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初二数学下1.1等腰三角形（北师大版）一．选择题（共15小题）1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（）A．40°B．55°C．65°D．70°2．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（）A．6 B．8 C．5 D．133．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm4．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（）A．50°B．40°C．40°或100°D．50°或100°5．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22.5°B．67.5°C．67°50' D．22.5°或67.5°6．下列四个说法：①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．其中正确的个数为（）A．1个B．2 C．3 D．47．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍8．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10 B．13 C．17 D．13或179．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（）A．30°B．25°C．15°D．10°10．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG ＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2B．6+4C．8+4D．6+211．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG ＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（）A．3 B．4 C．5 D．912．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．1213．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2 B．4 C．6 D．815．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）16．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是cm．17．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是．20．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．答案选择题：CAABD ABCCB BBCCD 填空：16：6或717：9．18：25°19:110°或80°20: ∠1＝2∠2。
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2（含答案）1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）2．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．3．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．4．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．）5．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s 的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？6．如图，已知在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，EF是线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．求证：△ADC是等腰三角形．7．如图的直角△ABC中，∠BAC＝90°，AF⊥BC于点F，BD平分∠ABC交AF于点E，交AC于点D，试判定△ADE的形状并说明理由．8．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠BAD＝∠CAE，∠ADE＝∠AED，求证：△ABC是等腰三角形．9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E．那么△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（）A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定12．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．18B．21C．20D．18或2113．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．914．线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．715．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠ADE ＝∠AED，∠EDC＝20°，则∠BAD为（）度．A．20B．30C．35D．4017．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30°B．32°C．40°D．48°18．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°19．已知：如图∠BAC＝69°，BD＝AD＝AC，则∠DAC的度数为（）A．32°B．40°C．52°D．36°20．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（）A．10°B．15°C．20°D．30°21．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（）A．当β为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当γ为定值时，∠CDE为定值D．无法确定22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D．设∠ADB＝α，∠CAD ＝β，则下列结论正确的是（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°23．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°24．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC的度数等于（）A．B．αC．90°﹣D．90°﹣α25．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．26．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝时，△AOP为等腰三角形．27．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．28．如图，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是．29．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝∠B，AB＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．30．如图所示，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当三角形APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是．31．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．32．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．参考答案1．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，证明：∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）CG＝DE+DF证明：连接AD，∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．2．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，即△EFG是等腰三角形．4．解：如图所示：5．解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B＝90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP＝BQ，∴12﹣2x＝x，解得：x＝4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．6．证明：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°，∵∠C＝40°，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC，即△ADC是等腰三角形．7．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴∠ABD+∠BDA＝90°，∠CBD+∠BEF＝90°，∴∠BDA＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF（对顶角相等），∴∠BDA＝∠AED，∴AD＝AE．故△ADE是等腰三角形．8．证明：∵∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．9．答：△ADE是等腰三角形，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．10.解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．11．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，故选：B．12．解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，故选：D．13．解：如图：故选：C．14．解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．15．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．16．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+20°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+40°．又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C+40°＝∠BAD+∠C，∴∠BAD＝40°．故选：D．17．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝64°，∴∠B＝∠ADB＝64°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝116°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣116°）÷2＝32°，故选：B．18．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，∴∠ODC＝24°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．故选：D．19．解：∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∵DA＝CA，∴∠ADC＝∠C，而∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠C＝2∠B，∵∠BAC＝69°，∴∠C+∠B＝3∠B＝111°，∴∠B＝37°，∴∠DAC＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣37°×4＝32°．故选：A．20．解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠α，∴2∠CDE＝∠α，∴∠CDE＝∠α．即当∠α为定值时，∠CDE为定值，故选：B．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠ADB＝α，∴∠B＝∠C＝90°﹣α，∵∠CAD＝β，∴α＝β+90°﹣α，∴2α﹣β＝90°．故选：D．23．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝70°，∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．故选：B．24．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴2x+y＝y+α，解得x＝．∴∠EDC＝．故选：A．25．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．故答案为：4．26．解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°；②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为：45°或67.5°或90°．27．解：分为以下5种情况：①OA＝OP，∵∠AOB＝30°，OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A＝（180°﹣30°）＝75°；②OA＝AP，∵∠AOB＝30°，OA＝AP，∴∠APO＝∠AOB＝30°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；③AB＝AP，∵∠AOM＝60°，AB＝AP，∴∠APO＝∠ABM＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；④AB＝BP，∵∠ABM＝60°，AB＝BP，∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；⑤AP＝BP，∵∠ABM＝60°，AP＝BP，∴∠ABO＝∠P AB＝60°，∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，故答案为：75°或120°或90°．28．解：由图可知，∵AC＝BC，∠C＝36°，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．故答案为2．29．解：当AB＝AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝2cm，∴BD＝AB•cos30°＝2×＝3cm，∴BC＝6cm，即运动的时间6s；当AB＝BP时，∵AB＝2cm，∴BP＝2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．30．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝18﹣3x，AQ＝2x，即18﹣3x＝2x，解得x＝3.6．故答案为：3.6s．31．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．32．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°。
1.1 等腰三角形第一课时一、课前准备：1、有 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ，腰与底边的夹角叫做 ； 的三角形是等边三角形。
2、公理、定理、证明公理：公认的 称为公理。
定理：经过证明的 称为定理。
证明： 的过程称为证明。
3、证明的一般步骤是：根据题意 ；根据条件、结论，结合图形 ；经过分析，找出由已知推出求证的途径， 。
对假命题的判断，只要举 来证明即可。
二、学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握等腰三角形的性质。
3、结合实例体会反正法的含义。
三、自学提示： 1、你知道吗？全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？ （1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，根据得到的信息，填入右表：（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样的特点吗？底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？ （3）你能证明你所得到的结论吗？求证：等腰三角形的两个底角相等。
已知： ΔABC 中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.证明：.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个底角 （简写成“ ” ）；性质2 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互 。
【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。
B五、夯实基础：1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。
6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。
课题等腰三角形的判定与反证法【学习目标】1．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．2．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．【学习重点】等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．【学习难点】反证法的证明方法．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．方法指导：1．等腰三角形的判定方法有两种：①根据定义判定；②等角对等边．2．“等角对等边”可以将图形中角的等量关系转化为线段的等量关系，是证明线段相等的一种重要方法．情景导入生成问题旧知回顾：1．等腰三角形性质定理内容是什么？等腰三角形两底角相等．2．我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两角所对的边也相等吗？答：还成立．如图，△ABC中，∠B＝∠C.求证：AB＝AC.证明：作AD⊥BC于D，由∠ADB＝∠ADC＝90°，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC.自学互研生成能力知识模块一等腰三角形的判定【自主探究】阅读教材P8的内容，回答下列问题：等腰三角形的判定定理内容是什么？答：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．范例：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于点F.求证：AD＝AF.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠2＋∠B＝∠F＋∠C＝90°，∴∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠F，∴AF＝AD(等角对等边)．仿例1：如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．证明：∵AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB(等角对等边)，∵OE是中线，∴OE⊥AB.仿例2：如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是5 cm.归纳：注意等角对等边的灵活应用，仿例2中平行线和角平分线结合是得出等腰三角形的范例．学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：教会学生整理反思．知识模块二反证法阅读教材P8－9的内容，回答下列问题：什么是反证法？有哪些重要步骤？答：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【合作探究】1．用反证法证明“等腰三角形的底角都是锐角”．已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B、∠C都是锐角．证明：假设∠B、∠C都是直角或钝角，∴∠B≥90°，∠C≥90°，∴∠B＋∠C≥90°＋90°＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，∴假设不成立，原命题的结论正确，即∠B、∠C都是锐角．2．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．3．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．归纳：对直接证明有困难的命题均可用反证法证明，它有三个基本步骤：①反设；②推出矛盾；③否定反设、肯定命题成立．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一等腰三角形的判定知识模块二反证法检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
1.1等腰三角形同步练习一．选择题1．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或172．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（）A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定3．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．65．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM 的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.56．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对8．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设P A＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题11．已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于．12．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．13．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝度．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝．15．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝°．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．18．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？参考答案一．选择题1．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；综合上述：三角形的周长是17，故选：C．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．3．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．4．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．5．解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．6．解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．7．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故选：C．8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．10．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：B．二．填空题11．解：∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．13．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°∴∠BDC＝∠C＝25°∴∠ABD＝50°∵AD＝BD∴∠A＝∠ABD＝50°∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．故填75．14．解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6．15．解：∵a∥b，∴∠1＝∠ACD，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，∴∠1＝36°．故答案为36．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．17．解：∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，设∠BCD＝∠CBD＝x°，∵AB＝BC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，∴∠ABC＝3∠C＝3x°，∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36，∴∠C＝36°∴∠ABC＝3∠C＝108°．18．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．。
等腰三角形一课一练·基础闯关题组等腰三角形中相关线段的性质1.(2017·和县模拟)等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成的角的度数是( )A.42°B.60°C.36°D.46°【解析】选A.如图:△ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高.∵∠A=84°,且AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-84°)÷2=48°;在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠C=48°;∴∠DBC=90°-48°=42°.2.(2017·崇州市期末)如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E,若∠E=35°,则∠BAC的度数为( )世纪金榜导学号10164004A.40°B.45°C.50°D.55°【解析】选A.∵AE∥BD,∴∠CBD=∠E=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBA=70°,∵AB=AC,∴∠C=∠CBA=70°,∴∠BAC=180°-70°×2=40°.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D,则∠D的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【解析】选A.∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠ACE=∠A+∠ABC,即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A,∴2∠1=2∠3+∠A,∵∠1=∠3+∠D,∴∠D=∠A=×30°=15°.4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和9cm,则它的周长为________. 【解析】①若腰长和腰长的一半的和是9,则腰长为6,底边长为15-×6=12,∵6+6=12,∴此时不能组成三角形;②若腰长和腰长的一半的和是15,则腰长为10,底边长为9-×10=4,能组成三角形,∴它的周长为10+10+4=24(cm).综上所述,该等腰三角形的周长是24cm.答案:24cm【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分,则这个等腰三角形的底边长是( )A.6B.22C.6或22D.10或18【解析】选A.设AD=x,则当2x+x=15时,x=5,即AB=AC=10,∴底边长为27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当2x+x=27时,x=9,即AB=AC=18,∴底边长为15-9=6(符合三角形的三边关系),综上可知,底边BC的长为6.5.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. 世纪金榜导学号10164005(1)求证:OB=OC.(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.【解析】(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB.∴∠DBC=∠ECB,BE=CD.在△BOE和△COD中,∵∠BOE=∠COD,BE=CD,∠BEC=∠BDC=90°,∴△BOE≌△COD,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°,∴∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=180°-80°=100°.题组等边三角形的性质及应用1.(2017·南充中考)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A.(1,1)B.(,1)C.(,3)D.(1,)【解析】选D.如图所示,过点B作BC⊥AO于点C,∵△AOB是等边三角形,∴OC=AO=1,∴在Rt△BOC中,BC==,∴B(1,).2.如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为________.世纪金榜导学号10164006【解析】∵直线y=2x+4与y轴交于B点,∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,∴C在线段OB的垂直平分线上,∴C点纵坐标为2.将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=-1.所以点C′的坐标为(-1,2).答案:(-1,2)3.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC=________度.【解析】∵△ABD,△ACE都是等边三角形,∴AD=AB,∠DAB=∠EAC=60°,AC=AE,∴∠DAC=∠EAB,∴△DAC≌△BAE(SAS),∴DC=BE,∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°.答案:120【变式训练】如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,则∠BOC的度数是________.【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠OCB=∠ABO,∴∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°,∴在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°.答案:120°4.(2017·宁夏中考)在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,M,N分别为垂足.求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.【证明】连接AP,过C作CD⊥AB于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP,∴AB·CD=AB·PM+AC·PN,∴PM+PN=CD,即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.5.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.世纪金榜导学号10164007【解析】猜想:AP=CQ.证明:在△ABP与△CBQ中,∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ,∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.(2017·淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,点D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=______.【解析】如图,作AG⊥BC于点G,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴AG=AB=2,连接AD,则S△ABD+S△ACD=S△ABC,∴AB·DE+AC·DF=BC·AG,∵AB=AC=BC=4,∴DE+DF=AG=2.答案:2【母题变式】[变式一](2017·唐河县期末)如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.8【解析】选D.从B向AC作垂线段BP,交AC于P,点P即为所求.设AP=x,则CP=5-x,在Rt△ABP中,BP2=AB2-AP2,在Rt△BCP中,BP2=BC2-CP2,∴AB2-AP2=BC2-CP2,∴52-x2=62-(5-x)2,解得x=1.4,在Rt△ABP中,BP==4.8,∴AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8.[变式二]已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( )A. B.C. D.不能确定【解析】选B.等边三角形的边长是3,所以等边三角形的高是.设点P到三边的距离分别为h1,h2,h3,则×3(h1+h2+h3)=×3×,所以h1+h2+h3=.[变式三]已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形内有一点P,若点P到AB的距离是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的距离是__________.【解析】如图,连接PA,PB,PC,作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,AH⊥BC于点H,则PD=1,PF=2,AH=4,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∵S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA,∴AH·BC=PD·AB+PE·BC+PF·AC,∴4=1+PE+2,∴PE=1,即点P到BC的距离为1.答案:1[变式四]等边三角形的边长为a,P是等边三角形内一点,则P到三边的距离之和是________.【解析】如图,∵等边三角形的边长为a,∴等边三角形的高为a,连接PA,PB,PC,设点P到AB,BC,AC边的距离分别为h1,h2,h3,则S△ABC=a·a=AB·h1+BC·h2+AC·h3,即a·a=a·h1+a·h2+a·h3, 整理得,h1+h2+h3=a,即P到三边的距离之和是 a.答案: a。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》知识点分类练习题（附答案）一．等腰三角形的性质1．等腰三角形的两条边长分别为8和4，则它的周长等于（）A．12B．16C．20D．16或202．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数为（）A．33°B．37°C．43°D．47°3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为（）A．50°B．27°C．64°或27°D．63°或27°4．若实数m、n满足等式+|n﹣4|＝0．且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC内一点，且∠ACP＝∠PBC，则∠BPC的度数为．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于．7．如图，在等腰△ABC中，∠A＝56°，AB＝AC．在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C＝CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1＝C1C2，得到A2C1C2，…，按此做法继续下去，则∠A2022C2022C2021的度数是（）A．×62°B．×62°C．×62°D．×62°8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．9．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，OD＝OF．（1）当∠DOF＝126°时，求：∠OBC的度数．（2）判断△AOC的形状，并证明．二．等腰三角形的判定10．如图，已知点P是射线MN上一动点，∠AMN＝35°，当∠A为时，△AMP 是等腰三角形．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．三．等腰三角形的判定与性质12．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A ＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.513．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．四．等边三角形的性质14．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°．（Ⅰ）求∠CAE的度数；（Ⅱ）求∠FDC的度数．五．等边三角形的判定15．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C 向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？六．等边三角形的判定与性质16．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．17．如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB 于点E．若DB＝12cm，则AC＝（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm19．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为30°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．21．已知△ABC为等边三角形，且边长为4，P为BC上一动点，且PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E两点，则PD+PE＝．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE＝6，直线ED是线段AC的垂直平分线，∠BAC＝120°，求线段BE的长．八．反证法23．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC24．用反证法证明命题“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设．25．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中．26．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中．参考答案一．等腰三角形的性质1．解：当4为腰时，三边为4，4，8，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当8为腰时，三边为8，8，4，符合三角形三边关系定理，周长为：8+8+4＝20．故选：C．2．解：∵秋千旋转了86°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′＝86°，OA＝OA′，∴∠OAA'＝（180°﹣86°）＝47°．故选：D．3．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．4．解：∵+|n﹣4|＝0．，∴+|n﹣4|＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，∴m＝2，n＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，∴4+4+2＝10；综上所述：△ABC的周长是10．故答案为：10．5．解：∵∠BAC＝50°，∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣50°＝130°，又∵∠ACB＝∠ABC，∠ACP＝∠CBP，∴∠PBA＝∠PCB，∴∠ACP+∠ABP＝∠PCB+∠PBC＝130°×＝65°，∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．6．解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，∴2∠1＝2∠3+∠A，∵∠1＝∠3+∠D，∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．故答案为：15°．7．解：∵∠A＝56°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝62°，∵A1C＝CC1，∴∠A1C1C＝∠C1A1C＝∠ACB＝×62°，∵A2C1＝C1C2，∴∠A2C2C1＝∠C2A2C1＝∠A1C1C＝（）2×62°，同理，∠A3C3C2＝∠C3A3C2＝∠A2C2C1＝（）3×62°，∴∠A2022C2022C2021＝（）2022×62°．故选：C．8．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．9．（1）解：∵∠DOF+∠BAC＝180°，∠DOF＝126°，∴∠BAC＝54°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝63°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠DAO＝∠BAC＝27°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠DAO＝27°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝63°﹣27°＝36°；（2）△AOC是等腰三角形，证明：∵OD＝OF，AO＝AO，∴Rt△ADO≌Rt△AFO（HL），∴AF＝AD＝AB，∵CA＝BA，∴AF＝AC，∴OF垂直平分AC，∴OA＝OC，∴△AOC是等腰三角形．二．等腰三角形的判定10．解：若△AMP为等腰三角形则有AM＝AP、AM＝MP和MP＝AP三种情况，①当AM＝AP时，则有∠M＝∠APM＝35°，∴∠A＝110°；②当AM＝MP时，则∠A＝∠APM＝72.5°；③当MP＝AP时，则∠A＝∠AMN＝35°，综上可知∠A为110°或72.5°或35°，故答案为：110°或72.5°或35°．11．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．三．等腰三角形的判定与性质12．解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCE，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，又∵CD＝CD，∴△CDB≌△CDE（ASA），∴BD＝DE，CE＝BC＝6，即△BCE为等腰三角形，∴AE＝AC﹣CE＝4，又∵∠A＝∠ABE，∴BE＝AE，∴，故选：C．13．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），故答案为：12；四．等边三角形的性质14．解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°，∵∠DAE＝80°，∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°；（Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣80°）＝50°，∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°，又∵∠ADE＝50°∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°．五．等边三角形的判定15．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．六．等边三角形的判定与性质16．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．17．证明：（1）∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠C＝60°．∵AB＝AC，AE＝CD，∴△ADC≌△BEA．（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠ABE＝∠CAD．∵∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠ABE+∠BAD＝60°．∴∠BPQ＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°．∴BP＝2PQ．七．含30度角的直角三角形18．解：如图，连接AD，∵DE是AB的垂直平分线，DB＝12cm，∴DA＝DB＝12cm，∵∠B＝15°，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在△ACD中，∠C＝90°，∴．故选：C．19．解：分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，∴这个等腰三角形的底角是75°；当等腰三角形为钝角三角形时，如图：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵BD＝AB，∴∠BAD＝30°，∴∠ABC+∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，∴这个等腰三角形的底角是15°；综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，故选：A．20．解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．21．解：连接AP，过A点作AF⊥BC于F，∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，∴BC•AF＝AB•PD﹣AC•PE，∵△ABC为等边三角形，且边长为4，∴AB＝AC＝BC＝4，BF＝CF＝BC＝2，∴AF＝＝2，∴×4×2＝×4PD﹣×4PE，∴PD+PE＝2．故答案为：2．22．解：连接AE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∵直线ED是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC＝6，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，∴BE＝2AE＝12，∴线段BE的长为12．八．反证法23．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．故选：D．24．解：用反证法证明“若a2＜4，则|a|＜2”时，应假设|a|≥2．故答案为：|a|≥2．25．解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，第一步假设直角三角形中每个锐角都大于45°，故答案为：每个锐角都大于45°．26．解：反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，假设这个三角形中每一个内角都大于或等于45°，故答案为：每一个内角都大于或等于45°．。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm 2．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．50°或70°3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长（）A．B．1C．2D．5．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.56．如图，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE＝10，则DF等于（）A．5B．4C．3D．27．用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（）A．AC＞BC B．AC＜BC C．∠A＝∠B D．AC＝BC8．如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有（）个．A．8B．7C．6D．59．如图，直线l1∥l2，△ABC是等边三角形∠1＝50°，则∠2的大小为（）A．60°B．80°C．70°D．100°10．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°二．填空题11．等腰三角形一底角平分线与其对边所成的锐角为84°，则等腰三角形的顶角大小为．12．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为．13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝3cm，DE＝4cm，则CD＝cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是．15．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AB＝6，CD＝1，则BC的长为．16．如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，则∠A＝度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）若∠E＝24°，求∠B；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE面积．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．20．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥AB交BC 于点E，DF⊥AB，垂足为点F．（1）求证：BE＝DE；（2）若DE＝2，，求BD的长．22．如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，O点在AC的垂直平分线，（1）求证：△BOC是等腰三角形；（2）若∠BAC＝80°，求∠BCO的度数．23．动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．24．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）BP＝（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选：B．2．解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．3．解：设∠C＝α，∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝2α，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2α+2α+α＝180°，∴α＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，∴该三角形是等腰三角形．故选：A．4．解：∵在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE＝2，∴BE＝CE＝2，∴∠B＝∠DCE＝30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°．在Rt△CAE中，∵∠A＝90°，∠ACE＝30°，CE＝2，∴AE＝CE＝1．故选：B．5．解：过点P作PD⊥OB于点D，∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝13，∴∠OPD＝30°，∴DO＝＝6.5，∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1，∴MO＝DO﹣MD＝6.5﹣1＝5.5．故选：D．6．解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠DAE＝∠ADE＝15°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠BAD＝15°，∴∠DEG＝15°×2＝30°，∴ED＝AE＝10，∴在Rt△DEG中，DG＝ED＝×10＝5，∴DF＝DG＝5．故选：A．7．解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，先假设AC＝BC．8．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：C．9．解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝50°，∴∠3＝∠1+∠A＝50°+60°＝110°，∵直线l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝70°，故选：C．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．二．填空题11．解：设∠ABC＝∠C＝2x°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠A＝180°﹣4x°，①当∠ADB＝84°时，在△ABD中，x+180﹣4x+84＝180，解得：x＝28，∴∠A＝180°﹣4×28°＝68°；②当∠CDB＝84°时，∵∠CDB＝∠A+∠ABD，∴84＝180﹣4x+x，解得：x＝32，∴∠A＝180°﹣4×32°＝52°；综上所述：∠A的度数为52°或68°，故答案为：52°或68°．12．解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠BAC＝100°，∵∠ADE＝40°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；③DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，综上，∠BAD的度数为60°或30°，故答案为：60°或30°．13．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．同理∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE＝3cm，∴CD＝DE+CE＝4+3＝7（cm），故答案为：7．14．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴∠A＝60°，由作图可知AD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝90°﹣60°＝30°．故答案为：30°．15．解：分两种情况：当高AD在△ABC内时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD+CD＝4；当高AD在△ABC外时，如图：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝2；综上所述：BC的长为4或2，故答案为：4或2．16．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，可得2x＝，解得：x＝36°，则∠A＝36°；故答案为：36；（2）设∠C＝x．①当AD＝AE时，∵2x+x＝27°+27°，∴x＝18°．②当AD＝DE时，∵27°+27°+2x+x＝180°，∴x＝42°．所以∠C的度数是18°或42°．故答案为：18°或42°．三．解答题17．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE＝24°，∴∠B＝∠ACB＝2∠E＝48°；（2）在Rt△ADB中，，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，∴．18．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．19．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．20．（1）解：设∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度数为36°；（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠F AB＝72°，∴∠AFB＝∠F AC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．21．（1）证明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于点D，DF⊥AB，∴CD＝DF＝．在Rt△CDE中，CE＝＝1．∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD＝＝＝2．22．（1）证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，∴OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∵O点在AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC，∴△BOC是等腰三角形；（2）解：∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，∴∠ABO+∠ACO＝∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠BCO＝10°．23．解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，∴2t＝6﹣3t，∴t＝1.2，∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．（2）①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，∴2t＝（6﹣3t），∴t＝，②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BQ＝PB，∴6﹣3t＝×2t，∴t＝1.5，∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s．24．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x；（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠BAC＝180°﹣2y，∵∠BAD＝x，∴∠AED＝y+x，∴x．25．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．故答案为：11秒或12．。
1.1.3 等腰三角形（3）同步练习题北师大版八年级数学下册一、选择题1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=3，则AC的长为( )A.2B.3C.4D.52.已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2-2ab=0，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.不确定3.如图，已知∠A=36°，∠C=72°，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有( )A.3B.4C.5D.无法确定4.下列条件中能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A=30°，∠B=60°B.AB=5,AC=12,BC=13C.∠A=50°，∠B=80°D.∠A:∠B:∠C=3:4:55.如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DE=8，AD=5，则AB等于( )A.12B.13C.14D.156.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限（∠1不等于60），点P在x轴上·若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有( )A2个 B.3个 C.4个 D.5个7.如图，△ABC中，BM平分∠ABC，交AC于点M，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=110°，则∠BMC=( )A.30°B.155°C.145°D.135°8.如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上.如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题9.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A 落在点C处.若AE=3，则BC的长是_______.10.如图，直线l1∥l2，点A在直线1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC.若∠ABC=70°，则∠1的大小为_______.11.上午9时，一只船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北方向航行，11时到达海岛B 处，从A，B望灯塔C，分别测得∠NAC=34°，∠NBC=68°，则海岛B到灯塔C的距离为____.12.在△ABC中，∠A=50°，当∠B=_____时，△ABC是等腰三角形.13.如图，在长方形纸片ABCD中，将长方形纸片沿着对角线AC折叠，使点D落在点F处，设AF与BC相交于点E.若AB=6，AD=8，则AE=____.14.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，AB=5，BE=3，则AC=______.三、解答题15.求证：三角形中至少有一个角不大于60°.16.如图,在等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE.(1)△ACE和△BCD全等吗?请说出你的理由.(2)试说明AE∥BC.17.如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,其中点E在BC边上,DE与AC 相交于点O.(1)求证:△OEC是等腰三角形.(2)当点E在什么位置时,点O是AC的中点?说明理由.18.在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F.(1)如图①，图中等腰三角形共有____个.猜想：EF与BE，CF之间有怎样的数量关系？并说明理由.(2)如图②，AB≠AC，图中的等腰三角形是，(1)中的EF与BE，CF之间的数量关系还存在吗？(3)如图③，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC 交AB于点E，交AC于点F.图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们.写出EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由.。
等腰三角形与直角三角形一、等腰三角形性质的运用【例1】在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练二、线段垂直平分线【例2】如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．．2 C． D．4对应训练2．（2012•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C． D．1三、等边三角形的判定与性质【例3】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C 点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．四、直角三角形【例4】将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C． D．对应训练4．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2 B．五、勾股定理【例5】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．对应训练六、三角形中位线定理【例6】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°对应训练6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．【中考链接】一、选择题1．（2014•淄博）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题8．（2014年云南省）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD= ．第8题图第9题图9．（2013成外）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是；三、解答题10．（2014年云南省）如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD．11．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN 交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．12．（2013•威海）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．14.（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．15.（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．专题二图形的旋转与平移中考真题选择题1.（2014•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C. 丙种方案所用铁丝最长D ．三种方案所用铁丝一样长2．（2014.舟山）如图，将△ABC 沿BC方向平移2cm 得到△DEF，若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为( )(A)16cm (B)18cm (C)20cm (D)22cm3.（2014.绵阳）线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （-1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （-3，1）的对应点F 的坐标为（ ）A ．（-8，-2）B ．（-2，-2）C ．（2，4）D ．（-6，-1）4．（2014•义乌市）如图，将Rt△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B 的度数是（ ）A ．70° B．65° C．60° D．55°5．（2014•遂宁）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．5 6．（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）3.4A 12B 1C 1D填空题7 （2013.安岳）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m ，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_______m ．8. （2014济南）如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△D 1E 1F 1，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离AA 1等于________.9．（2014.江苏）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC 沿着射线BC 的方向平移2个单位后，得到三角形△A ′B ′C ′，连接A′C，则△A ′B ′C的周长为______。
1 等腰三角形第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图 第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B ＝．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．第4题图 第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3第7题图 第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是．10．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17C．13或17 D．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图 第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为（）A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图 第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是（）A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是（）A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝（）A．2 B．3 C．23D．4第4题图 第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．第6题图 第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC 的度数．11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为（）A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图 第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图 第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为．15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE 的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM的度数．17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．第3课时 等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则（）A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（）A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图 第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（）A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图 第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C 运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图 第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝（）A．8 B．6 C．4 D．2第7题图 第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图 第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（）A．1 B．2C.3D．23第12题图 第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6第14题图 第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．参考答案：第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是(A) A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图 第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为34°．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．第4题图 第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为4.5．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．解：∵AB＝BD，∠ABD＝20°，∴∠ADB＝80°.∵BD＝DC，∴∠CBD＝40°.∵AE∥BD，∴∠AEB＝40°.7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)A．10 B．5 C．4 D．3第7题图 第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE 上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB 与AC ，当固定点B ，C 到杆脚E 的距离相等，且B ，E ，C 在同一直线上时，电线杆DE 就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(C)A ．等边对等角B ．垂线段最短C ．等腰三角形“三线合一”D ．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．10．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，AD ＝AB ，连接BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求∠E 的度数．解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°.∵AD ＝AB ，∴∠BDA ＝12×(180°－40°)＝70°.∴∠E ＝∠BDA －∠CAD ＝70°－40°＝30°.11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为(B)A ．13B ．17C ．13或17D ．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于70°或20°．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图 第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(C) A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为(B)A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图 第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°.∴∠C ＝∠BAD.(2)∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠AEB.∵AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB.∴∠B ＝∠FAE.∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°＝∠BAC.在△ABC 和△EAF 中，{∠B ＝∠FAE ，AB ＝EA ，∠BAC ＝∠AEF ，∴△ABC ≌△EAF(ASA)．∴AC ＝EF.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ；(2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°.又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，{∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD.∴BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(D) A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图 第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是(C)A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：CE＝BD.证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝(D)A．2 B．3 C．23D．4第4题图 第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为(C)A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．第6题图 第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△EAB和△DCA中，{AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA，∴△EAB≌△DCA(SAS)．∴BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC的度数．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠CAD)＝75°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为(C)A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图 第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(B)A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B) A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图 第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为60°．15．如图，在等边△ABC 中，D 是BC 上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O.求∠E 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是△ABC 的高，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE.∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，{AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三角形，点M 是线段BC 上任意一点，点N 是线段CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q.(1)求证：AM ＝BN ；(2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC.在△AMB 和△BNC 中，{AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN.(2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ＝∠NBC ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.17．已知，如图所示，P 为等边△ABC 内的一点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的高AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h.证明：连接PA ，PB ，PC.∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC.∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时 等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BCB ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(D)A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图 第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为12．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE.∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，{AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEC，即∠GFE＝∠GEF.∴GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设(A)A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°.∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE.∴∠CNE≠90°，与已知条件CD⊥EF相矛盾．∴假设不成立．∴AB⊥EF.10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有(A)A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图 第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A) A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_这个三角形中至少有两个角是直角或钝角．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是②(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°.∴∠ADC＝∠FGC.∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.解：(1)∵BD是等边△ABC的中线，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD.∵AB ＝6，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝33.(2)证明：∵BD 是等边△ABC 的中线，∴BD 平分∠ABC.∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵∠ACB ＝60°，∴∠ACE ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ＝180°－120°2＝30°.∴∠DBE ＝∠E.∴BD ＝ED.又∵DF ⊥BE ，∴BF ＝EF.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E.(1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°.∴∠ADB ＝∠DEC.又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°.第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是(D)A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图 第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝48米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．证明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(C)A．8 B．6 C．4 D．2第7题图 第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是(D)A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图 第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝12BC＝4 cm.∴AD＝AB－DB＝12 cm.12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)A．1 B．2C.3D．23第12题图 第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A) A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．6第14题图 第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A 在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120°.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF.∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠B.∴∠CAF＝∠BAF＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠BAF＋∠B＝90°.∴∠BAF＝∠B＝30°.∵CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDB＝90°.∴∠BCD＝∠DEA＝60°.∴∠CEF＝60°.∴∠CFA＝∠CEF＝∠ECF＝60°.∴△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE，即∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．。
