决胜2017年高考全国名校试题数学分项汇编(江苏特刊) 专题03 导数与运用(原卷版) 无答案

解答题1．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）若AB 为定圆O 一条弦（非直径），4AB =，点N 在线段AB 上移动，F 90∠ON =，F N 与圆O 相交于点F ，求F N 的最大值．2．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．求A 的逆矩阵．3. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线2cos 24ρθ=相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．4．【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）设 x ，y ，z ∈R +，且1x y z ++=，求证：2222221x y z y z z x x y++≥+++ 5【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为n S ”．（Ⅰ）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．6. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N ∈n ，有)0(21>+=+c ca a a n n n .（Ⅰ）求证：121ni icca =<+∑；（Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N ∈n ，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.7．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．A8．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程． 9．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知参数方程为0cos sin x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）的直线l 经过椭圆2213x y +=的左焦点1F ，且交y 轴正半轴于点C ，与椭圆交于两点A 、B （点A 位于点C 上方）．若1F C B =A ，求直线l 的倾斜角θ的值．10．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2(0)f x x a x a =-+->，若正实数c b ,满足1=++c b a ，且不等式cb c b a x f +++≥222)(对任意实数x 都成立，求a 的取值范围．11．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分） 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量ξ的概率分布列及期望E ξ．12．【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分10分）已知三位数abc ，其中c b a ,,不全相同，若将这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数（如百位数字为0，也视作三位数），两者相减得到一个新数，定义这一操作为f ，如792038830)308(=-=f ，再对新数进行第二次操作f ，依次类推，若记经过第n 次后所得新数为n f（1）已知618=abc ，求2f ，3f ；（2）设abc 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为d ，经n 次操作后新数n n n c b a 的三个数字中的最大数字与最小数字之差为n d ①已知61=d ，求证：当1>n 时，5=n d ； ②求证：当6≥n 时，495=n f .13．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于点F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；（Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．14．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．15. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C ：θρsin 6=．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．16．【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．17. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)过直线2y =-上的动点P 作抛物线214y x =的两条切线,PA PB ，其中A ，B 为切点． （Ⅰ）若切线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值； （Ⅱ）求证：直线AB 过定点．18. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】 (本小题满分10分)设f (n )＝(a ＋b )n（n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ． （Ⅰ）求证：f (7)具有性质P ；（Ⅱ）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．19．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C .若DB DC =，求证：CA AO =.20．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 21. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点2),(3,)32A B ππ，且直线l 与曲线:sin (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值.22．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数y =的最大值.23. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥P ABCD -中，直线,,AP AB AD 两两相互垂直，且//,AD BC 2AP AB AD BC ===. （1）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； （2）求钝二面角B PC D --的大小.24. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设数列{}n a 按三角形进行排列，如图，第一层一个数1a ，第二层两个数2a 和3a ，第三层三个数45,a a 和6a ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如123245356,,,a a a a a a a a a =+=+=+.（1）若第四层四个数为0或1，1a 为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？ （2）若第十一层十一个数为0或1，1a 为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？12345678910a a a a a a a a aa25．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM ⋅DNA PB CD26．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy =，若矩阵M -⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.27. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()4l πρθ-=， （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．28．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥29. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P -ABCD的侧棱长与底边长都为M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．30. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE .31．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，已知圆O 的半径OB 垂直于直径M AC ,为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过N 点所作的切线交CA 的延长线于点P ． （1）求证：PC PA PM ⋅=2； （2）若圆O 的半径为32，且OM OA 3=，求MN 的长．PBC32．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤21，⎢⎣⎡=01B ⎥⎦⎤-12． （1）计算AB ；（2）若矩阵B 将直线0232:=+-y x l 变为直线/l ，求直线/l 的方程．33. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=t y t x l 11:（t 为参数）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2:y x C （πθ20≤≤），若直线l 与曲线C 交于两点N M ,，求MN 的长度．34．【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）若c b a ,,是正数，且1=++c b a ．（1）求证：9111≥++c b a ； （2）求证：29111≥+++++a c c b b a ．35、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】某品牌汽车S 4店经销C B A ,,三种排量的汽车，其中C B A ,,三种排量的汽车依次有5，4，3款不同的车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．（1）求该单位购买的3辆汽车均为B 排量的概率；（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．36、【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，其前n 项和为n S ，若))(1(21*∈+=N n a a S nn n ． （1）求5432,,,a a a a 的值；（2）由此归纳出通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．37．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使点A 是弧EF 的中点，连接DF 交直线AB 于G ．若CB=OB ，求CGCB的值．38．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应 的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.39．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数），设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．40．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知a ，b ，c R ∈，若444444a b c m ++=，关于x 的不等式|2|1x m -≤的整数解有且仅有一个值为3（m 为整数）,求222a b c ++的最大值. 41．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥ABCD S -中,底面ABCD 为正方形,⊥SA 平面ABCD ,E 为SC 的中点,F 为AC 上一点,且2=AB ,22=SA .（Ⅰ）若//EF 平面SBD ,试确定F 点的位置； （Ⅱ）求二面角D SC B --的余弦值.42. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)对于数列{}n a ，称∑-=+--=11111)(k i i i k a a k a P ，其中N k k ∈≥,2为数列{}n a 的前k 项“波动均值”．若对任意的N k k ∈≥,2，都有)()(1k k a P a P <+，则称数列{}n a 为“趋稳数列”． （1）若数列2,,1x 为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S ，且对任意N k k ∈≥,2，都有)(2)(3k k a P S P =，试计算：)()1()(2)(3322n nn n n a P C n a P C a P C -+++ ， 其中N n n ∈≥,243．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．44．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-,求2M . 45. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.46．【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．47. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,A B C 三种商品有购买意向.已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立. （1）求该网民至少购买2种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望. 48. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T . （1）求33T S ，44T S ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想nnT S 的表达式，并证明之.49．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．50．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '的坐标．51. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) ． （1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．52．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.53. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点． （Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．54. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】设(1－x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值； （2）设b k ＝1k n k +-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||m m n S C -55．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—1几何证明选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△PAE ∽△BDE ．56．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—2：矩阵与变换】 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝32a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． （1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．57. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．AMPCBA 1C 1B 158．【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】【选修4—5：不等式选讲】求函数f (x )＝的最大值．59. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM AB λ+＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．60. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n=∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 61．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.62．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． 63．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.64．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥. 65.【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．66【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（1）求(6)f 的值；（2）对于给定的正整数n (1)n >，1A 1B 1C ABCABDEOC·（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．67．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点,连接AE BE ，，APE ∠的平分线与AE BE ，分别交于C D ，，其中30APE ∠=︒．（Ⅰ）求证：ED PB PDBD PA PC⋅=； （Ⅱ）求PCE ∠的大小．68．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1252M x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2-，求2M . 69．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>过点(2,4)P --的直线（t为参数）与曲线C 相交于点,M N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2成等比数列，求实数a 的值．70．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()121f x x x =++- （1）解不等式()4f x <（2）若不等式()1f x a ≥+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 71．【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分10分) 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。

2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用D故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x -x -1，g ’（x ）=e x -1＞0（x ＞0），所以g （x ）在在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x ≥x +1当0＜x ＜1，2()(1)(1)f x x x =-+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取05412a x-=则2000(0,1),(1)(1)0,()1x x x ax f x ax ∈-+-=〉+故当00000510,()1-(1)2112a x f x x x ax ≤=〉+=〉+时，取（）综上，a 的取值范围[1，+∞）(2017年新课标Ⅰ文) 21．已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围． 21. （12分）（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()xxxxf x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增. ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-. 当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a=-.从而当且仅当2ln 0aa -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a af a -=--.从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-. 14．(2017年新课标Ⅰ文)曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_y=x+1(2017年新课标Ⅰ) 21.已知函数2()(2)xx f x aea e x=+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.综上，a 的取值范围为(0,1).20．(2017年浙江卷)已知函数f (x )=（x–21x -）e x-（12x ≥）.（Ⅰ）求f (x )的导函数；（Ⅱ）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围. 【答案】（Ⅰ）f ＇（x ）=（1-x ）（1-221x -）xe -；（Ⅱ）[0,1212e -].（Ⅱ）由解得或.因为x（）1 （）（）- 0+ 0-f （x ）↓ 0 ↑ ↓又，所以f （x ）在区间[）上的取值范围是.(2017年北京卷理) （19）已知函数f （x ）=e x cos x −x .（Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）f (x )=e x ·cos x －x ∴f (0)=1∴f ´(x )=e x （cos x －sin x ）－1 f ´(0)=0∴y =f (x )在（0，f (0)）处切线过点（0,1），k =0 ∴切线方程为y =1（Ⅱ）f ´(x )=e x （cos x -sin x ）－1，设f ´(x )=g (x ) ∴g ´(x )=－2sin x ·e x ≤0 ∴g (x )在［0，2π］上单调递减， ∴g (x )≤g (0)=0 ∴f ’（x ）≤0∴f (x )在［0，2π］上单调递减， f (x )max =f (0)=1 ∴f (x )min =f (2π)=－2π (2017年江苏卷) 11．已知函数31()2e e x xf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【解析】因为31()2e ()ex x f xx f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'xx x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221aa≤-，即2120aa +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. (2017年江苏卷) 20． 已知函数32()1(0,)f x xax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a>；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b'=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3a x =-， 所以()03af -=，所以3239a b a=+，因为24120ab ∆=->，所以3a >.（2）26345-39813b a a a =-+，23459(27)813y t t t a =-+=>因为135278t =<， 所以min(27)0yy >=，所以b ²>3a .7. ( 2017年全国Ⅲ卷文)函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）答案：D12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知函数)(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 有唯一零点，则=a （ ） A 21- B 31C 21 D 1【解析】 0)(22)(11'=-+-=+--x x e ea x x f得1=x即1=x 为函数的极值点，故0)1(=f 则0221=+-a ，21=a 21. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设函数2()ln (21)f x x axa x=+++.（1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a ≤--. 解：（1）由2()ln (21),(0)f x x ax a x x =+++>有'1()221f x ax a x=+++ 22(21)1ax a x x+++= (2)①当0a =时，'()10,()f x f x =>单增 ① 当0a ≠时，令'()0f x =，即22(21)10axa x +++= 解得1211(,2x xa=-=-舍)…………2()2(21)1g x ax a x =+++ⅰ.当0a >时，()g x 开口向上，102a -<,()0g x >,即'()0f x >，()f x 单增 ⅱ.当0a <时，()g x 开口向上，102a ->，此时，在1(0,)2a -上，()0g x <，即'()0f x <，()f x 单减在1(,)2a-+∞上，()0g x >，即'()0f x >，()f x 单增 (6)（2）由（1）可得：max111()()ln()1224f x f a a a=-=---故要证3()24f x a ≤--即证113ln()12244a a a ---≤-- ……即证11ln()1022a a -++≤ 即证ln 10(0)t t t -+≤>…令()ln 1g t t t =-+ 则'1()1g t t=-令'()0g t ≥，得1t <max ()(1)0g t g ∴==()0g t ∴≤ (12)故原命题得证.（15）(2017年山东卷理)若函数()xe f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 . ①()2xf x -= ②()3xf x -= ③()3f x x = ④()22f x x=+【答案】①④ 【解析】①()22xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()33xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3xxe f x ex =⋅，令()3xg x ex =⋅，则()()32232xx x g x ex e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3xxe f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22xxe f x e x =+，令()()22xg x e x =+，则()()()2222110xx x g x e xe x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．（10）(2017年天津卷文)已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________． 【答案】1（20）(2017年山东卷理)已知函数()22cos f x x x=+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【解析】解：（Ⅰ）由题意()22f ππ=-又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得()()()22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin xxh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-则()1cos 0m x x '=-≥所以()m x 在R 上单调递增. 所以 当0x >时，()m x 单调递减，当0x >时，()0m x < 当a 0exa ≤->时，(2)当0a >时，()()()ln 2sin xa h x ee x x '=--由()0h x '=得1ln x a=，2=0x①当01a <<时，ln 0a <， 当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0xa e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0xa e e h x '-><，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0xa ee h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值. 极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.（10）(2017年山东卷文)若函数()e xf x (e=2.71828是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,学@科网则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是（A ）()2xf x -= （B ）()2f x x = （C ）()3xf x -= （D ）()cos f x x = 【答案】A【解析】对于A,令()e2xx g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x x g x ---'=+=+>,则()g x 在R上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A. （20）(2017年山东卷文)已知函数()3211,32f x xax a =-∈R .（Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】（Ⅰ）390x y --=,（Ⅱ）见解析.3x-y-9=0（20）(2017年天津卷理)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a=+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||px qAq -≥.【答案】（1）增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，减区间是1(1,)4-.（2）（3）证明见解析【解析】（Ⅰ）由432()2336f x x x x x a=+--+，可得32()()8966g x f x xx x '==+--，进而可得2()24186g x xx '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x (,1)-∞- 1(1,)4- 1(,)4+∞()g x ' + - + ()g x↗↘↗所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，1(,)4+∞，单调递减区间是1(1,)4-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--.（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2px x q∈，令pm q =，函数0()()()()h g m x x x m f =--.由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.1110x ,)()()()0p pg x x f q q=--=不妨设为 则 h(x所以041|2|()px qg q -≥.所以，只要取()2A g =，就有041||p x qAq -≥.（19）(2017年天津卷文)设,a b ∈R，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b=---+，()e ()x g x f x =．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e xy =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e xg x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）由324()63()f x x a x x a b=--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：x(,)a -∞(),4a a -(4,)a -+∞()f 'x +-+()f x所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（Ⅱ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知0000()e ()e xx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩．所以，()f x 在0x x =处的导数等于0．（ii ）因为()e xg x ≤，00[11],x xx ∈-+，由ex>，可得()1f x ≤．又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（Ⅰ）知0x a=．另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，。

一、填空题1。

【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知数列{}na 满足181a=，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .2。

【2016高考冲刺卷(7）【江苏卷】】已知公差不为0的等差数列{}na ，其前n 项和为nS ,若134,,a a a 成等比数列,则3253SS S S --的值为 ．【答案】2【解析】若134,,a a a 成等比数列()()223141111234aa a a d a a d a d ∴=∴+=+∴=-32315354122227S S a a d dS S a a a d d-+-====-++-3。

【2016高考冲刺卷（6)【江苏卷】】对于数列{}na ，定义数列{}nb 满足：)(*1N n a a bn n n∈-=+，且)(1*1N n b b n n ∈=-+,13=a ,14-=a ，则=1a【答案】8 【解析】因)(1*1N n b b n n ∈=-+，故数列{}n b 是等差数列，公差为1,又由条件得2343-=-=a a b,从而5-=n b n ，故41-=b ，32-=b ，于是412-=-a a ，323-=-a a ,故42=a ,81=a4。

【2016高考冲刺卷(5）【江苏卷】】若数列{}na 是首项为13a=,公比1q ≠-的等比数列，nS 是其前n 项和,且5a 是14a 与32a -的等差中项,则19S =▲【答案】57【解析】由题意可得425132426126a a a q q =-∴=-，，即（2222(120q q q +-=⇒=）， 由题公比191111957q q Sa ≠-∴=∴==，，5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥）,则2011a= ．【答案】2【解析】因为12a =，23a =，所以23132a a a ==，344523311122,33232a a a a a a ======，56423a a a ==，6778562,3a aa a a a ====，……，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列,所以20113356112a a a ⨯+===．6。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①直线:0l y =在点(0,0)P 处 “切过”曲线3:C y x =②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x =④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:x C y e =3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ． 4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的最大值是5. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，若点P 到直线2-=x y 的距离的最近，则点P 的横坐标是 ．9. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，31(),()ln 4f x x axg x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.11. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .12. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 . 13．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．(Ⅰ)当x e >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）函数()()(21)1g x f x a x '=+--，其导函数为()g x '．若12,x x 为函数()g x 两个零点，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本题满分14分）某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；（Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()ln .a f x x ax x=-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值； （Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >； （Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）（1）若ln ax x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V 关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V 取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设函数b bx x x x f (121ln )(2+-+=为常数）． （1）若函数)(/x f y =的图象与直线12+-=x y 只有一个交点，求实数b 的值；（2）若函数)(x f y =在定义域内存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）试确定函数)(x f y =在区间),1[+∞内的零点的个数．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．11. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案． 图2图112. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】 (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）.（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】(本小题满分16分) 已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=． （1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围；（2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3） 设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x m f x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 14. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值； （2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.15. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值； （3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方． 16. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)设函数（1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的17. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知函数()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e 上恒成立，求a 的取值范围.18. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈，2.71828e =为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=cos α=易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++ ；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）111,AB AC =-= ，则1111111,1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅-⋅===-． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin θ==．因此二面角B -A 1D -A． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n + 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+ ．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m nn p m n -+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++- 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++- 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++- 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。

第十四章 选讲部分一、解答1. 【2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点,A C 重合），延长BD至E ，延长AD 至F .（1）求证：ABC EDF ∠=∠；（2）若75ABC ∠= ，ABC ∆中BC 边上的高为2+ABC ∆外接圆的面积.2. 【2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4sin ρθ=. （1）求曲线1C 与2C 交点的坐标；（2）,A B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当||AB 最大时，求OAB ∆的面积（O 为坐标原点）.3. 【2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|26|f x x =-.（1）求不等式()f x x ≤的解集；（2）若存在x 使不等式()2|1|f x x a --≤成立，求实数a 的取值范围.4. 【洛阳市2016年高三综合练习题（五）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、延长线相交于点,E F 为BA 延长线上一点，且BD BE BA BF = ，求证：（1）EF FB ⊥；（2）090DFB DBC ∠+∠=．5. 【洛阳市2016年高三综合练习题（五）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，曲线C的方程为2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 7ρθρθ+=．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 距离的最小值．6. 【洛阳市2016年高三综合练习题（五）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．7. 【名校学术联盟﹒2015-2016学年度高考押题卷一】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AB 是O 的直径，AP 是O 的切线，A 为切点，BP 与O 交于C 点，AP 的中点为D ．（1）求证：四点,,,O A D C 共圆； （2）求证：AC AP PC AB = ．8. 【名校学术联盟﹒2015-2016学年度高考押题卷一】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为()3cos 2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线 C 与曲线C '的极坐标的方程； （2）若过点4A π⎛⎫⎪⎝⎭（极坐标）且倾斜角为3π的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，试求AM AN 的值．9. 【名校学术联盟﹒2015-2016学年度高考押题卷一】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()211f x x x =-++． （1）求()2f x ≥的解集；（2）若函数()f x 的最小值为,,m a b 均为正实数，a b m +=，求22a b +的最小值．10. 【湖南省2016届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线, 交BC 的延长线于点D ,延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ,连接,FB FC.（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径,120,EAC BC ∠== 求AD 的长.11. 【湖南省2016届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值. 12. 【湖南省2016届高考冲刺卷数学（理）试题（三）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()13f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围.13. 【洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试（理A ）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 与圆O 相切于点B ，CD 为圆O 上两点，延长AD 交圆O 于点E ，//BF CD 且交ED 于点F .（1）证明：BCE ∆∽FDB ∆；（2）若BE 为圆O 的直径，EBF CBD ∠=∠，2BF =，求AD ED ∙.14. 【洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试（理A ）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换''12x xy y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.15. 【洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试（理A ）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.16. 【2016届高三年级第四次四校联考】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且G E C D ,,,四点共圆. (Ⅰ)求证：ACG BAD ∠=∠； (Ⅱ) 若1GC =，求AB .17. 【2016届高三年级第四次四校联考】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin cos 3⎩⎨⎧==ααy x (其中α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线l 的极坐标方程为24sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ. (1)求C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于B A ,两点，求PB PA +.18. 【2016届高三年级第四次四校联考】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知)0(41)(,)(1)(<++=∈-+-=x xx x g R a a x x x f （1）若3=a ，求不等式4)(≥x f 的解集； （2）对)0,(,21-∞∈∀∈∀x R x 有)()(21x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19. 【广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=．（1）求证：AF FO =；（2）若CF =AD AE 的值．20. 【广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合．若曲线C 的参数方程为32cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程；（2）由直线l 上一点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．21. 【广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++． 22. 【河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考（理科）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交线段BC 于点E ，3BE AD =.（1）求证：3AB AC =；（2）当4,3AC AD ==时，求CD 的长.23. 【河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考（理科）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求证：曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=； （2）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ，求PA PB ∙的值.24. 【河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考（理科）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x =-++. （1）解关于x 的不等式()4f x x ≥-；（2）设,{()}a b y y f x ∈=，试比较2()a b +与4ab +的大小.25. 【湖北省武汉市武昌区2016届高三5月调研考试（理科）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 和O ' 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C D 、两点，连结DB 并延长交O 于点E ，已知3AC BD ==．（1）求AB AD 的值；（2）求线段AE 的长．26. 【湖北省武汉市武昌区2016届高三5月调研考试（理科）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2152x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρθ=． （1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．27. 【湖北省武汉市武昌区2016届高三5月调研考试（理科）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立．28. 【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知AB 为圆O 的直径,C 为圆O 上一点, 连接AC 并延长使AC CP =,连接PB 并延长交圆O 于点D ,过点P 作圆O 的切线, 切点为E.（1）证明：2AB DP EP = ；（2）若AB EP ==求BC 的长度.29. 【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合,设点O 为坐标原点, 直线:22x tl y t=⎧⎨=+⎩(参数t R ∈)与曲线C 的极坐标方程为2c o s 2s i n ρθθ=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 证明：0OA OB =.30. 【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,f x x g x x a =+=+. （1）当0a =时, 解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x R ∈,使得()()f x g x ≤成立, 求实数a 的取值范围.31. 【山西晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,O 是ABC ∆的外接圆,BAC ∠ 的平分线AD 交BC 于D ,交O 于E ,连接CO 并延长, 交AE 于G ,交AB 于F .（1）证明：AF FG CDAB GC BD= ； （2）若3,2,1,AB AC BD ===求AD 的长.32. 【山西晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos (1sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数),以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）分别求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线:OM θα= (其中0)2πα<<与圆C 交于,O P 两点, 与直线l 交于点M ,射线:2ON πθα=+与圆C 交于,O Q 两点, 与直线l 交于点N ,求OP OQ OM ON的最大值. 33. 【山西晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()12f x x a x a=++-. （1）当1a =时, 解不等式()3f x x <+；（2）当0a >时, 证明：()f x ≥.34. 【2015-2016学年度下学期衡水中学高三年级猜题卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长.35. 【2015-2016学年度下学期衡水中学高三年级猜题卷】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.36. 【2015-2016学年度下学期衡水中学高三年级猜题卷】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 37. 【湘西自治州2016届高三第二次质量检测】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，点P 是圆O 直径AB 延长线上的一点，PC 切圆O 于点C ，直线PQ 平分APC ∠，分别交AC BC 、于点M N 、．求证：（1）CMN ∆为等腰三角形；（2）PB CM PC BN =． 38. 【湘西自治州2016届高三第二次质量检测】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点()0,0,2,,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩ （θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值．39. 【湘西自治州2016届高三第二次质量检测】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-，不等式()4f x <的解集为M ．（1）求M ；（2）若不等式()0f x a +<有解，求a 的取值范围．40. 【广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）数学理试题】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 为O 的切线，切点为B ，点C 、D 在圆上，DB DC =，作BE BD ⊥交圆于点E ．（Ⅰ）证明：CBE ABE ∠=∠；（Ⅱ）设O 的半径为2，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径．41. 【广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）数学理试题】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程()()22121x y -+-=，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求圆C 上的点到直线l 的距离的取值范围．42. 【广东省湛江市2016年普通高考测试题（二）数学理试题】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）求函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积S ．43. 【太原市2016年高三年级模拟试题（三）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，BC 为圆O 的直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ∙的值.44. 【太原市2016年高三年级模拟试题（三）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求12,C C 的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.45. 【太原市2016年高三年级模拟试题（三）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式(1)(3)6f x f x -++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()bf ab a f a>. 46. 【湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC CD =，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，过C 作CF AE ⊥，垂足为点F .（1）证明：CF 是圆O 的切线；（2）若4,9BC AE ==，求CF 的长.47. 【湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l上.（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值. 48. 【湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三5月第一次模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()|sin |f x x θ=+，2()2|cos |g x x θ=-，[0,2]θπ∈，且关于x 的不等式2()()f x a g x ≥-对x R ∀∈恒成立.（1）求实数a 的最大值m ；（2）若正实数,,a b c 满足232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.49. 【邯郸市2016届高三第二次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E ，2.AB AC = （1）求证：2BE AD =；（2）当12AC BC ==，时，求AD 的长.50. 【邯郸市2016届高三第二次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.51. 【邯郸市2016届高三第二次模拟考试】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x x =-+-.（1）求证: ()1f x ≥；（2）若方程2()f x =有解，求x 的取值范围.52. 【湖南省四大名校2016届高三3月联考数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,EP 交圆于,E C 两点, PD 切圆于,D G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点,A作弦,AB 垂直EP ,垂足为F .（1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC BD =,求证：AB ED =.53. 【湖南省四大名校2016届高三3月联考数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭的公共点,y +的取值范围. 54. 【湖南省四大名校2016届高三3月联考数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}23x x -≤≤,求实数a 的值；（2）在（1）的条件下,若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立,求实数m 的取值范围. 55. 【陕西省2016届高考全真模拟（四）考试数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径,E 是圆O 上的点, 过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F .连结CE 交AB 于G 点.（1）求证：2FG FA FB = ；（2）若圆O 的半径为OB =,求EG 的长.56. 【陕西省2016届高考全真模拟（四）考试数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 在坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线1C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3ρρ+=,曲线2C 的参数方程是(1x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数). （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 和2C 交于两点,A B ,求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程. 57. 【陕西省2016届高考全真模拟（四）考试数学（理）试题】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()4,f x x a x x R a R =---∈∈的值域为[]2,2-.（1）求实数a 的值；（2）若存在0x R ∈,使得()20f x m m ≤-,求实数m 取值范围. 58. 【厦门外国语学校2016届高三适应性考试】已知直线l的参数方程为(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12)sin21(22=+θρ，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（I ）求实数m 和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求BFAF 11+的值． 59. 【厦门外国语学校2016届高三适应性考试】已知函数()|21|f x x =-． （Ⅰ）若不等式1()21(0)2f x m m +≥+>的解集为(][),22,-∞-+∞ ，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式()2|23|2y ya f x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．60. 【山西省右玉一中2016届高三下学期模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，对角线,AC BD 交于点E ，直线AP 是圆O 的切线，切点为A ，PAB BAC ∠=∠.（1）若5,2BD BE ==，求AB 的长；（2）在AD 上取一点F ，若FED CED ∠=∠，求BAF BEF ∠+∠的大小.61. 【山西省右玉一中2016届高三下学期模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为223x t y t =+⎧⎨=+⎩（θ为参数）. （1）求圆C 的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.62. 【山西省右玉一中2016届高三下学期模拟考试数学（理）】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||4|f x x a x =++-.（1）若1a =，解不等式()2|4|f x x ≤-；（2）若()3f x ≤恒成立，求a 的取值范围.。

2017年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用sin2 x(2017年新课标I 文)&函数y的部分图像大致为1 cosx【答案】A令f (x)0,解得x 2或x 1，所以f(x)在(，2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减所以f (x)极小值 f(1) (1 11)e 1 11，故选A 。

3.(2017年新课标I 文)9 •已知函数f (x) lnx ln(2 x)，贝y (C)A • f(x)在(0,2)单调递增B • f (x)在(0,2)单调递减C • y= f(x)的图像关于直线x=1对称D • y= f (x)的图像关于点(1,0)对称4.(2017年浙江卷)函数y=f(x )的导函数y f (x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，因此选 D.2x 1x 15.(2017年新课标川卷理)11 •已知函数f(x) x 2x a(e e )有唯一零点，则 a=(C )1.2. (2017年新课标n 卷理A.)11.若x 2是函数f (x)(x 2ax x 1'1)e 的极值点，则f (x)的极小值为()B. 2e 3C. 5e 3D.1【解析】由题可得 f (x) (2x a)e x 1 (x 2x 12ax 1)e[x(a 2)x a 1]e x 1因为f ( 2)0，所以af(x) (x 2x 1)e x 1，故 f (x) (x 2x 1x 2)e111A.-B. -C . —D . 12 3 2【答案】C【解析】£ -2 “ -a ｛訂十严J ,谡g M =訐+童创，『(© =尸-产 J 戶-二r 二 j当現0 = 0咋r=l,函数里调递矶当11巧 /(x)>0, MM 调递增.当*1时，團数职得最小值胃⑴二2,设/i(x) = x 2-2x f 当*1时、函数取得最小1S-1J 若-GA O,函数矗(£ ,和口冒(兀)浚有交点，当一口 vO 时，一口雷(1)二方⑴日寸「止匕时函数工|和昭(尤)有一个交点,即 p K 2 二 一1 二 a =—、故选 C 1设g x = ax - a - l nx ，贝y f x = xg x , f x 0 等价于 g x 0 因为 g 1 =0, g x 1 0,故g' 1 =0,而g' x a, g' 1 =a 1,得a 1x若 a=1，则 g' x =11 •当0 v x v 1时，g' x <0, g x 单调递减；当 x > 1时，g' x > 0, g x 单调递增•所以x=1x是g x 的极小值点，故 g x g 1 =0 综上，a=1(2)由 11)知 f ( JT ： = x 2 - jr * jr In jr T f ' (r) = 2x - 2 - In A当兀三卫;时.^T (x) <0 i 当才=二十力时，/rUD , 调递增1 1 1又he 2 >0,h $ v 0,h 1 0,所以h x 在0,2有唯一零点x 。

20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax 2－bx ＋lnx ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程；（2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f(x)的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f(x 1)－f(x 2)＞34－ln2．2、苏州市2017届高三暑假自主学习测试20．已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；（2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围； （3）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x-≥成立，求实数a 的最大值．20．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．4、南京市、盐城市2017届高三第一次模拟19.设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0x g e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）5、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）19.已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．6苏州市2017届高三第一次调研测20.已知()()()21,.xf x x mx m Rg x e =++∈= （1）当[]0,2x ∈时，()()()F x f x g x =-为增函数，求实数m 的取值范围；（2）若()1,0m ∈-，设函数()()()()15,,44f x G x H x xg x ==-+，求证：对任意[]12,1,1x x m ∈-，)()(21x H x G ≤恒成立.8、常州市2017届高三上学期期末19.（本题满分16分）已知函数()21ln 12f x ax x bx =++. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=，求()f x 的单调区间；（2）若2a =，且关于x 的方程()f x =1在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（3）若2,1a b ==-，当1x ≥时，关于x 的不等式()()21f x t x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围（其中e 是自然对数的底数，2,71828e =）.20.已知函数x x x f ln )(=，)()(12-=x x g λ（λ为常数）．（1）若函数)(x f y =与函数)(x g y =在1=x 处有相同的切线，求实数λ的值；（2）若21=λ，且1≥x ，证明：)()(x g x f ≤； （3）若对任意),[+∞∈1x ，不等式恒)()(x g x f ≤成立，求实数λ的取值范围．10、（扬州市2017届高三上学期期末）20.已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()x g x e =，2()h x x ax a =++．（1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数k ，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）11、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）19.已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈． （1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤；（2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．12、南京市、盐城市2017届二模19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．13、苏锡常镇2017届调研（一）19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）.（1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.14、南通扬州2017届二模19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数． （1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．15、南京2017届三模20．（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )．（1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围；（3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．16、苏锡常镇2017届调研二18．（本小题满分16分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求a b的取值范围．17、苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届三模20．（本小题满分16分） 已知函数()ln (0)m f x x x m x=+>，()ln 2g x x =-． （1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）设函数()()()h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x = 求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．18、南通、扬州2017届三模20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ．（1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增； （2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数， 则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调．19、盐城2017届三模19．(本小题满分16分)设函数2()=()x f x xe ax a R -∈. （1）若函数()()x f x g x e=是奇函数，求实数a 的值； （2）若对任意的实数a ，函数()h x kx b =+（,k b 为实常数）的图象与函数()f x 的图象总相切于一个定点.① 求k 与b 的值；② 对(0,)+∞上的任意实数12,x x ，都有1122[()()][()()]0f x h x f x h x -->，求实数a 的取值范围.20南通2017届四模19、（本小题满分16分）设区间[3,3]D =-，定义在D 上的函数3()1(0,)f x a x b x a b R =++>∈，集合{|,()0}A a x D f x =∀∈≥（1） 若16b =，求集合A （2） 设常数0b <① 讨论()f x 的单调性；② 若1b <-，求证：A =∅。

一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点切线的斜率为___________． 【答案】2 【解析】试题分析：'1sin y x =+，2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线x e y =在0=x 处的切线方程是▲ ．【答案】1+=x y 【解析】试题分析：因为xy e '=，所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为倍值函数．若()ln f x x x =+是倍值函数，则实数的取值范围是 ． e4. 【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 . 【答案】－2，8] 【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-；当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2logf x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ．【解析】 试题分析：()f x '=6. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10的值为 ▲ ．7. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x ye=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】试题分析：由()21()0f x x e f x '≤≥⇒≥′时，()21()0f xx e f x '><⇒<′时，所以()y f x =的增区间是（﹣∞，2）8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】若实数,,,a b c d 满足，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：，所以()()22a cb d -+-表示直线220x y -+=上点P 到曲线24ln y x x =-上点Q 距离的平方.由得(1,1)P -，所以所求最小值为9. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数，若函数()f x 在(1,2)上有极值，则实数的取值范围为 ．【解析】试题分析：由题意得()f x '在(1,2)上有零点，11. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0xf x eg x g x <⇒<=⇒> 12. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = ．【答案】1-13. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知直线01=+-y x与曲线ln y x a =-相切，则的值为 ▲ ．【答案】2- 【解析】 试题分析：设切点为14. 【2017▲ ． 【解析】在[]3,4x ∈上均为增函数，不妨设12x x <，则，则()h x 在[]3,4x ∈为减函数， 在(3,4)x ∈上恒成立，，()u x∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大15. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线方程为____________． 【答案】440x y -+=16. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值范围为[)16,-+∞，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】[]2,8- 【解析】试题分析: 因为当0≤x 时,)2)(2(3)(/x x x f -+=,所以当2-<x 时,0)(/<x f ,函数)(x f 单调递减；当02<<-x 时,0)(/>x f ,函数)(x f 单调递增；函数)(x f 在2-=x 处取最小值16)2(-=-f .画出函数的图象,结合函数的图象可以看出当82≤≤-m ,函数)(x f 总能取到最小值16-,故应填答案[]2,8-.17. 【泰州中学2017在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_________. 【答案】.二、解答1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）已知()()32310f x ax x a =-+>，定义()()(){}()()()()()(),max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()()0h x x >的零点个数．【答案】（1）()f x 的极大值为1，（2）2a ≤；（3）当02a <<时， ()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．究()h x 的零点，在定义域内，由（1）()f x 的最小值是()f x 的最小值是(1)(1)0f g ==，可确定()h x 只有一个零点，当主要要研究01x <<时函数的零点，为此设()()()()3231ln 01x f x g x ax x x x ϕ=-=-+-<<，求得'()0x ϕ<，()x ϕ减函数，可得存在0x 使得00x x <<时，()()h x f x =，在一个零点，当01x x <<时()()h x g x =无零点，最终可得零点个数为2．试题解析：（1）∵函数()3231f x ax x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴()()33632f x ax x x ax '=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分∴()f x 的极大值为()01f =，．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）()()236g x xf x ax x '==-，∵存在[]1,2x ∈，使()()h x f x =，∴()()f x g x ≥在[]1,2x ∈上有解，即32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2x ∈上有解， 在[]1,2x ∈上有解，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分对[]1,2x ∈恒成立， 在[]1,2x ∈上单调递减，∴当1x =时，4， ∴24a ≤，即2a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （3）由（1）知，()f x 在()0,+∞上的最小值为 ，即2a >时，()0f x >在()0,+∞上恒成立， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 即2a =时，()()min 10f x f ==，又()10g =， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分 ，即02a <<时，设()()()()3231ln 01x f x g x ax x x x ϕ=-=-+-<<，，∴()x ϕ在()0,1上单调递减，，使得()00x ϕ=， I ．当00x x <≤时，∵()()()()00x f x g x x ϕϕ=-≥=，∴()()h x f x =且()h x 为减函数， 又()()()()0000ln ln10,010h x f x g x x f ===<==>，∴()h x 在()00,x 上有一个零点； II ．当0x x >时，∵()()()()00x f x g x x ϕϕ=-<=，∴()()h x g x =且()h x 为增函数， ∵()10g =，∴()h x 在()0,x +∞上有一零点；从而()()(){}max ,h x f x g x =在()0,x +∞上有两个零点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 15分 综上所述，当02a <<时， ()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 16分2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．（1）试将W 表示为的函数()W θ，并写出θcos 的取值范围； （2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．【答案】（12试题解析：解：（1）过N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G ． 在RT BNF ∆中，16cos BF θ=，则2016cosMG θ=- 在RT MNG ∆中，4分由题意易得6分7分2分4分16分3. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；（2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两（3）若(0,1]x ∃∈，使 【答案】（1）当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-.（23）.间()1,1t +上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）不妨取12x x <，则1212()()h x h x x x -<-，即1122()()h x x h x x -<-恒成立，即()()F x h x x =-在(0,)+∞上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：()0F x '≥在(0,)+∞恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题这要用到二次求导，才可确定函数单调性：()t x 在(0,1]上单调递增，进而确定函数最值 试题解析：解（1，令()0f x '=，则1x =， 当1t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递增，()f x 的最小值为()ln f t t t =-； ………………………1分当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，()f x 的最小值为(1)1f =.综上，当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-. …………………3分（2）2()(1)ln h x x a x x =-++,对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<, 可得1212()()h x h x x x -<-，变形得1122()()h x x h x x -<-恒成立， ………………………5分 令2()()(2)ln F x h x x x a x x =-=-++，则2()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)+∞上单调递增， 在(0,)+∞恒成立， ………………………7分 . 12x x +≥时取""=，………………………10分（3）()a f x ≥2(1)2ln a x x x x ∴+≤-.(0,1]x ∈，1(1,2]x ∴+∈，(0,1]x ∴∃∈使得.………………………12分 令223ln 1y x x x =+--，则由或1x =-（舍）.()0t x '∴>在(0,1]x ∈上恒成立. ()t x ∴在(0,1]上单调递增.(1)a t ∴≤，即1a ≤. ………………………15分∴实数的最大值为. ………………………16分4. 【江苏省泰州中学2017． （1）求()f x 的单调区间；（2）是否存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出，否则说明理由； （3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，证明： 【答案】（1）单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞．（2）不存在（3）详见解析（3）为研究方便不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，则需证明2111H()()(2)()(2)x f x f x f x f x =--=--，可证H()x 在(0,1)上单调增，即H()H(1)0x <=，因此21()(2)f x f x <-，而()y f x =在()1,+∞上递减，即212x x >-试题解析：解：（1）函数()y f x =的单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞． （2）不存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+成立， 事实上，由（1）知函数()y f x =在(,1)-∞上递增，而当()0,1x ∈，有()0,1y ∈，在()1,+∞上递减，有01y <<， 因此，若存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+，必有()0,1x ∈． ，所以()F x 为(0,1)上的增函数，所以()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x +>-， 故不存在正实数使得(1)(1)f x f x -=+成立．（3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则1x 和2x 中，必有一个在()0,1，另一个在()1,+∞，不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞． ①若22x ≥，则1）知：函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，所以②若2(1,2)x ∈，由（2）知：当()0,1x ∈，则有(1)(1)f x f x +>-，而()110,1x -∈，所以[][]11112(2)1(1)1(1)()()f x f x f x f x f x -=+->--==，即12(2)()f x f x ->，而12x -，2(1,2)x ∈，由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减， ∴122x x -<，即有由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以综合①，②得：若存在不等实数1x ，2x ，使得5. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设AOC xrad ∠=. （1）写出S 关于的函数关系式()S x ，并指出的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.【答案】（1）S ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．（23试题解析：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC ＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC800x ，0＜x ＜π． …………………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD ＝π－x ， 所以△COD 的面积S △CODOC ·OD ·sin ∠COD ＝1600sin(π－x)＝1600sinx ． …………………… 4分从而 S ＝S △COD ＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． …………………… 6分（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx． …………………… 8分 由 S′(x)＝0，解得x从而当0＜xS′(x)＞0x ＜π时， S′(x)＜0 ． 因此 S(x)在区间(0上单调递增；在区间π)上单调递减． …………………… 11分所以 当xS(x)取得最大值． 答：当∠AOCS 最大． (14)分6. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：【答案】（1）2x －y －2＝0．（2）详见解析（3）详见解析12()()()x f x f x ϕ=-最小值.因为12()()()x f x f x ϕ=-=(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，所以bx=2x 2＋1，bx 1－bx 2=2（2212x x -）；再由x 1x 2()x ϕ=22x －ln(222x )，最后根据零点存在定理确定x 2取值范围：x 2∈(1，＋∞)，利用导数可得()x ϕ在区间(2，＋∞)单调递增，即φ(t )＞φ(2)ln2， 试题解析：（1）因为a ＝b ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋ln x ，从而f ′(x )＝2x －1 因为f (1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x－y－2＝0． …………………… 3分 （2）因为b ＝2a ＋1，所以f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋ln x ，从而 f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＝，x ＞0． ………… 5分当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a 由f ′(x )＞0得0＜x ＜1或xf ′(x )＜0得1＜x 所以f (x )在区间(0，1))上单调递增，在区间(1上单调递减．当a因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号）， 所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a由f ′(x )＞0得0＜xx ＞1，由f ′(x)＜0x ＜1， 所以f (x )在区间(0(1，＋∞)上单调递增，在区间1)上单调递减． (10)分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x1x 2 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g 0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈(0，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)．…………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋(2212x x -)＋ 因为x 1x 2f (x 1)－f (x 2)＝22x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)．……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)ln t ． 因为φ′(t )0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增，所以φ(t )＞φ(2)ln2，即f (x 1)－f (x 2)ln2．…………………… 16分方法二：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )(x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根．记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g 0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，x 2∈(1，＋∞)，且f (x )在x 1，x 2]上为减函数． …………………… 12分所以f (x 1)－f (x 2)＞f －f (1)－(1－b )ln2．因为b ＞3，故f (x 1)－f (x 2)ln2． (16)分7. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分14分)(1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 时，()f x 的最小值是，求实数的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为试题解析：(1)………………………………………2分 0a ≤时，()0f x <′在()0,+∞上恒成立， 则()f x 的单调递减区间为()0,+∞， ………………………………………4分0a >时，令()0f x <′得： 则()f x 的单调递减区间为………………………………………6分①1a ≤时，()f x 在min ()(1)10f x f ==≠，无解 ………………………………………8分②2a ≥时， ()f x 在………………………………………12分③12a <<时，()f x 在，解得：a e =，舍去；………………………………………14分 8. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x 与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套. (1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】（37x <<）试题解析：(1) 因为()f x 与3x -成反比，()g x 与7x -的平方成正比， ，12.00k k ≠≠，， 2分 因为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套所以，()()521, 3.569h h ==，即，解得：12104k k=⎧⎨=⎩， ……………6分（37x <<） ………………………………………8分 (2) 由（1 设每日销售套题所获得的利润为()F x32468364578x x x =-+- ………………………………………10分 从而()()()21213636443137,37F x x x x x x =-+=--<<′ ……………………12分时，()0F x >′，所以函数()F x 在14分时，()0F x <′，所以函数()F x 在时，函数()F x 取得最大值 答：当销售价格为4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…………16分9. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-, （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．试题解析：由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+要使得()2()2ln h x x a x x =-+在区间(]0,1上单调递减， 则()0h x ′≤，即在区间(]0,1上恒成立…………………………………6分……………………………………8分因为(]0,1x ∈，所以所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分 （3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点， 所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE ⊥FH ．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点A ，B 放在弧EF 上，点C 、D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=．（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值．【答案】（1）S 2(1sin )cos θθ=+，2试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=，（222'()2(cos sin sin )f θθθθ=--2(2sin 1)(sin 1)θθ=--+（．时，'()0f θ<，11. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数()ln ()||f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1时，求函数()f x 的单调区间； （2对任意(,)x c ∈+∞恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数()f x 的图象在两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x 处的切线分别为，，2x c =，且12l l ⊥，求实数的最小值．【答案】（12）(2,1]--（3，列表分析得()f x 在单调递减；()f x 在（2）不等式恒成立问题，因此转化为利用导数求函数最小值：当x c >，1，列表分析函数单（3）由最小值试题解析：函数22ln (),,()ln (),0,a x x c x c f x a x x c x c ⎧+-≥⎪=⎨--<<⎪⎩求导得（1恒成立，所以()f x 在，令'()0f x =，解得，，则'()0f x <，()f x 在所以当1c x <<时，'()0f x <，()f x 在(,1)c 上单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增；所以函数()f x 在(,)c +∞上的最小值为恒成立，解得1a ≤-或1a ≥（舍去），，解得2a >-，所以实数的取值范围是(2,1]--． （3）由12l l ⊥知，由0c >，得，2t >，时，'()0g t <，()g t 在 时，'()0g t >，()g t 在 所以函数()g t 的最小值为12. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知函数，其中，b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-，求实数，的值； （2）①若2a =-时，函数()y f x =既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；②若2a =，2b ≥-，若()f x kc ≥对一切正实数恒成立，求实数的取值范围（用表示）． 【答案】（1）3a =，2b =-．（2）①1ln 2b >+，②(2)k b e ≤+取1x =得(2)k b e ≤+．由于x e ex ≥，，因此(2)k b e ≤+时不等式恒成立 试题解析：（1）由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)f e =；则有(1)(2)0,'(1)(),f e b f e a b e =+=⎧⎨=+=⎩解得3a =，2b =-．（2）①当2a =-时，函数()y f x =的导函数时，'()0g x <，函数()y g x =在区间()(1ln 2,)g x ∈++∞；仅当1ln 2b >+时，()b g x =有两个不同的解，设为1x ，2x （12x x <）．此时，函数()y f x =既有极大值又有极小值．取1x =得(2)k b e ≤+．首先，证明x e ex ≥，设函数()x u x e ex =-，则'()x u x e e =-，当1x >时，'()0u x >；当1x <时，'()0u x <；得(1)0x e ex u -≥=，即x e ex ≥， 当且仅当都在1x =处取到等号．，当1x >时，'()0v x >； 当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v ≥=，即当且仅当都在1x =处取到等号．13. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A ，B 造价为100万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中64100x <<）面每1 （1）试将桥的总造价表示为的函数()f x ；（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间（两端桥墩A ，B 除外）应建多少个桥墩？【答案】（1（64100x <<）．（2）80试题解析：（1）由桥的总长为640墩．（64100x <<）．（2）由（1由'()0f x =，解得180x =，， 又当(64,80)x ∈时，'()0f x <；当(80,100)x ∈时，'()0f x >，所以当80x =，桥的总造价最低，此时桥墩数为14. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】（为实数）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点（2）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，（3【答案】13][,)8+∞）详见解析2ln 220x y -+-=．（2，由'()0f x =，解得x a =， 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0a ≤或2a ≥，综上可知，λ的取值范围是13][,)8+∞（3）证明：当1a =时，当()0,1x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，处取得最大值(1)f ，∴11ln x x -≤1)ln n n +- ∴ln(1)ln(1)ln1n n +=+-(ln 2++… 15. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2（3）若函数()f x 有且只有个零点，求的值． 【答案】（1）10x y +-=（2）详见解析（3）．试题解析：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则2分 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分，设函数()ln 1g x x x =-+，6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以()g x 的极大值为(1)0g =．8分（3，0x >，令'()0f x >，得所以()f x 在10分，因为函数()f x 只有1个零点，而(1)0f =，所以是函数()f x 的唯一零点．当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有个零点，，解得1a =．…………………………………………12分下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=，此时，即01a <<，则 由（2，又函数()f x 在以0x 和所以在0x 和之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；若01x <，则0()(1)0f x f >=，此时，即1a >，则 和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意． 因此01x =，所以的值为．…………………………………………………16分16. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分16分)如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB 为直径)，现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． (1)写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；(2)试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】(1) S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．（第18题）0＜x ＜π(2)利用导数求函数最值：先求导数S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx ，再求导函数零点x 得极大值，也是最大值试题解析：(1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，∠AOC＝x rad ，所以 扇形AOC 的面积S 扇形AOC 800x ，0＜x ＜π． …………… 2分在△COD 中，OD ＝80，OC ＝40，∠COD＝π－x ，所以△COD 的面积1600sin(π－x)＝1600sinx ．…… 5分 从而 S ＝S△COD＋S 扇形AOC ＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π． …………………7分 (2)由(1)知， S(x)＝1600sinx ＋800x ，0＜x ＜π．S′(x)＝1600cosx ＋800＝1600(cosx ． ……………… 9分由 S′(x)＝0，解得x从而当0＜x 0x ＜π时， S′(x)＜0 ．因此 S(x)在区间(0上单调递增；在区间π)上单调递减． …………… 14分所以 当x 取得最大值．答：当∠AOC S 最大．……………… 16分17. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】(本小题满分16分) 已知函数(1)当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1) 5440--=x y (2) 详见解析(3) [1,)+∞时，'()0≥g x ，min ()=g x (1)0=g ；1<a 时，min ()=g x (1)0=g…………2分…………3分所以，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为即：5440--=x y …………4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{|0}≠x x…………6分当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增 当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ， 所以，()f x 单调递增区间为…………10分 (Ⅲ)因为()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立，有在[1,)+∞上恒成立．，即1=a 时，'()0≥g x ，函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，又(1)0=g 所以，()2ln ≥f x x 在[1,)+∞上恒成立； ，即1<a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增； 时，'()0<g x ，()g x 单调递减 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为 因为(1)0,=g 所以 即1>a 时，当时，'()0,()>g x g x 单调递增， 时，'()0,()<g x g x 单调递减， 所以，()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)g 又因为(1)0=g ，所以()2ln ≥f x x 恒成立综上知，的取值范围是[1,)+∞． …………16分18. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分16分）对于两个定义域均为D 的函数f(x)，g(x)，若存在最小正实数M ，使得对于任意x ∈D ，都有|f(x)－g(x)|≤M ，则称M 为函数f(x)，g(x)的“差距”，并记作||f(x)，g(x)||． （1）求f(x)＝sinx (x ∈R)，g(x)＝cosx (x ∈R)的差距；（2）设f(x)(x ∈1, ，g(x)＝m ln x (x ∈．(e≈2.718)①若m ＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求满足条件的最大正整数a ； ②若a ＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求实数m 的取值范围．【答案】22}．试题解析：（1）|f(x)－g(x)|＝|sin x－cos x|当x＝kπk∈Z时取“＝”，所以||f(x)，g(x)||4分）（2）①令h(x)＝f(x)－g(x)2ln x．则h′(x)令h′(x)＝0，则x＝16．列表：∵h(1)＝1；当a＝3时，h3，由于3e＞1623＞－1；当a＝4时，h＝e－4＜－1，故满足条件的最大正整数为3．（10分）②法一：由a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，得|f(x)－g(x)|≤2m ln x|≤2，所以－m ln x≤2．当x＝1时，上式显然成立；当x∈(1，e]令w(x)w′(x)0，从而w(x)在(1，e]上递减，从而w(x)min＝w(e)2，从而m2；令v(x)v′(x)0，从而v(x)在(1，e]上递增，从而v(x)max＝v(e)2，从而m2，2≤m 2又由于||f(x)，g(x)||＝2，故m2或m2，所以m的取值范围为2 2}．（16分）法二：令h(x)＝f(x)－g(x)m ln x，则h′(x)（1）若m h′(x)≥0，从而h(x)在1,e]上递增，又h(1)＝1，h(e)m m＝2，m2；（ii）若m h′(x)≤0，从而h(x)在1,e]上递减，又h(1)＝1，h(e)mm＝－2，m2；（iii m h′(x)＝0，可得x＝4m2，列表m－12＜2，所以2m－m ln(4m2)＝－2，．令u(m)＝2m－m ln(4m2)＝m(2－ln4)－2m ln m∴u′(m)＝2－ln4－2－2ln m＝－ln4－2lnm＝－2 ln2m＜0，∴u(m)＞u综上，m的取值范围是{－2，＋2}． （16分）19. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分14分）如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ∆，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在圆周上．（1）设BOC θ∠=，征地面积记为()f θ，求()f θ的表达式； （2）当为何值时，征地面积最大？【答案】(1))cos cos (sin )(2θθθθ+=R f ；（1）连接OE ，可得OE R =，．．．．．．．．．．．．7分 （2）()()()22sin 1sin 1f R θθθ'=--+，令()0f θ'=，∴sin 10θ+=（舍）或者．．．9分时，()f θ取得最大．．．．．．．．．．．．．．13分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分20. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）已知函数()()24ln 1f x x ax x a a R =-+--+∈．（1（2，使函数()f x 的图像在点()()00,x f x 和点的切线互相垂直，求的取值范围；（3）若函数()f x 在区间()1,+∞上有两个极值点，则是否存在实数m ，使()f x m <对任意的[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(3)存在，[)34ln 2,-+∞.（1．．．．．．．．． 3分 （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，．．．．．．．．．．．．5分，得()2,3t ∈，则有228650t at a -++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()22865f t t at a =-++，则()f t 在()2,3t ∈上有零点，考虑到()()22232125610f a a a =-++=-+>，或811a ≤<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3令()224g x x ax =-+-，由题意，()g x 在区间()1,+∞上有两个不同零点，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设函数()f x 的两个极值点为1x 和2x ，则1x 和2x 是()g x 在区间()1,+∞上的两个不同零点，不妨设12x x <，则222240x ax -+-=①，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分当()11,x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减；()12,x x x ∈时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增；当()2,x x ∈+∞时，()()()0,0,g x f x f x '<<递减， 结合②可得．．．．．．．．．．．．14分所以()h x 在又()10f =，所以存在34ln 2m ≥-，使()f x m <，综上，存在满足条件的m ，m 的取值范围为[)34ln 2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分21. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分16分）如图，太湖一个角形湖湾,2AOB AOB θ∠=（ 常数为锐角）. 拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一 如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中PQ l =； 方案二 如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD l =；（1）求方案一中养殖区的面积1S ； （2）求方案二中养殖区的最大面积2S ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.【答案】(3)应选择方案一.试题解析：（1）设OP r =，则2l r θ=，即（2）设,OC a OD b ==.由余弦定理，得2222cos 2l a b ab θ=+-,所以22cos 2l ab θ≥,当且仅当a b =时，“=”成立.所以（3）令()tan f θθθ=-,则时，()'0f θ>, 所以()f θ在，总有()()00f f θ>=.得12S S >. 答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.22. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】（本小题满分16分）已知函数()22ln f x ax x =+.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(]0,1上的最大值是2-，求的值；（3）记()()()1ln 1g x f x a x =+-+,当2a ≤-时，若对任意()12,0,x x ∈+∞，总有.【答案】(1)(2)a e =-；(3).试题解析：（1）()f x 的定义域是()0,+∞.当0a ≥时，()'0f x >,故()f x 在()0,+∞上是增函数; 当0a <时，令()'0f x =，; 时，()'0f x >,故()f x 在;()'0f x <,故()f x 在.（2）①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上是增函数; 故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,显然不合题意.即10a -≤<时则()f x 在(]0,1上是增函数，故在(]0,1上的最大值是 ()12f a ==-,不合题意，舍去.③即1a <-时，()f x 在 ，故在(]0,1上的最大值是解得a e =-，符合. 综合①、②、③得: a e =-.（3）()()21ln 1g x a x ax =+++, 当2a ≥-时，()'0g x <,故2a ≤-时，当()g x 在()0,+∞上是减函数，不妨设210x x ≥>，则()()21g x g x ≤，故等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在()0,+∞上为减函数，由()()21ln 1x a x ax kx ϕ=++++得:2ax --+()()21h a a a =+在(],2-∞-上单调递减，,4k ∴≤.故当2a ≥-时，的最大值为.23. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】（本题满分16分）的定义域为[]()0,2,g x π为()f x 的导函数． （1）求方程()0g x =的解集； （2）求函数()g x 的最大值与最小值；（3）若函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(2)最大值为()01g =，最小值为试题解析：．．3分 ．．．．4分分所以()g x 的最大值为()01g =，所以()g x 的最小值为．．．．．．．．7分 （3所以函数()()F x f x ax =-在定义域上恰有2个极值点，等价于()0g x a -=在定义域上恰有2个零点且在零点处异号，即()y g x =与y a =的图象恰有两个交点．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分由（2所以()0F x '=至多只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ，则()20F π'<，所以()0F x '=只有1个零点，不成立，．．．．．．．．．．12分 ．．．．．．．．．．．．．．．13分 若()20F π'≤，则()0F x '=有3个零点，不成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 所以只有()20F π'>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分4分．24. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】已知函数()()[)()ln 1,0,,f x x x f x '=+∈+∞是()f x 的导函数．设()()()g x f x axf x '=-（为常数），求函数()g x 在[)0,+∞上的最小值． 【答案】()min 0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 令()0g x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤，即1a ≤时，()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()()min 0ln 1000g x g ==+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当10a ->即1a >时，()g x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()min 1ln 1g x h a a a =-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 综上：()min0,1ln 1,1a g x a a a ≤⎧=⎨-+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3.变题：设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的 导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数的取值范围．解：在0x ≥范围内()()f x ag x ≥恒成立，等价于()()0f x ag x -≥成立， ，即()0h x ≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．1分令()0h x '>，即10x a +->，得1x a >-，当10a -≤即1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()()0ln 1000h x h ≥=+-=，所以当1a ≤时，()h x 在[)0,+∞上()0h x ≥恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当10a ->即1a >时，()h x 在[)1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()1ln 1h x h a a a ≥-=-+，设()()ln 11a a a a ϕ=-+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，因为1a >，所以，即()0a ϕ'<， 所以函数()a ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()10a ϕϕ<=，即()10h a -<，所以()0h x ≥不恒成立， 综上所述，实数的取值范围为(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．2．(2015·福建福州三中月考)已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是____________________．3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为__________________．4．(2015·兰州诊断)在直角坐标系xOy 中，设P 是曲线C ：xy ＝1(x >0)上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ，B 两点，则以下结论正确的是________．①△OAB 的面积为定值2②△OAB 的面积有最小值3③△OAB 的面积有最大值4④△OAB 的面积的取值范围是[3,4]5．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在A (x 0，f (x 0))点处的切线斜率为12，则tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4的值为__________．10．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是____________________．11．(2015·景德镇第二次质检)已知f (x )＝ax ＋a －2x＋2－2a (a >0)，若f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是________．12．函数f (x )＝ax －cos x ，x ∈[π4，π3]，若∀x 1，x 2∈[π4，π3]，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围是________．13．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有3个单调区间，则a 的取值范围为________．14．已知函数f (x )＝e x1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案解析1．[π3，π2)解析 根据已知可得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥3，结合正切函数的图象，可知α∈[π3，π2)． 2．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0解析 由于点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则a ＝2，即y ＝2x 3，所以y ′＝6x 2.若点A 为切点，则切线斜率为6，若点A 不是切点，设切点坐标为(m,2m 3)，则切线的斜率为k ＝6m 2.由两点的斜率公式，得2m 3－2m －1＝6m 2(m ≠1)，即有2m 2－m －1＝0，解得m ＝1(舍去)或m ＝－12.综上，切线的斜率为k ＝6或k ＝6×14＝32，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程为y －2＝6(x －1)或y －2＝32(x －1)，即6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝0. 3．(－∞，0)∪(12，2) 解析 由f (x )图象的单调性可得f ′(x )在(－∞，12)和(2，＋∞)上大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)． 4．①解析 由题意，得y ＝1x .设点P (x 0，y 0)(x 0>0)，y 0＝1x 0，y ′＝－1x 2，因此切线的斜率k ＝－1x 20，切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．当x ＝0时，y ＝y 0＋1x 0＝2x 0；当y ＝0时，x ＝x 20y 0＋x 0＝2x 0，因此S △OAB ＝12xy ＝2为定值．故①正确 5．[1，32) 解析 ∵f (x )＝2x 2－ln x (x >0)，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x(x >0)， 由f ′(x )＝0，得x ＝12， 当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0； 当x ∈(12，＋∞)时，f ′(x )>0， 据题意，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.6．1<a <4解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a >0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1<a <2，即1<a <4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．7．(3，2)解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2a )2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f ′(－1)＝3－2a ＋1>0，f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，又a >0， 解得3<a <2.8．(－∞，－2) 解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1有两个零点，不合题意，故a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a. 若a >0，由三次函数图象知f (x )有负数零点，不合题意，故a <0.由三次函数图象及f (0)＝1>0知，f (2a)>0， 即a ×(2a )3－3×(2a)2＋1>0，化简得a 2－4>0， 又a <0，所以a <－2.9．2＋ 3解析 ∵f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋12， 又f ′(x 0)＝12，故sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝0， ∴x 0＝k π＋π6，k ∈Z ，∴tan x 0＝tan π6＝33， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝tan x 0＋11－tan x 0＝1＋331－33＝2＋ 3. 10．(－∞，2－1e )∪(2－1e，2) 解析 f ′(x )＝1x ＋a (x >0)．∵函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴方程1x＋a ＝2在区间(0，＋∞)上有解，即a ＝2－1x在区间(0，＋∞)上有解，∴a <2.若直线2x －y ＝0与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0,2x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝2，2x 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e .综上，实数a 的取值范围是(－∞，2－1e )∪(2－1e，2)． 11．[1，＋∞)解析 f (x )≥2ln x 在[1，＋∞)上恒成立，即f (x )－2ln x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝f (x )－2ln x ＝ax ＋a －2x ＋2－2a －2ln x ，则g ′(x )＝a －a －2x 2－2x ＝(x －1)(ax ＋a －2)x 2. 令g ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝2－a a .由于g (1)＝0，a >0，因此2－a a ≤1(否则2－a a 是g (x )的极小值点，即g (2－a a)<g (1)＝0)，所以a ≥1. 12．(－∞，－32] 解析 由f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0知，函数f (x )在[π4，π3]上是减函数．又f ′(x )＝a ＋sin x ，所以f ′(x )≤0在[π 4，π3]上恒成立，即a ≤－sin x 在[π4，π3]上恒成立．当π4≤x ≤π3时，－32≤－sin x ≤－22，故－sin x 的最小值为－32，所以a ≤－32. 13．(－∞，0)解析 由f (x )＝ax 3＋x ，得f ′(x )＝3ax 2＋1.若a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a <0，由f ′(x )>0得－－13a <x <－13a ，由f ′(x )<0，得x <－－13a 或x >－13a，即故当a <0时，f (x )的单调递增区间为(－－13a ，－13a )，单调递减区间为(－∞，－－13a ), ( －13a ，＋∞)，满足题意． 14．(0,1]解析 f ′(x )＝e x (1＋ax 2)－2ax e x (1＋ax 2)2＝e x (1＋ax 2－2ax )(1＋ax 2)2，由题意f (x )为R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在R 上恒成立．又a >0，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，解得0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.。

(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．2．(2015·广东)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.3．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．4．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝⎛⎭⎫23n . 5．(2015·北京西城区期末)对于函数f (x )，g (x )，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数f (x )和g (x )在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数f (x )＝ax 2－bx (a ≠0)，g (x )＝ln x .(1)当a ＝－1，b ＝0时，判断函数f (x )和g (x )是否相切，并说明理由； (2)已知a ＝b ，a >0，且函数f (x )和g (x )相切，求切点P 的坐标；(3)设a >0，点P 的坐标为(1e ，－1)，问是否存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P处相切？若点P 的坐标为(e 2,2)呢？(结论不要求证明)答案解析1．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13.∴1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x＝116.2．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立． ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ， ∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0， ∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点， 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增， ∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1， 把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e.f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e ，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(m )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上单调递增； 令g ′(m )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上单调递减． ∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1. ∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e ≥(m ＋1)3.∴m ＋1≤3a －2e ，即m ≤3a －2e－1.3．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0， 所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在区间(－1a，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a ，＋∞)．(2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ， 又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意． 当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a)＝－1－ln(－a )，所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2.故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．4．(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1＋2－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1. (2)证明 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0， 所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23， 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫23n .5．解 (1)结论：当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． 理由如下：由条件知f (x )＝－x 2，g (x )＝ln x ，得x >0. 又因为f ′(x )＝－2x ，g ′(x )＝1x，所以当x >0时，f ′(x )＝－2x <0，g ′(x )＝1x >0，所以对于任意的x ，f ′(x )≠g ′(x )．所以当a ＝－1，b ＝0时，函数f (x )和g (x )不相切． (2)若a ＝b ，则f ′(x )＝2ax －a ，g ′(x )＝1x .设切点坐标为(s ，t )，其中s >0. 由题意，得as 2－as ＝ln s ，① 2as －a ＝1s.②由②，得a ＝1s (2s －1)，代入①，得s －12s －1＝ln s ．③因为a ＝1s (2s －1)>0，且s >0，所以s >12.设函数F (x )＝x －12x －1－ln x ，x ∈(12，＋∞)，则F ′(x )＝－(4x －1)(x －1)x (2x －1)2.令F ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝14(舍)．当x 变化时，F ′(x )与F (x )的变化情况如下表所示.所以当x ＝1时，F (x )取到最大值F (1)＝0，且当x ∈(12，1)∪(1，＋∞)时，F (x )<0.因此，当且仅当x ＝1时F (x )＝0.所以方程③有且仅有一解s ＝1.于是t ＝ln s ＝0， 因此切点P 的坐标为(1,0)．(3)当点P 的坐标为(1e ，－1)时，存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切；当点P 的坐标为(e 2,2)时，不存在符合条件的函数f (x )和g (x )，使得它们在点P 处相切．。

第三章导数及其应用
【知识网络】
【考情分析】
近几年江苏高考对导数的考查十分重视，难度保持中等以上，考试中有时会涉及一些文字型应用题，在数学思想上也有很强的体现.其考查情况如下：
【备考策略】
1.由上面的考情分析可知，导数的复习重点是理解导数的概念，熟记导数的运算法则和求导公式，熟练掌握导数的几何意义及在实际问题中的应用，会利用导数研究函数的单调性与极(最)值，并且能够将导数知识灵活地运用于求解不等式等相关内容.
2.导数是求解函数的单调性、极(最)值问题及曲线的切线方程等最有力的工具.对导数问题的考查多以三次函数、二次函数为载体，常常伴随不等式的证明一起考查，复习时应加强这方面的训练.
3.导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具，它常与方程、不等式等内容交叉渗透、自然交汇.这类问题的解决，首先利用导数判断其单调性(对方程而言首先构造函数)，然后画出草图，利用数形结合的思想，并根据图象与x 轴的交点情况，建立参数方程组或不等式组进行求解.复习时要求学生领会应用函数和导数解决问题的思想方法，并将知识融会贯通.。

一、填空1. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f 'x ，若2()()2f x f 'x -<，(0)2018f =，则不等式2()2017e 1xf x >+（其中为自然对数的底数）的解集为 . 【答案】(0,)+∞ 【解析】构造函数2()1()e xf x F x -=，则22222()e [()1]2e ()2()2()0(e )e x x x x f x f x f x f x F x ''--⋅-+'==>，故函数2()1()exf x F x -=在R 上单调递增，又因为0(0)1(0)201812017ef F -==-=，所以当且仅当0x >时，2()12017exf x ->，即当且仅当0x >时，2()2017e 1x f x >+成立，因此不等式2()2017e 1x f x >⋅+的解集为(0,)+∞. 学#2. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】213. 【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】已知1,5x x ==是函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>两个相邻的极值点，且()f x 在2x =处的导数()20f '<，则()0f = ▲ ． 24. 【南通市、泰州市2017届高三第一次调研测试】已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数的值为 。

【答案】332 二、解答1.【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，.若函数的最小值是，求的值；（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）1（3）【解析】即，解得或（舍），所以；②当，即时，函数的最小值，解得（舍）．综上所述，的值为1．（3）由题意知，，．考虑函数，因为在上恒成立，2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知函数()3ln f x a x bx =-，，为实数，0b ≠，为自然对数的底数，e 2.71828≈.（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同实数解，求ab的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）当时，函数，则，令，得，因为时，，所以，所以当时，，当时，，所以，满足的关系式为，即的取值范围为.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】(本小题满分16分) 设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于的方程()0xg e =（其中为自然对数的底数）； （2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈） 【答案】（Ⅰ）0x =或ln 2x =-（Ⅱ）当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞.（III ）λ的最小值为. 【解析】解：（1）当2a =时，方程()0x g e =即为1230xx e e+-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， …………2分 故所求方程的根为0x =或ln 2x =-. ………4分 （2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一3 (,2)2x∈，使得()0h x'=，即3ln10xx+-=，……………12分当0(0,)x x∈时，()0h x'<，当(,)x x∈+∞时，()0h x'>，所以2min00000000(3)39 ()()(3)ln(3)(1)6()xh x h x x x x xx x x-==-=--=-=-+，记函数9()6()r x xx=-+，则()r x在3(,2)2上单调递增，……14分所以3()()(2)2r h x r<<，即31()(,)22h x∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为. ………16分方法二：当1a=时，()3g x x=-，所以()(3)lnh x x x=-，综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为. .……………16分4.【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数xxxf ln)(=，)()(12-=xxgλ（λ为常数）．（1）若函数)(xfy=与函数)(xgy=在1=x处有相同的切线，求实数λ的值；（2）若21=λ，且1≥x，证明：)()(xgxf≤；（3）若对任意),[+∞∈1x，不等式恒)()(xgxf≤成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）12λ=（2）详见解析（3）12λ≥ 【解析】解：（1）()ln 1f x x '=+，则()11f '=且()10f =. ……1分 所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：1y x =-， ……2分 从而(1)21g λ'==，即12λ=. ……4分 （2）由题意知：设函数()()21ln 12h x x x x =--，则()ln 1h x x x '=+-. ……5分 设()ln 1p x x x =+-，从而()110p x x'=-对任意[)1x ∈+∞，恒成立， ……6分 所以()()ln 110p x x x p =+-=，即()0h x '， 因此函数()()21ln 12h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减， ……7分 即()()10h x h =，所以当1x 时，()()f x g x 成立. ……8分设函数()()2ln 1H x x x x λ=--，当102λ<<时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-， 则()112012q x x x λλ'=-=⇒=> ……14分 当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120q x x λ'=->，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()ln 121120H x x x H λλ''=+->=->，故当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,2x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意； ……15分综上所述，实数的取值范围为：12λ. ……16分 5. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数()()(ln 1).f x x a x =-- （1）若不等式()0f x ≥对0x >恒成立，求的值；（2）若()f x 在22(e ,e )-内有两个极值点，求负数的取值范围；（3）已知2,2e0,()(),0x x s a h x f x x x s x ⎧≥⎪⎪==⎨+⎪<<⎪⎩，若对任意实数，总存在实数0x ，使得0()h x k=成立，求正实数的取值集合．【解析】解（1）若e a > ，则当(e,)x a ∈时，0,ln 10,()0x a x f x -<-><，不合题意；点，在12(e ,e )-上有且仅有一个零点，从而()f x '在上有且仅有两个零点，()f x 在22(e ,e )-内有且仅有两个极值点；综上负数的取值范围为12(e ,2e ).----………………………10分（3）因为对任意实数，总存在实数0x ，使得0()h x k =成立，所以函数,2e()ln ,0xx s y h x x x s x⎧≥⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩的值域为R ．2e x y =在[,)s +∞上是增函数，其值域为[,)2es+∞ ………………11分 对于函数2ln 1ln ,x xy y x x-'==，当e x =时，0y '=， 当x e >时，0y '<，函数ln xy x =在(e,)+∞上为单调减函数，当0e x <<时，0y '>，函数ln xy x=在(0,e)上为单调增函数．若e s >，则函数ln xy x=(0)x s <<在(0,e)上是增函数，在(e,)s 上是减函数，其值域为1(,]e -∞，由①②得，()0u s =，所以e s =综上所述，正实数的取值集合为{e}．………………16分 6. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分） 已知函数()|2|ln f x x a a x =--，常数.a ∈R（1）若(1)0f =，求函数在点(e,(e))f 处切线方程；（2）若对1212,[3,4],x x x x ∀∈≠，恒有1212()(()())0x x f x f x --<，求的取值范围；（3）若函数()f x 有两个零点12,x x 且12x x <，求实数的取值范围． 【解析】（1）由(1)0f =得1|12|0,2a a -==，所以当1x >时，11()1ln ,()122f x x x f x x'=--=-，因此切线斜率为112e -，切线方程为11(e 1)(1)(e),22ey x ---=--即1(1)12ey x =--．………4分（2）由题意得()f x 在[3,4]上单调递减．当0a =时，()f x x =；当0a <时，()2ln f x x a a x =--，皆为(0,)+∞上单调增函数，不合题意；当0a >时，2ln ,2()2ln ,02x a a x x a f x x a a x x a --≥⎧=⎨-+-<<⎩． 当2x a ≥时，()2ln f x x a a x =--，()10af x x'=->，()f x 在[2,)a +∞上单调递增； 当02x a <<时，()2ln f x x a a x =-+-，()10af x x'=--<，()f x 在(0,2)a 上单调递减；综上，实数的取值范围为1(,).2+∞………………………16分7. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】（本小题满分16分）设函数x x g a x f a xlog )(,)(==，其中0>a ，且1≠a . 求)1()0(g f +值；（1）若e a =，为自然对数的底数，求证：当0>x 时，)()(x g x f >； （2）若函数)()(x g x f y -=为),0(+∞上的单调函数，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意11log )1()0(0=+=+a a g f .……………2分列表：),0(0x0x),(0+∞x)(x q ' +)(x q↘极小值↗所以0ln )()(00000>+=-=≥x e x ex q x q x x ，故)()(x g x f >……………8分（3）依题意，()21ln 1ln ,0,ln ln x xxa a y a a x x a x a-'=-=∈+∞，记()[),0,x r x xa x =∈+∞.1 当1a >时，ln 0a >①若()()y f x g x =-为(0,)+∞上的单调增函数，则0y '≥，即21ln xxa a≥在(0,)+∞上恒成立因为()xr x xa =为[)0,+∞上的单调增函数所以()()min 00r x r ==，从而210ln a≥，舍去. ……………10分 ②若()()y f x g x =-为(0,)+∞上的单调减函数，则0y '≤，即21ln xxa a≤在(0,)+∞上恒成立因为210ln 22221111()ln ln ln ln a r a a a a a a=⨯>⨯=，所以21ln xxa a≤在(0,)+∞上不恒成立，舍去. ……………12分 2 当01a <<时，ln 0a <所以210ln a ≥，不成立，舍去 综上，e 11ea ≤<……………16分8. 【2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（为正实数，且为常数）.（1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+恒成立.令1()ln +1g x x =+，则21()x g x -'=， ……2分x(0,1)(1,)+∞……４分()g x'－＋()g x减极小值增因此，min()(1)2g x g==，即02a<. ……6分9.【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数2()lnxf xx=．（1）求曲线()y f x=与直线20x y+=垂直的切线方程；（2）求()f x的单调递减区间；（3）若存在[e,)x∈+∞，使函数21e()eln ln()22ag x a x x x f x a+=+-⋅⋅≤成立，求实数的取值范围．【答案】（1）22e0x y-+=；（2）减区间为(0,1)和(1,e)；（3）2e2a≥-.【解析】（1）由已知22(ln1)'()(ln)xf xx-=，·······2分设切点坐标为00(,)x y，令0022(ln1)1'()(ln)2xf xx-==，解得2ex=，所以2ey=，因此切线方程为221e(e)2y x-=-，即22e0x y-+=；·······4分（2）函数()f x的定义域为(0,1)(1,)+∞，22(ln 1)'()(ln )x f x x -=，由'()0f x <，解得01x <<或1e x <<， 所以函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,e)．·······8分（3）因为221e 1()eln ln ()eln (e)222a g x a x x xf x a x x a x +=+-=+-+， 由已知，若存在0[e,)x ∈+∞使函数21()eln (e)2g x a x x a x a =+-+≤成立，则只需满足当[e,)x ∈+∞时，min ()g x a ≤即可．·······9分 又21()eln (e)2g x a x x a x =+-+， 则2e (e)e ()(e)'()(e)a x a x a x a x g x x a x x x-++--=+-+==，·······10分 ①若e a ≤，则'()0g x ≥在[e,)x ∈+∞上恒成立，综上所述，的取值范围是2e 2a ≥-．·······16分10. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数)(ln )(R a x a x f ∈=．（Ⅰ）若函数)(2)(x f x x g +=的最小值为，求的值；（Ⅱ）设x a ax x f x h )2()()(22+++=，求函数)(x h 的单调区间； （Ⅲ）设函数)(x f y =与函数xxx u 21)(-=的图像的一个公共点为P ,若过点P 有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数的值．【解析】（Ⅰ）首先0x >，因x a x x g ln 2)(+=，故xax x a x g +=+=22)(/，--------（1分）注意到0>x ，故当0≥a 时，0)(/>x g ，则函数)(2)(x f x x g +=在),0(+∞单调递增，函数x a x x g ln 2)(+=无最小值；------------（2分）当0<a 时，若0)(,2/<-<x g a x ，函数)(2)(x f x x g +=在(0,)2a-单调递减；若0)(,2/>->x g a x ，函数)(2)(x f x x g +=在),2(+∞-a单调递增，------------------（3分）故函数)(2)(x f x x g +=在2a x -=处取最小值，则0)2ln(=-+-a a a ，即1)2ln(=-a，故e a 2-=；------------------------------------（4分）减.---------------------------------------------------（10分） 综上：当0≥a ，函数)(x h 的单调递增区间是),0(+∞；当02<<-a 时，函数)(x h 的单调增区间是)1,2(a a --，单调减区间是(0,)2a-和),1(+∞-a当2-=a 时，函数)(x h 的单调递减区间是),0(+∞； 当2-<a 时，函数)(x h 的单调递增区间是)2,1(a a --；单调递减区间是1(0,)a -和),2(+∞-a.--------（11分）(Ⅱ)设点),(00y x P ,因2//21)(,)(xx u x a x f -==,故20021x x a -=,即120-=ax ;--------(12分)又设切线方程为b kx y +=,将)ln ,(00x a x P 代入可得00ln kx x a b -=;将)21,(00x x x P -代入可得21-=a .-----------------(16分) 学* 11. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分14分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知,//,24AB BC OA BC AB BC AO km ⊥===，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在,AB BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大用地面积．【解析】如图，以AO 所在的直线为轴，过点O 且垂直于AO 的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ．依题意设抛物线方程为2y ax =，由题意点()2,4C ，代入2y ax =可得1a =，则曲线段OC 的方程为2(02)y x x =≤≤．-----------------（3分）答：当工业园区规划成长为329km ，宽为83km 时，园区的面积最大，其最大值为225627km ．-----（14分）12. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】（本小题满分16分）设()ln (,)f x x a x a x R =-∈． (Ⅰ) 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，求实数的取值范围； (Ⅲ) 若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，证明：221x x e ⋅>． 【解析】（Ⅰ）首先，函数定义域为{|0}x x >，因()1af x x'=-，则当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；------（3分）当0a >，且(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；[,)x a ∈+∞时，()0f x '≥，函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，--------------------------------------------------（4分）故当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()f x 的递减区间是(0,)a ，单调递增区间是[,)a +∞．-------------------------------------------------------------（5分）（Ⅱ）由题设()f x 有两个零点，显然0a >，故1ln x a x =，记2ln 1ln (),'()x xg x g x x x -==，当(0,)x e ∈时，()g x 单调增；当(,)x e ∈+∞时，()g x 单调减．-------------------------（7分）所以当1ln 0ea e<<，即a e >时，函数()f x 有两个零点12,x x ，所求实数的取值范围是(,)e +∞．----（9分）（Ⅲ）构造函数()22222221ln 1ln ()()(),(,),'()1ln e x x e x h x g x g x e h x x x x e x e---=-∈+∞=-=-⋅，-----（12分）则当(,)x e ∈+∞时，'()0,()h x h x >单调增，所以()()0h x h x >=，即2()()eg x g x>，------（14分）又由（Ⅱ）知，函数()f x 有两个零点，就是方程1ln xa x=的两个根，因此满足120x e x <<<，所以212()()()e g x g x g x=>，且212,(0,)e x e x ∈，又(0,)x e ∈时，()g x 单调增，所以212e x x >，从而有221x x e ⋅>----------------------（16分）13. 【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】（本小题满分16分） 已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ． ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1， 求证：e －1≤a ≤e 2－e ．因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为f (1)，＋∞)，即－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2．综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是0，1e －2]． …………………9分（2）f ′ (x )＝e x －a ．又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 14. 【2017南通扬州泰州苏北四市高三二模】（本小题满分16分） 已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x 1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中为常数， 求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x 1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． …… 2分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln ex p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e xx x p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．（3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ① 当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥，所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1ea >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x -'-=()≤，综上，1e a ≤． …… 16分15. 【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的 正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有 两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地 下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为万元∕km 、 万元∕km ．（1）求,A B 两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？【解析】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以43AD BD =， 在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==， 所以CD BD =． 则41133AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =， 所以3CD =，4AD =， 由勾股定理得，225AB AD BD =+=(km)．所以A ， B 两镇间的距离为km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5420⨯=(万元)．………6分令'()0f θ=，得π3θ=，列表如下：0π(,)3θπ3ππ(,)32'()f θ()f θ↘极小值↗所以()f θ的最小值为()33f =．所以方案②的总铺设费用最小为863+(万元)，此时43AP =-． ……12分 而86320+<，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向(43)-km 处，总铺设费用最低．…………………………………………………………………………14分16. 【苏北四市2016-2017学年度高三年级第一学期期末调研】已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈．（1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤； （2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求 出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当0a =时，2()2ex f x =，所以()0f x ≤的解集为{0}；（2）设2()()()ln 2e x h x f x g x x =-=-，则21e'()e e x x h x x x-=-=． 令'()0h x =，得e x =(0,e)e(e,)+∞'()h x()h x↘ 极小值↗所以函数()h x 的最小值为(e)0h =，所以2()ln 02ex h x x =-≥，即()()f x g x ≥．…………………………………8分（3）假设存在常数，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立，即22ln 2ex ax b x +≥≥对任意的0x >恒成立．而当x =21ln 2e 2x x ==，所以11222b ≥≥，所以122b =，则122b =-所以2212220(*)2e 2e 2x x ax b ax --=-+≥恒成立，①当0a ≤时，1202<，所以(*)式在(0,)+∞上不恒成立；②当0a >时，则2214(2)0e 2a -≤，即2(20a ≤，所以a =，则12b =-．……………………………………………………12分令1()ln2x x ϕ=+，则'()x ϕ=，令'()0x ϕ=，得x当0x <'()0x ϕ>，()x ϕ在上单调增；当x '()0x ϕ<，()x ϕ在)+∞上单调减．所以()x ϕ的最大值0ϕ=．所以1ln 02x +≤恒成立．所以存在a =，12b =-符合题意．………………………………………16分 17. 【扬州市2016—2017学年度第一学期期末检测】（本小题满分16分）已知函数()()()f x g x h x =⋅，其中函数()xg x e =，2()h x x ax a =++． （1）求函数()g x 在()1,(1)g 处的切线方程；（2）当02a <<时，求函数()f x 在[2,]x a a ∈-上的最大值；（3）当0a =时，对于给定的正整数，问函数()()2(ln 1)F x e f x k x =⋅-+是否有零点？请说明理由．（参考数据 1.649, 4.482,ln 20.693e ≈≈≈≈）所以max ()()f x f a =; ---------------------5分 ②当22a -<-,即12a <<时，()f x 在[2,2]a --上递增，[2,]a --上递减，在[,]a a -上递增， 所以{}max ()max (2),()f x f f a =-，由于2(2)(4)f a e --=-，2()(2)af a a a e =+，故()(2)f a f >-，---------------------7分所以max ()()f x f a =;综上得，2max ()()(2)af x f a a a e ==+ ----------8分（3）结论：当1k =时，函数()F x 无零点；当2k ≥时，函数()F x 有零点 ------------9分 理由如下：①当1k =时，实际上可以证明：22ln 20x ex e x -->．方法一：直接证明2()2ln 2xF x ex e x =--的最小值大于0，可以借助虚零点处理．212()(2)x F x x x e x +'=+-，显然可证212()(2)x F x x x e x+'=+-在()0,+∞上递增，令()x e p x e x=，则可求得()()2min 1p x p e ==，令()32(ln 1)x q x x +=，则可求得()223max 23q x q e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以命题得证。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总有过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 ．2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①直线:0l y =在点(0,0)P 处 “切过”曲线3:C y x = ②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:xC y e = 【答案】①③【解析】对于①，3y x =在点(0,0)P 处的切线为0y =，符合题 中两个条件，所以正确；对于②曲线:ln C y x =在直线:1l y x =-的同侧，不符合题意，所以错误；对于③，由图象可知，曲线:sin C y x =在点(,0)P π附近位于直线l 的两侧，符合题意，所以正确；对于④，曲线:xC y e =在直线:1l y x =+的同侧，不符合题意，所以错误；即正确的有①③． 3. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ▲ ．4. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】已知函数()ln(2)x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的最大值是【答案】6ln 31-【解析】函数定义域为),0(+∞，若0=a ，显然不合题意，舍去； 若0>a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得a x f -<)(或0)(>x f ， 即a x x -<)2ln(或0)2ln(>x x ，由0)2ln(>x x 得 21>x ，此时原不等式有无数个整数解，故不合题意，舍去；若0<a ，则由不等式0)()(2>+x af x f 得0)(<x f 或a x f ->)(，即0)2ln(<x x 或a x x ->)2ln(，由0)2ln(<x x 得0)2ln(<x ，即210<<x ，无整数解， 故由条件可得不等式a xx ->)2ln(有且只有两个整数解，因),0(+∞∈x ，故两整数只能是2,1，因x x x f 2ln ln )(+=，22)2ln(12ln ln 1)('x x x x x f -=--=，故当)21,0(e x ∈时，函数)(x f 单调递增，当),21(+∞∈e x 时，函数)(xf 单调递减， 从而取3=x 时，满足a -≤⨯3)32ln(，得6ln 31-≤a ，即a 的最大值为6ln 31- 5. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】 设函数f (x )＝1,1,x x x a e x x a-⎧≥⎪⎨⎪--<⎩，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．6. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．【答案】10.a a e<≥或【解析】试题分析：由题意得：1(2)ln (2)ln ,(0)y y y e t e t t a x x x -=-=-=>，令(2)ln ,(0)m t e t t =->，则2212ln ,0t e em t m t t t -'''=+=+>⇒当x e >时()0m m e ''>=；当0x e <<时()0m m e ''<=；因此()m m e e ≥=-；从而110.e a a ae -≥-⇒<≥或 7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1(0,]1e + 【解析】试题分析：由 x e <时，32y x x =-+图象，及线段PQ 中点恰好在y 轴上，可得 0a >，且点,P Q 分别在两段图象上，所以可以设32(,),(,ln )()P x x x Q x a x x e -+≥，. 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⊥u u u r u u u r 即0OP OQ ⋅=u u u r u u u r故有232ln ()0x a x x x -++=，整理得1,()(1)ln a x e x x =≥+,此时11(0,](1)ln 1x x e ∈++，所以1(0,]1a e ∈+8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，若点P 到直线2-=x y 的距离的最近，则点P 的横坐标是 ．9. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，内无极值点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(4][0)-∞-+∞U ，， 【解析】由题意得()22a f x x x '=++在区间(01)，不变号，即()220a f x x x '=++≥在区间(01)，恒成立或()220a f x x x '=++≤在区间(01)，恒成立，因此max [2(1)],(0,1),a x x x ≥-+∈而2(1)0x x -+<，所以0a ≥；或min [2(1)],(0,1),a x x x ≤-+∈而2(1)4x x -+>-，所以4a ≤-；综上a 的取值范围是(4][0)-∞-+∞U ，，. 10. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，31(),()ln 4f x x axg x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.33511303,()3()0()43334384a a a a a a a >>->----<->⇒<-，从而实数a 的取值范围为53(,).44--11. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线()()cos ,3,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【答案】33【解析】试题分析：由题意得3cos 3tan 0,.26x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()3f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为3133(),()2626y x y x ππ=--=-，与x 轴交点横坐标分别为33,663x x ππ=+=-，故线段BC 3433()33-=12. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若点,P Q 分别是曲线4x y x+=与直线40x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值 . 717【解析】试题分析：设两直线4x y m+=与4xyx+=相切，P为切点.由24yx'=-得2441xx-=-⇒=±，因此(1,5)(1,3),97P P m m--==-或或，两直线4x y m+=、40x y+=间距离分别为1717或，故线段PQ长的最小值为717.13．【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知函数2()f x x x a=-，若存在[]1,2x∈，使得()2f x<，则实数a的取值范围是▲．二、解答题1. 【2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）已知函数()2lnf x x x ax a=-+（Ra∈），其导函数为()f x'．(Ⅰ)当x e>时，关于x的不等式()0f x<恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）函数()()(21)1g x f x a x'=+--，其导函数为()g x'．若12,x x为函数()g x两个零点，试判断12()2x xg+'的正负，并说明理由.因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x x g +'<成立. ……………16分 2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本题满分14分）某型汽车的刹车距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)的关系为32510s t k t t =-⋅++，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在高速行驶途中发现前方大约10米处有一辆汽车突然抛锚停止，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k 的取值范围．3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 【答案】（Ⅰ）0m =（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.（Ⅱ）因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+. 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+.综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()ln .af x x ax x =-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 1a =（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1(0,).2所以()f x 在1(0,)x 上单调递减，12(,)x x 上单调递增，2(,+)x ∞上单调递减，所以()f x 至多有3个零点，………12分又因为2()02a f >，1()(1)0,f x f <=所以由零点存在性定理得2010(,),()0,2a x x f x ∃∈=又0 01()()0,f f xx=-=所以()f x恰有三个不同零点01,,1.xx所以a的取值范围为1(0,).2………16分．5. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）（1）若lnax x>恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：00,,a x R∀>∃∈使得当x x>时，lnax x>恒成立.【答案】．（1）1(,)e+∞（2）见解析列表：x1(0,)a1a1(,)a+∞()xϕ'-0+()xϕ]极小值1ln a+Z 若1ae>时，min()1ln0x aϕ=+>，所以()0xϕ>，取021xa=>，则满足题意；若1ae=时，min()1ln0x aϕ=+=，所以()0xϕ≥，取0211xa a=>，则满足题意；……11分若10a e <<时，min ()1ln 0x a ϕ=+<，取0211x a a=>， 则当0x x >时，2111()()2ln ,x a a aϕϕ>=- 令1t a=，记()2ln r t t t =-，且t e >， 则2()10r t t'=->，故()r t 为(,)e +∞上单调增函数， 所以()()20r t r e e >=->，从而112ln 0a a->，所以()0x ϕ>，满足题意. 综上，0210,a x a ∀>∃=，使得当0x x >时，ln ax x >恒成立. 所以00,,a x R ∀>∃∈使得当0x x >时，ln ax x >恒成立.……16分6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))ααπ∈的扇形铁皮焊接成一个容积为V 立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V 关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V 取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 上单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，………12分 ②当0b >时，()0x ϕ'>，ln x b >；()0x ϕ'<，ln x b <，∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时， ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. ……………16分 8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）设函数b bx xx x f (121ln )(2+-+=为常数）．（1）若函数)(/x f y =的图象与直线12+-=x y 只有一个交点，求实数b 的值； （2）若函数)(x f y =在定义域内存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （3）试确定函数)(x f y =在区间),1[+∞内的零点的个数．上的零点的个数为0-------------------------------------------------------8分；②当0>b 时，xb b x x bx x b x x x f 41)2(11)(222/-+-=+-=-+=．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在x = 1处的切线方程为1y bx =+． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值；（3）证明：当x > 0时，(1)ln 10x e e x x x +---≥ 【答案】（1）1,2a b e ==- （2）1-e （3）略．【解析】（1）'()2xf x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（2）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10xe e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．10. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．记()g x =()e211xx x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数． ∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． ………………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>，∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a<≤. ………………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ………………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦U ． ………………………16分11. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠=o ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1AAB B因为(0,)πθ∈，所以πθ=，列表θ(0,)3π3π (,)32ππ2S ' + 0_2SZ 极大值]所以3θ=时，2S 最大值为2257532>所以建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=答：方案①、②中苗圃最大面积分别为22225,753.2m m 建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=12. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】 (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）. （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，1o当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>；2o当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >.当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①； 又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等.综上，当332a >时，函数()y H x =有5个不同的零点. 13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】(本小题满分16分)已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=L 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3） 设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e x x x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分 当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分 （3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-， 假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，14. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.【答案】（1）323()()52f x f e --=极大值= ，1()(1)3极小值=f x f e --=（2）3(0,1]+（3）4,0t =-【解析】（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ……2分 令'()0f x = ，31,2x =--x3(,)2-∞-32- 3(,1)2-- 1- (1,)-+∞'()f x +0 -+()f x增 极大值 减 极小值 增323()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分（3）1,a =Q 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-< ………13分 1(1)10,(0)20eϕϕ-=-<=>Q ，∴存在0(1,0)x ∈-，0(,)x x ∈-∞时，()0x ϕ<，0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>．()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增 又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e-=>-=-<=-<=->Q 由零点的存在性定理可知：()0h x =的根12(4,3),(0,1)x x ∈--∈，即4,0t =-． ………16分15. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=． （1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h 0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='xx x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减， 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方…………16分16. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分16分)设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑.∴函数()x f 的最大值为()0=0f …………4分 （2）①由已知得：()/11g x b x=-+ (i)若1b ≥，则()0+x ∈∞，时，()/101g x b x=-≤+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为减函数，∴()()()ln 100g x x bx g =+-<=在()0+∞，上恒成立；…………5分 (ii)若0b ≤，则[)0+x ∈∞，时，()/101g x b x=->+ ∴()()ln 1g x x bx =+-在[)0+∞，上为增函数，∴()()()ln 100g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0+∞，上恒成立；…………7分 (iii)若01b <<，则()/1=01g x b x =-+时，11x b=-，当101x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，时，()/0gx ≥，∴()()ln 1g x x bx =+-在101b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上为增函数，17. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a ≥时，若()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析（Ⅱ）2a >【解析】解析：(Ⅰ) (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为{}0x x >,222(1)1(1)(1)()=ax a x ax x f x x x-++--'=当0a ≤时，1ax -<0,令()0f x '>，解得01x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，令()0f x '<，解得1x >，函数()f x 单调递减区间为1+∞（，）. 所以函数()f x 的单调递增区间为(01)，，单调递减区间为1+∞（，）. 当01a <<时，11a>,令()0f x '>，解得01x <<或1x a>，则函数()f x 的单调递增区间为(01)，；令()0f x '<，解得11x a <<，函数()f x 单调递减区间为11)a（，. min1()min{(),(1)}e f x f f =， 依题意1()1e (1)1f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩ ，即2e e 12a a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩，所以2e a <<；若1a =，则()0f x '≥.所以()f x 在区间1[,e]e 上单调递增，min 1()()1e f x f =>，不满足条件；综上，2a >.18. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈，2.71828e =L 为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a ≤≤时，求证：对任意的[0,)x ∈+∞，()0f x <．max ()=g x 220000111sin cos 2sin sin 2444x x a e x x a e a a a-+-=+-+-令00sin ,(0,)4t x x π=∈，则)2t ∈，即有()p t =211244t t a e a a +-+-,2t ∈因为()p t 的对称轴20t a =-<，所以函数()p t 在区间上是增函数，且112a ≤≤所以115()2088p t p a e e a <=-+--<，（112a ≤≤），即任意[0,)x ∈+∞，()0g x <，所以()()0x f x e g x =<，因此任意[0,)x ∈+∞，()0f x < ．。

一、填空题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为_______.2. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】如图所示的流程图的运行结果是 ．3. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】运行如图所示的伪代码，其运行后输出的结果为_______.I ←0While I <9S ←2I + 1I ←I +3End WhilePrint S0,1s n ←←第3题图 p ←1For k From 1 To 10 Step 3p ←2k p -End ForPrint p第4题图4. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】运行如图所示的伪代码，其结果为_______.5. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】下图是一个算法流程图，则输出的x 的值是_______.6. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】给出一个算法程序框图（如图），其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，要使输入x 的值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 个．S ←0For I From 1 To 2015 step 2S ←S + 1(2)I I + End ForPrint S第4题图7. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 ．8. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 开始k >9输出k结束k 0k 2k +k 2YN9. 【2016高考冲刺卷（8）【江苏卷】】右边程序输出的结果是___________．10. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】算法流程图如图所示，则输出的k 值是 .11. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】运行如图所示的伪代码，其结果为 .12. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】如图是一个算法的流程图，它最后输出的k 值为 ．13. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为___▲_____．14. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知某运算程序的程序语言如右，则输出的S 的值为 S ←1For I From 1 To 7 step 2S ←S + IEnd ForPrint S15. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】如图，该程序运行后输出的y值为．16. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】右图是一个算法流程图，则输出的S的值是．（第4题）17. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】如图所示，该伪代码运行的结果为▲ .18. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】执行如图所示的流程图，则输出k 的值为.19. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．第5题图 （第7题）。

一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】曲线cos y x x =-在点,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为___________．【答案】2【解析】 试题分析:'1sin y x =+，2x π=时，'1sin 22y π=+=，即切线斜率为2．2. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】曲线xe y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ． 【答案】1+=x y【解析】试题分析：因为x y e '=,所以在0=x 处的切线斜率为01k e ==，因此切线方程是11(0)1y x y x -=-⇒=+3。

【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】对于函数()y f x =,若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >）,则称()y f x =为倍值函数．若()ln f x x x =+是倍值函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】1(1,1)e+4。

【南京市2017届高三年级学情调研】已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .【答案】－2,8］【解析】试题分析：320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-;当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤5。

【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】函数()2log f x x =在点()1,2A 处切线的斜率为 ▲ ． 【答案】1ln 2【解析】试题分析:()()111ln 2ln 2f x k f x ''=∴==6。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。

一、填空1. 【江苏省泰州中学2017，则实数的值是 ．【答案】2. 【南京市2017届高三年级学情调研】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数的值是 .【答案】1 【解析】3. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ▲ ．【解析】4. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若双曲线3，其渐近线与圆2260x y y m +-+=相切，则m 的值是_____________． 【答案】 【解析】试题分析: 所以该双曲线的渐近线方程为而圆的圆心为)3,0(,半由题即19=-m ,故8=m ,应填答案.5. 【江苏省如东高级中学2017左焦点为F ，点M 是椭圆C 上一点，点N 是MF 的中点，O 是椭圆的中点，4ON =，则点M 到椭圆C 的左准线的距离为___________． 2二、解答1. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆21,F F ，点P )1,3(在椭圆上，21F PF ∆的面积为（1） ① 求椭圆C 的标准方程；② ，求21QF QF ⋅的值.（2）直线k x y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.第17题图【答案】（1（222222221212121212(2)()3(2)(2)3(2)QF QF QF QF c QF QF QF QF c a QF QF c +-⋅=⇒+-⋅=⇒-⋅=（2）以AB 为直径的圆经过坐标原点等价于12120OA OB x x y y ⋅=+=，再联立直线方程与椭圆方程的方程组，结合韦达定理代入化简求实数的值.试题解析：解：（1）①····· 2分 又222c b a +=， 所以4,1222==b a ，················· 4分②6分 8分（2）设),(),,(2211y x B y x A，由01236422=-++k kx x ········ 10分12分因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则0622121=-=+=⋅k y y x x OB OA ， ，此时0120>=∆，满足条件 14分2. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知椭圆Γ：（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A ，B （如图），直线AM ，BM 分别与椭圆Γ交于E ，F 两满足0m ≠，且 ①证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值；（2）若圆O ：224x y +=．，是过点(0,1)P -的两条互相垂直的直线，其中交圆O 于T 、R 两点，交椭圆Γ于另一点Q ．求△TRQ 面积取最大值时直线的方程．【答案】（1）①详见解析，②1m =±（2【解析】试题分析：（1）①以算代证，即求出EF 与y轴交点：根据直线与椭圆交点得值试题解析：解：（1∴直线AM 的斜率为∴直线AM 的方程为得22(1)40m x mx +-=， ∴0x =，得22(9)120m x mx +-=，∴0x =，据已知0m ≠，23m ≠，∴直线EF 的斜率 ∴直线EF 的方程为令0x =，得2y =，∴EF 与y 轴交点的位置与m 无关．AMF BME ∠=∠，5AMF BME S S ∆∆=，∴5||||||||MA MF MB ME =，∴∵0m ≠， ，即22(3)(1)0m m --=， ，∴230m -≠，∴21m =，∴1m =±为所求．（2）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线：1y kx =-，即10kx y --=， ，即0x ky k ++=， 所以圆心(0,0)到直线：1y kx =-，即10kx y --=的距离所以直线被圆224x y +=所截的弦得222480k x x kx ++=，3. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=. （1）若点P 的坐标为，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程； （2）若2PF 垂直于轴，且椭圆C 的离心率，求实数λ的取值范围.【答案】（125]．试题解析：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2． …………………… 2分因为点P 的坐标为 (1解得b 2＝3．所以椭圆C …………………… 5分（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以，解得y 0＝，即P (c ，． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，1F Q ＝(x 1＋c ，y 1)．由1PF ＝λ1F Q ，得－2c ＝λ(x 1＋c )λy 1，解得x 1，y 1所以Q (，． ……………………11分因为点Q在椭圆上，所以2e21，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ……………………14分因为ee2λ≤5．所以λ5]． (16)分方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0．因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P(c，．……………………7分因为F1(－c，0)，故直线PF1的方程为y(x＋c)．(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c．设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－，即－c－x1＝……………………11分因为1PF＝λ1F Q，所以λ＝＝＝＝＝…………………… 14分 因为ee 2λ≤5． 所以λ5]． …………………… 16分 4. 【2017届高三七校联考期中考试】（本小题满分14分）已知椭圆C左准线方程是2x =-，设O 为原点，点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ． （1）求椭圆C 的方程；（2）求ΔAOB 面积取得最小值时，线段AB 的长度；yxBAO【答案】根据最值时k 的值，确定A ，B 坐标，根据两点间距离公式求线段AB 的长度 试题解析：(1)所以椭圆C4分 （2）由题意，直线OA 的斜率存在，设直线OA 的斜率为k ，若k ＝0，则A0)或(0)，B (0，2)，此时ΔAOBAB6分若k ≠0，则直线OA ：y ＝kx(1＋22k )2x ＝2，可得OA8分 直线OB ＝10分 S ΔOAB1， 12分 则S Δ所以S ΔOAB k ＝0时取得，此时AB ..........14分(注：若利用S ΔOABk ≠0的条件，求出答案的，本问给2分) 5. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】（本小题满分16分）4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为左准线上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q ，当最小时，求点T 的坐标．【答案】(2)()3,1-或()3,1--.（1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 所以椭圆C 的标准方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()()223,,,,,T m P x y Q x y -，因为()2,0F -，故直线PQ 的方程为：2x my =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 最小时，22x =即1m =或-1， 此时点T 的坐标为()3,1-或者()3,1--．．．．．．．．．．．．．16分6. 【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】在平面直角坐标系xoy 中，已知点()1,1,A P -是动点，POA ∆且的三边所在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且PQ OA λ=，直线OP 与QA 交与点M ，请问，是否存在点P 使得PQA ∆和PAM ∆的面积满足2PQA PAM S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()201y x x x =≠≠-且；(2)存在，()1,1.（1）设点(),P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=，．．．．2分 整理得轨迹C 的方程为()201y x x x =≠≠-且．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设()()221122,,,P x x Q x x ，由PQ OA λ=，可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，，即211x x =--， 直线OP 方程为：1y x x =．① 直线QA 的斜率为： 所以直线QA 的方程为：()()1121y x x -=--+，即()1121y x x x =-+--，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分点M 的横坐标为定值．．．．．．．．．．．．．．．8分 由2PQA PAM S S ∆∆=得2QA AM =，因为//PQ OA ，所以2OP OM =， 由2PO OM =，得11x =，所以P 的坐标为()1,1． 所以，存在点P 满足2PQM PAM S S ∆∆=，点P 的坐标为()1,1．．．．．．．．．．．．．．10分。