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3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(人教A版选修2-2)

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高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

1.数系扩充的一般原则是什么? 剖析:数系扩充的脉络是:自然数系→整数系→有理数系→实数 系→复数系,用集合符号表示为N→Z→Q→R→C. 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出,数系的每一次扩 充都与实际需求密切相关.数系扩充后,在新数系中,原来规定的加 法运算与乘法运算的定律仍然适用,加法和乘法都满足交换律和结 合律,乘法对加法满足分配律. 一般来说,数的概念在扩大时,要遵循如下几项原则: (1)增添新元素,新旧元素在一起构成新数集; (2)在新数集里,定义一些基本关系和运算,使原有的一些主要性 质(如运算定律)依然适用; (3)旧元素作为新数集里的元素,原有的运算关系保持不变; (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾.
当实数 a 取什么值时,z 分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数? 解:(1)若 z 为实数, ������2 -5������-6 = 0, 则 2 解得 ������ = -1 或������ = 6, ������ -1 ≠ 0, ������ ≠ ±1, 故当 a=6 时,z 为实数. (2)若 z 为虚数, ������2 -5������-6 ≠ 0, 则 2 解得 ������ ≠ -1,且������ ≠ 6, ������ -1 ≠ 0, ������ ≠ ±1. 故当 a∈{a∈R|a≠±1,a≠6}时,z 为虚数.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法.
1.复数的概念及代数表示法 (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,全体复数所成的集 合C叫做复数集,规定i· i=-1. (2)代数表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示 形式叫做复数的代数形式.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都 有a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

3.1.1数系的扩充与复数的概念-人教A版高中数学选修2-2课件

3.1.1数系的扩充与复数的概念-人教A版高中数学选修2-2课件

三、知识新授
2、复数的代数情势：
z a bi (a R,b R)
其中a —实部 , b —虚部 , i称为虚数单位.
全体复数所成的集合C叫做复数集， 即C={a+bi|a,b∈R}
讨论：复数集C和实数集R之间有什么关系?
3、复数的分类
复数a+bi
实数 虚数
(b=0) (b≠0)
纯虚数
●从此，解三次方程的方法，就被称为“卡丹诺 公式”。
●笛卡尔(RenéDecartes; 1596 1650)
• 法国著名的哲学家 • 坐标集合的首创人 • 1637年，他称一个负数的开方为“虚
数”(imaginary number)。 • 但他不承认虚数是数字的一种。
• 瑞士数学家。
• 13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右 眼失明，60岁完全失明。
解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y 1 (3 y)
得 x 5,y4 2
练习3、已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i，求
实数x，y的值;
x=3，y=-2
练习4、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i =0，求x的值.
x=2
例3、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0，至少有 一个实数根，求实数m的值.
系
的
有理数
扩
充
无理数
实数
用图形表示包含关系：
RQ Z N
二、知识引入
解一元二次方程x2+1=0在实数范围内无解．
x 2 1
在解方程时经常会遇到这类问题.如果负数可以开 平方，那这个平方根不会是实数，是什么数呢?

(教师用书)高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2

(教师用书)高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修2-2

2．关于复数分类的教学 关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出 发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且 通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注 意与以前学过的数的衔接． 3．关于复数相等的充要条件的教学 关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先 让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等 的问题转化为方程组解的问题的思想，解决此类问题．
1．解答本题的着眼点是复数的分类标准，但需注意对应 实、虚部的变量取值范围． 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)当且仅当 a＝0，b≠0 时，z 为纯虚数，在求解时，易忽略“b≠0”这一条件．
若将本例(1)中的“纯虚数”改为“虚数”，结论又如 何？
【解】 2≠0， ∴x≠－2 且 x≠－1. 若(x2 －1) ＋(x2 ＋3x＋2)i 是虚数，则 x2＋3x＋
两个复数相等的充要条件
【问题导思】 由 3>2 能否推出 3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那 么两个复数能比较大小吗？
【提示】 由 3>2 不能推出 3＋i>2＋i，当两个复数都是 实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比 较大小．
在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数 a＋bi， c＋di(a，b，c，d∈R)，规定 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件 是 a＝c且b＝d .
2 m －2m＝0， (3)①当 m≠0，
即 m＝2 时，复数 z 是实数．
②当 m2－2m≠0，且 m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数． m2＋m－6 ＝0， m ③当 2 m －2m≠0， 即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数．
【答案】 (1)B (2)± 1

人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念.pptx

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������2-5a-6 ≠ 0,
(3)当 z 为纯虚数时,则有
������2-7a+6 ������2-1
=
0,
∴������ ≠ -1 且������ ≠ 6,∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. ������ = 6.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
-
π 2
,
π 2
内 tan
π4=1,
故在 R 上由周期性知 θ=kπ+π4(k∈Z).
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
2.已知关于实数 x,y 的方程组
(2������-1) + i = ������-(3-������)i,① 有实 (2������ + ������������)-(4������-������ + ������)i = 9-8i②
,虚部
是
.
答案:3 -2
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
目标导航 预习引导
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探索
KETANGHEZUOTANSUO
2.复数相等的充要条件
a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)相等的充要条件是 a=c 且 b=d.
预习交流 2
已知 a,b∈R,a+i=-1-bi,则 a=
复数 z=
实数(������ = 0),
虚数(������ ≠ 0)(当������ = 0 时为纯虚数)

《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1-优质公开课-人教A版选修2-2精品

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数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[ 问题 1]
的实数解？
方程 2x2 － 3x ＋ 1 ＝ 0. 试求方程的整数解？方程
1 [提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和2. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
[提示2]
没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[问题3] 有解吗？
若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0
[提示3]
[ 问题 4]
有解，x＝i但不是实数范围内．
实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 a
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．了解数系的扩充过程．
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法．
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定
相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．复数i－i2的虚部为( A．0 C．i 解析： i － i 2 ＝ 1＋ i .

高二数学,人教A版选修1-2, 3.1.1, 数系的扩充,和复数的概念课件

高二数学,人教A版选修1-2, 3.1.1, 数系的扩充,和复数的概念课件

[解析]
时
m＝5或m＝－3 即 m≠－3
，
∴当 m＝5 时，z 是实数．
2 m －2m－15≠0 (2)当 m＋3≠0
时，
m≠5且m≠－3 即 m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第三章
数系的扩充与复数的引入
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0 m＝3或m＝－2 即m≠－3 m≠5且m≠－3
是很必要的．
②对于复数z＝a＋bi (a，b∈R)，既要从整体的角度 去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角 度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之 一．
第三章
数系的扩充与复数的引入
[例3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 求实数x，y的值． [解析] 因为 x，y 为实数，
第三章
数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做虚数单位，满足i2＝ －1 . (2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)， 这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 虚部 实部 与 ．
第三章
数系的扩充与复数的引入
所以 2x－1，y＋1，x－y，－x－y 均为实数．
2x－1＝x－y， 由复数相等的充要条件，知 y＋1＝－x－y， x＝3， 所以 y＝－2.
第三章
数系的扩充与复数的引入
[点评] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等
的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．
[例1] 下列命题中，正确命题的个数是 ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充与复数的概念

人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充与复数的概念
高中数学课件
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
18
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些 性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x －y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中， 如果没有特殊说明，一般都在实数集内 解决问题.
＝0的充要条件是什么？ a＝b＝0
思考5：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集
与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
13
思考6：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时， z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之 间如何？
9
思考6：设a∈R，下列运算正确吗？
a+i= i+a
a ?i i ?a
a ?( i) = - ai
i 3 = i 2 ?i - i1ຫໍສະໝຸດ = =-ii i2 10
探究（二）：复数的有关概念
思考1：虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫 做复数，全体复数所成的集合叫做复数 集，记作C，那么复数集如何用描述法表 示？

高中数学新课标人教A版选修2-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件

高中数学新课标人教A版选修2-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件

∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得 (2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i 即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴21x＝－b1－＝3－，b，
解得x＝－32， b＝4.
∴x＝－32， y＝4i.
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范二训十分练。
课前探究学习
课堂讲练互第动十二页，编辑于活星期页一规：点范二训十分练。
复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点： (1)a，b∈R，否则不是代数形式． (2)从代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数． 反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)； 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)； 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
课前探究学习
课堂讲练互第动十页，编辑于星活期一页：规点 二范十训分。练
题型一 关于复数的概念 【例1】 下列命题中，正确命题的个数是( )．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根； ⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3
(1)复数 ①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1，a叫做复数的 实部，b叫做复数 的 虚部 ． ②表示方法：复数通常用 字母z表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R这) 一 表示形式叫做复数的代数形式．
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星活期一页：规点 二范十训分。练
课前探究学习

人教版A版高中数学选修2-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念(2)

人教版A版高中数学选修2-2：3.1.1 数系的扩充和复数的概念(2)


y

2
∴ x 1, y 2
YOUR SITE HERE 巩固提高1.当m为何实数时，复数
Z m2 m 2 (m2 1)i
是（1）实数? （2）虚数? （3）纯虚数?
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2.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R，
求 x, y的值。
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课堂小结
1.虚数单位i的引入；
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2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部 z a bi (a R,b R)
虚数、纯虚数
实部
虚部
复数相等
a bi

c di
a c b d
（3）
当mm
1 1

0 0
即m 1时，复数z 是纯虚数．
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教师精讲
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例2.如果 (x 2y) i 5 (x y)i ，求 x, y的值.
解: 由复数相等的定义，得
x 2y 5 x y 1
解得
x 1
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(5)实数集R是复数集合C的 真子集 ，即 R C 。
合作交流
1.分别指出下列复数的实部和虚部：
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3 2i, 2 i, 3i 5, 3 , 5i, i2, 0. 2
2.复数 a bi (a,b R)是如何分类的?
复数a+bi
实数b 虚数b

0
0（当
a

0
时为纯虚数）

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(人教A版选修1-2)

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(人教A版选修1-2)

复数(a＋bi，a、b∈ R) 实数 （b＝0） _________ a ＝0 ） 纯虚数（________ 虚数 （b≠0） _________ a≠0 ） 非纯虚数（__________
栏目 导引
第三章
数系的扩充与复数的引入
想一想 3.两个复数能否比较大小？ 提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0 时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小， 即两个不全是实数的复数不能比较大小．
新知初探思维启动
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b 是_________ ， a叫做 实数 ，i叫做 _______________ 虚数单位 实部 ，b叫做复数的_________ 虚部 ． 复数的_________ ②表示方法：复数通常用z表示，即z＝ a＋bi(a、b∈R) _____________________ ．
栏目 导引
第三章
数系的扩充与复数的引入
想一想 2.复数就是虚数吗？ 提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所 见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两 大部分．
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，则 a＝c，b＝d a＋bi＝c＋di⇔________________ ； a＝b＝0 a＋bi＝0⇔_________________ ．
a＝－1或a＝6， ∴ ∴a＝6 时，z 为实数． a≠±1. 2 a －5a－6≠0， (2)当 z 为虚数时，则有 2 a －1≠0. a≠－1且a≠6， ∴ ∴a≠±1 且 a≠6， a≠±1.
即当 a∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6， ＋∞)时，z 为虚数．
数系的扩充与复数的引入

人教A版高中数学选修2-2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念

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精彩推荐典例展示
易错警示 因忽视实、虚部为实数而致误 例4 已知复数 z＝a2－a2－7a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试
求实数 a 分别取什么值时，z 分别是：(1)实数；(2)虚数； (3)纯虚数．
【常见错误】 忽略隐含条件a2－1≠0这个大前提．
【解】 (1)由题意得
a2－ 5a－ 6＝ 0，
②表示方法：复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)． (3)复数集 ①定义：由____全__体__复__数____所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母___C___表示．
想一想 1.复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是 虚部．
a2－5a－6≠0，
(3)依题
意有
a2 － 7a＋ a2 － 1
6＝
0，
∴a≠－1且a≠6 ， a＝6.
∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数．
【失误防范】 形如a＋bi的复数，一定要注意，只有当 a、b是有定义的实数才能充当复数的实部、虚部，在这 个前提下，研究复数的分类才不易出错．
2．复数的分类及包含关系
_实__数___ b＝ 0
复数(a＋bi，a、b∈R)
_虚__数____b≠

0

纯虚数a＝0 非纯虚数a≠0
想一想 2.复数ai一定是纯虚数吗？ 提示：不一定．当且仅当a∈R且a≠0时，ai是纯虚数.
3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔ __a_＝__c_，__b_＝__d__. ； a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝__0__. 想一想 3.任意两个复数都能比较大小吗？ 提示：当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小，否则不 能比较大小．(但任意两个复数要么相等，要么不相等，二 者有且仅有一种情况成立)．

高中数学人教A版选修223.数系的扩充和复数的概念PPT课件

高中数学人教A版选修223.数系的扩充和复数的概念PPT课件

高中数学人教A版选修223.数系的扩充 和复数 的概念 PPT课 件
但是，数集扩充到实数集R之后，像 x2+1=0这样的方程还是无解，因为 在实数范围内，没有一个实数的平 方等于负数。联系数系的扩充过程， 你能设想一种方法，使这个方程有 解吗?
引入一个新数：
满足
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx－＋1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4. 若复数z m 3 m2 m im R,是虚数，
m2
则实数m的取值范围是（D）.
四、复数的分类
实数b 0
复数a+bi虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0 0，b
0
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
练习4 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是 虚数，哪些是纯虚数。
2 7，0.618，2 i，0，i，5i 8， 7
3 9 2i，i 1 3 ， 2 2i.
练习5. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
a bi c di
注意：一般对两个复数只能说相等或不相 等；不能比较大小。
高中数学人教A版选修223.数系的扩充 和复数 的概念 PPT课 件
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练习1 说出下列复数的实部和虚部：
2 1 i ， 2 i , 2 , 3i ，i，0.

人教A版选修1-2 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(26张)

人教A版选修1-2 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(26张)

[基础认识]
知识点一 复数的概念及代数表示
预习教材P50－51，思考并完成以下问题 数的发展过程(经历)：计数的需要⇒自然数(正整数和零)
测量、分配中的等分
表示相反意义的量
解方程3x＝5 ⇒分数 解方程x＋3＝1 ⇒
度量 负数解方程x2＝2⇒无理数．
(1)一元二次方程 x2＝－1 在实数集范围内的解是什么？ 提示：无解． (2)我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 提示：引入一个新数：i―规―定→i2＝－1.
方法技巧 判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可 按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 a＋bi 的形式，更要注 意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
3．复数相等的充要条件 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定 a ＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c且b＝d .
知识点二 复数的分类 思考并完成以下问题 (1)复数 z＝a＋bi 在什么情况下表示实数？ 提示：b＝0. (2)如何用集合关系表示实数集 R 和复数集 C? 提示：R C.
知识梳理 复数的分类
(1)复数 a＋bi(a，b∈R)
实数 虚数
b＝0， b≠0，
当a＝0时为纯虚数.
(2)集合表示
1．复数 i－2 的虚部是( )
A．i
B．－2
C．1
D．2
[自我检测]
解析：i－2＝－2＋i，因此虚部是 1.
答案：C

数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)

数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
a
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》ppt课件


新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→________ 复数系 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求 与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用．
原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主 要性质(如运算定律)________适用； 依然 (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系 __________ ； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 保持不变
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案案
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学 内部的矛盾在数系扩充过程中的作用． 2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示． 3．理解复数相等的充要条件．
复数的相等与复数的分类 新知导学 3．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔___________. a＝c且b＝d 4．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 _____________，a＝0是z为纯虚数的____________条件． a＝0且b＝0 必要不充分
5．复数的分类
b＝0 (1)复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，z 为实数⇔__________ ，z 为
b≠0 虚数⇔_________ ，z

人教a版数学【选修2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】3.1.2《复数的几何意义》ppt课件

，
－1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2. ∴m＝2.
[方法规律总结] 1.复数的几何意义包含两种： (1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的 一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵 坐标． (2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时 ，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建 立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理 解复数的相关知识． 2．有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、 某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实 部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解．
[分析]
确定z的实部、虚部 → 列方程不等式组
→ 求解m
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m －2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1.
2 m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0
实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应 的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上 ？ [解析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数 ． 若已知复数z＝a＋bi，则当a<0，且b<0时，复数z对应的点在 第三象限； 当a>0，且b<0时，复数z对应的点在第四象限； 当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
2 P(3m－2，m－1)，当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<3时，P 在 2 2 第三象限，当3<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝3时，P 在 y 轴 上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B.
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是（ C ）
A.n=2
B.n=3
C.n=4
D.n=5
B ）
4.复数z=i+i2+i3+i4的值是（
A.-１
B.0
C.1
Ｄ.i
5.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一 个根，那么方程x2=－1的另一个根是________. －i -1 6.复数i2 (1+i)的实部是________.
虚数单位i是瑞士数学家欧拉 Euler 最早 引用的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词 的词头.
复数通常用字母z表示，即z = a + bi a,b ∈ R , 这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a与b 分别叫做复数z的实部与虚部.
在复数集 C = a + bi|a,b ∈ R中任取两 个数 a + bi,c + di a,b,c,d ∈ R , 我们规定 : a + bi与 c + di相等的充 要条件是 a = c且 b = d.
这样的数都可以看作是 a + bi(a,b ∈ R) 的特殊形式,所以实数系经过扩充后 得到的新数集应该是C = a + bi|a,b ∈ R .
复数的概念
我们把集合 C = a + bi|a,b ∈ R 中的数, 即形 如a + bi a,b ∈ R 的数叫做复数(complex number), 其中i叫做虚数单位(imaginary unit).全体复数 所成的集合 C 叫做复数集(set of complex numbers).
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要 条件.（重点） 3.了解复数的代数表示法.（难点）
数集扩充到实数集
正整数 自然数 零 整数 有理数 实数 负整数 分数 小数 无理数
1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（ A ）
A.必要条件
C.充要条件
B.充分条件
D.非必要非充分条件
2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部
的复数是（ B ） A.-2+3i C.-3+3i B.3-3i D.3+3i
3.下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位）的
虚数 ,
并且其中只有 - 0.2i 是 纯虚数 .
C. 显然, 实数集R是复数集C的真子集, 即R ≠
这样，复数 z a bi 可以分类如下 :
实数 b 0 , 复数 z 虚数 b 0 当a 0时为纯虚数 . 复数集, 实数集, 虚数集, 纯虚数集之间的关系, 可用图 示表示.
把实数 a与新引入的数 i 相加,结果记作a +i; 把实数b与i相乘,结果记作bi; 把实数a与实数b和i 相乘的结果相加 ,结果 记作a + bi.
加法和乘法的运算律仍然成立 ,这些运算的结果 都可以写成 a + bi(a,b ∈ R)的形式 ,把这些数都添 加到数集 A 中去.
a +i可以看作是a +1i, bi可以看作是0 + bi, a可以看作是a + 0i, i可以看作是0 +1i.
（3）当m +1 = 0,且m -1 ≠ 0, 即m = -1 时,复数 z 是纯虚数 .
总结提升 最后还要指出的是 ,一般地说 ,两个复数只能说 相等或不相等,而不能比较大小.例如1 + i与 2 + 3i 不能比较大小.
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+
（3x+y）i，求实数x,y的值.
7.已知(2 x 1) i y (3 y)i，其中x, y R.求x与y.
解 根据复数相等的定义，得方程组
2 x 1 y 1 (3 y)
5 解得 x , y 4 2
1. 虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部、虚部
思 考 复 数 集 C和 实 数 集 R之 间 有 什 么 关 系 ?
对于复数a bi,当且仅当b 0时, 它是实数;
当且仅当a b 0时, 它是实数0;
当b 0时,叫做虚数;
当a 0且b 0时,叫做纯虚数.
1 1 例如 ,3 + 2i, - 3i,- 3 - i,-0.2i 都是 2 2 1 它们的实部分别是 3, , 3 , 0, 2 1 虚部分别是 2, 3 , , 0.2, 2
虚数集 复数集 纯虚数集
实数集Leabharlann 例1 实数m取什么值时,复数z = m +1+ m -1 i是 （1）实数（ ；2） 虚数（ ；3） 纯虚数.
分析 因为 m ∈ R,所以 m + 1,m - 1 都是实数 .由复数 z = a + bi 是实数、虚数和纯 虚数的条件可以确定 m的取值 .
解 （1） 当m -1 = 0, 即m = 1 时,复数z是实数; （2）当m -1 ≠ 0, 即m ≠1 时,复数z是虚数;
z a bi (a R, b R)
复数的分类
复数相等
a bi
a c c di b d
探究点2 复数的概念
思考？
x 1
2
引入一个新数：
i
满足
i i 1
把这个新数i添加到实数集中去,得到一个 新数集,记作A,那么方程x2 +1 = 0在A中就有 解x = i了.
从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律, 以及乘法 对加法满足分配律.