高三数学中档题训练31--35

高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.已知km，水流速度为km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中的速度大小为A．km/hB．km/hC．km/hD．km/h2.已知，若，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．3.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（）．A．直线、直线 B．圆、圆 C．直线、圆 D．圆、直线4.则( )A． B． C． D．5.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B． C． D．6.已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则等于（）A．24 B．32 C．48 D．647.已知上的偶函数满足，若时，，则（）A． B． C． D．8.函数的零点位于区间（）A． B． C． D．9.函数的图象大致为（）10.若向量=（1，1），=（-1,1），=（4，2），则向量=（）A ．3+B ．3-C ．-+3D ．+311.定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．12.函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．13.已知全集，集合或，，则集合=（ ）A ．B ．C ．D ．14.甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（ ） A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 15.设全集，集合，则=（ ）A ．B ．C ．D ．16.若, 则（ ）A ．1B ．C ．D ．17.已知函数在定义域上的导函数为，若无解，且，若在上与在上的单调性相同，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．18.下列四个命题正确的是（ ） ①设集合，，则“”是“”的充分不必要条件； ②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；③若是假命题，则，都是假命题；④命题：“，”的否定为：“，”．A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④19.设有一个正方形网格(线条宽度忽略不计，部分网格如图)，其中每个最小正方形的边长都等于.现用目前流通的直径是的—元硬币投掷到此网格上，则硬币完全落入网格内（与格线没有公共点）的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 20.已知定义域为的奇函数,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定二、填空题21.某几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为。

专题03�新定义下的实数运算（中档题、压轴题50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、新定义下的实数运算，中档题30题，难度三星1．规定一种新运算ab ad bc cd =-．（1）2345=；（2）若22233235x x x x M -++-+-=--，则M 的化简结果为．【答案】2-2221x x --【分析】本题考查了新定义的计算，解题关键是能熟练运用新定义中的计算规律结合实数的运算法则求解．（1）根据新定义运算法则即可求解；（2）根据新定义运算法则化简即可求解．【详解】解：（1）原式254310122=⨯-⨯=-=-．（2）由题意得：22523332M x x x x =--++-+-（+）（）2210515936x x x x =---+-2221x x =--．2．若一个各个数位的数字均不为零的四位数M 满足其千位数字与十位数字的和等于其百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”；将－个间位等和数的十位数字和个位数字去掉后剩下的两位数记作A ，千位数字和百位数字去掉后剩下的两位数记作B ，令()33A B F M +=，若四位数M 的千位数为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则()1573F =，如果()F M 为完全平方数（完全平方数就是这个数可以写成某个整数的平方，如，242=，所以4是完全平方数），那么M 的最小值为．【答案】83；1122．【分析】根据题意得出A 、B 的值，代入()33A B F M +=计算即可解答；由题意可知10A a b =+，10B c d =+，a c b d +=+，代入()33A B F M +=计算得到()3a c F M +=，根据()F M 为完全平方数且取M 的最小值，可得()1F M =，进而求出abcd ,,,的值，即可解答．本题考查了新定义运算，解题关键是读懂题意根据间位等和数的定义正确表示出A 、B ，再结合完全平方③[)1x x -≤，即最大值为1，该选项错误；④[)0.2x x -=不一成立，该选项错误；故答案为：①．4．定义：对于一个两位数x ，如果x 满足个位数字与十位数字互不相同．．．．，且都不为零．．．．，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为()S x ．例如，13a =，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为133144+=，和44除以11的商为44114÷=，所以(13)4S =．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：(65)S 的值；(3)若一个“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =，求相异数y ．【答案】(1)51(2)11(3)相异数y 是35【分析】本题考查了新定义整数的整除问题，根据定义计算是解题的关键．（1）先确定各数位上的数字，不同的才是“相异数”．（2）根据()S x 的定义计算即可．（3）用幂乘的方式表示相异数，再根据()S x 的定义计算即可．【详解】（1）∵40中有数字0，不符合定义，不是“相异数”，51中十位数字是5，个位数字是1，不同，是“相异数”，77中，十位数字和个位数字都是7，相同，不符合题意，故不是“相异数”．故答案为：51．（2）根据题意，得655621+=1，1211111÷=，故(65)11S =．（3）由“相异数”y 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8S y =得，()10211021811k k k k +-+-+=⨯，解得3k =，∴212315k -=⨯-=，∴相异数y 是35．5．定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算：A．1B．4C．6D【分析】（1）根据题目中所给的定义求解即可；（2）紧扣题目给出的定义，逐一判断即可;（3）根据[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，即[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，则有[]{}{}112x x x x =-=-，根据{}01x ≤<，可得[]11x 9<≤，即有[]10x =，或者[]11x =，问题随之得解．【详解】（1）根据题意：[]3.63=，即：{}[]3.6 3.6 3.60.6=-=，故答案为：3，0.6；（2）∵{}m 表示[]m m -的值，称为m 的小数部分，∴{}01x ≤<，即①正确；根据定义可得：[][]11x x +=+，即②正确；∵{}[]111x x x +=+-+，∴{}[][][]{}11111x x x x x x x x +=+-+=+--=-=，∴即③错误，∵[]x a =，[]{}x x x =-，∴{}a x x =-，∴{}x a x =+，∵{}01x ≤<，∴{}1a a x a ≤+<+，∴即④正确；故正确的有：①②④；（3）∵[][]11x x +=+，[]{}x x x -=，∴[]{}11x x x +=-+，∴[]{}2139x x x ++=-，可变为：{}(){}2139x x x x -++=-，整理：{}11x x -=，即：[]{}{}112x x x x =-=-，。

韶关市2024届高三综合测试（二）数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、学校和班级填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内和应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}116,07A x x B x x ⎧⎫=<≤=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{1x x ≤或}67x ≤≤B.{1x x ≤或}67x <<C.{1x x <或}67x ≤< D.{1x x <或}67x <≤【答案】B 【解析】【分析】先利用题给条件求得集合R A ð和集合B ，进而求得()A B R ð.【详解】{}16A x x =<≤，则{R 1A x x =≤ð或}6x >，又{}1077B xx x x ⎧⎫=<=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð{1x x ≤或}6x >{}7x x ⋂<={1x x ≤或}67x <<.故选：B2.设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//n α，则//m nC.若m α⊥，m β⊥，则//αβD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.【详解】对于选项A ：若//m α，//m β，则α与β平行或相交，故选项A 不正确；对于选项B ：若//m α，//n α，则m 与n 可平行、异面、或相交；故选项B 不正确；对于选项C ：若m α⊥，m β⊥，则//αβ,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故选项C 正确；对于选项D ：若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故选项D 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了线线平行、面面平行的判断，属于中档题.3.已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变【答案】D 【解析】【分析】根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对选项一一判断.【详解】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，显然极差由451233-=变成了351619-=，故A 项错误；原平均数为121622242537412343()13329595x ===++++++++，现平均数为162224253133351186()2777x '==≠++++++，故B 项错误；原方差为222222222221216222425391824[1333542799]5s ++++⨯=-=++++，现方差为222222222186162224253133357()11916[]7497s ++'+-⨯==+++，显然方差不同，故C 项错误；对于D 项，由19 2.254⨯=，知原数据的上四分位数是第三个数据22，又由17 1.754⨯=，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D 项正确.故选：D.4.过点()2,3P -作斜率为2-的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆222:(3)(2)(0)C x y r r -+-=>相切，则r =（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA ，进而求出点A ，利用反射光线的性质求出直线BA ，结合点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】如图，设经过点P 的直线交x 轴于点A ，反射直线与圆C 相切于点B ，直线:32(2)PA y x -=-+，即21y x =--，令0y =，解得12x =-，即1(,0)2A -，又0PA BA k k +=，所以2BA k =，所以直线1:02()2BA y x -=+，即210x y -+=，则点C (3,2)到直线直线:210BA x y -+=的距离为d ==，即r =.故选：D5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+⨯+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A.10000 B.10480C.10816D.10818【答案】C 【解析】【分析】设矩形场地的长为x 米，则40000410016W x x=++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设矩形场地的长为x 米，则宽为10000x米，1000040000(4)(4)4100161001610816W x x x x =++=++≥=，当且仅当400004x x=，即100x =时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为11081610816⨯=元.故选：C6.在ABC 中，13tan ,tan 45A B ==．若ABC．则最短边的长为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】求出tan 10C=-<，C 为钝角，故c =a b <，求出sin sin A C ,，由正弦定理求出答案.【详解】因为()13tan tan 45tan tan 10131tan tan 145A B C A B A B ++=-+=-=-=-<--⨯，又tan 0,tan 0A B >>，故,A B 为锐角，C 为钝角，故c =因为tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，tan tan A B <，故A B <，所以a b <，又sin 1tan cos 4A A A ==，22sin cos 1AA +=，解得sin A =2sin 2C =，由正弦定理得sin sin a c A C=，即122a =，解得a =.故选：A7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 的直线:340l x y m ++=与y 轴交于点B ，与双曲线C 交于点A （A 在y 轴右侧）．若B 是线段AF的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.33y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x=±【答案】C 【解析】【分析】利用题给条件得到,a b 的关系，进而得到双曲线C 的渐近线方程.【详解】设双曲线右焦点为2F ，连接2AF .又2AFF 中，2,FO OF FB BA ==，则22//,=2AF OB AF OB ,由直线:340l x y m ++=可得,0,0,34m m F B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,32m m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,32m b m c a =-=-，则有232b c a =，即232b ac=又222c a b =+，则有44224990b a a b --=，整理得223430b b a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解之得ba =则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =.故选：C 8.定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎩⎭⎩⎭的值是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则2211323(2)(3)M x y x y ≥+++，构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求出函数()f x 的最小值进而得23632M ≥，化简即可求解.【详解】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则22112,3,49M x M y M x y ≥≥≥+，得222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++，设21()(0)f x x x x =+>，则33322()1x f x x x-'=-=，令()00f x x '<⇒<<()0f x x '>⇒>所以函数()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增，故min 233()2f x f ==，即233()2f x ≥，得223333(2),(3)22f x f y ≥≥，所以2222233311336323(2)(3)(2)(3)222M x y f x f y x y ≥+++=+≥+=，得2322M ≥=，即2211min{max{2,3,}}49x y x y +=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求得M ≥即为题意所求.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A.若12=z z ，则12=±z z B.若21z z =，则2121z z z =C.若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D.若1z 是非零复数，则1110z z +≠【答案】BC 【解析】【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设1i z a b =+，则2i z a b =-，代入等式两边验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例1i z =对结论进行否定.【详解】对于A 项，若11i z =+，2z =，显然满足12=z z ，但12=±z z ，故A 项错误；对于B 项，设()1i ,R z a b a b =+∈，则2i z a b =-，2212(i)(i)=z z a b a b a b =+-+，故2212||z z a b =+而2221||z a b =+，故B 项正确；对于C 项，由2112z z z =可得：2112112()0z z z z z z =--=，因1z 是非零复数，故120z z -=，即12z z =，故C 项正确；对于D 项，当1i z =时，1z 是非零复数，但1111i i i 0iz z ==-++=，故D 项错误.故选：BC.10.设函数()22sin 3sin 1f x x x =-+，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 在[]2π,2π-上有6个零点C.()f x 的是小值为18- D.()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项A ；求得()f x 在[]2π,2π-上的零点个数判断选项B ；求得()f x 的最小值判断选项C ；举特例否定选项D.【详解】选项A ：函数()f x 定义域为R ，由()()()222sin3sin 12sin 3sin 1f x x x x x f x -=---+=-+=，可得()f x 是偶函数.判断正确；选项B ：当0x ≥时，()22sin 3sin 1f x x x =-+，由22sin 3sin 10x x -+=，可得1sin 2x =，或sin 1x =，则当[]0,2πx ∈时，π6x =或π2x =或5π6x =，又()f x 是偶函数，则当[]2π,0x ∈-时，π6x =-或π2x =-或5π6x =-，则()f x 在[]2π,2π-上有6个零点.判断正确；选项C ：当0x ≥时，()22312sin 3sin 12sin 48f x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，则当3sin 4x =时()f x 取得最小值18-，又()f x 是偶函数，则()f x 的最小值为18-.判断正确；选项D ：2πππ2sin 3sin 1111444f ⎛⎫⎛⎫⎛-=---+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，()202sin 03sin 011f =-+=则()π04f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递减.判断错误.故选：ABC11.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数分别为()(),f x g x ''，且()()4f x f x =-，()()()()14,10f x g x f x g x ''+-=++=，则（）A.()g x 关于直线1x =对称 B.()31g '=C.()f x '的周期为4 D.()()()0f n g n n ''⋅=∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A ；利用导数求导可得()(2)g x g x ''=--、(1)()0f x g x ''+-=，通过合理赋值即可判断BCD.【详解】由()(4)f x f x =-，得(1)(3)f x f x +=-①，(1)()4f x g x +-=②，得(3)(2)4f x g x ---=③，由①②③，得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 图象关于直线1x =对称，故A 正确；由()(2)g x g x =-，得()(2)g x g x ''=--，令1x =，得(1)0g '=；由(1)()4f x g x +-=，得(1)()0f x g x ''+-=，令1x =，得(2)(1)0f g ''==，∴(2)(1)0f x g x ''+-+=④，又()(1)0f x g x ''++=⑤，令2x =，得(2)(3)0f g ''==，故B 错误；④⑤两式相加，得(2)()0f x f x ''++=，得(4)(2)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，即函数()f x '的周期为4，故C 正确；由(2)()0f x f x ''++=，令2x =，得(4)(2)0f f ''+=，所以(4)0f '=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()()0()f g f g f g f g f n g n n ====''''''''=''=∈Z ，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式()(2)g x g x =-、(2)(1)0f x g x ''+-+=和(2)()0f x f x ''++=是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.三、填空题：本题共3小题、每小题5分、共15分．12.二项式()2nx -的展开式中，2x 项的系数是常数项的2.5倍，则n =___．【答案】5【解析】【分析】利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值.【详解】二项式()2nx -的展开式通项为C 2(1)rn rr r n x --，则2x 项的系数是22C 2n n -，常数项是0C 2nn ，由题意得2205C 2C 22n nn n -=，即2(1)52222n n n n --⋅=⋅，整理得2200n n --=，解之得5n =或n =-4（舍）故答案为：513.已知平面向量a b c 、、均为单位向量，且||1a b += ，则向量a 与b 的夹角为______，()()a b b c+⋅- 的最小值为______．【答案】①.2π3##120︒②.12-##0.5-【解析】【分析】由21a b += 可得12a b ⋅=- ，根据平面向量数量积的定义即可求出a 与b 的夹角；根据数量积的运算律可得1()()cos ,2a b b c b c +⋅-=-+ ，结合cos ,a b c + 的取值范围即可求解.【详解】由题意知，1a b c ===，由22221a b a a b b +=+⋅+= ，得12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-，又,],0π[a b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3；211()()()cos ,cos ,22a b b c a b b a b c a b c a b c a b c +⋅-=⋅+-+⋅=-++=-+ ，又cos ,[1,1]a b c +∈- ，所以11cos ,22a b c -+≥- ，当且仅当a b + 与c同向时，等号成立.所以()()a b b c +⋅-的最小值为12-.故答案为：2π3；12-14.在三棱锥-P ABC 中，侧面所在平面与平面ABC 的夹角均为π4，若2,4=+=AB CA CB ，且ABC 是直角三角形，则三棱锥-P ABC 的体积为______．【答案】14或12或34或32【解析】【分析】过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，根据题设可得π4OEP ∠=，ππ,44PFO PDO ∠=∠=，分O 为三角形的内心或旁心讨论，设ABC S t = ，利用几何关系得到V ，再根据条件得到C 在以,A B 为焦点的椭圆上，再利用ABC 是直角三角形，即可求出结果.【详解】如图，过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，因为PO ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以PO AC ⊥，又OE PO O ⋂=，,OE PO ⊂面POE ，所以AC ⊥面POE ，又PE ⊂面POE ，所以AC PE ⊥，故PEO ∠为二面角的平面角，由题知，π4OEP ∠=，同理可得ππ,44PFO PDO ∠=∠=，当O 在三角形ABC 内部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的内心，设ABC S t = ，则1()32t AB BC AC OD OD =++⋅=，得到3t OD =，所以3t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为21139ABC V S OP t == ；又因为42CA CB AB +=>=，所以点C 在以,A B 为焦点的椭圆上，如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，由题知，椭圆中的1,2,3===c a b 22143x y +=，设(,)C x y ，因为ABC 是直角三角形，当π2A =时，易知=1x -，此时32AC =，所以1322t AB AC =⋅=，得到21194V t ==，当π2B =时，易知1x =，此时32AC =，所以1322t AB BC =⋅=，得到21194V t ==，又因为3,1b c ==，故以O 为圆心，1为半径的圆与椭圆没有交点，即π2C ≠，综上所述，14V =；同理，当O 在三角形ABC 外部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的旁心，设ABC S t = ，则13()22t AB BC AC OD OD =+-⋅=，得到23t OD =，所以23t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为2121392ABC V S OP t === ；或1()2t BC AC AB OD OD =+-⋅=，得到OD t =，所以OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2113334ABC V S OP t === ；或11()22t AC AB BC OD OD =+-⋅=，得到2OD t =，所以2OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2123332ABC V S OP t === .故答案为：14或12或34或32.【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出ABC S t = 后，得出219V t =，再将问题转化到以,A B 为焦点的椭圆上来求ABC 的面积，即可解决问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()32ln f x ax x x=++在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴．（1）求实数a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意只需使()10f '=即可求得实数a ；（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.【小问1详解】由()32ln f x ax x x =++可得：()232f x a x x'=-+，由题意，()110f a -'==，解得1a =；【小问2详解】由（1）得()32ln f x x x x =++，(0)x >，则()22223223(3)(1)1x x x x f x x x x x+-+-=-+'==，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,1)上是减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上是增函数.故1x =时，函数()f x 有极小值为(1)4f =，无极大值.故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，函数有极小值为(1)4f =，无极大值.16.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X ，求X 分布列和数学期望．【答案】（1）1124（2）分布列见解析；()1E X =【解析】【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，分析可知A B C = ，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求()P B C ⋃即可.（2）根据题意判断144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【小问1详解】记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，所以有A B C = ，所以()13P B =，()111428P C =⨯=，所以()()()()11113824P A P B C P B P C =⋃=+=+=.【小问2详解】获得三等奖的次数为X ，X 的可能取值为0，1，2，3，4；记“获得三等奖”为事件D ，所以()11118424P D =+⨯=，所以()04413810C 44256P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131413271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22241354272C 44256128P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334131233C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()441314C 44256P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X1234P812562764271283641256显然144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，()1414E X =⨯=.17.如图，圆柱1OO 内有一个直三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱1OO的轴截面是边长为6的正方形，AB AC ==P 在线段1OO 上运动．（1）证明：1BC PA ⊥；（2）当1PA PB =时，求BC 与平面1A PB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析.（2）1111.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量BC 和1A P的坐标，由10A P BC ⋅= 得到1BC PA ⊥；（2）先由1PA PB =，得到点P 是线段1O O 的中点，求出BC 的一个方向向量和平面1A PB 的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为BC 与平面1A PB 所成角的正弦值.【小问1详解】连接AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ，1111A O B C ⊥ ，1OO 为圆柱的高，11111A O B C OO ∴、、两两垂直，以1O 为原点，过点1O 做11B C 平行线为x 轴，以11AO 为y 轴，以1O O 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系1O xyz -，116OO AA AN ===，30AB AC ==在ABC 中，由射影定理得2305AC AM AN AM =⋅=⇒=，2OM AM AO =-=，从而()223055CM BM ==-=，())()()10,3,0,5,2,6,5,2,6,5,0,0A B C BC ∴-∴=-，设()0,0,P λ，()10,3,A P λ∴=，10A P BC ∴⋅=，1BC PA ∴⊥.【小问2详解】由（1）可得，()5,2,6BP λ=--，()21,9546A P BP λλ∴=+++- ，得3λ=，即点P 是线段1O O 的中点，()10,3,3A P ∴=，()5,2,3BP =-- ，设平面1A PB 的一个法向量为(),,n x y z =，则330230y z y z +=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1y =，得,1,15n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设BC 的一个方向向量为()1,0,0m =，于是得：11cos ,11n m ==，设BC 与平面1A PB 所成角为θ，则11sin cos ,11n m θ==，所以BC 与平面1A PB 所成角的正弦值为1111.18.记R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()()*1n n n n f x x x n f x +=-'∈N 的数列{}n x 称为函数()f x 的“牛顿数列”.已知数列{}n x 为函数()2f x x x =-的牛顿数列，且数列{}n a 满足12,ln,11nn n n x a a x x ==>-.（1）求2a ；（2）证明数列{}n a 是等比数列并求n a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2(1)14n nn tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）4（2）证明见解析，2n n a =（3）2593t -≤≤【解析】【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；（2）对递推式变形结合对数运算求得12n na a +=，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为14(1)nn nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n 的奇偶性分别求解范围即可.【小问1详解】因为()2f x x x =-，则()21f x x '=-，从而有()()2212121n n n nn n n n n n f x x x x x x x f x x x +'-=-=-=--，由12,ln1n n n x a a x ==-，则112ln 1x x =-，则211e 1x x =-，解得212e e 1x =-则有124124e 2e 11x x x ==--，所以21221ln 2ln 411x x a x x ===--；【小问2详解】由2121nn n x x x +=-，则2221221211211121nn n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ++⎛⎫-=== ⎪--+-⎝⎭--，所以2111ln ln 2ln 2(1)111n n n n n n n n n x x xa a x x x x +++⎛⎫====> ⎪---⎝⎭，故12n na a +=（非零常数），且120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=；【小问3详解】由等比数列的前n 项和公式得：()12122212n n nS +-==--，因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，所以14(1)nn n t S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，则()22214141x g x x x-=-='，当(x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，当)x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 是增函数，又1226S S =<<=，且()29g =，()2563g =，()()62g g <，则()()min 2563g x g ==，当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+，所以当2n =时，253t ≤；当n 为奇数时，原式化简为14n nt S S -≤+，所以当1n =时，9t -≤，所以9t ≥-；综上可知，2593t -≤≤.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，,A B 是其左、右顶点，F 是其右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，PFB ∠的角平分线与直线AP 交于点T ．①求点T 的轨迹方程；②若TPF △面积为94，求0x ．【答案】（1）22143x y +=（2）014(0)21x y x =>= ；【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；（2）①易知当01x =时()4,3T ；当01x ≠时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线FT 、AT 方程，联立方程组，化简计算求出点T 的坐标，即可求解点T 的轨迹方程；②利用面积公式建立关于0x 的方程，化简计算即可求解.【小问1详解】由题意知，2221224c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】①：由（1）知，00(2,0),(2,0),(1,0),(,)A B F P x y -，设BFT θ∠=，则2PFB θ∠=，易知当01x =时，3(1,2P ，1FT k =，此时1:1,:12AP y x FT y x =+=-，由1121y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即()4,3T ；当01x ≠时，00tan 21FP y k x θ==-，0sin 2y PF θ==，设直线FT 的斜率为k ，则00003(2)1cos 211tan sin 2sin 2tan 22x k y θθθθθ--===-=，所以直线FT方程为003(2)(1)2x y x y -=-，又直线AT 方程为00(2)2y y x x =++，由00003(2)(1)2(2)2x y x y y y x x -⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩，得00003(2)(1)(2)22x y x x y x --=++，即22000000003(4)23(4)42(2)2(2)x y x y x x y x y ---+=++，解得22220000022220000031234(3)3(4)42(123)44313(4)21232(3)(123)42x x x y x x x y x x x -+--+-====------，将4x =代入直线AT 方程，得0062y y x =+，即06(4,)2y T x +，又000,22y x >-<<，所以0602y x >+，故点T 的轨迹方程为4(0)x y =>；②：由3AF =，得00000066113(22222TPF TAF PAF y y S S S AF y AF y x x =-=-⋅=-++ ，又94TPF S =，所以000693()422y y x =-+，得0006322y y x =-+，整理得0003(2)82x y x +=-，又0y =003(2)82x x +=-整理得320001035260x x x -+-=，即2000(1)(926)0x x x --+=，由022x -<<，解得01x =.【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点00(,)P x y 与直线FT 的斜率之间的关系，即003(2)2x k y -=是求出直线FT 方程的解题关键，表示出T x 的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.。

高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。

高三数学中档题+详细答案(全) 班级 姓名1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BFλ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.3． 已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与mS 2的大小，并说明理由！高三数学中档题训练27班级 姓名1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数2()f x ax bx c=++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M、m，集合{}|()A x f x x==.（1）若{1,2}A=，且(0)2f=，求M和m的值；（2）若{2}A=，且1a≥，记()g a M m=+，求()g a的最小值.4.设数列{}{},n na b满足1122336,4,3a b a b a b======，若{}1n na a+-是等差数列，{}1n nb b+-是等比数列.（1）分别求出数列{}{},n na b的通项公式；（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；（3）是否存在*k N ∈，使10,2k k a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级 姓名1、已知E F 、分别是正三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,D 是棱BC 的中点. 求证:(1)//EF 平面ABC ;(2)平面AEF ⊥平面1A AD .2．在平面区域2100,260,270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M ．（1）试求出⊙M 的方程；（2）过点P （0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为A ，B ；又过P 作⊙N ：x 2+y 2-4x +λy +4=0的两条切线，切点分别记为C ，D ．试确定λ的值，使AB ⊥CD ．3. 已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，．（1）求αβ，的值；（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln(12)n n n a b n a βα-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学中档题训练29班级 姓名1．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围2、已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg)(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．4．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练30班级 姓名1．若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点)(),(00x f y y x A =是图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －223,2)两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A (x 1 , y 1),B(x 2 , y 2)是函数f(x )=21+log 2x x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为21.⑴求M 点的纵坐标；⑵若S n =)(11∑-=n i n i f =f (1n )+f (2n )+…+f (1n n -),n ∈N *,且n ≥2，求S n ; ⑶已知a n =1231(1)(1)n n S S +⎧⎪⎪⎨⎪++⎪⎩(1)(2)n n =≥n ∈N *,T n 为数列{a n}的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n >1且n ∈N *都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,设()2ln ng x mx xx =--．（1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立；（2）试讨论关于x 的方程：()322nmx g x x ex txx --=-+ 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：（1）连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点.连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，MD ⊂平面BD A 1//1C B ∴平面BD A 1 . …………………………………………4′（2）B B AB 1=Θ，∴平行四边形11A ABB 为菱形，11AB B A ⊥∴， 又⊥1AC Θ面BD A 1B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB …………………………7′ 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥， ⊥∴11C B 平面A ABB 1. ……………………………………9′（3）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E=45°，且平面⊥BD A 1平面BDE .设AB=a ，CE=x，∴111A B AC =，1C E a x =-，∴1A E ==BE ∴在1A BEV 中，由余弦定理得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-，∴x =12a ，即E 是C C 1的中点. ………………………………………13′D Θ、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴.1AC Θ平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1.又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE . …………………………15′ 2．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最大值1（Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-B ()1F由11CF BFλ=得001x y λ==-，又 220014x y += 所以有2670λλ+-=解得舍去）01(7>=-=λλ．（Ⅲ） 因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，∴1PBF ∆的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．3．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数()()x f x f x -=-有，∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即220bx d -=恒成立 ∴0,0b d == …………4分∴,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+=， ∵1x =时，()f x 取极小值23-,∴2303a c a c +=+=-且， 解得1,31-==c a ………8分（2）当[1,1]x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,1222-=x k 且2212(1)(1)1x x -⋅-=-…………（*） …………13分1x Q 、2[1,1]x ∈-，2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分 4（本小题满分18分）⑴证明：∵当m n >时，总有dm n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当2≥n 时，dn S S S n n )1(11-+=--即,)1(1d n a a n -+= 2分且1=n 也成立 ………3分∴ 当2≥n 时，dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛na ｝是等差数列 …………5分⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=2)(4k n d-=……9分∴ ① 当0>d 时，k n S S +mS 2> ② 当0<d 时，k n S S +mS 2<③ 当0=d 时，k n S S +mS 2= ……10分 高三数学中档题训练271. 解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +， …………………………2'∴()2248t t ++=得2t =-，∴圆心坐标为()2,2-， …………………………4'所以圆的方程为()()22228x x ++-= ……………………………6'（2）由题意，椭圆中210a =，即5a =Q 29b =，∴216c =，∴()4,0F …………………………8'设(),P m n ，则()()224016m n -+-=，()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或 …………………………………………14' 2. 解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y =50n -[12n +n(n -1)2×4]-98=-2n 2+40n -98由y >0可得10n <10 ∵n ∈N *，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′(2)方案一：年平均盈利y 98=-2n -+40≤40=12n 2当且仅当982n =n 即n =7时取“＝”共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y =-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102 当n =10时，y max =102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. (1)由(0)22f c ==可知， ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2,,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′ []2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：（1）21322,1a a a a -=--=-由{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，故()12113n n a a n n +-=-+-⋅=- ……………………3'21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为12，故11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭ …………6'11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=27182n n -+ ………8'11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-+6=2+42n- …………………………………………………10'(2)由(1)题知,n a =27182n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3…12' （3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=27142n n -+-42n -10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 则0<27142n n -+-42n-12< 即2527132714n n n n n --+<<-+ …………15' ∵22713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52nZ -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在 ………………17'高三数学中档题训练282、证明：（1）连结11A B A C和，因为E F 、分别是侧面11AA B B和侧面11AA C C的对角线的交点，所以E F 、分别是11A B A C 和的中点…………………………………………4分所以//EF BC ，且BC 在平面ABC 中，而EF 不在平面ABC 中，故//EF 平面ABC (7)分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，∴1BC A A⊥，故由//EF BC 得1EF A A⊥……9分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，∴BC AD ⊥，故由//EF BC 得EF AD ⊥，……11分 而1A A AD A=I ，1,A A AD ⊂平面1A AD，所以EF ⊥平面1A AD，又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD .……………………………………14分2. （1）设⊙M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r ＞0)，则点(a ，b )在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分（未能去掉绝对值，每个方程给1分）解得 a =3，b =4，r(x -3)2+(y -4)2=5． …………………10分（2）当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因13PM k =，故λ3232PNk --==-，解得λ=6． …………………………18分当λ=6时，P 点在圆N 外，故λ=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）3. 解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0x >Q ，12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴函数()f x 只有一个零点．（2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞， 所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1x a >．此时()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即12x a >-·此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221()a x ax f x x -++'∴=由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．① 当0a =时，10≤不合题意② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞U4. (1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=(2) ()21f x x '=+221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(221122112n n n n n n n nn n a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭⎝⎭∴12n nb b += 又111lna b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为14ln2+，公比为2的等比数列；∴)()12242112n n n S -==--高三数学中档题训练291．解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．2.（1）14922=+y x …………7分 （2）02598=+-y x …………7分3．（本小题满分16分）解：（1）),0()0,(+∞-∞=Y D ，若M xx f ∈=1)(，则存在非零实数0x ，使得111100+=+x x ，……（2分）即0102=++x x ，……（3分） 因为此方程无实数解，所以函数M xx f ∉=1)(．……（4分） （2）R D =，由M b kx x f ∈+=)(，存在实数0x ，使得 b k b kx b x k +++=++00)1(，……（6分） 解得0=b ，……（7分）所以，实数k 和b 的取得范围是R k ∈，0=b ．……（8分） （3）由题意，0>a ，R D =．由M x ax f ∈+=1lg)(2，存在实数0x ，使得 2lg 1lg 1)1(lg2020ax a x a =+=++，……（10分） 所以，)1(21)1(20220+=++x a x a ， 化简得0222)2(202202=-++-a a x a x a a ，……（12分）当2=a 时，210-=x ，符合题意．……（13分） 当0>a 且2≠a 时，由△0≥得0))(2(84224≥---a a a a a ，化简得0462≤+-a a ，解得]53,2()2,53[+-∈Y a ．……（15分）综上，实数a 的取值范围是]53,53[+-．……（16分）4．解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x -'=-=，令()0g x '=，得2x=，列表如下：∴()g x 在x 处取得极小值， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练301．解析：解：（1）)42sin(23212sin 2122cos 1)(π+-=--=ax ax ax x f 3分由于y=m 与)(x f y =的图象相切，则221221-=+=m m 或； 5分（2）因为切点的横坐标依次成公差为2π等差数列，所以42,2=∴=a T π).21,167()21,163(,21),(21640),(164)(44,0)44sin(.21)44sin(22)(000πππππππππππ或点或得由则令A k k Z k k Z k k x Z k k x x x x f ∴==∈≤-≤∈-=∴∈=+=+++-=2．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n,＞0且m≠n) ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1229=+n m …………………4分∴m=41,91=n ………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 14922=+y x …………………………………………7分（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2+y 2,又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92x ),∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92x )=95(x-59a)2+4-54a 2(|x|≤3)，…………………10分 若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2，依题意，4-54a 2=1 ，∴a=215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;………………………………………12分 若,359〉a 即335＜a＜时，当x=3时,|AP|2的最小值为（3-a ）2,（3-a ）2=1,∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）.…………16分3.解:(1) ∵x 1+x 2=1,∴y M =2)()(21x f x f +=21log 1log 1222112x xx x -+-+=21； 4分(2) ∵对任意x ∈(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(i n )+f(1-i n )=1,即f(i n )+f(n in -)=1而S n =)(11∑-=n i n i f =f （1n )+f(2n )+…+f(1n n -),又S n =)(11∑-=n i n i f =f(1n n -)+f(2n n -)+…+f(1n )两式相加得2S n =n-1,∴S n =21-n . 10分(3) n≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ22+n ,λ>n n 444++,而n n 444++≤4424+⋅n n =21，等号成立当且仅当n=2,∴λ>21. 16分4．（本小题满分16分）（1）由k=11=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1 ∴()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--． ———2′∴()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增函数，∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立．———6′（2）方程()322nmx g x x ex tx x --=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2xx ex tx =-+． 令22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，21ln ()2xL x x -'=Q ，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，当e x =时，max 2()().L x L e e == ———11′ ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当2222,t e e e e ->>+即t 时，方程无解． ②当2222,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根． ③当2222,t e e e e -<<+即t 时，方程有两个根．—16′15、。

高三数学天天练（20）班级 姓名 日期1、 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 .2、在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是 .3、已知函数1()31f x x a =-+．若对x ∀∈Z 都有()(3)f x f ≥，则实数a 的取值范围是 ．4、已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7sin()9αβ+=. (Ⅰ) 求cos β的值； (Ⅱ) 求sin α的值.5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：EF ⊥平面PDC .6、已知等差数列{}n a 满足：158,0a a ==。

数列{}n b 的前n 项和为1*12()2n n S n N -=-∈ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n a n c =，试问：是否存在正整数n ，使不等式1n n n n b c b c +>+成立？若存在，求 出相应n 的值；若不存在，请说明理由。

7、如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴AB 长为4，离心率e =O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足， 延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．1、[7,16) 3、(]1013， 4、解：（Ⅰ）因为(,)2πβπ∈,cos 0β<…………………………2分又27cos 22cos 19ββ=-=-,所以1cos 3β=-……………6分（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin β== 8分而3(,)22ππαβ+∈,且7sin()9αβ+=,所以42cos()αβ+==分故sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+………………………12分=711()(93933⨯---⨯=…………………………………… 5、证明：（Ⅰ）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA且P A ⊂平面P A D ，E F ⊄平面P A D ，∴E F ∥平面P A D（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA又，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD而C D ∩P D =D ，∴ P A ⊥平面P D C ，又E F ∥P A ，所以E F ⊥平面P D C6、解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由5114a a d =+，得12d =-，得210n a n =-+．…2分由数列{}n b 的前n 和为()1122n n S n N -*=-∈可知，当1n =时，1112b S ==， 当2n ≥时，212n n n n b S S --=-=， 22n n b -=当1n =时，得112b =， 故数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+,{}n b 的通项公式为22n n b -=．………………………6分（2）假设存在正整数n 使不等式1n n n n b c b c +>+成立，即要满足(1)(1)0n n c b -->, 由1025224na n n n c --===，22n nb -=，所以数列{}n c 单调减，数列{}n b 单调增，…………………………8分①当正整数1,2n =时，2210n --≤，所以1n n n n b c b c +>+不成立；……………10分 ②当正整数34n =,时，10,10n n c b ->->，所以1n n n n b c b c +>+成立；………………12分 ③当正整数5n ≥时，10,10n n c b ->-≤， 所以1n n n n b c b c +>+不成立. 综上所述，存在正整数34n =,时，使不等式1n n n n b c b c +>+成立.………………14分7、解：（1）由题设可得24,c a a ==，解得2,a c ==，所以 1b =所以 椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设()00,P x y ，则220014x y +=． 因为 HP PQ =，所以 ()00,2Q x y ．所以2OQ =．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且220014x y +=． 又()2,0A -，所以 直线AQ 的方程为()00222y y x x =++．令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，所以 0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．所以 ()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ．所以 ()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．所以 OQ NQ ⊥．所以 直线QN 与圆O 相切．。

湖北省襄阳市第五中学2024年高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．123．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣24．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2807．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．8．已知函数()(1)(2)x ef x m x x e -=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为（ ）A ．32e e+B ．22e e +C ．32e e -D ．22e e -9．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞12．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．93B ．123C ．163D ．183二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届华中师大一附中高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i2．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．2535- B ．535- C ．535+ D ．2535+ 4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π6．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C 23D 4311．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2B ．1C ．2D 512．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。

高三数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.函数的图象可能是（ ）2.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )3.设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D ．4.已知圆的弦AB 的中点为，直线AB 交x 轴于点P ，则A ．4B ．5C ．6D ．85.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种7.复数满足，则（）A． B．2 C． D．8.已知函数，则实数a等于A． B． C．2 D．99.若集合，，则集合=（）A．B．C．D．10.执行右边的程序框图，若，则输出的A． B． C． D．11.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．12.三棱锥中，，是等腰直角三角形，.若为中点，则与平面所成的角的大小等于( ) A． B． C． D．13.设函数，若，则下列不等式必定成立的是A． B． C． D．14.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为（）A． B．2 C． D．15.为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位16.已知复数则｜z｜＝（）A． B． C．3 D．217.已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．或C．或D．或18.下列函数中，是偶函数，且在区间内单调递增的函数是（）A． B． C． D．19.已知函数，则与两函数图象的交点个数为（）A． B． C． D．20.抛物线的内接ABC的三条边所在直线与抛物线均相切，设A，B两点的纵坐标分别是，则C点的纵坐标为（）A． B． C． D．二、填空题21.如图所示，AB 和AC 分别是圆O 的切线，且OC=3，AB=4， 延长AO与圆O 交于D点，则△ABD 的面积是_______.22.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．23.设，函数的值域为.若，则的取值范围是 . 24.已知向量满足，则的取值范围为 ；25.如图是棱长为的正方体，是高为的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为___．26.给出下列四个命题： ①命题“”的否定是“”；②是空间中的三条直线，的充要条件是且；③命题“在中，若，则”的逆命题为假命题； ④对任意实数，有，且当时，，则当时，.其中的真命题是_______.（写出所有真命题的编号）27.如图，为测量坡高，选择A 和另一个山坡的坡顶C 为测量观测点。

高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。

湘潭市第一中学2022年下学期期中考试高三数学一､单选题：（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合U A B ⋂=（）ðA.{}3 B.{}2,5 C.{}1,4,6 D.{}2,3,5【答案】B 【解析】【详解】{}2,3,5A =,{}2,5U B =ð,则{}2,5U A B ⋂=（）ð,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知i 为虚数单位，则12i2i++在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.【详解】由()()()()12i 2i 12i 43i 43===2i 2i 2i 555+-+++++-,所以在复平面对应的点为4355⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限.故选：A3.在等差数列{a n }中，若24681080a a a a a ++++=，则7812a a -=.A.4 B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【详解】a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80,所以6678666111580,16,(2)8222a a a a a d a d a ==∴-=+-+==.4.已知向量a =（1，2），b =（2，x ），若a ⊥b ，则|2a +b|=（）A. B.4C.5D.【答案】C 【解析】【分析】根据a b ⊥求出x 的值，再利用向量的运算求出2a b ⊥ 的坐标，最后利用模长公式即可求出答案．【详解】因为a b ⊥ ，所以1212·1220,a b x x y y x =+=⨯+=解得=1x -，所以()()2212,2214,3a b +=⨯+⨯-= ，因此25a b +== ，故选C．【点睛】本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质．5.某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间x （单位：小时）与工资y （单位：元）之间的关系如下表：x24568y3040506070若y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx a =+，预测当工作时间为9小时时，工资大约为（）A.75元B.76元C.77元D.78元【答案】B 【解析】【分析】由样本中心点可求得a ，将9x =代入回归直线即可求得结果.【详解】由表格数据知：2456855x ++++==，3040506070505y ++++==，6.55032.517.5a y x ∴=-=-=，∴线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，6.5917.576∴⨯+=，即当工作时间为9小时时，工资大约为76元.故选：B.6.若1sin cos 5αα+=，0απ<<，则sin 2cos 2αα+=（）A.1725B.1725- C.3125 D.3125-【答案】D【解析】【分析】将1sin cos 5αα+=两边同时平方得到242sin cos 25αα=-，进而可以缩小角的范围，得到324ππα<<，从而得到322αππ<<，然后结合二倍角以及同角的平方关系即可求出结果.【详解】将1sin cos 5αα+=两边同时平方，112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，因此，sin ,cos αα异号，故2απ<<π，且sin cos 0αα+>，则324ππα<<，因此322αππ<<，而24sin 22sin cos 25ααα==-，7cos 225==-α，所以24731sin 2cos 2252525⎛⎫+=-+-=- ⎪⎝⎭αα，故选：D.7.如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，1AF =，2AB =，则三棱锥C ABG -外接球的表面积是（）A.6πB.8πC.10πD.12π【答案】B 【解析】【分析】取AC 中点O ，由面面垂直性质可证得BC ⊥平面ABEF ，由此可得AG BC ⊥；由勾股定理可证得AG BG ⊥，由线面垂直的判定可知AG ⊥平面BCG ，由此可得AG CG ⊥，根据直角三角形的性质可证得O 即为三棱锥C ABG -的外接球球心，半径为12AC ，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】取AC 中点O ，连接,OB OG ，平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABEF ，AG ⊂ 平面ABEF ，BC AG ∴⊥；1AF =Q ，2AB =，G 为EF 中点，AG BG ∴==，222AG BG AB ∴+=，AG BG ∴⊥，又BC BG B = ，,BC BG ⊂平面BCG ，AG ∴⊥平面BCG ，CG ⊂ 平面BCG ，AG CG ∴⊥，,ABC AGC 均为以AC 为斜边的直角三角形，O 为斜边AC 中点，OA OB OC OG ∴===，O ∴为三棱锥C ABG -的外接球球心，∴三棱锥C ABG -的外接球半径12R AC ===，∴三棱锥C ABG -的外接球表面积24π8πR ==.故选：B.8.已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A.21e ,2⎡⎤--⎣⎦B.213,e∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C.213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D.2211e ,3e⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【详解】因为函数21y x =+与函数21y x =--的图象关于x 轴对称，根据已知得函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象与函数21y x =--的图象有交点，即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即22ln 1a x x =--在1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解．令()22ln 1gx x x =--，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22212222x x g x x x x x--'=-==，可知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减，故当1x =时，()()max 12g x g ==-，由于21e e 13g ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2e e 1g =-，且2211e3e -->-，所以212e a -≤≤-．故选：A ．二､多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得52分，有选错的得0分）9.以下关于函数()sin 22f x x x =的命题，正确的是（）A.函数()y f x =的最小正周期为πB.点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C.直线3x π=的函数()y f x =图象的一条对称轴D.将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到的函数的图象关于原点对称【答案】AD 【解析】【分析】整理可得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入周期公式，可判断A 的正误，根据212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断B 的正误，根据03f π⎛⎫=⎪⎝⎭可判断C 的正误，求得平移后的解析式，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】由题意得()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，所以A 对．2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以B 错．2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 错．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应的函数为2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，所以D 对．故选：AD ．10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M xy )在抛物线C 上，若||4MF =，则（）A.03x =B.0y =C.||OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.【详解】由题可知()1,0F ,由014MF x =+=，2004y x =，所以03x =，0y =±.||OM ===故选：AC ．11.已知函数()sin cos f x x x =-，若()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极大值点，则0x 是函数()g x 的极小值点C.把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图象D.函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数【答案】AD【解析】【分析】A.利用正弦函数的性质求解判断；B.利用函数()f x 的极值点定义求解判断；C.利用三角函数的平移变换判断；D.利用正弦函数的性质求解判断；【详解】因为()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()()cos sin 4g x f x x x x π⎛⎫'==+=+ ⎪⎝⎭，()sin cos 4g x x x x π⎛⎫'=-+=- ⎪⎝⎭A.因为函数()f x 的值域是⎡⎣，()g x 的值域是⎡⎣，故正确；B.若0x 是函数()f x 的极大值点，则()()0000cos sin 0g x f x x x '==+=，解得04x k ππ=-，k 为奇数，而()002g x k ππ⎛⎫'=-=≠ ⎪⎝⎭，所以0x 不是函数()g x 的极小值点，故错误；C.把函数()f x 的图象向右平移2π个单位得到()()sin()cos(cos sin 222f x x x x xg x πππ-=---=--≠，故错误；D.当,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,0,0,4242x x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 和()g x 都是增函数，故正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：讨论三角函数性质时，关键是先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．利用三角函数的性质求解.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，则下列结论正确的是（）A.BO AC⊥ B.BO ∥平面1ACD C.点B 到平面1ACD 的距离为33D.直线BO 与直线1AD 的夹角为3π【答案】ABC 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面，可判断A ;连接BD ,交AC 于E ,连接1D E ，证明1BO D E ∥，根据线面平行的判定定理，可判断B ;利用等体积法，求得点B 到平面1ACD 的距离，判断C ;采用作平行线的方法，求出直线BO 与直线1AD 的夹角，可判断D .【详解】对于A ，如图，连接1111,B D A C ,则1111,B D A C 交于点O ,正方体1111ABCD A B C D -中，111,AC A C BB ⊥∥平面111111,A B C D A C ⊂平面1111D C B A ,故111A C BB ⊥,而11111111111,,,A C B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 平面11BB D ,故11A C ⊥平面11BB D ,故AC ⊥平面11BB D ，而BO ⊂平面11BB D ,故AC BO ⊥，即BO AC ⊥，故A正确；对于B ，连接BD ,交AC 于E ,连接D E ,则11,BE OD BE OD =∥,故四边形1BOD E 是平行四边形，故11,BO D E D E ⊂∥平面1,ACD BO 不在平面A 1,故BO ∥平面1ACD ，故B 正确；对于C ，设点B 到平面1ACD 的距离为d ,因为11ABC D B ACD V V --=,故1111111sin 603232d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ，解得33d =，故C 正确；对于D,连接1BC ,则111AD BC OBC ∠∥，即为直线BO 与直线1AD 的夹角或其补角，在1BOC △中，112622B O BO BC ====,所以2221111312322cos 22BO BC OC OBC BO BC +-+-∠==⋅,则16OBC π∠=,故D 错误，三､填空题（每题5分，共20分）13.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.【答案】35；【解析】【分析】根据二项式定理的通项公式1C rn rr r n T ab -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r rr T C x -+=，令734-=⇒=r r 所以3x 的系数是4735C =故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.14.如图，直线l 是曲线()y f x =在5x =处的切线，则()()55f f '+=___________.【答案】7【解析】【分析】根据直线l 所过点可得斜率，即为()5f '，结合()55f =即可得到结果.【详解】 直线l 过点()0,5-，()5,5，∴直线l 斜率55250k +==-，又直线l 是()y f x =在5x =处的切线，()52f '∴=，又()55f =，()()55527f f '∴+=+=.故答案为：7.15.已知(),P a b 为圆22:2440C x y x y +--+=上任意一点，则11b a -+的最大值是______.【答案】43【解析】由题意，11b a -+表示圆C 上的点(),P a b 与圆外的点()1,1Q -连线的斜率.当过点()1,1Q -的直线与圆C 相切时，11b a -+取最值，即得最大值.【详解】把圆22:2440C x y x y +--+=化为标准式()()22121x y -+-=，圆心()1,2C ，半径1r =.则11b a -+表示圆C 上的点(),P a b 与圆外的点()1,1Q -连线的斜率.设过点()1,1Q -的直线方程为()11y k x -=+，即10kx y k -++=.当直线10kx y k -++=与圆C 相切时，斜率k 取最值.1=，解得0k =或43k =.11b a -∴+的最大值是43.故答案为：43.【点睛】本题考查斜率的几何意义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.16.已知椭圆()22221x y a b a b+=>>与抛物线()240y px p =>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率是___________.【答案】1-##1-+【解析】【分析】由(),0F p 可得222a b p =+，结合抛物线方程可得A 点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率e 的方程，结合()0,1e ∈可解方程求得结果.【详解】由题意知：(),0F p 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦点，222a b p ∴=+；AF x ⊥ 轴，(),2A p p ∴或(),2A p p -，代入椭圆方程得：222241p p a b+=，2222241p p a a p ∴+=-，又椭圆的离心率p e a =，222222224411p p e e a a p e ∴+=+=--，解得：(2231e =±=±，又()0,1e ∈，1e ∴=.1.四､解答题（本大题共6小题，共70分，解题应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2n n n a b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n n a a ++=+，可得证明.（2）由（1）知：2n n na b n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明.【详解】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n n a a ++=+又12a =，故112a =∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列.（2）由（1）知：2n n n a b n ==∴()1111111n n b b n n n n +==-++∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n =-<+∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b C c B π=-.（1）求角B ；（2）若b =4，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）12.【解析】【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值【小问1详解】因为sin cos(6b C c B π=-，则1sin sin )22b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin (sin )22B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =，又()0,πB ∈，解得π3B =，所以π3B =.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=，而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”，因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12，所以ABC 周长的最大值为12.19.2022年8月7日是中国传统二十四节气“立秋”，该日，“秋天的第一杯奶茶”再度出圈，据此，学校社会实践小组随机调查了该地区100位奶茶爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.（1）估计奶茶爱好者的平均年龄；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）估计奶茶爱好者年龄位于区间[)2060,的概率；（3）以频率替代概率进行计算，若从该地区所有奶茶爱好者中任选3人，求3人中年龄在30岁以下的人数X 的分布列和期望.【答案】（1）21.4岁（2）0.48（3）分布列见解析，数学期望为125【解析】【分析】（1（2）根据频率分布直方图可计算得到[)2060,的频率，用频率估计概率即可；（3）根据频率分布直方图可计算得到年龄在30岁以下的频率，可得43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据二项分布数学期望计算公式可求得期望.【小问1详解】由频率分布直方图估计奶茶爱好者的平均年龄为：()50.016150.036250.028350.010450.008550.00210x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯21.4=（岁）.【小问2详解】由频率分布直方图得：奶茶爱好者年龄位于区间[)2060,的频率为()100.028100.010100.008100.0020.48⨯+⨯+⨯+⨯=，由频率估计概率可知：奶茶爱好者年龄位于区间[)2060,的概率为0.48.【小问3详解】由频率分布直方图得：从该地区所有奶茶爱好者中任选1人，年龄在30岁以下的概率为()40.0160.0360.028100.85++⨯==，43,5X B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()31105125P X ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭；()21314121C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()22314482C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()346435125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；X ∴的分布列为：X 0123P 1125121254812564125则数学期望()412355E X =⨯=.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，PC BC ==.M 为BC 上的点，且AM ⊥平面PDB ；（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A PM B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用勾股定理、平行关系和线面垂直性质可得PD AB ⊥，AM PD ⊥，由线面垂直的判定可证得结论；（2）根据线面垂直性质可得AM BD ⊥，根据角度和长度关系可证得M 为BC 中点，以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】1PD DC == ，PC =222PD DC PC ∴+=，PD DC ∴⊥，又//AB CD ，PD AB ∴⊥；AM ⊥ 平面PDB ，PD ⊂平面PDB ，AM PD ∴⊥；AB AM A = ，,AB AM ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】AM ⊥ 平面PDB ，BD ⊂平面PDB ，AM BD ∴⊥，π2MAB DBA MAB AMB ∴∠+∠=∠+∠=，DBA AMB ∴∠=∠，tan tan AMB DBA ∴∠=∠，即AD AB AB BM ==2122BM BC ∴==，M ∴为BC 中点，以D 为坐标原点，,,DA DC DP 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则)A ，()0,0,1P ，2,1,02M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)B ，)1PA∴=-，12PM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，)1PB=-，设平面APM的法向量(),,n x y z=，则202PA n zPM n x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令x=，解得：1y=，2z=，)n∴=；设平面BPM的法向量(),,m a b c=，则202PM m a b cPB m b c⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=+-=⎩，令1b=，解得：0a=，1c=，()0,1,1m∴=；314cos,14m nm nm n⋅∴<>==⋅，sin,14m n∴<>==；即二面角A PM B--的正弦值为14.21.已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点(4,0)F到渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程．（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于,A B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线,PA PB的距离相等?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）221412x y-=（2）存在()1,0P．【解析】【分析】（1）利用点线距离公式及222c a b=+即可求得b=，从而求得双曲线C的方程；（2）假设存在点(),0P n，据题意设():40AB x my m=+≠，联立方程得到12y y+，12y y，再由点F到直线,PA PB的距离相等可得0PA PBk k+=，由此代入式子即可求得1n=，故存在()1,0P.【小问1详解】由题意得，4c=，故22216a b c+==，又因为双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，故0bx ay +=是双曲线C 的一条渐近线，所以右焦点(4,0)F=，解得b =，所以212b =，22164a b =-=，所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=．【小问2详解】假设存在(),0P n ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知，直线斜率不为0，设直线():40AB x my m =+≠，联立2241412x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得()223124360m y my -++=，则2310m -≠，()()()222244363114410m m m ∆=-⨯-=+>，且1222431m y y m +=--，1223631y y m =-，因为使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是APB ∠的角平分线，则0PA PB k k +=，即12120y y x n x n+=--，则()()1221440y my n y my n +-++-=，整理得()()1212240my y n y y +-+=，故()2242423603131n m m m m -⨯⨯-=--，即()340m m n --=，因为0m ≠，所以1n =，故存在()1,0P ．22.已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R .（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a .【答案】（1）单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞；（2）222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e--≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.【解析】【分析】（1）根据(2)0f '=，求出8a =-，再根据导数与函数单调性的关系即可求解.（2）求出(4)(1)()x a x g x x --'=，令()0g x '=，解得4a x =或1x =，讨论14a ≤、14a e <<或4a e ≥，判断函数在区间[1,]e 上的单调性，根据单调性即可求出函数的最值.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，244()44a x x a f x x x x-+'=+-=.因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02a f -+'==，解得8a =-，所以24484(2)(1)()x x x x f x x x---+'==，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为()(2,)+∞.（2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x --'=+--=，令()0g x '=，得4a x =或1x =.①当14a ≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--；②当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭；③当4a e ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数，所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-.综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e--≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是确定函数在区间[1,]e 上的单调性，考查了分类讨论的思想以及运算求解能力.第20页/共20页。

高三数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若，，则等于（）A． B． C． D．2.在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.23.下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行4.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数5.某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（）A．10辆A型出租车，40辆B型出租车B．9辆A型出租车，41辆B型出租车C．11辆A型出租车，39辆B型出租车D．8辆A型出租车，42辆B型出租车,且满足x+4y=40,则lgx+lgy的最大值为()6.设x,y∈R+A．40 B．10 C．4 D．27.已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8.函数的定义域为（）A． B． C． D．9.一个容量为66的样本，其数据的分组及各组相应的频数如右表所示，则根据表中数据可估计总体中数据落在的概率等于( )A. B.C. D.10.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2，4)，=(1，3)，则=A．8 B． 6 C．6 D．811.若，其中t∈（0，π），则t=( )A． B． C． D．12.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A． B． C． D．13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．-1 B．1 C．-2 D．214.设；，若┑p是┑q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．15.已知正数，满足，则的最小值为（）A． B．4 C． D．816.将函数的图象向左平移m（m>0）个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B． C． D．17.已知函数<<,则（）A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不大于零18.已知函数的部分图象如图所示，，则正确的选项是（）A ．B ．C ．D ．19.下列说法不正确的是（ ）A ．若“p 且q”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“”的否定是“”C ．“”是“为偶函数”的充要条件D ．当时，幂函数上单调递减20.若集合，且，集合B 的可能是（ ） A ．B ．C ．D ．R评卷人 得 分二、填空题 21.[2014·珠海联考]已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________． 22.给出如下四个结论： ①存在使②存在区间（）使为减函数而＜0③在其定义域内为增函数④ 既有最大、最小值，又是偶函数 ⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是______________23.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为、，则的概率为24.(理)袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求摸出2个或3个白球的概率 25.直三棱柱中，,规定主视方向为垂直于平面的方向，则可求得三棱柱左视图的面积为 ；26.曲线与直线在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3， ，则|P 2P 4|＝________．27.设表示和的较小者，则函数的最大值为_______ 28.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是 ．29.函数在点（1，e ）的切线方程为_______。

高三数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知双曲线的左焦点是，离心率为，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点，若在抛物线上，则 A ．B ．C ．D ．2.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝－f(－x)，且当1<x<2时，恒有f(x)>0，则f(－1.5)一定不等于( )A ．－1.5B ．－2C ．－1D ．13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：毫克/升）不断减少，已知p 与时间t （单位：小时）满足关系：，其中为t=0时的污染物数量，又测得当t=30时，污染物数量的变化率是，则p(60)=A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln2 毫克/升D ．300ln2毫克/升 4.的值为（ ） A ． B ．C ．D ．5.已知函数，则（ ）A ．4B ．C ．－4D ．－6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的（ ）A．15 B．29 C．31 D．637.如图，在中，，延长到，使，若，则的值是（）A． B． C． D．8.若集合是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.设，则a，b，c的大小关系是A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b> c>a10.正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，过作一平面，使得平面平面，则平面截正方体的表面所得平面图形为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.已知F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且PF2⊥F1F2，PF1与y轴交于点Q，点M满足．若MQ⊥PF1，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．12.设，则的值为( )A． B． C． D．13.命题“x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．x∈Z，使x2+2x+m>0B．不存在x∈Z，使x2+2x+m>0C．对x∈Z使x2+2x+m≤0D．对x∈Z使x2+2x+m>014.设复数（为虚数单位），则对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15.设为虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B．1 C． D．216.复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A． B． C． D．17.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β18.已知为虚数单位，若复数（）的虚部为-3，则（）A． B． C． D．519.已知函数，则满足条件的整数对（a，b）共有A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个20.的展开式中？x5的系数为_____二、填空题21.甲、乙两同学决定利用“剪刀、石头、布” 的划拳方式来确定由谁去参观科技展览活动，规则如下：“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头” “石头”赢“剪刀”；只划拳一次. 若分出胜负, 胜者参加；若没有分出胜负, 即划的拳一样, 则两人一起参加, 那么甲去参观科技展览活动的概率为．22.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离为.23.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= ；Sn=24.已知,坐标原点在上的射影为点，则 .25.二项式的展开式中，含的项的系数是，若满足，则的取值范围是__________．26.不等式的解集为。

高三数学三角函数试题1.已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，,且2x+10y=5，则边BC的长为.【答案】4【解析】分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，∵O是锐角△ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC．由此可得在Rt△AOD中，c o s∠OAD=，∴==18.同理可得=50．∵，∴等式的两边都与作数量积，得，化简得18=36x+y，①同理，等式的两边都与作数量积，化简得50=x+100y，②又∵根据题意知2x+10y=5，③∴①②③联解，可得=20，x=且y=.∴AC·AB c o s∠A=20，即10×6c o s∠A=20，c o s∠A=，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC c o s∠A=96,BC=4.【考点】1.三角形外接圆的性质；2.锐角的三角函数在直角三角形中的定义；3.向量量的数量积公式和方程组的解法.2.定义运算a⊕b=ab2+a2b,则sin15°⊕cos15°=()A．B．C．D．【答案】A【解析】根据新定义可得sin15°⊕cos15°=sin15°(cos15°)2+(sin15°)2cos15°,即sin15°⊕cos15°=sin15°cos15°(sin15°+cos15°),由sin15°cos15°=sin30°=,且(sin15°+cos15°)2=1+sin30°=,所以sin15°+cos15°=,sin15°⊕cos15°=,所以选A.3.若将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A．1B．2C．D．【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，由题意可得+2kπ，k∈z，解得w=，则w的最小值为，故选D．【考点】本题主要考查函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律点评：由 y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数解析式，属于中档题4.若关于x的不等式在闭区间上恒成立，则实数的取值范围是：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵关于x的不等式|cos2x|≥asinx在闭区间恒成立，故||≥asinx在闭区间上恒成立．设sinx=t，则||≥at，其中t∈．作出f（x）=||在区间上的图象，再作出g（x）=ax在区间上的图象，此题就是f（x）≥g（x），其中x∈，结合图象可得：a∈[0，1]，故选D．【考点】本题考查了函数图象的运用点评：此类问题常常三角函数公式转化为二次函数的恒成立问题，数形结合求解即可5.（本小题满分12分）已知设，，，若图象中相邻的两条对称轴间的距离等于．（1）求的值；（2）在中，分别为角的对边，．当时，求的值．【答案】（1）；（2）或。

【易错题】高三数学下期中试题含答案(3)一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1762．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．314．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．565．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =6．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．157．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．169．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．33C 5D ．7712．已知正项数列{}n a *12(1)()2n n n a a a n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．15．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______. 16．已知是数列的前项和，若，则_____．17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 22．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

基础课35数列的综合问题考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养等差、等比理解2022年全国甲卷（文）T***逻辑推理数列的综合18数学运算2021年全国乙卷（文）T19数列与其他理解2023年北京卷T21***逻辑推理知识的交汇2020年新课标II卷（理）T数学运算12命题分析预从近几年高考的情况来看，一般以压轴题的形式出现，属千中档题测或较难题，命题热点以递推式为载体，常常与不等式、函数、方程交汇，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点预计2025年高考命题情况变化不大，但应加强对阅读、理解、迁移和运算的训练一基础知识．诊断穷实基础一、数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：＿1. 已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；2. 已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法等对式子化简变形．二、数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．诊断自测题组1走出误区1. 判－判（对的打"✓"'错的打"X")(1) 已知等差数列{a n }的公差d>0, 等比数列{b n }的公比为q ,若a 1= b 1 = 1, a 2 = b z ,a 14 = b 3'则d + q = 25.(X )(2) 已知数列{a n }满足a l 'a 2'a 3成等差数列，a l ,a 2'a 4成等比数列，若a l a l + a 4+ a 2 + a 3 = a 4'则a3= 3.(X )(3) 若数列{a n }的前n项和S n =2n+l_C ,则"c=2"是“数列{a n }为等比数列＂的充分不必要条件.(X )(4) 若数列{a n }满足a n+1 = 2a n (a n *0,n EN勹，且a z与a 4的等差中项是5,则a l +a z +…+ a n = 2n -1.(✓)2. (易错题）记数列{a n }的前n项和为S n '已知a 1= 1, 5 n + 1 = 4a n + 1设丸＝a n+1-2a n 'e n = l b n -1001, T n 为数列{e n }的前n 项和，则T l O =尥甡．【易错点】忽视对伲-100忡b n -100的符号的分类讨论致错．［解析］由S n+1= 4a n + 1得S n=4a n -l + l(n�2,n EN勹，两式相减得a n+1 = 4 bnan+1-2an 2(an-2an_1) 妇-a n _1)(n �2),即a n+1-2a n = 2妇-2a n -1)'所以＝＝bn-1an -2an-1an -2an-1= 2(n �2),故数列{b n }是首项b 1= a 2-2a 1 = 4-2 = 2, 公比为2的等比数列，即丸=2.2n -l = 2n (n EN 勹，所以e n =I泸-1001= {100-2n,n:::; 6,2n-100,n > 6,T 10 = 600-2 X (1-26)切+22+…+26)+27+28+29+210-400=200-1-2+27+28+29+沪=200 + 2 + 28 + 29 + 210 = 1994. 题组2走进教材3. (人教A版选修@P56•TIO改编）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n '且s 4= 4S 2,a 2n = 2a n + l(n EN*)若b n = 3n -l,c n = a n b n 'T n 为数列{e n }的前n项和，则T n = 1 + (n-1)·3n.［解析］设等差数列{a n }的公差为d,由a 2n = 2a n + 1得a 1+ (2n-1)d = 2a 1 + 2 (n-l)d + 1, 即d= a 1 + 1, CD 由S 4= 4S 2得4a 1+ 6d= 4(2a 1 + d ), 即d= 2a 1 , ＠）联立(D(Z)解得{a 1=1,d = 2, 故数列{a n }的通项公式是a n =2n -1, n EN 勹所以e n =a 九=(2n-1)·3n -1(n EN 勹，则飞=1 X 3+ 3 X 31+ 5 X 32+…+ (2n-3)·3n -Z + (2n-1)·3n -l , @3T n= 1 X 31+ 3 X 32+…+ (2n-5)·3n -Z + (2n-3)·3n -l + (2n-1)·3n, @由＠－句得-2T n = 1 + 2 X 31+ 2 X 32+…+ 2 X 3n -l -(2n-1)·3n= 1 + 2 X3(1-3n -l )1_3 -(2n-1)·3n = -2 + (2-2n)·3气故T n= 1 + (n-1)·3n.4. (人教A 版选修@P37•例9改编）设等比数列{an}的前n 项和为S n '若鸟＝9, S 6=36, 则a 7+ a 8 + a 9 = (B ). A .. 144B .. 81C . .45D .. 63［解析］由等比数列的性质可知s 3,s 6-s 3, s 9-s 6,成新的等比数列，设这个27新数列的公比为q,由s 6-s 3= 36-9 = 27, 得q =了=3, 所以a 7+ a 8 + a 9 = S 9-S 6 =27 x 3 = s 1. 故选B.题组3走向高考5. [2021• 新高考11卷］（多选题）设正整数n =a。

高三数学解三角形试题1.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．2.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．【答案】（1）S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π（2）S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝＝×1×1×sinθ＝sinθ，【解析】解：(1)S△ABD＝BD2．因为△BDC是正三角形，则S△BDC由△ABD及余弦定理，可知BD2＝12＋12－2×1×1×cosθ＝2－2cosθ，于是四边形ABCD的面积S＝sinθ＋ (2－2cosθ)，即S＝＋sin(θ－)，其中0<θ<π．(2)由(1)，知S＝＋sin(θ－)，由0<θ<π，得－<θ－<，故当θ－＝时，S取得最大值1＋，此时θ＝＋＝．3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶8，则△ABC一定为()A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】已知得a∶b∶c＝4∶5∶8，所以cosC＝－<0，选D项．4.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S ＝(a＋b)2－c2，则tan C等于()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】由2S＝(a＋b)2－c2得2S＝a2＋b2＋2ab－c2，即2×absin C＝a2＋b2＋2ab－c2，则absin C－2ab＝a2＋b2－c2，又因为cos C＝－1，所以cos C＋1＝，即2cos2＝sin cos ，所以tan ＝2，即tan C＝＝＝－5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2.(1)求函数f(A)的最大值；(2)若f(A)＝0，C＝，a＝，求b的值．【答案】（1）（2）3【解析】(1)f(A)＝2cos sin＋sin2－cos2＝sin A－cos A＝sin.因为0<A<π，所以－<A－<.当A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，且最大值为.(2)由题意知f(A)＝sin＝0，所以sin＝0.又知－<A－<，则A－＝0，∴A＝.因为C＝，所以A＋B＝，则B＝.由，得ab＝＝36.已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理，得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.△ABC7.设的内角所对的边长分别为，且，,则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】由题意根据正弦定理得，再由余弦定理得，即的最小值为4.【考点】解三角形.8.在中，已知（1）求；（2）若，的面积是，求.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）用三角形三内角和定理及特殊角的三角函数值求解；（2）利用余弦定理与三角形的面积公式，得到关于、的方程组，解出即得.（1）在中，，，，.（2）由余弦定理，则，又的面积是，则，即，，即，.【考点】三角形三内角和定理，余弦定理，三角形的面积.9.在中，分别为角所对的三边，，(Ⅰ)求角；(Ⅱ)若，角等于，周长为，求函数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)根据题目条件，容易联想到余弦定理，求出角； (Ⅱ)求函数的取值范围，这是一个函数的值域问题，需先找出函数关系式，因此要先把各边长求出来，或用表示出来，方法是利用正弦定理来沟通三角形的边角关系，求出函数关系式后，不要忘记求函数的定义域，根据函数定义域去求函数的值域，这显然又是一个三角函数的值域问题，可化为的类型求解.试题解析：(Ⅰ)由，得，3分又， 6分(Ⅱ)同理： 9分故，，. 12分【考点】正弦定理、余弦定理、三角函数的值域.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a+b=2，且c=，求A.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用余弦定理和面积公式将进行化简求解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化角，然后利用两角差的正弦公式展开进行合并求解.试题解析：（Ⅰ）由余弦定理知c2－a2－b2＝－2abcosC，又△ABC的面积S＝absinC＝ (c2－a2－b2)，所以absinC＝ (－2abcosC)，得tanC＝－．因为0＜C＜π，所以C＝． 6分（Ⅱ）由正弦定理可知＝＝＝2，所以有a＋b＝2sinA＋2sinB＝2，sinA＋sin(－A)＝1，展开整理得，sin(＋A)＝1，且＜＋A＜，所以A＝． 12分【考点】1.正弦定理和余弦定理；2.三角化简.11.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.12.已知、、分别为三个内角、、的对边，若，，则的值等于．【答案】【解析】根据余弦定理得：.∵是三角形的内角，∴.在中，.∴.根据正弦定理和已知得：.∴.∴.【考点】解三角形，涉及正余弦定理、三角变换.13.设的三个内角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知有， 1分得，则， 3分. 4分又，故. 5分（2）（法一）由正弦定理得, ,则. 7分而. 9分则.又，所以. 10分所以当且仅当，即时，取得最大值，11分故. 12分（法二）由余弦定理得，即， 7分则，又则 10分 10分得，故，当且仅当时，. 12分【考点】正弦定理点评：主要是考查了正弦定理和解三角形中余弦定理的运用，属于基础题。