其分布列一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列为：则ξA ．0.7 B ．－1 C ．0D ．1解析：因为P (ξ＝－1)＝0.7，P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝1)＝0.1，所以ξ最可能出现的值是－1.故选B.答案：B2．某射手射击所得环数X 的分布列为A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.51解析：P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案：C3．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B ．34 C.45D ．56解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1，解得a ＝54. 故P ⎝⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56. 答案：D4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12 C.13D ．23解析：设X 的分布列为即“X ＝0”p ，则成功率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，故应选C.答案：C5．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则X ＝2时的概率是( )A.C 120C 410C 530B ．C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D ．C 420C 110C 530解析：X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.答案：B6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A.1220 B ．2755 C.27220D ．2125解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C 二、填空题7．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________．解析：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)8．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案：459．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1， ∴a ＝13， 由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13三、解答题10．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸到的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验摸到一个红球和一个白球的概率． (2)记试验次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记“第一次试验摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 16C 28＝37.(2)由题意知X ＝1,2,3,4，P (X ＝1)＝C 12C 16＋C 22C 28＝1328，P (X ＝2)＝C 26C 28×C 14C 12＋C 22C 26＝928，P (X ＝3)＝C 26C 28×C 24C 26×C 12C 12＋C 22C 24＝528，P (X ＝4)＝C 26C 28×C 24C 26×C 22C 24×C 22C 22＝128，所以X 的分布列为11.n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n＝12(n －6)n (n －1)，则12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16. (2)由题意得，ξ的可能取值为0,1,2， 则P (ξ＝0)＝C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (ξ＝2)＝C 26C 212＝522，ξ的分布列为1．一位客人游览福州鼓山、福州永泰天门山、福州青云山这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设Y表示客人离开福州市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求Y的分布列．解：分别记“客人游览福州鼓山”，“客人游览福州永泰天门山”，“客人游览福州青云山”为事件A1，A2，A3.因为事件A1，A2，A3是相互独立的，P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.由于客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以Y的所有可能取值为1,3.所以P(Y＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24，P(Y＝1)＝1－0.24＝0.76，所以Y的分布列为2的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张卡片，记第一次抽取的卡片的标号为x，第二次抽取的卡片的标号为y，设O为坐标原点，点P的坐标为(x→|2，－2，x－y)，记ξ＝|OP(1)求随机变量ξ的最大值，并求“ξ取最大值”的概率．(2)求随机变量ξ的分布列．解：(1)因为x，y可能的取值为1,2,3，所以|x－2|≤1，|x－y|≤2，所以ξ＝(x－2)2＋(x－y)2≤5.且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝5，因此，随机变量ξ的最大值为5.又因为有放回地随机抽取两张卡片共有3×3＝9种情况，所以P(ξ＝5)＝2 9.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,5.因为ξ＝0时，x＝2，y＝2，ξ＝1时，x＝1，y＝1；x＝2，y＝1；x＝2，y＝3；x＝3，y＝3. ξ＝2时，x＝1，y＝2；x＝3，y＝2.所以P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝4 9，P(ξ＝2)＝2 9，则随机变量ξ的分布列为。

课时作业31数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若复数z＝(a2＋2a－3)＋(a＋3)i为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a的值是()A．－3 B．－3或1C．3或－1 D．1解析：若复数z为纯虚数，则需满足a2＋2a－3＝0且a＋3≠0，解得a＝1.不要忽视虚部不等于零的条件．答案：D2．(2014·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i(1－2i)＝2＋i，对应点为(2,1)位于第一象限．答案：A3．(2014·山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i 互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i解析：由已知得，a＝2，b＝1，即a＋b i＝2＋i，所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i，选D.答案：D4．(2014·湖南卷)满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：由题可得z ＋i z ＝i ⇒z ＋i ＝z i ⇒z (1－i)＝－i ⇒z ＝－i 1－i ＝12－12i ，故选B.答案：B5．(2014·安徽卷)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：zi ＋i z ＝1＋i i ＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 答案：C6．(2014·辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：z －2i ＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5＝2＋i ，故z ＝2＋3i ，从而选A.答案：A 二、填空题7．(2014·四川卷)复数2－2i1＋i ＝________.解析：2－2i 1＋i ＝2(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i.答案：－2i8．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数的运算法则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0a ＋1＝b 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i9．已知定义在复数集C 上的函数满足f (x )＝⎩⎨⎧1＋x 3(x ∈R )|x1＋i |(x ∉R )，则f (f (1－i))等于________．解析：由已知得f (1－i)＝|1－i 1＋i |＝|－2i2|＝|－i|＝1，∴f (1)＝1＋13＝2，即f (f (1－i))＝2. 答案：2 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i.(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12，解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16，解得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15>0， 解得m <－3或m >5.11．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，求z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3. ∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.1．复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．4－iD ．4＋i解析：z ＝|1＋3i|＋i ＝2＋i ，故共轭复数为2－i. 答案：A2．复数z ＝1＋2i 2 0131－i 2 013(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由i 4＝1⇒i2 013＝i4×503＋1＝i ，则z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2⇒z ＝－12－32i ，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32在第三象限． 答案：C3．在复平面内，复数11＋i ，11－i (i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12iD ．i解析：∵11＋i ＝1－i (1－i )(1＋i )＝12－12i ，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A.答案：A4．设复数z ＝－3cos θ＋2isin θ. (1)当θ＝43π时，求|z |的值；(2)若复数z 所对应的点在直线x ＋3y ＝0上，求2cos 2θ2－12sin (θ＋π4)的值．解：(1)∵θ＝43π，∴z ＝－3cos 43π＋2isin 43π＝32－3i ，∴|z |＝(32)2＋(－3)2＝212.(2)由条件得－3cos θ＋3×2sin θ＝0， ∴tan θ＝12，原式＝cos θsin θ＋cos θ＝1tan θ＋1＝23.。

【关键字】数学【红对勾】（新课标）高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用单元质量检测理时间：90分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．函数y＝的定义域为( )A. B.∪(－1，＋∞)C. D.∪(－1，＋∞)解析：由得x∈.答案：A2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60°D．120°解析：由y′＝3x2－2得y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°.答案：B3．若已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )A．7 B．2C．5 D．3解析：f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log3<0，所以f＝9＋1＝9log32＋1＝32log32＋1＝3log34＋1＝4＋1＝5，所以f(f(1))＋f＝2＋5＝7，故选A.答案：A4．已知a＝0.7，b＝0.6，c＝log，则a，b，c的大小关系是( )A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．b<a<c解析：由log<1<0.7－<0.6－，得c<a<b.答案：A5．函数f(x)＝2x－sinx的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：显然f(x)的一个零点是0，而f′(x)＝2－cosx>0，即f(x)在R上单调递加，因此函数f(x)只有一个零点，故选A.答案：A6．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝|x＋b|的图象为( )解析：由基本不等式得f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时取得最小值1，故a＝2，b＝1，因此g(x)＝|x＋b|＝|x＋1|，只需将y＝|x|的图象向左平移1个单位即可，其中y＝|x|的图象可利用其为偶函数通过y＝x作出，故选B.答案：B7．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(2)<f(5)<f(8) B．f(5)<f(8)<f(2)C．f(5)<f(2)<f(8) D．f(8)<f(2)<f(5)解析：因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且周期为8，所以f(8)＝f(0)，f(5)＝－f(1)＝f(－1)，因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以函数f(x)在区间[－2,2]上是增函数，又－2<－1<0<2，所以f(5)<f(8)<f(2)．答案：B8．若函数f(x)＝x3＋mx2－x＋1，m∈R在区间(－2,3)上是减函数，则实数m的取值范围为( )A．m≥3 B．m≤－2C．m≥2或m≤－3 D．m≥3或m≤－2解析：因为f′(x)＝x2＋2mx－，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝m.当m＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，不符合题意．当m>0时，f(x)的单调递减区间是(－，m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≥3.当m<0时，f(x)的单调递减区间是(m，－)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则，解得m≤－2.综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤－2.故选D.答案：D9．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2 B．3C．6 D．9解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，Δ＝4a2＋96b>0，又x＝1是极值点，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，且a>0，b>0，∴ab ≤a ＋b24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9.答案：D10．(2014·湖南卷)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2解析：构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0,1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x－e xx2＝exx －1x 2，故函数g (x )＝exx在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，x 2e x 1>x 1e x 2，故选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x，x ≥0，则f [f (－1)]＝________.解析：f (－1)＝(－1)2＝1，所以f [f (－1)]＝f (1)＝21＝2. 答案：212．不等式x 2－2x <0表示的平面区域与抛物线y 2＝4x 围成的封闭区域的面积为________．解析：由x 2－2x <0，得0<x <2，又y 2＝4x ，得y ＝±2x ，∴所求面积S ＝2⎠⎛022x d x ＝4·23x 32 ⎪⎪⎪20＝1623.答案：163213．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意得，f ′(x )＝2ax ＋1x＝0(x >0)有实根，所以a ＝－12x2<0. 答案：(－∞，0)14．对于函数f (x )＝x |x |＋px ＋q ，现给出四个命题： ①q ＝0时，f (x )为奇函数； ②y ＝f (x )的图象关于(0，q )对称；③p ＝0，q >0时，方程f (x )＝0有且只有一个实数根； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．解析：若q ＝0，则f (x )＝x |x |＋px ＝x (|x |＋p )为奇函数，所以①正确；由①知，当q ＝0时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称，f (x )＝x |x |＋px ＋q 的图象由函数f (x )＝x |x |＋px 向上或向下平移|q |个单位，所以图象关于(0，q )对称，所以②正确；当p ＝0，q >0时，f (x )＝x |x |＋q ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋q ，x ≥0，－x 2＋q ，x <0，当f (x )＝0，得x ＝－q ，只有一解，所以③正确；取q ＝0，p ＝－1，f (x )＝x |x |－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，－x 2－x ，x <0，由f (x )＝0，可得x ＝0，x ＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③.答案：①②③三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．) 15．(10分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1， 所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)即a ≤3，所以a 的取值范围是(－∞，3]．16．(10分)(2014·江西卷)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围． 解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x x ＋21－2x ，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋3b －2]1－2x，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19.17．(12分)设函数f (x )＝x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，证明：切点的横坐标为1. 解：(1)a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝2x ＋1－1x＝2x －1x ＋1x，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)证明：设切点为M (t ，f (t ))，f ′(x )＝2x ＋a －1x，切线的斜率k ＝2t ＋a －1t ，又切线过原点，则k ＝f tt，∴f t t ＝2t ＋a －1t，即t 2＋at －ln t ＝2t 2＋at －1. ∴t 2－1＋ln t ＝0，存在性：t ＝1满足方程t 2－1＋ln t ＝0， ∴t ＝1是方程t 2－1＋ln t ＝0的根．再证唯一性：设φ(t )＝t 2－1＋ln t ，φ′(t )＝2t ＋1t>0，φ(t )在(0，＋∞)单调递增，且φ(1)＝0，∴方程t 2－1＋ln t ＝0有唯一解． 综上，切点的横坐标为1.18．(12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a ， 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题意得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12x B ．f (x )＝x 3sin x C ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x解析：令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域为R ，且f (－x )＝2－x－2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：A2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝13对称，则f (－23)＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由f (x )是奇函数可知，f (0)＝0，f (－23)＝－f (23)．又因为y ＝f (x )的图象关于x ＝13对称，所以f (0)＝f (23)，因此f (－23)＝0，故选A.答案：A3．(2014·大纲卷)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x )是以8为周期的函数，∴f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.答案：D4．(2014·山东卷)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：f (x )＝f (2a －x )可得函数关于直线x ＝a 对称，结合选项，只有D 选项中函数有对称轴，故选D.答案：D5．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数 解析：由题知，f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧...x ＋1， x ∈[－1，0)x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2)x －2， x ∈[2，3)…据此画出f (x )的部分图象如图所示：由图象知，f (x )为周期为1的周期函数． 答案：D6．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则不等式xf (x )<0的解集为( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：如图，作出f (x )的草图：由xf (x )<0可知x ，f (x )异号，∴不等式的解为－3<x <0或0<x <3.答案：B 二、填空题7．(2014·新课标卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：y ＝f (x )为偶函数，知f (x )＝f (－x )，图象关于x ＝2对称，知f (2－x )＝f (2＋x )．f (－1)＝f (1)＝f [2＋(－1)]＝f [2－(－1)]＝f (3)＝3.答案：38．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，(x >0)，f (x )， (x <0)是奇函数，则f (x )＝________.解析：令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3，∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3.答案：2x ＋39．(2014·湖南卷)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 为偶函数，则f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln(e －3x ＋1)＋a (－x )＝ln(e 3x ＋1)－3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，则－3－a ＝a ，得a ＝－32.答案：－32 三、解答题10．已知函数f (x )＝2|x －2|＋ax (x ∈R )有最小值． (1)求实数a 的取值范围．(2)设g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝f (x )，求g (x )的解析式．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)x －4， x ≥2，(a －2)x ＋4， x <2，要使函数f (x )有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a －2≤0，所以－2≤a ≤2，即当a ∈[－2,2]时，f (x )有最小值． (2)因为g (x )为定义在R 上的奇函数， 所以g (0)＝0.设x >0，则－x <0， 所以g (x )＝－g (－x )＝(a －2)x －4， 所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －4， x >0，0， x ＝0，(a －2)x ＋4， x <0.11．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R . (1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，所以(1＋k )＋(k ＋1)·22x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1.(2)因为x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x ， 即2x ＋k ·2－x >2－x 成立， 所以1－k <22x 对x ≥0恒成立， 所以1－k <(22x )min .因为y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x )min ＝1. 所以k >0.1．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：由f (t )＝f (1－t )，得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )， 所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－14.故选C. 答案：C2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为________．解析：根据已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋1)＝－f (x －1)，以x ＋1代x ，得f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即4为函数f (x )的一个周期．再由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，以－x ＋1代x ，可得f (x )＝－f (2－x )，当x ∈[1,2)时，2－x ∈(0,1]，所以当x ∈[1,2)时，f (x )＝－log 2(2－x )．当x ∈(8,9]时，x －8∈(0,1]，此时f (x )＝f (x －8)＝log 2(x －8)，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即log 2(x －8)＝－1，解得x ＝172；当x ∈(9,10)时，x －8∈(1,2)，此时f (x )＝f (x －8)＝－log 2(8－x )，方程f (x )＋1＝f (1)，即f (x )＝－1，即－log 2(10－x )＝－1，解得x ＝8(舍去)．综上可知，在(8,10)内满足方程f (x )＋1＝f (1)的实数x 的值为172.答案：1723．奇函数f (x )满足对任意x ∈R 都有f (2＋x )＋f (2－x )＝0，且f (1)＝9，则f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)的值为________．解析：奇函数f (x )满足f (2＋x )＋f (2－x )＝0，则f (2＋x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝f (2)＋f (3)＋f (4)，令x ＝0，则f (2)＝0；令x ＝2，则f (4)＝f (0)＝0；由f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－9，故f (2 010)＋f (2 011)＋f (2 012)＝－9.答案：－94．已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2的定义域为(－1,1)，满足f (－x )＝－f (x )，且f (12)＝25.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性的定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (x 2－1)＋f (x )<0.解：(1)由f (－x )＝－f (x )，得－ax ＋b 1＋x 2＝－ax －b1＋x 2⇒b ＝0，则f (x )＝ax 1＋x 2，又由f (12)＝25，所得a ＝1； 所以f (x )＝x 1＋x 2. (2)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)又－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，从而f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) 所以f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由f (x 2－1)＋f (x )<0得f (x 2－1)<－f (x )即f (x 2－1)<f (－x )由(2)知f (x )在(－1,1)上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2－1<1－1<x <1x 2－1<－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <0，或0<x <2－1<x <1－1－52<x <－1＋52⇒－1<x <0或0<x <－1＋52所以，原不等式的解集为(－1,0)∪(0，－1＋52)．。

课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是()A．0 B．2cos1－sin1C．cos1－sin1 D．1解析：∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x，∴y′|x＝1＝2cos1－sin1.答案：B2．(2014·大纲卷)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于() A．2e B．eC．2 D．1解析：y′＝e x－1＋x·e x－1，∴y′|x＝1＝e0＋1×e0＝2.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为y′＝a－1x＋1，所以在点(0,0)处切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3，故选D.答案：D4．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3，由于f ′(x )是偶函数，所以a ＝0，此时f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝9，f (2)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.答案：A5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．212B ．29C ．28D ．26解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，故f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212.答案：A6．函数f (x )＝－1b e ax(a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2 2 C. 2D ．2解析：f ′(x )＝－a b e ax ，所以x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝－ab ，又f (0)＝－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－ab (x －0)即ax ＋by ＋1＝0，由题意该直线与圆x 2＋y 2＝1相切，故1a 2＋b 2＝1即a 2＋b 2＝1，由a 2＋b 2≥(a ＋b )22得a ＋b ≤2，故最大值为 2.答案：C二、填空题7．函数y ＝f (x )的图象在点P (3，f (3))处的切线方程为y ＝x ＋2，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (3)＋f ′(3)＝________.解析：(3，f (3))在切线y ＝x ＋2上，∴f (3)＝5，又f ′(3)＝1，∴f (3)＋f ′(3)＝6.答案：68．(2014·江西卷)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，答案：(－ln2,2)9．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围是________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案：[－2,2] 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 11．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x >0)，由已知得：⎩⎨⎧x ＝a ln x 12x ＝a x，解得a ＝12e ，x ＝e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)， 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则有k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，则x 0＝e ，y 0＝1，∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e ，故选C.答案：C2．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.103B.43 C ．－23D ．1解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，则f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )的图象知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a >0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，∴f (1)＝－23，故选C.答案：C3．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号) ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2 ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x 解析：对于①，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0,0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0,0)附近位于直线l 的两侧，①正确；②中，y ′＝2(x ＋1)，x ＝－1，y ′＝0，x ＝－1不是切线； ③中，y ′＝cos x ，x ＝0，y ′＝1，切线方程为y ＝x ，又x <0时，x <sin x ；x >0时，x >sin x ，符合；④中，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，x ＝0，y ′＝1，切线为y ＝x .当x >0时，x >tan x ；当x <0时，x <tan x ，符合；⑤中，y ′＝1x ，x ＝1，y ′＝1，切线方程为y ＝x －1.当x <1时，x －1>ln x ；当x >1时，x －1>ln x ，不满足(ⅱ)．综述，①③④正确． 答案：①③④4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，所以f ′(－1)＝0，即3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)因为直线m 恒过点(0,9)．设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)，因为g ′(x 0)＝6x 0＋6.所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0,9)代入得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9，当x0＝1时，切线方程为y＝12x ＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，x＝2.经检验，当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝9是公切线，又由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，经检验，x＝0或x＝1不是公切线，∴k＝0时y＝9是两曲线的公切线．。

课时作业23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、选择题1．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度解析：由y ＝sin x 得y ＝sin(x ＋1)只需向左平移1个单位即可． 答案：A2．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如上图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3解析：由图象知A ＝2，图象过点(π3，2)， ∴2sin(π3×2＋φ)＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π6，∴f (0)＝2sin(－π6)＝－1. 答案：B3．(2014·安徽卷)若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4解析：f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)，向右平移φ个单位，得y ＝2sin(2x －2φ＋π4)关于y 轴对称，则－2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝－π8－k π2，k ∈Z ，φ的最小正值为38π.答案：C4．(2014·辽宁卷)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增 C ．在区间[－π6，π3]上单调递减 D ．在区间[－π6，π3]上单调递增解析：平移后的函数为y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x ＋π3－π)＝3sin(2x －23π)，增区间：－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤712π＋k π，k ∈Z ，k ＝0时，π12≤x ≤712π，故选B.答案：B5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝( )A ．0 B. 2 C.2＋1D ．1解析：由图象知φ＝0，ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin πx4，其图象关于(4,0)，x ＝2，x ＝6对称，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0，∵T ＝8,2 015＝251×8＋7，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 015)－f (0)＝－f (0)＝0.答案：A6．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数的对称轴．故选B. 答案：B 二、填空题7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图象可以看出32T ＝π， ∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3. 答案：38．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：由题意得⎩⎨⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.答案：20.59．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为________． 解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度后得到函数解析式为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4，显然当π4－πω6＝π6＋k π，k ∈Z 时，两图象重合，此时ω＝12－6k ，k ∈Z .∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：12 三、解答题10．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. (2)图象如图所示．11．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到．求y ＝g (x )的单调增区间．解：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2. 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )．故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12(k ∈Z )．1．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如上图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．答案：A2．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题意cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ<π，所以φ＝π6. 答案：π63．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.解析：据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π64．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0,3]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解：(1)由条件，cos ∠POQ ＝42＋(5)2－(13)22×4×5＝55，所以P (1,2)．因为A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12， 又2πω＝12，则ω＝π6.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin(π6x ＋φ)，得sin(π6＋φ)＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(π6x ＋π3)．(2)由题意，可得g (x )＝2sin π6x .所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin(π6x ＋π3)·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin(π3x －π6)．当x∈[0,3]时，π3x－π6∈[－π6，5π6]，所以sin(π3x－π6)∈[－12，1]，所以函数h(x)的值域为[0,3]．。

课时作业19 同角三角函数基本关系式与诱导公式一、选择题1．sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )A ．0 B.12 C ．1D ．－12解析：原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4)＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0.答案：A2．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54解析：由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案：B3．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( )A ．0 B.95 C.43D.53解析：sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.答案：B4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴tan α＝34.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4·tan α＝1－341＋34＝17. 答案：B5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2D ．2解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.答案：A6．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝169，∴sin2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin2θ＝－23. 答案：B 二、填空题7．(tan x ＋1tan x )cos 2x 化简的结果是________． 解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 答案：1tan x8．已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34. 答案：－349．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π<α<－π2，∴7π12<π12－α<13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案：－223 三、解答题10．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin (θ－3π2)cos (θ－π)－sin (3π2＋θ)的值． 解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13， ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin (3π2－θ)cos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2(－13)2＝18. 11．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，① ∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin Acos A ＝45－35＝－43.1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是( )A.229 B ．－229 C ．－19D.19解析：∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－13×223＝－229. 答案：B2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x ，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4.当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 答案：D3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 答案：04．在平面直角坐标系xOy 中，钝角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合．若角α＋π4的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，t .(1)求sin α的值；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α，求f (1)＋f (2)＋…＋f (9)． 解：(1)由三角函数的定义，得 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45. sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝7210.(2)f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，f (2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＋α＝－cos α，f (3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝sin α，f (4)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π2＋α＝cos α，f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×5＋α＝－sin α. ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α的最小正周期T ＝4. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)． 从而f (1)＋f (2)＋…＋f (9)＝2×0－sin α＝－7210.。

课时作业30 破解高考中平面向量与其他知识的交汇问题一、选择题1．(2014·辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题．由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题．故p ∨q 为真命题．故选A.答案：A2．已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为BC 边的中点，则|AD→|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：因为D 为BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)， 所以|AD →|＝12|AB →＋AC →|. 又|BC→|＝10，而BC →＝AC →－AB →， 所以|AC→－AB →|＝10⇒(AC →－AB →)2＝100，即|AC →|2＋|AB →|2－2AC →·AB→＝100. 因为AC →·AB →＝－16，所以|AC →|2＋|AB →|2＝68， 故(AC→＋AB →)2＝68－32＝36， 所以|AB →＋AC →|＝6，即|AD →|＝3，故选D. 答案：D3．a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2解析：(a －c )·(b －c )＝c 2－c ·(a ＋b )≥1－|c ||a ＋b |＝1－(a ＋b )2＝1－ 2.答案：D4．已知△ABC 的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A 为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由题意可知GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴GC→＝－(GA →＋GB →)． 又∵aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎪⎫b －33c GB →＝0，∴a －33c ＝0，b －33c ＝0，∴a ＝33c ，b ＝33c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c22×33c ·c ＝32，∴A ＝π6. 答案：A5．已知正数a ，b ，向量m ＝(4,1)，n ＝(a ，b )，m ·n ＝30，则1a ＋1b 取得最小值时的实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)解析：因为向量m ＝(4,1)，n ＝(a ，b )，m ·n ＝30，所以4a ＋b ＝30，1a ＋1b ＝130(1a ＋1b )(4a ＋b )＝130(4＋1＋b a ＋4a b )≥130(5＋2b a ·4a b )＝310，当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b，4a ＋b ＝30即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝10时等号成立．故选A. 答案：A6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB→的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14 D.18解析：因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图阴影部分表示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18，故选D.答案：D 二、填空题7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________． 解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB →与AC →的夹角为90°.答案：90°8．如图，A 是半径为5的圆C 上的一个定点，单位向量AB →在A 点处与圆C 相切，点P 是圆C 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP →·AB→的取值范围是________．解析：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设点P (x ，y )，B (1,0)，A (0,0)， 则AB→＝(1,0)，AP →＝(x ，y )，所以AP →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x . 因为点P 在圆x 2＋(y －5)2＝25上， 所以－5≤x ≤5，即－5≤AP →·AB →≤5. 所以应填[－5,5]． 答案：[－5,5]9．已知向量m ＝(x ＋3a 2x ，2a )，n ＝(1，－ln x )，函数f (x )＝m ·n 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x ＋3a 2x －2a ln x ，所以f ′(x )＝1－3a 2x 2－2ax ，由已知得1－3a 2x 2－2ax ≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x 2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧g (2)≥0，a ≥2或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为[－1，13]．答案：[－1，13] 三、解答题10．如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求cos ∠BAD ；(2)设AC→＝xAB →＋yAD →，求x ，y 的值． 解：(1)设∠CAB ＝α，∠CAD ＝β，cos α＝AB →·AC → |AB →||AC →|＝120130＝1213，cos β＝35，∴sin α＝513，sin β＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin α·sin β ＝1213×35－513×45＝1665. (2)由AC→＝xAB →＋yAD →得 ⎩⎨⎧AC →·AB →＝xAB →2＋yAD →·AB →，AC →·AD →＝xAB →·AD→＋yAD →2，∴⎩⎪⎨⎪⎧120＝169x ＋16y ，30＝16x ＋25y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4063，y ＝5063.11．已知平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A (sin x,1)，B (cos x,0)，C (－sin x,2)，点P 在直线AB 上，且AB→＝BP →. (1)记函数f (x )＝BP →·CA →，判断点(7π8，0)是否为函数f (x )图象的对称中心，若是，请给予证明；若不是，请说明理由；(2)若函数g (x )＝|OP →＋OC →|，且x ∈[－π12，π2]，求函数g (x )的最值． 解：(1)点(7π8，0)为函数f (x )图象的对称中心． 理由如下：因为BP→＝AB →＝(cos x －sin x ，－1)，CA →＝(2sin x ，－1)， 所以f (x )＝2sin x (cos x －sin x )＋1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)．令2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心为(k π2－π8，0)，k ∈Z ，取k ＝2，可得(7π8，0)为函数f (x )图象的对称中心．(2)设点P 的坐标为(x P ，y P )，则BP →＝(x P －cos x ，y P)， 因为AB →＝BP →，所以cos x －sin x ＝x P －cos x ，y P ＝－1，所以x P ＝2cos x －sin x ，y P ＝－1，所以点P 的坐标为(2cos x －sin x ，－1)．因为OC →＝(－sin x,2)，所以OP→＋OC →＝(2cos x －2sin x,1)， 所以g (x )＝|OP→＋OC →|＝(2cos x －2sin x )2＋1 ＝5－8sin x cos x ＝5－4sin2x . 因为x ∈[－π12，π2]，所以－π6≤2x ≤π， 所以－12≤sin2x ≤1，所以1≤5－4sin2x ≤7，所以1≤g (x )≤7，所以函数g (x )在x ∈[－π12，π2]上的最小值为1，最大值为7.1．平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2·|b |2－(a ·b )2B.|a |2·|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2·|b |2－(a ·b )2D.12|a |2·|b |2＋(a ·b )2解析：由条件得cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |，所以sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a ||b |2＝1－(a ·b )2(|a ||b |)2， 所以S △OAB ＝12|a |·|b |sin 〈a ，b 〉 ＝12|a |·|b |1－(a ·b )2(|a ||b |)2＝12(|a |·|b |)2－(a ·b )2(|a ||b |)2·(|a |·|b |)2 ＝12|a |2·|b |2－(a ·b )2. 答案：C2．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ → ＝0，则点P 到点C 的距离的最大值是________． 解析：设P (x ，y )，则Q (8，y )，由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得 |PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1， 所以点P 的轨迹是焦点在x 轴的椭圆，且a ＝4，b ＝23，c ＝2，点C 是其右焦点．故|PC |max ＝a ＋c ＝4＋2＝6.答案：63．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，求线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值．解：AP→＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →， 则O ，P ，A 三点共线，又OA →·OP →＝72， 所以OA→与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72. 设OP 与x 轴夹角为θ，A 点坐标为(x ，y )，B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝|OP →|·|OB →| |OA →|＝72|OB →| |OA →|2＝72·|x |x 2＋y2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72×1216×925＝15. 当且仅当|x |＝154时等号成立．则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15.。

课时作业15 导数与函数的极值、最值一、选择题1．函数f(x)＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0解析：∵f(x)＝x 4－2x 2＋3，由f′(x)＝4x 3－4x ＝4x(x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x ＝0,1，－1都是f(x)的极值点．答案：C2．设函数f(x)＝2x＋lnx ，则( ) A ．x ＝12为f(x)的极大值点 B ．x ＝12为f(x)的极小值点 C ．x ＝2为f(x)的极大值点D ．x ＝2为f(x)的极小值点解析：f′(x)＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0，可得x ＝2.当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴x ＝2为f(x)的极小值点．答案：D3．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对 解析：f′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减．∴x ＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.答案：A4．(2016·河北石家庄一模)若不等式2xlnx≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：2xlnx≥－x 2＋ax －3，则a≤2lnx ＋x ＋3x ，设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x(x>0)，则h′(x)＝ x ＋3 x －1 x 2.当x ∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min ＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．答案：B5．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( ) A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0解析：y′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.答案：D6．(2016·河北唐山模拟)直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为( )A ．3B ．2 C.324 D.32解析：解方程2(x ＋1)＝a ，得x ＝a 2－1，设方程x ＋lnx ＝a 的根为t(t>0)，则t ＋lnt ＝a ，则|AB|＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t －t ＋lnt 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－lnt 2＋1.设g(t)＝t 2－lnt 2＋1(t>0)，则g′(t)＝12－12t ＝t －12t(t>0)，令g′(t)＝0，得t ＝1.当t ∈(0,1)时，g′(t)<0；当t ∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min ＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32. 答案：D7．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b<1B ．b<1C ．b>0D ．b<12解析：f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b<0. ∴b>0，f′(1)＝3－3b>0，∴b<1.综上，b 的取值范围为0<b<1.答案：A8．若函数f(x)＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．{4}D ．[2,4]解析：f′(x)＝3ax 2－3，当a≤0时，f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a≥2，不合题意；当0<a≤1时，f′(x)＝3ax 2－3＝3a(x ＋1a )(x －1a)，f(x)在[－1,1]上为减函数， f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a≥2，不合题意；当a>1时，f(－1)＝－a ＋4≥0，且f(1a )＝－2a＋1≥0， 解得a ＝4，综上所述，a ＝4.答案：C9．(2016·河南周口调研)已知函数f(x)＝x 33＋mx 2＋ m ＋n x ＋12的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，点P(m ，n)表示的平面区域为D ，若函数y ＝log a (x ＋4)(a>1)的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由题意，知y′＝x 2＋mx ＋m ＋n 2＝0的两根x 1，x 2满足x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，所以⎩⎨⎧ m ＋n 2>0，1＋m ＋m ＋n 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n>0，3m ＋n ＋2<0.画出其表示的可行域D ，因为y ＝log a (x ＋4)(a>1)的图象上存在区域D 内的点，所以log a (－1＋4)>1，即a<3，所以实数a 的取值范围为(1,3)．答案：B10．(2016·湖北宜昌一模)已知y ＝f(x)是奇函数，当x ∈(0,2)时，f(x)＝lnx －ax ⎝⎛⎭⎫a>12，当x ∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1解析：由f(x)是奇函数，x ∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1知，当x ∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝1x －a ＝0，得x ＝1a. 当0<x<1a时，f′(x)>0； 当x>1a时，f′(x)<0. ∴f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－lna －1＝－1，解得a ＝1.答案：D二、填空题11．(2016·东北八校模拟)已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．解析：∵f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a×2＋3b ＝0，3×12＋6a×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0， ∴f′(x)＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2，∴f(x)极大值－f(x)极小值＝|f(0)－f(2)|＝4.答案：412．(2016·黑龙江哈尔滨一模)函数y ＝x ＋2cosx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 解析：y′＝1－2sinx ，令y′＝0，且x ∈[0，π2]，得x ＝π6，则x ∈[0，π6)时，y′>0；x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，y′<0，故函数在⎣⎡⎭⎫0，π6上单调递增，在(π6，π2]上单调递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋ 3. 答案：π6＋ 3 13．(2016·昌平一模)已知函数f(x)＝4lnx ＋ax 2－6x ＋b(a ，b 为常数)，且x ＝2为f(x)的一个极值点，则实数a 的值为________．解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝4x＋2ax －6， ∴f′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.答案：114．设f(x)＝ln(1＋x)－x －ax 2，若f(x)在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 解析：由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－ 2a ＋1 x 1＋x， 由题意得：f′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0.得a ＝－14， 又当a ＝－14时，f′(x)＝12x 2－12x 1＋x ＝12x x －1 1＋x，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以f(1)是函数f(x)的极小值，所以a ＝－14. 答案：－14三、解答题15．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a 的取值范围； (2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－2x ＋a －1x， ∵f(x)在(0，12)上为减函数， ∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x≤0恒成立， 即a≤2x ＋1x恒成立， 设g(x)＝2x ＋1x ，则g′(x)＝2－1x 2. ∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(12)＝3，∴a≤3. (2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a>0⇒a>2 2. ∴当a>22时，f′(x)＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2，由f′(x)＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知， 0<x<x 1时，f′(x)<0，x 1<x<x 2时，f′(x)>0，x>x 2时f′(x)<0， ∴当a>22时，f(x)既有极大值f(x 2)又有极小值f(x 1)．16．设函数f(x)＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋lnx (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x 2e x －2xe x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝xe x －2e x x 3－k x －2 x 2＝ x －2 e x －kx x 3. 由k≤0可得e x －kx>0.所以当x ∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y ＝f(x)单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y ＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k>0时，设函数g(x)＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g′(x)＝e x －k ＝e x －e lnk ，当0<k≤1时，当x ∈(0,2)时，g′(x)＝e x －k>0，y ＝g(x)单调递增， 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k>1时，得x ∈(0，lnk)时，g′(x)<0，函数y ＝g(x)单调递减， x ∈(lnk ，＋∞)时，g′(x)>0，函数y ＝g(x)单调递增，所以函数y ＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ g 0 >0，g lnk <0，g 2 >0，0<lnk<2，解得e<k<e 22. 综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22.。

课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan2α＝( ) A.247 B.2425 C ．－2425D ．－247解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：D2．已知sin(π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.12 B ．－255C.255D ．2解析：∵sin(π－α)＝－1010，∴sin α＝－1010. ∴2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α sin α＋cos α22 sin α＋cos α＝22sin α＝－255.答案：B3．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365C.3365D.6365解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513³35＋1213³45＝3365.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：C5．已知α、β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由α、β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α²cos β－sin α²sin β＝22，所以α＋β＝π4.故选A. 答案：A6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：∵C ＝120°，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ＝－tan120°＝ 3. 又∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，∴3＝2331－tan A tan B .∴1－tan A tan B ＝23，tan A tan B ＝13.答案：B 二、填空题7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________.解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.∴sin(β＋5π4)＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝－35³(－22)＋(－45)³(－22)＝3210＋4210＝7210. 答案：72108．化简：11＋tan α－11－tan α＝________.解析：原式＝－2tan α 1＋tan α 1－tan α ＝－2tan α1－tan 2α ＝－tan2α. 答案：－tan2α9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题10．(2014²广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 sin θ＋cos θ ＋22 cos θ－sin θ ＝32，∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 11．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)法1：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79. 法2：sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ α＋β －⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35³13＋45³223＝82－315.1．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0， 故sin(α＋β)>sin(α－β)． 答案：C2．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1， 所以∠AED ＝π4.又因为在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. 于是sin ∠CED ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC＝22³255－22³55＝1010.故选B. 答案：B3．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35³⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45³223＝3＋8215.答案：3＋82154．(2014²江西卷)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ²(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.。

课时作业15导数与函数极值、最值一、选择题1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2 C．－ln2 D．ln2解析：y′＝2x＋x·2x ln2＝0，∴x＝－1ln2.答案：B2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案：C3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()解析：因为[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f(x)＋f′(x)]e x，且x ＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.答案：D4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.答案：A5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c ＝()A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1解析：∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表：因此，当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c ＋2＝0或c －2＝0，∴c ＝－2或c ＝2.答案：A6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，若1和－1是函数f (x )的两个零点，x 1和x 2是f (x )的两个极值点，则x 1·x 2等于( )A ．－1B ．1C ．－13 D.13解析：f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )，若1和－1是函数f (x )的两个零点，即1和－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－1)＝－b a ，1×(－1)＝c a ，解得b ＝0，c ＝－a ，∴f (x )＝ax 3－ax ，f ′(x )＝3ax 2－a . 又由题意知x 1和x 2是f ′(x )＝0的两根， 所以x 1x 2＝－a 3a ＝－13，故选C. 答案：C 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：48．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是________．解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.答案：(－∞，－20]9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的是________(填写序号)．解析：由题意可知函数f(x)的单调增区间为(－1,0)，(2,4)；单调减区间为(0,2)，(4,5)，且f(x)的极小值为f(2)，由于f(2)未知，故①④均错误，又因为f(x)的最大值为f(0)＝f(4)＝2，故③错误．答案：②三、解答题10．已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 11．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)若a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x ＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 10，－a 2时，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增， 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a2>4时，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4上取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)， 当a ＝－10时，f (x )在(1,4)单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10.1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析：由x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图象大致如右图所示，由图可知f (x )在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．答案：C2．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12 D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12解析：f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y 1＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0，当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12. 答案：D3．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1， 所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.又f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点， 即f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3有一个解或者两个不相同的解． 当有一解时，需f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103不成立， 所以52≤a <103；当有两解时，依题意可得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧12<a2<3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f ′(3)>0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故选C.答案：C4．(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x＋e－2x)＝0，因e2x＋e－2x>0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R 上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋2t－c＝0有两根t1,2＝c±c2－164>0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12ln t1或x2＝12ln t2.当x1<x<x2时，f′(x)<0；又当x>x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围是(4，＋∞)．。

红对勾高三数学讲义手册知识点答案高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)中考数学必修知识点概括必修课程二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分科学知识就是高一学生的难点，比如说：一个角实际上就是一个锐角，但是在图中表明的钝角等等一些问题，须要学生的立体意识较强。

这部分科学知识中考占到22---27分后2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

中考数学必修知识点概括必修课程四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：中考不单独命题，极易和三角函数、圆锥曲线融合命题。

09年理科占5分后，文科占13分后。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、求解三角形：(正、余弦定理、三角并集转换)中考中理科占22分后左右，文科数学占13分后左右2、数列：中考必修，17---22分后3、不等式：(线性规划，听讲时易认知，但做题较繁杂，应当掌控技巧。

中考必修5分后)不等式不单独命题，通常和函数融合谋最值、边值问题。

高考数学必考知识点归纳文科选修：报读1--1：重点：中考占到30分后1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)报读1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

中考数学必修知识点概括理科报读：选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数报读2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌控这部分知识点须要大量做题打听规律，并无技巧。

课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：A 项，函数y ＝e －x 为R 上的减函数； B 项，函数y ＝x 3为R 上的增函数； C 项，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数；D 项，函数y ＝|x |在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B 项符合题意，应选B. 答案：B2．下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x解析：由于(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0等价于x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)正负号相同，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f (x )＝2x 符合，故选C.答案：C3．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b <0D ．b >0解析：函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是单调函数的充要条件是－b2≤0得b ≥0.答案：A4．已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则y ＝f (|x －3|)的单调递减区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：因为函数y ＝f (|x －3|)是由y ＝f (μ)，μ＝|x －3|复合而成的，而函数y ＝f (x )在R 上是减函数，y ＝f (|x －3|)的单调递减区间，即μ＝|x －3|的单调递增区间，结合函数μ＝|x －3|的图象可得，应有x －3≥0，解得x ≥3，所以函数y ＝f (|x －3|)的单调递减区间是[3，＋∞)，故选B.答案：B5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/ c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A.答案：A 二、填空题7．f (x )在(0，＋∞)上为减函数，则A ＝f (a 2－a ＋1)，B ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系为________．解析：因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，即A ≤B .答案：A ≤B8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2，使其在(3，＋∞)上是增函数，故4＋k <0，得k <－4. 答案：(－∞，－4) 三、解答题10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.11．已知函数f (x )＝2x ＋bx ＋c 其中b ，c 为常数且满足f (1)＝5，f (2)＝6.(1)求b ，c 的值；(2)证明：函数f (x )在区间(0,1)上是减函数；(3)求函数y ＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3的值域．解：(1)f (x )＝2x ＋bx ＋c ，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝5f (2)＝6⇒⎩⎨⎧2＋b ＋c ＝54＋b 2＋c ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1.(2)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2， f (x )＝2x ＋2x ＋1，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋2x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋2x 1＋1 ＝2(x 2－x 1)＋2(x 1－x 2)x 2x 1＝2(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 1x 2＝2(x 2－x 1)(x 1x 2－1)x 1x 2<0， ∴f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在(0,1)上是减函数．(3)由(2)知函数在(0,1)上是减函数，易知在(1，＋∞)上是增函数．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )min ＝f (1)＝5， 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝6，f (3)＝233，f (3)>f (12)， ∴f (x )max ＝233，∴f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，233.1．已知函数y ＝f (x )满足：f (x )＝f (4－x )(x ∈R )，且在[2，＋∞)上为增函数，则( )A ．f (4)>f (1)>f (0.5)B ．f (1)>f (0.5)>f (4)C ．f (4)>f (0.5)>f (1)D ．f (0.5)>f (4)>f (1)解析：因为函数y ＝f (x )满足：f (x )＝f (4－x )(x ∈R )， 所以函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 所以f (1)＝f (3)，f (0.5)＝f (3.5)， 又因为f (x )在[2，＋∞)上为增函数， 所以f (4)>f (3.5)>f (3)， 即f (4)>f (0.5)>f (1)，故选C. 答案：C2．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝e x＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈(－π2，π2)时，f ′(x )＝e x＋cos x >0恒成立，所以f (x )在(－π2，π2)上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．答案：D3．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x ＜a )，∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案：(－∞，1]4．若a ∈R ，函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－(a ＋1)x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[－1,2]时，－1≤f (x )≤23恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝13x 3－x ，f ′(x )＝(x ＋1)(x －1)，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．(2)因为f ′(x )＝(x －1)[x ＋(a ＋1)]， 又因为－1,1∈[－1,2]， 所以f (－1)＝32a ＋23∈[－1，23]， f (1)＝－12a －23∈[－1，23]，即－1≤32a ＋23≤23且－1≤－12a －23≤23， 解之得－109≤a ≤0.所以－1≤－(a ＋1)≤19.①当a ＝0时，f (x )max ＝max{f (－1)，f (2)}＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23，满足条件．②当－109≤a <0时，上单调递减，所以f (x )min ＝min{(f －1)，f (1)}≥－1，f (2)＝23， 所以只要f (－(a ＋1))≤23恒成立即可． 设g (a )＝f (－(a ＋1))＝16(a ＋4)(a ＋1)2， 因为g ′(a )＝12(a ＋3)(a ＋1)，所以g (a )max ＝max{g (－109)，g (0)}＝g (0)＝23， 则f (－(a ＋1))≤23恒成立． 故实数a 的取值范围是[－109，0]．。

第三章单元质量检测时间：90分钟 分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值为( ) A. 2 B ．－ 2 C ．0D.22解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝22＋22＝ 2.答案：A2．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，因为tan θ ＝cos 3π4sin 3π4＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4. 答案：D3．化简sin 235°－12cos10°cos80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析：sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°·sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1. 答案：C4．已知角A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )A.72 B ．－72 C ．－12D.12解析：∵A 为△ABC 的内角，且sin2A ＝2sin A cos A ＝－34<0，∴sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72.答案：A5．如图所示为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )A ．－1B ．－ 3 C. 3D ．1解析：由A ，B 两点之间的距离为5知函数的半周期为3，因此T ＝6，ω＝2πT ＝π3，又函数过点(0,1)，所以sin φ＝12，因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，故f (－1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1. 答案：A6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ， 所以2R sin A sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝122R sin B . 因为a >b ，所以∠B <∠A ， 所以0<∠B <π2，sin B ≠0.所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12. 又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin B ＝12. 又0<∠B <π2，所以∠B ＝π6. 答案：A7．为了得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，只要把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象上所有的点( )A ．向右平行移动π5个单位长度 B ．向左平行移动π5个单位长度 C ．向右平行移动2π5个单位长度 D ．向左平行移动2π5个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π5＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －25π＋π5，所以要得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π5的图象，应把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象上所有点向右平行移动25π个单位长度．答案：C8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin2x ＋1； ③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4；④f (x )＝sin x ＋3cos x .其中是“同簇函数”的为( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．③④解析：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象在平移的过程中，振幅不变，①中函数的解析式化简为y ＝12sin2x ，④中函数的解析式化简为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将③中的函数的图象向左平移π12个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.答案：D9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：化简23cos 2A ＋cos2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5.答案：D10．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 解析：由已知条件得f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3， 由题意得T 2＝π2，∴T ＝π.∴T ＝2πω，∴ω＝2. 又∵f (0)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，x ＝0为f (x )的对称轴， ∴f (0)＝2或－2，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3， 此时f (x )＝2cos2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，故选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称中心为________．解析：∵y ＝tan x (x ≠π2＋k π，k ∈Z )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，∴可令2x ＋π6＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝－π12＋k π4(k ∈Z )． 因此，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π4，0 (k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π4，0(k ∈Z ) 12．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝4，AB ＝5，则△ABC 的面积是________．解析：根据题意，由于△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22⇔2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝12⇒A ＋π4＝5π6，所以A ＝7π12.△ABC 的面积为S ＝12×4×5×sin 7π12＝52＋562. 答案：52＋56213．f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________．解析：f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1 ＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1.答案：114．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论： ①tan Atan B ＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中正确的是________．解析：tan A ＋B 2＝sin A ＋B2cos A ＋B2＝cos C 2sin C 2＝2sin C 2cos C 2，∴sin 2C 2＝12，sin C 2＝22.∵C 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C 2＝π4，∴C ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．答案：②④三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)(2014·大纲全国卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 由3tan A cos C ＝2sin C ，因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－1，即B ＝135°. 16．(10分)已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 由⎩⎨⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.17．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法1：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3.法2：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形． 18．(12分)(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.。