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线性代数：初等变换与初等矩阵

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初等行变换和初等矩阵的关系

初等行变换和初等矩阵的关系

初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。

初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。

初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。

这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。

初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。

而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。

初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。

初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。

初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。

这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。

2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。

3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。

对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。

4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。

初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。

它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。

初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。

初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。

《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵

《线性代数》3.2矩阵的初等变换与初等矩阵

r1 r3 1 0 r2 r3 0 1 再r3 2 0 0 2 A 4 1 3
0 0 1
1 2 1
2 1 1 4 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2
x1 BE3 1, 2 y1 x2 y2
x2 y2
0 1 0 x3 1 0 0 y3 0 0 1
x1 x3 y1 y3
1 3 0 a1 a2 E3 1, 2 3 A 0 1 0 b1 b2 0 0 1 c c 1 2 a1 3b1 a2 3b2 b1 b2 c c 1 2


ri krj ci kc j
初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
2.等价 定义3.2.2
若矩阵A 经过有限次的初等行变换变成 B，
r 则称矩阵A与矩阵B 行等价，记为 A B
若矩阵 A 经过有限次的初等列变换变成B，
则称矩阵A与矩阵B 列等价，记为 A
c
B
若矩阵 A经过有限次的初等变换变成B， 则称矩阵A与矩阵B 等价，记为 A B
ET i, j E i, j ；ET i k E i k ； E i j k E j i k .
T
定理3.2.1 对于一个m×n 矩阵 A进行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对A施行 一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 n阶
初等矩阵. 验证 设初等矩阵为三阶的.
0 1 0 E3 1, 2 1 0 0 0 0 1 x1 B y1

线性代数 第二章第三节

线性代数 第二章第三节
Er Ps , L , P2 , P1 AQ1 , Q2 , L , Qt = 0 Q P 0 0
18
推论2：对于任意的m× n 矩阵 A 存在m 阶可逆 ， Er 0 方阵 P 及 n 阶可逆方阵 Q, 使得 PAQ = . 0 0 推论3：n 阶矩阵 A可逆的充要条件为A 等价 的
1
一、问题引出 引例 用消元法求解线性方程组
1 2 3
1↔ 2
−2 x1 + 3 x2 + x3 = −5 x1 − x2 − x3 = 7 x + 2 x = 10 2 3
−2 3 1 −5 1 −1 −1 7 0 1 2 10 1 −1 −1 7 −2 3 1 −5 0 1 2 10
16
解： = E (1, 3) P
Q = E (2, 3)均为初等矩阵
P左乘 A相当于 A的第1，行交换， P 20 左乘 A相当于 3 把 A的第1，行交换 20次，其结果仍为 A； 3 Q右乘 A相当于 A的第 2， 3列交换， Q 21左乘 A相当于 把 A的第 2， 3列交换 21次，其结果为 A的2，3列交换位置。
1 0 0 E （2,3） 0 0 1 = 0 1 0
11
2)、初等倍乘矩阵E ( i ( k ) )
矩阵 E ( i ( k )). 1 E ( i ( k )) = 1 0 如： E3 = 0 1 0 0
13
2、初等矩阵的性质 、 1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵 初等矩阵都是可逆矩阵， 2）初等矩阵都是可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵。 同类型的初等矩阵。
E (i , j ) = − 1

线性代数课件--05矩阵的初等变换与初等矩阵-PPT精品文档

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课件 7
Go
由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引 入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换. 同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样 的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩 阵）. 就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 x 3 和 非自由未知数 x 1, x 2, x 4.
《线 性 代 数》
电子教案之五
课件
1
主要内容
第 矩阵的初等变换的概念； 五 阶梯形矩阵的概念； 讲
矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 矩阵等价的概念； 三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.
基本要求
熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩 阵，知道矩阵等价的概念； 知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联 系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.
1 2 3 4
Байду номын сангаас
( B2 )
x x 2 x x 4 , 1 2 3 4 2 12 x x x 0 , 2 3 4 2 x 6 , 3 52 4 4 32 x 3 . 4
课件
( B3 )
4
2
1 2
3 52 4 32 3
1 2
4 3 0 . 3
课件
6
说明
求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元 过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换 找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代， 这里方程组的同解变换是指下列三种变换： 对调两个方程； 以不为零的数乘某一个方程； 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 从原方程组 ( 1 ) 同解变换到方程组( B 5 ) 的过程可见， 除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一 对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完 全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置 所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作 同解变换，相当于对它的增广矩阵作相应的变换.

2_4_1初等变换和初等矩阵

2_4_1初等变换和初等矩阵
ci c j
1.
可见, E P[i,j]
2.
1 1 kri ,k 0 E P[i(k)]= k 第i行 1 1
kci ,k 0
可见,E P[i(k)]
3.
1 第i行 1 k ri +krj E P[i+j(k)]= 第j行 1 1
A AP[i j (k )]
c j kci
ri krj
的初等变换。
例13
解
1 2 3 设 A , 对A做初等变换将其简化. 4 5 6
1 r r2 4 r1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 r1 2r2 1 0 1 A 4 5 6 0 3 6 0 1 2 0 1 2
α1 α2 A α m
，A 1 , 2 ,, n ,
则有
1 α1 α1 αi α j 0 1 ri rj A P[i,j]A = = α j αi 1 0 α α 1 n n
2－4－1 初等变换与初等矩阵
§4 初等变换与初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在 线性代数中有着极其广泛的应用。
定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一,
第二, 第三种初等行(列)变换：
1. 互换矩阵的某两行(列);
2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为AB.

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。

线性代数-矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

线性代数-线代2-05

线性代数-线代2-05

初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回 代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 ，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（ 某i一 行 第 行k ,记 所 乘 有 kr i倍 作 k 元 ） 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是 数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称 为行标准形。
• 例 ：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。

线性代数2_5 矩阵的初等变换 初等矩阵

线性代数2_5 矩阵的初等变换 初等矩阵

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对矩阵 Am×n 进行一次初等行变换等 同于 A 左乘一个相应的 m 阶初等矩阵,
即
1> 交换 A 的第 i 行和第 j 行←→Rij · A 2>用数 k (≠0)遍乘 A 的第 i 行←→ Ri (k)· A 3> 把 A 的第 i 行乘数 k 加至第 j 行 ←→ Rij (k) · A
j i j i
Байду номын сангаас
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如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B ， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B ． 等价关系的性质：
（1） 反身性 A ~ A；
（2）对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
× ci 也得到 .
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(2) 用非零数a乘单位矩阵I的某行(列)得到初等矩阵.
1 1 Ri (α ) = Ci (α ) = α 第i行 1 1
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(1)
a11 a12 a13 a14 A= a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
R12 A
~
r1 2
a 21 a11 a 31
(1) ri ↔ rj 对调两行(列)得到的初等矩阵.
1 1 Cij = 第i行 第 j行 1 1

线性代数讲义 (5)

线性代数讲义 (5)

一、初等变换的引入----线性方程组的同解变换
我们来分析用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
x1 2x2 x3 0 3x1 x2 1
1 2
(I)
x1 x2 2x3 1 3
解 2 31
x1 2 5x2
x2 x3 0 3x3 1
1 2
3 1 x2 3 x3 1
所以可以称矩阵A 与 B 等价，记作A ~ B．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
三、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列；
~ 2
3 5
r2
(
1) 3
r23 (5)
~ 1
0
2
1
c12 ( 2)
0
1
0 0
0
1 0
I2 O
标准形
于是，根据初等变换与初等矩阵的对应关系，有
R23 (5) R2 (
1 3)R13(4)R12(2)R12 AC12(2)
I2 O
根据初等矩阵的逆矩阵仍是初等阵，即得
A
R23 (5) R2
1.5 初等变换和初等矩阵
一、初等变换的引入 方程组的 同解变换
二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用 五、小结、思考题
学习思路
本节首先从用消元法解线性方程组入手， 引出方程组的三类可逆的同解变换；再将这三 类变换限制到单位矩阵I 上，得到三类初等矩 阵,并介绍初等变换与初等矩阵之间的关系；最 后介绍了如何用初等行变换来求逆矩阵。

线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质

线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质
性质
行倍乘会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
行倍加
定义
行倍加是指将矩阵中的某一行的所有元素加上另一个行的对应元素。
性质
行倍加会改变矩阵的元素值，但不会改变矩阵的秩。
03
矩阵的初等列变换
定义与性质
定义
矩阵的初等列变换是指通过三种基本操作（列交换、列倍乘、列倍加）对矩阵进 行变换。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且与行变换具有相似的性质，如可逆性、结合性和 分配性。
线性代数第五讲矩阵的初 等变换及其性质
目录
• 矩阵的初等变换 • 矩阵的初等行变换 • 矩阵的初等列变换 • 矩阵的初等变换的应用
01
矩阵的初等变换
定义与性质
定义
矩阵的初等变换是指通过三种基本操 作（交换两行、某行乘以非零数、某 行加上另一行的倍数）将矩阵变为标 准型。
性质
初等变换不改变矩阵的秩，且矩阵经 过初等变换后，其等价标准型是唯一 的。
列交换
总结词
列交换是指交换矩阵中的两列。
详细描述
通过交换矩阵中的两列，可以得到一个新的矩阵。这种变换在解决线性方程组时非常有用，可以改变系数矩阵 的顺序，使其更容易进行后续的行变换。
列倍乘
总结词
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
详细描述
列倍乘是指将矩阵中的某一列乘以一个非零常数。
列倍加
具体来说，可以通过消元法或迭代法等算法，对方程组的增广矩阵进行初等行变换或列变换，将其化为阶梯形 矩阵，然后回代求解。
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要性质，它 反映了矩阵中线性无关的行或列的个 数。通过矩阵的初等变换，可以求得 矩阵的秩。
具体来说，可以通过将矩阵化为阶梯 形矩阵或行最简形矩阵，然后数矩阵 中非零行的个数，得到矩阵的秩。

《线性代数(修订版)》教学课件 1.3 初等矩阵与初等变换

《线性代数(修订版)》教学课件 1.3 初等矩阵与初等变换
5x2 5x3 3 x4 6,
1 2 3
(B2 )
3x2 3 x3 4 x4 3, 4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
(1)
1 2 3 2
2
2
x1 x1
x2 3 x2
x3 x3
x4 x4
2, 2,
2 3
(B1 )
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 2x2 2x3 2x4 0,
即x
c
1 1
3 0
0
3
其中c为任意常数.
小结
1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
（ i 与 j 相互替换） （2）以不等于0的数乘某个方程；
（以 i k 替换 i）
（3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
（以 i k j 替换 i ）
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) i j (B), 则(B) i j 若( A) i k (B), 则(B) i k 若( A) i k j (B), 则(B) i k j
( A); ( A); ( A);
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
4 23
x2 x3 x4 0, 2 x4 3, 3
0 0, 4

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列

线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数 2-5 矩阵的初等变换和初等矩阵

例2、 设A可逆，求证A可逆，并求( A )1 .
证明 得 所以
因为A可逆， 所以 | A | 0, 由
AA A A | A | I
|
1 A
|
A A

A |
1 A|
A

I
A可逆， A 1 1 A. | A|
例3、 已 知 三 阶 矩 阵A的 逆 矩 阵 为

0
0
1



b21
b23
b22

b31 b32 b33 0 1 0 b31 b33 b32 .
据例1可知,
左乘--行变换;右乘—列变换.
初等矩阵左乘A,C----相当于是对A,C做相应的初等行变换
初等矩阵右乘B----相当于是对B做对应的初等列变换

A1( A B) (E A1 B)
即
( A B) (E A1 B)
初等行变换
同理, 求解矩阵方程 XA B, 等价于计算矩阵BA1,
则可利用初等列变换, 计算矩阵 BA1 , 即
A 初等列变换 E
B
BA1
注意: 也可改为对 ( AT , BT ) 作初等行变换..
0 0 1 0


0
1
0
0


0
k



0
k
0
0

1 0 0 00 0 1 1 0 0 0

0
0
0
1


c
0
0
1


c
0
0

线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵

一、矩阵的初等变换
显然，三种初等变换都是可逆的， 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变 换是同一类型的初等变换。变换r 换是同一类型的初等变换。变换 i↔rj的逆变换 就是本身； 就是本身；变换 rj×k 的逆变换为 rj÷k ；变换 ri+krj 的逆变换为 i− k rj。 的逆变换为r 如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B， ， 是等价的， 称矩阵 A与 B是等价的，记为 ↔ B 。 与 是等价的 记为A 矩阵的等价关系有如下性质： 矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： 反身性： A ↔ A 对称性： 对称性： A ↔ B ，则B ↔ A 传递性： 传递性： A ↔ B， B ↔ C，则A ↔ C ， ，
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 (1) x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 (2) 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 (3)
2 −1 −1 1 方程组的增广矩阵B = 1 1 −2 1 4 −6 2 −2
2 4 4
一、矩阵的初等变换
1 3 0 2 0 (1) 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 −2 (2) 0 0 0 0 1 3 4 1 1 2 0 0 1 0 2 −1 (3) 0 1 4 1 0 0 0 0
√
×
√
二、阶梯形矩阵
1 1 1 1 4 ( A| b) = 2 3 1 1 9 −3 2 −8 −8 −4
→
r3 + 3× r1
r2 − r1
1 1 1 1 4 0 1 −1 −1 1 0 5 −5 −5 8
→
r3 − 5× r2

《线性代数》第五节初等变换初等矩阵

《线性代数》第五节初等变换初等矩阵

1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
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初等变换 初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
结论:初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵 结论 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵. 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵
的逆变换是其本身, 变换 ri r j 的逆变换是其本身, 则 Rij
1 1
( = Rij ; C ij
= C ij )
1 变换 ri × k 的逆变换为 ri × , k 则 Ri ( k )
第2.5节 初等变换与初等矩阵 节
一.矩阵的初等变换 矩阵的初等变换 二.初等矩阵 初等矩阵 三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵 四.小结 思考题 小结
一,矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri rj); 对调两行( (2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
A 结论 对于任何矩阵 m×n ,总可经过有限次 阶梯形和行标准形 . 初等行变换把他变为行
行标准(行最简 形矩阵再经过初等列变 行标准 行最简)形矩阵再经过初等列变 行最简 可化成标准形. 换,可化成标准形.
1 0 例如, 例如, B 5 = 0 0
c 3 c4 c4 + c1 + c2
r2 r3
1 0 0 0
4 3 = B5 0 1 3 0 0 0
都称为行阶梯形矩阵, 矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵, 且B5为行标准形矩阵
特点: 特点: ),可划出 (1),可划出 ), 一条阶梯线,线 一条阶梯线, 的下方全为零; 的下方全为零; ),每个台 (2),每个台 ), 只有一行, 阶 只有一行,
1 r3 4 r0 B3 = r4 2r3 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
12 12 14 4 r 1 1 1 1 10 03 r4 = B4 00 20 16 3 2r 3 r4 00 10 03 0 0 1 0 1 1 0
0 0
r1 r2
r3 r2
r1 2r3 r2 5r3
r1 2r3
r2 5r3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
2 r2 ÷ 2) 1 0 0 3 ( 0 1 0 2 3 , r3 ÷ 1) ( 0 0 1 1 3
特点: 特点:F的左上角是一个单位矩 阵,其余元素全
为零 . m × n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Ir F = O
O O m× n
三个数唯一确定, 此标准形由 m , n, r 三个数唯一确定,其中 r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数 .
二,初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算, 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算,应 用广泛. 用广泛
Q
即
A1 ( A B ) = ( I A 1 B )
( A B)
初等行变换
I
A B
1
例2 求矩阵 X , 使 1 2 A = 2 2 3 4 解
AX = B,其中 3 2 5 1 , B = 3 1 . 4 3 3
若 A 可逆,则 X = A1 B . 可逆,
1 2 3 2 5 ( A B) = 2 2 1 3 1 3 4 3 4 3
等价关系的性质: 等价关系的性质:
(1) 反身性 A A;
(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C, 则 A C.
具有上述三条性质的关系称为等价. 具有上述三条性质的关系称为等价.
定理2 为可逆方阵, 定理2 设A为可逆方阵,则存在有限个初等 方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使A = P1 P2 L Pl . 证
1 1 1 2 1 2 1 4 6 2 2 4 6 9 7 9 1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7 4 2 = B1 2 9
r1 r2
r3 ÷ 2
2 r2 31 1 1 r 1 r3 21 0 2 2r 1 B1 = 3 2 0 5 1 r4 1 3r 3 0 3 9 6
1 4 1 2 2 1 2 2 1 2 3 5 3 7 9 4
r2 4 r3 r3 0 2r1 = B2 r4 6 3r1 3
r2 ÷ 2 r3 5r2 r4 3r2
1 0 0 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 = B3 0 2 6 0 1 3
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行 ( ri × k ),得初等 矩阵Ri (k ) .
1 O 1 Ri ( k ) = k 1 O 1
←第i 行
3,以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行 (列)上去
以 k 乘 I 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + kr j ) [或以 k 乘 I 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci ),
0 1 0 1 1 0 0 0
4 3 0 1 3 0 0 0
1 0 0 c5 4c1 3c2 + 3c3 0
4 0 0 0 1 0 4 1 0 0 1 0 3 3 F = 0 1 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形 .
I 定义5 定义5 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的 方阵称为初等矩阵. 方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵
对调两行或两列; 1. 对调两行或两列; 乘某行或某列; 2. 以数 k ≠ 0 乘某行或某列; 3. 以数 k 乘某行(列)加到另一 行(列)上去. 乘某行( 上去.
1 0 0 0
0 1 0 4 1 1 0 3 = B5 0 0 1 3 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面 台阶数即是非零行的行数, 的第一个元素为非零元, 的第一个元素为非零元,即非零行的第一个非 零元. 零元.
B 也称为行最简形矩阵, 行标准形矩阵 5也称为行最简形矩阵, 即非 1 列 零行的第一个非零元为,且这些非零元所在的 . 的其他元素都为零
1 O ← 第 i行 1 L k = O ← 第 j行 1 O 1
Ri + j ( k )
三.用矩阵的初等变换求逆矩阵 用矩阵的初等变换求逆矩阵
定理1 定理1 设 A 是一个 m×n 矩阵,对 A 施行一 × 矩阵, 次初等行变换,相当于在 A 的左边乘以相应的 m 次初等行变换, 阶初等矩阵; 施行一次初等列变换, 阶初等矩阵;对 A 施行一次初等列变换,相当于 阶初等矩阵. 在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
利用初等变换求逆阵的方法: 利用初等变换求逆阵的方法:
当 A ≠ 0时,由 A = P1 P2 L Pl,有
Pl1 Pl1 L P11 A = I , 及 1
∴ Pl1 Pl1 L P11 ( A I ) 1 Pl1 Pl1 L P11 I = A1 , 1
= Pl1 Pl1 L P11 A Pl1 Pl1 L P11 I 1 1
1, 对调两行或两列 两行, 对调 I 中第 i , j 两行,即 ( ri r j ),得初等方阵
1 O 1 0 L 1 1 Rij = M O M 1 L 1 0 1 O 1
←第i 行
←第 j 行
2,以数 k ≠ 0 乘某行或某列
1 0 如 0 0
0 0 1 1 0 7 , 0 1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0 0 1 0 4 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换 化下列矩阵为行阶梯形矩 进而化为行标准形矩阵. 阵,进而化为行标准形矩阵 进而化为行标准形矩阵
2 1 B= 4 3
r2 2r1
r3 3r1 r1 Ư 9 0 2 6 2 12
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
0 3 2 1 0 4 6 0 2 0 0 0 1 1 3
r1 2r3
r2 5r3
3 1 0 10 1 2 2 3 r2 ÷ 2) ( 3 3 5 5 ∴ A0 = 1 0 3 3 . 1 2 2 2 r3 ÷ 1) ( 2 1 0 0 11 1 1 1
的方法, 利用初等行变换求逆阵 的方法,还可用于求 矩阵A1 B .
(
= I A1
(
)
)
施行初等行变换, 即对 n × 2n 矩阵 ( A I ) 施行初等行变换, 当把 A 变成 I 时,原来的 I 就变成 A1 .
1 2 3 设 A = 2 2 1 , 求 A 1 . 例1 3 4 3 1 2 3 1 0 0 解 ( A I ) = 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r + r r2 2r1 1 2 0 2 5 2 1 0 r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 + r2
r3 r2
1 0 2 1 1 0 r 2r 3 1 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3 1 0 0 3 2 r ÷ 2) 2 ( 2 0 3 6 5 ( r3 ÷ 1) 0 1 1 1 1 0 0 1
Q A ~ I , 故 I 经有限次初等变换可变 A,
P1 P2 L Pr IPr +1 L Pl = A
即存在有限个初等方阵 P1 , P2 ,L, Pl , 使
即
A = P1 P2 L Pl .
推论 m× n 矩阵 A ~ B 的充分必要条件是: 存在 m 阶可逆方阵 P 及n 阶可逆方阵Q, 使 PAQ = B.
1
=R
1 ; (C i ( k ) i( ) k
1
=C