第四讲 数列综合检测题

高一数学数列综合测试题1．{a n}是首项a1＝1，公差为d＝3 的等差数列，如果a n＝2 005 ，则序号n等于( )．A．667 B．668 C．669 D．6702．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．A．33 B．72 C．84 D．1893．如果a1，a2，?，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠０，则( )．A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a52 24．已知方程(x －2x＋m)( x －2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则｜m－n｜等于( )．A．1 B．34C．12D．385．等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前 4 项和为( ).A．81 B．120 C．168 D．1926.若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2 003 ＋a2 004 ＞0，a2 003 ·a2 004 ＜0，则使前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是( )．A．4005 B．4006 C．4007 D．40087．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4 成等比数列, 则a2＝( )．A．－4 B．－6 C．－8 D．－108．设S n 是等差数列{a n}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5＝( )．A．1 B．－1 C．2 D．1 29．已知数列－1，a1，a2，－4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列，则a2b2a1 的值是( )．A．12B．－12C．－12或12D．1410．在等差数列{a n}中，a n≠０，a n－1－ 2a ＋a n＋1＝0( n≥2，) 若S2n－1＝38，则n＝( )．nA．38 B．20 C．10 D．9二、填空题..11．设 f (x )＝1x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f(－4)＋?＋f (0) ＋?＋2 2f (5)＋f (6) 的值为.12．已知等比数列{a n}中，(1) 若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．(2) 若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．(3) 若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.13．在83 和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．14．在等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2( a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13 项之和为.15．在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋?＋a10＝.16．设平面内有n 条直线(n≥3，) 其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f (n)表示这n 条直线交点的个数，则 f (4) ＝；当n＞4 时，f (n )＝．三、解答题217．(1)已知数列{a n}的前n 项和S n＝3n －2n，求证数列{a n}成等差数列.(2) 已知1a，1b，1c成等差数列，求证b c c a a b，，a b c也成等差数列.18．设{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2 成等差数列．(1) 求q 的值；..(2)设{b n}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n，当n≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n}的前n 项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n 2nS n(n＝1，2，3?)．求证：数列{ S nn}是等比数列．20．已知数列{a n}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列，S n 为其前n 项和，a1，2a7，3a4 成等差数列，求证：12 S3，S6，S12－S6 成等比数列...高一数学数列综合测试题参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n＝a1＋(n－1) d，即 2 005＝1＋3( n－1)，∴n＝699．2．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1(1＋q＋q 2 2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q ＝7．解得q＝2 或q＝－3(不合题意，舍去)，2 2 2∴a3＋a4＋a5＝a1q (1＋q＋q )＝3×2 ×7＝84．3．B．解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．2又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a1 ＋7a1d，2 2∴a4·a5＝(a1＋3d )(a1＋4d )＝a1 ＋7a1d ＋12d ＞a1·a8．4．C解析：..解法1：设a1＝14 ，a2＝14＋d，a3＝14＋2d，a4＝142 2＋3d，而方程x －2x＋m＝0 中两根之和为2，x －2x＋n＝0中两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴d＝12，a1＝14，a4＝74是一个方程的两个根，a1＝34，a3＝54是另一个方程的两个根．7 ∴16 ，1516分别为m 或n，∴｜m－n｜＝12，故选C．解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若＋s＝p＋q，则 a ＋a s＝a p＋a q，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝74，于是可得等差数列为14，34，54，74，∴m ＝716，n＝1516，∴｜m－n｜＝12 ．5．B解析：∵a2＝9，a5＝243，a5a23＝q＝2439＝27，∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，∴S4＝53 3－1 3－＝2402＝120．6．B解析：解法1：由a2 003 ＋a2 004 ＞0，a2 003 ·a2 004 ＜0，知a2 003 和a2 004 两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004 ，即a2 003 ＞0，a2 004＜0.∴S4 006 ＝4006( a1 a )＋4 0062＝4006( a a＋2 003 22004)＞0，∴S4 007 ＝40072·(a1＋a4 007 )＝40072·2a2 004 ＜0，故4 006 为S n＞0 的最大自然数. 选B．... ..解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法 1 的分析得a2 003 ＞0，a2 004 ＜0，∴S2 003 为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，( 第6 题) ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小，4 ∴0072在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧， 4 007，4 008 都在其右侧，S n＞0 的最大自然数是 4 006 ．7．B解析：∵{a n}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1，a3，a4 成等比数列，∴(a1＋4) 2 ＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．8．A9(a1 a )9解析：∵S9S5＝ 225(a1a )5＝95a5a3＝9559·＝1，∴选A．9．A4 解析：设 d 和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q，2∴d＝－1，q ＝2，a2 ∴b2 a1d＝ 2q＝12．10．C解析：∵{a n}为等差数列，∴ 2 a ＝an－1＋a n＋1，∴n2a ＝2a n，n...又a n≠0，∴a n＝2，{a n}为常数数列，..而a n＝S n22n11，即2n－1＝382＝19，∴n＝10．二、填空题11．3 2 ．解析：∵f( x)＝1x ，2 2∴f (1－x)＝11 x ＝2 2 2x22 2x＝1222x2x，∴f (x )＋f (1－x)＝2 1x2＋122x2x2＝1122x2x2＝12(22x2x2 )＝22．设S＝f (－5)＋f(－4)＋?＋f (0)＋?＋f (5) ＋f (6) ，则S＝f (6) ＋f (5) ＋?＋f (0) ＋?＋f (－4)＋f (－5)，∴2S＝[f(6) ＋f (－5)] ＋[f(5) ＋f (－4)] ＋?＋[f(－5)＋f (6)] ＝6 2 ，∴S＝f (－5)＋f (－4)＋?＋f (0) ＋?＋f (5) ＋f (6) ＝3 2 ．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a3·a5＝ 2a ，得a4＝2，4∴a2·a3·a4·a5·a6＝ 5 a ＝32．4（2）a1( a1a2a23242)q 362q19，4∴a5＋a6＝(a1＋a2)q＝4．S a a a a 2＝＋＋＋＝4 1 2 3 44 （3）q ＝24S a＝ a a S S q＋＋＋＝＋8 1 2 8 4 4，16∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q ＝32．13．216．...解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与83 ，272同号，由等比中项的中间数为83 27283＝6，插入的三个数之积为×272×6＝216．..14．26．解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，∴S13＝13( a1 a13 )＋2＝13( a4 a10 )＋2＝13 42＝26．15．－49．解析：∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋?＋a10＝7(a a4＋)102＝7(a5 d a5 5d) －＋＋2＝7( a5＋2d) ＝－49．16．5，12(n＋1)( n－2)．解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f (k －1) ＋(k－1)．由f (3) ＝2，f (4)＝f (3) ＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4) ＋4＝2＋3＋4＝9，??f (n)＝f(n－1)＋(n－1)，相加得 f (n)＝2＋3＋4＋?＋(n－1)＝12(n＋1)( n－2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数．证明：（1）n＝1 时，a1＝S1＝3－2＝1，... ..2 2当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝3n －2n－[3( n－1) －2(n－1)]＝6n－5，n＝1 时，亦满足，∴a n＝6n－5( n∈N*)．首项a1＝1，a n－a n－1＝6n－5－[6( n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，∴数列{a n}成等差数列且a1＝1，公差为6．（2）∵1a，1b，1c成等差数列，2b ∴＝1a＋1c化简得2ac＝b( a＋c)．b＋a c＋a＋bc＝2 2bc＋c ＋a ＋acab＝(ba c ＋＋)ac2＋2a c＝(a＋c)ac2＝(ac)＋b(ac)＋2a＋＝2·bc，b＋∴a c ，c＋ba ，a＋bc也成等差数列．218．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q ＝a1＋a1q，∵a1≠0，∴2q 2－q－1＝0，∴q＝1 或－12 ．（2）若q＝1，则S n＝2n＋n(n－1)2 ＝2 nn 3＋2．( n－1)( n＋2)当n≥2 时，S n－b n＝S n－1＝＞0，故S n＞b n．2若q＝－12，则S n＝2n＋n(n－1)2(－12)＝－ 2 nn ＋94．当n≥2 时，S n－b n＝S n－1＝( n 1 n－1)( 0－)4，故对于n∈N+，当2≤n≤9 时，S n＞b n；当n＝10 时，S n＝b n；当n≥11 时，S n＜b n．19．证明：∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝n＋2nS n，∴(n＋2) S n＝n( S n＋1－S n)，整理得nS n＋1＝2( n＋1) S n，所以S n＋1n 1＝2S nn．... ＋故{ S nn}是以 2 为公比的等比数列．20．证明：由a1，2a7，3a4 成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即 4 a1q 6 3 ＝a1＋3a1q，3 3变形得(4q ＋1)( q －1)＝0，∴q 3 ＝－143或q ＝1(舍)．..a (1 16 q )由S612S3＝112a (11q 1＝3q )3q12＝116；1 qa (1112q )S12S6 S6 ＝S12S6－1＝1a (11q6q )6－1＝1＋q －1＝116；得S612S3＝S12S6S6 ．1 q∴12 S3，S6，S12－S6 成等比数列．单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。

数列综合练习题一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。

第四讲 数列求和A 组基础巩固一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( A )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n[解析] 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和为( D )A ．100101B ．99100C ．101100D ．200101[解析] ∵a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝1＋n . ∴a n －a n －1＝n (n ≥2)．∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2.∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和为2⎝⎛ 1－12＋12－13⎭⎫＋…＋1100－1101＝2⎝⎛⎭⎫1－1101＝200101.故选D ． 3．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( D )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2[解析] 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1①，2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ②，所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.4．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝(－1)n (2n －1)，则S 2021＝(B )A ．2 021B ．－2 021C ．－4 041D ．4 041[解析] 本题考查用并项相加求数列的前n 项和．由已知a n ＝(－1)n ·(2n －1)，a 2 021＝(－1)2 021(2×2 021－1)＝－4 041，且a n ＋a n ＋1＝(－1)n (2n －1)＋(－1)n ＋1(2n ＋1)＝(－1)n ＋1(2n ＋1－2n ＋1)＝2×(－1)n ＋1，因而S 2 021＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 019＋a 2 020)＋a 2 021＝2×1 010－4 041＝－2 021.5．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是( D )A ．2n ＋1＋n －2 B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2[解析] 因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2. 6．(2021·江西宁都中学线上检测)已知f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 020)＝( D )A ．2 0192B ．1 010C ．2 019D ．2 020[解析] 本题综合考查函数与数列相关性质．∵f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，∴f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝21＋x 2＋2x 21＋x 2＝2.∵等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，∴a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 2 020a 1＝1，∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝f (a 2)＋f (a 2 019)＝…＝f (a 2 020)＋f (a 1)＝2，∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2 020)＝2 020.7．(2021·重庆月考)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n a n －1＝2nn －1(n ≥2，n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则下列不正确的是( C )A ．a 2＝－8B ．a n ＝－2n ·nC ．S 3＝－30D ．S n ＝(1－n )·2n ＋1－2[解析] 由题意可得，a 2a 1＝2×21，a 3a 2＝2×32，a 4a 3＝2×43，…，a n a n －1＝2×nn －1(n ≥2，n ∈N *)，以上式子左、右分别相乘得a n a 1＝2n －1·n (n ≥2，n ∈N *)，把a 1＝－2代入，得a n ＝－2n ·n (n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝－2符合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ·n (n ∈N *)，a 2＝－8，故A ，B 正确；S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，则2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2(n ∈N *)，故S 3＝－34，故C 错误，D 正确．8．(理)数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，以下说法不正确的是( B ) A ．a 24＝38B ．数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列C ．数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4D ．若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57(文)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( C ) A ．n 24B ．(n －1)24C ．n (n －1)4D ．n (n ＋1)4[解析] (理)对于选项A ，a 22＝18，a 23＝28，a 24＝38，故A 正确．对于选项B 、C ，数列12，1，32，2，…等差数列，T n ＝n 2＋n 4，故B 错，C 正确．对于选项D ，S 21>10，S 20<10，a 20＝57，正确．故选B ．(文)依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 24⎣⎡ 11×2＋12×3＋…＋⎦⎤1(n －1)n＝n 24⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24×n －1n ＝n (n －1)4.故选C ． 二、填空题 9.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝ 34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 .[解析] ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 10．(2021·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 1＝2，a n＋1＝a n ＋2n －1＋1，则S 10＝__1_078__.[解析] a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1⇒a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1.＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .S 10＝1＋2＋22＋…＋29＋10×112＝1 078.11．(2021·海南三亚模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，数列{b n }满足b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 4＝__24__，T 30＝__650__.[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －n 2－[10(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋11，当n ＝1时也满足，所以a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)，所以当n ≤5时，a n >0，b n ＝a n ，当n >5时，a n <0，b n ＝－a n ，所以T 4＝S 4＝10×4－42＝24，T 30＝S 5－a 6－a 7－…－a 30＝2S 5－S 30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.12．(2021·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 为偶数3a n ＋1，a n 为奇数，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝__4_709__. [解析] 由已知得a 1＝1，a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，周期为3的数列，a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4 709.三、解答题13．(2021·山东枣庄八中模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19，又q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)由(1)及题意可得b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2，故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝－2n n ＋1.14．(2021·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{a n }的首项a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n ＝n2n ＋1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n ＝n2n ＋1知⎩⎨⎧1a 1a 2＝131a 1a 2＋1a 2a 3＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 2＝3a 2a 3＝15，设等差数列{a n }的公差为d ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(a 1＋d )＝3(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝－2，又a 1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝(a n ＋1)·2a n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ， 两边同时乘以4得4T n ＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，两式相减得－3T n ＝41＋42＋43＋44＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4×(1－4n )1－4－n ×4n ＋1，故T n ＝49＋3n －19·4n ＋1.B 组能力提升1．(2021·江苏连云港月考)设i 是虚数单位，则2i ＋3i 2＋4i 3＋…＋2 020i 2 019的值为( B ) A ．－1 010－1 010i B ．－1 011－1 010i C ．－1 011－1 012iD ．1 011－1 010i[解析] 本题考查等比数列的求和公式，错位相减法以及复数的乘除法运算，设S ＝2i ＋3i 2＋4i 3＋…＋2 020i 2 019，可得i S ＝0＋2i 2＋3i 3＋4i 4＋…＋2 019i 2 019＋2 020i 2 020，两式相减可得(1－i)S ＝2i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2 019－2 020i 2 020＝i ＋i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2 019－2 020i 2 020＝i ＋i (1－i 2 019)1－i －2 020i 2 020＝i ＋i (1＋i )1－i －2 020＝i ＋i (1＋i )22－2 020＝－2 021＋i ，可得S ＝－2 021＋i 1－i＝(－2 021＋i )(1＋i )2＝－1 011－1 010i.2．(2021·山东济宁期末)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则下列说法正确的是( C )A ．a 5＝－32B ．S 5＝－63C ．数列{a n }是等比数列D ．数列{S n ＋1}是等比数列[解析] 因为S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，所以a 1＝S 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C 正确；a 5＝－1×24＝－16，故A 正确；S n ＝2a n ＋1＝－2n ＋1，所以S 5＝－25＋1＝－31，故B 错误；因为S 1＋1＝0，所以数列{S n ＋1}不是等比数列，故D 错误．故选C ．3．(2021·益阳、湘潭调研考试)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( B ) A ．4 0352 018B ．4 0332 017C ．2 0172 018D ．2 0162 017[解析] 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2，当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.故选B ．4．若{a n }是公比为q (q ≠0)的等比数列，记S n 为{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是( D )A ．若{a n }是递增数列，则a 1<0，q <0B ．若{a n }是递减数列，则a 1>0,0<q <1C ．若q >0，则S 4＋S 6>2S 5D ．若b n ＝1a n，则{b n }是等比数列[解析] A 选项中，a 1＝2，q ＝3，满足{a n }单调递增，故A 错误；B 选项中，a 1＝－1，q ＝2，满足{a n }单调递减，故B 错误；C 选项中，若a 1＝1，q ＝12，则a 6<a 5，S 6－S 5<S 5－S 4，故C 错误；D 选项中，b n ＋1b n ＝a n a n ＋1＝1q(q ≠0)，所以{b n }是等比数列．故D 正确．故选D ．5．(2021·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和T n ，求T 2n .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝103＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝2. ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1. (2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)， 则n 为奇数，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2，n 为偶数，c n ＝2n －1.∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．。

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。

答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。

答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。

答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。

答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。

答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。

答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。

高考数学数列专题复习综合检测一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列{}n a 中，155=a ，则8642a a a a +++的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 1202.等比数列{}n a 的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{}n a 的首项为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 83.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，492-=n a n ，则n S 达到最小值时，n 的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 254.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，122221-++++=n n a ，则n S 的值为（ ）A. 12-nB. 121--n C. 22--n nD. 221--+n n5.等比数列{}n a 中，2321=++a a a ，4654=++a a a ，则=++121110a a a （ ） A. 32 B. 16 C. 12 D. 86.数列{}n a 中，11++=n n a n ，若前n 项和9=n S ，则项数n 等于（ ）A. 96B. 97C. 98D. 997.某工厂去年的产值为P ，计划在5年内每年比上一年产值增长10％，则从今年起5年内该工厂的总产值为（ ）A.P )11.1(115- B.P )11.1(114- C.P )11.1(105- D.P )11.1(104-8.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21=a ，若数列{}n a +1也是等比数列，则n S 等于（ ）A. n 2B. n 3C. 221-+n D. 13-n二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，共30分) 9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，,52n nS n +=则=n a .10.在等差数列{}n a 中，0≠n a ，且431,,a a a 成等比数列，则其公比=q . 11.已知4个实数1,,,921--a a 成等差数列，5个实数1,,,,9321--b b b 成等比数列，则)(122a a b -⋅ . 12.已知等比数列{}n a 中，991,,0a a a n >为016102=+-x x的两个根，则=⋅⋅605040a a a .13..对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S . 三、解答题：．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14. 已知等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，155,7209==S a ，求：11a 及10S .15. 已知等比数列{}n a 各项为正数，n S 是其前n 项和，且,3451=+a a 6442=⋅a a . 求{}n a 的公比q 及n S .16. (14分)已知：公差不为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且421,,S S S 成等比数列. ⑴求数列421,,S S S 的公比q ；⑵若42=S ，求等差数列{}n a 的通项公式.17.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T b b b = ，且1n T =，求n 的值.18.数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21nn n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式；19．（本小题满分12分）已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -=（Ⅰ）试用含a 的代数式表示b ；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x Nxf x ，证明：线段M N 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；1.【解析】C. 8642a a a a +++.6045==a5. 【解析】B. 由题意，得 23=q ，=++121110a a a .16)(6654=++q a a a7.【解析】A.8.【解析】A. 数列{}n a +1是等比数列，∴1)21(3)21(22=⇒+=+q q q ，.2n S n =9.【解析】42+n .利用).2(1≥-=-n S S a n n n 10.【解析】1或21.11.【解析】8-. 1,,,921--a a 成等差数列，∴3814)9(112=----=-a a1,,,,9321--b b b 成等比数列，∴32-=b （32-=b 不合）∴8)(122-=-⋅a a b .12. 【解析】64.13. 【解析】.221-+n 1)1(+-=-=n nnx x x x y ，nn x n nxy )1(1+-='-， 122)2(-=⋅+-='n x n y ，当2=x 时，n y 2-=，切线：)2(2)2(21-⋅+-=+-x n y n n令0=x ，得 nn n a 2)1(+=，∴nn n a 21=+，∴.2221)21(21-=--=+n nn S14. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+==+=155190207812019d a S d a a （4分）解得，,21,31==d a （8分）∴ 82110311=⨯+=a ，2105219102131010=⨯⨯⨯+⨯=S . （13分）15. 【解析】 数列{}n a 是等比数列，∴645142=⋅=⋅a a a a ， （2分）又 ,3451=+a a ∴ 32,251==a a 或2,3251==a a ， （4分） 由0>n a ，当32,251==a a 时，nn S q 2,2==， （8分） 当2,3251==a a 时，4)21(,21+==n n S q （12分） 16.【解析】⑴设等差数列{}n a 的公差为d ，则4122S S S ⋅= ，即)64()2(1121d a a d a +=+（2分）0≠d ，∴12a d =，（5分） ∴421112=+==a d a S S q （7分）⑵由⑴知，12a d =， ① 42412=+⇒=d a S ② （9分） 由①②解得，2,11==d a ，∴12)1(21-=-+=n n a n . （14分）17. 【解析】解：⑴设数列{}n a 的公差为d ，则11202828a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ 2分，解得1222a d =-⎧⎨=⎩ 4分222(1)224n a n n ∴=-+-=- 6分⑵2242log 2242n n n b n b -=-∴= 8分2(12)24(1)241222n nn n nn n T b b b +++-+-∴=== 10分令(1)240n n n +-=，得23n = 12分 ∴当23n =时，1n T = 13分18. 【解析】⑴因为2n ≥时，2112 21nn n n n n n S a S S S S S --=-∴-=-得112n n n n S S S S ---=⋅由题意 0 (2)n S n ≠≥ ()1112 2nn n S S -∴-=≥又111S a == 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111S =为首项，2为公差的等差数列. （4分） ⑵由⑴有11(1)221nn n S =+-⨯=- ()1 21n S n Nn *∴=∈-2n ∴≥时，1112212(1)1(21)(23)n n n a S S n n n n -=-=-=------又111a S == 1 (1)2(2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩（8分） （Ⅰ）依题意，得2'()2f x x ax b =++ 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得321()(21)3f x x ax a x =++-故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++- 令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-①当1a >时，121a -<- 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a -- ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- （Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x =--由3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)- 所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。

大，这样可引起低血糖并造成大脑疲劳，从而影响大脑的正常发挥， 对考试成绩产生重大影响。 因此建议考生， 在用脑 60 分钟时， 开始补 饮 25%浓度的葡萄糖水 100 毫升左右，为一个高效果的考试 加油 。
二、考场记忆“短路”怎么办呢？
对于考生来说，掌握有效的应试技巧比再做题突击更为有效。
1.草稿纸也要逐题顺序写草稿要整洁，草稿纸使用要便于检查。不要 在一大张纸上乱写乱画，东写一些，西写一些。打草稿也要像解题一 样，一题一题顺着序号往下写。最好在草稿纸题号前注上符号，以确 定检查侧重点。 为了便于做完试卷后的复查， 草稿纸一般可以折成 4-8 块的小方格， 标注题号以便核查，保留清晰的分析和计算过程。
形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图） .
1
3
6
试问三角形数的一般表达式为（
A． n
B.
1 n(n 1)
2
10
） C.
15
n2 1
D.
1 n(n 1)
2
10．一个等比数列 { an} 的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（
）
A、 63
B
二、填空题 1. 在数列 an 中， a1
Tn
1 bn
1．
2
（1）求数列 an 的通项公式； （2）求证：数列 bn 是等比数列；
（3）记 cn
an 2 4
bn ，求
cn
的前 n 项和 Sn .
资料
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一、 考试中途应饮葡萄糖水
大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活 动,大脑细胞活动需要大量能量。 科学研究证实 ,虽然大脑的重量只占人 体重量的 2%-3%,但大脑消耗的能量却占食物所产生的总能量的 20%, 它的能量来源靠葡萄糖氧化过程产生。

3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

数列多选题单元综合模拟测评检测试题一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

数列单元检测题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和且8310S S -=，则11S 的值为 （ ）A. 12B. 18C. 22D. 242. 在等差数列{}n a 中，117925,a S S ==。

当数列的前n 项和最大时，n = （ ） A. 12B. 13C. 14D. 153. 若等比数列{}n a 的公比q =2，且前12项的积为212，则36912a a a a 的值为 （ ）A. 24B. 26C. 28D. 212 4. 已知等比数列{}n a 中，47562,8a a a a +==-，则110a a += （ ）A. 7B. 5C. －5D. －75. 已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为（ ）A. 10B. 20C. 30D. 406. 已知数列{}n a 的通项公式为2*2()n a n n n N λ=-∈，则“1λ＜”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如果一数列前7项的中位数，平均数与方差均相等，则称这个数列为“七子连心”数列，下列数列是“七子连心”数列的是 （ ）A. *()n a n n N =∈B. *9()n a n n N =-∈C. *2()n a n n N =∈D. *21()n a n n N =-∈8. 设函数3()(3)(1)f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，12()()f a f a ++7()14f a +=，则127a a a +++=（ ）A. 0B. 7C. 14D. 219. 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数）；设a ij (i , j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数，如428a =，若65,3i j ==，则ij a 的值为（ ）1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 ………… A. 2010B. 2051C. 2053D. 205510. 正项等比数列{}n a 中，存在两项*,(,)m n a a m n N ∈使得14a =，且7652a a a =+，则15m n+的最小值是（ ）A.74 B. 1 C.256D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上。

数列综合测试一、选择题。

(10×5’=50’)1、含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） A 、nn 12+ B 、nn 1+ C 、nn 1- D 、nn 21+解：)(,2))(1(222421211231n n n n a a n a a a S a a n a a a S +=+++=++=+++=++ 偶奇；又n n a a a a 22121+=++，nn S S 1+=∴偶奇。

2、若等差数列{}n a 共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和为286=n S ，则n= （ ）A 、25B 、26C 、26或27D 、27 解：由题意知214321=+++a a a a ，67321=+++---n n n n a a a a ，由等差数列性质知3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a . 88)(41=+∴n a a ，221=+∴n a a .又由)(21n n a a n S +=，即.26,222286=∴⨯=n n3、等差数列{}n a 中，1291,0S S a =<，数列前多少项和最小（ ） A 、9 B 、10 C 、11 D 、10或11 取最小值。

时，或当项起为正值。

，从第项均为负，因此数列的前数列为递增数列。

又解：n S n a a a a a a a S S 111012010.0.0,03,0,1111111121110129=∴=∴<=∴=∴=++∴=4、已知数列{}n a 的前n 项和1-=nn a S （a 是不为0的常数），那么数列{}n a （ ）A 、一定是等差数列B 、一定是等比数列C 、或者是等差数列或者是等比数列D 、既不是等差数列也不是等比数列{}{}Ca a a a a a a a N n aa a n aa a a S S a n a S a a S n nn n n n n n n nn n n nn 答案：为等比数列。

数列多选题达标测试综合卷检测试题一、数列多选题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ）A ．若21,n S n =-则{}n a 是等差数列B ．若21,nn S =-则{}n a 是等比数列C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则221212n n n S S S -+⋅>【答案】BC 【分析】由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与22S 大小即可判断D. 【详解】对于A 选项，若21n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A错误；对于B 选项，若21nn S =-，则1112,21,1n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()199995099992a a S a +==，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，()()222222132111110S S S a q qa q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时不等式不等式，故221212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.故选：BC 【点睛】本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数列，则()2121n n S n a -=-.2．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.3．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】 计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.4．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=- C ．1n n a a +> D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t ta a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-，因为800t <，所以7280002t->，所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC 【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.5．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确．故选：AC ． 【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.7．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.8．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =-又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.二、平面向量多选题9．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A B C D 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()1313134247777μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭423+=. 当且仅当3μλ=时，等号成立.所以，λμ+的最小值为423+，ABC 选项均不满足423λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()PA x y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-即()2,2PB x y PC --+=所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222x y =+-即()PA PB PC ⋅+22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥-故选：BCD.【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。

目录第 1 讲等差等比的运算及性质1第 2 讲数列求通项7第 3 讲数列求和13第 4 讲基础检测卷-数列20第 5 讲中档检测卷-数列23参考答案与解析25第1讲等差等比的运算及性质第 1 讲等差等比的运算及性质本书所有选择题均为单选题，有且只有一个选项是正确的．本模块适合30-60分水平学生（满分150分）．数列的概念与表示练1（★☆☆☆☆）下列四个数中，是数列中的一项的是（）A. B. C. D.练2（★★☆☆☆）数列，，，，的项数是（）A. B. C. D.练3（★★☆☆☆）观察下列各式：，，，，，，则（）A. B. C. D.题型精练【一轮闯关训练】-数列等差数列计算练4（★★☆☆☆）已知等差数列的首项，且满足，则1．练5（★★★☆☆）已知的三个内角，，成等差数列，则角等于（）A. B. C. D.不能确定练6（★★★☆☆）设为等差数列的前项和，已知，，则（）A. B. C. D.等比数列计算练7（★★☆☆☆）等比数列，，，的第四项等于（）A. B. C. D.练8（★★★☆☆）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.练9（★★☆☆☆）设是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前项的和为（）A. B. C. D.第1讲等差等比的运算及性质本模块适合60-90分水平学生（满分150分）．等差数列中的计算练10（★★★☆☆）记为等差数列的前项和．若，，则1．练11（★★★☆☆）设数列，都是等差数列，若，，则1．练12（★★☆☆☆）设为等差数列的前项和，若，公差，，则（）A. B. C. D.等比数列中的计算练13（★★★☆☆）设是等比数列，且，，则（）A. B. C. D.练14（★★★☆☆）记为等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.练15（★★★☆☆）在数列中，，，为的前项和，若，则1．题型精练【一轮闯关训练】-数列本模块适合90-120分水平学生（满分150分）．等差等比综合计算练16（★★★☆☆）数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则1．练17（★★☆☆☆）设（），则等于（）A. B. C. D.练18（★★★☆☆）已知等差数列的前项和为，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是（）A. B. C. D.练19（★★★☆☆）数列中，，，若，则（）A. B. C. D.等差等比的函数性质练20（★★☆☆☆）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（）A. B. C. D.第1讲等差等比的运算及性质练21（★★★☆☆）在等差数列中，，，记（，，），则数列（）A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项练22（★★★☆☆）下列关于公差的等差数列的四个命题：：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列；：数列是递增数列．其中的真命题为（）A.，B.，C.，D.，练23（★★★☆☆）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（）A.若，则数列有最大项B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列数列应用练24（★★☆☆☆）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（，）个圆环所需移动的最少次数，满足，且为偶数（，），则解下个圆环所需移动的为奇数最少次数为（）A. B. C. D.练25 （★★★☆☆）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第五节的容积为（ ）A.升B.升C.升D.升练26 （★★★☆☆）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石）．环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块．则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A.块B.块C.块D.块题型精练【一轮闯关训练】-数列第2讲数列求通项第 2 讲数列求通项本书所有选择题均为单选题，有且只有一个选项是正确的．本模块适合30-60分水平学生（满分150分）．等差等比数列的判断练1（★★☆☆☆）已知数列，对任意的，点都在直线上，则为（）A.公差为的等差数列B.公差为的等差数列C.公差为的等差数列D.非等差数列练2（★★☆☆☆）若数列的通项公式为（），则下列选项中正确的是（）A.以为首项，为公比的等比数列B.以为首项，为公比的等比数列C.以为首项，为公比的等比数列D.以为首项，为公比的等比数列累加法求通项练3（★★☆☆☆）在数列中，已知，，则（）A. B. C. D.题型精练【一轮闯关训练】-数列练4（★★☆☆☆）已知数列满足，，则的通项公式为（）A. B.C. D.累乘法求通项练5（★★★☆☆）数列中，若，，则数列的通项公式（）A. B. C. D.与互化求通项练6（★★★☆☆）已知数列的前项和为，，，则当时，（）A. B. C. D.练7（★★☆☆☆）已知数列的前项和为，则（）A. B. C. D.本模块适合60-90分水平学生（满分150分）．累加法求通项练8（★★★☆☆）数列的首项为，是以为首项，以为公比的等比数列，且（），则（）A. B. C. D.第2讲数列求通项练9（★★★☆☆）在数列中，，，则（）A. B. C. D.累乘法求通项练10（★★★☆☆）在数列中，，，则为（）A. B. C. D.练11（★★★☆☆）已知数列中，，，其中，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.类一阶线性递推练12（★★☆☆☆）已知数列满足，，则（）A. B. C. D.与互化求通项练13（★★★☆☆）设数列的前项和为，若，，成等差数列，则的值是（）A. B. C. D.题型精练【一轮闯关训练】-数列练14（★★☆☆☆）已知函数的前项和满足，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.构造等差数列求通项练15（★★★☆☆）数列中，已知，，则的通项公式为（）A. B. C. D.练16（★★★☆☆）若数列满足，，则1．构造等比数列求通项练17（★★★☆☆）在数列中，若，（），则该数列的通项1．练18（★★★☆☆）已知数列满足，且且，则数列的通项公式为（）A. B. C. D.第2讲数列求通项本模块适合90-120分水平学生（满分150分）．构造等差数列求通项练19（★★★☆☆）在数列中，，，若，则等于（）A. B. C. D.练20（★★★☆☆）已知数列满足，，若（，），则数列的通项（）A. B. C. D.构造等比数列求通项练21（★★★☆☆）已知数列满足：，（），则数列的通项公式为（）A. B. C. D.练22（★★★☆☆）已知数列满足：，，（）．若，则数列的通项公式是（）A. B. C. D.练23（★★★☆☆）已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式．题型精练【一轮闯关训练】-数列与互化求通项练24（★★☆☆☆）记为数列的前项和．若，则1．练25（★★★☆☆）是数列的前项和，，，1．练26（★★★☆☆）已知数列是一个公差大于的等差数列，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）数列和数列满足等式（），求数列的前项的和．第3讲数列求和第 3 讲数列求和本书所有选择题均为单选题，有且只有一个选项是正确的．本模块适合30-60分水平学生（满分150分）．利用等差等比基本公式求和练1（★★☆☆☆）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列。

第4讲-数列综合应用一基础知识过关训练差比数列的前n 项和求法设{}n a 为等差数列，公差为d ，{}n b 为等比数列，公比为q ，数列{}n c 满足：n n n c a b =，其前n 项和n T 一般用如下方式求得 由11223311n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++ （1）有11223311n n n n n qT qa b qa b qa b qa b qa b --=+++++12233411n n n n a b a b a b a b a b -+=+++++ （2）（1）-（2）得：11231(1)n n n n q T a b db db db a b +-=++++-11231()n n n a b d b b b a b +=++++- （3）由（3），采用常规方法即可求得n T例1（1）已知数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若226a =，则所有九个数的和为___________.（2）设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．w.w.【解析】（1）数阵中的9个数之和为： 111213212223313233()()()a a a a a a a a a ++++++++122232223333354a a a a =++=⨯=【巧解】依定义，22a 为这9个数的“重心”， 故此9个数之和为22954a =。

（2）易知1112=41a b a +=-，又11111222122221111n n n n n n n n a a a b b a a a -----++++====---+， 故{}n b 是以14b =为首项，2为公比的等比数列，故11422n n n b -+=⨯=【巧解】易知14b =，28b =，316b =，可猜12n n b +=例2.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.【解析】易知9101112128a a a a S S +++=-；由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-24(6)S =+综上可得：224449101112128444444(6)123636361221224S S S a a a a S S S S S S S S ++++++=-===++≥⨯+= 当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.【提醒】244(6)S S +也可这样处理：22444444(26)(6)2424S S S S S S +≥==，易验证等号可取。

小学综合算式专项测题数列的综合计算小学综合算式专项测题：数列的综合计算数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。

在数学的学习过程中，我们经常会遇到需要计算数列的综合值的情况。

本文将针对小学阶段的数学学习，介绍数列的基本概念和综合计算的方法，并提供一些专项测题，供同学们练习和巩固知识。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

其中每个数字称为数列的项，项与项之间的关系称为数列的通项公式或者递推公式。

通常用字母a、b、c等表示数列的项，用n表示数列的项数。

二、数列的综合计算方法数列的综合计算是指计算数列的所有项的和。

常见的数列综合计算方法有两种：等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值保持不变的数列。

设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，则等差数列的综合计算公式为：S_n = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，S_n表示等差数列的前n项和。

2. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值保持不变的数列。

设等比数列的首项为a，公比为q（q≠0），项数为n，则等比数列的综合计算公式为：S_n = a(1 - q^n) / (1 - q)其中，S_n表示等比数列的前n项和。

三、专项测题1. 求解等差数列的前n项和已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前10项和。

解：根据等差数列的求和公式，代入a=2, d=3, n=10，可得：S_n = (10/2)(2 × 2 + (10-1) × 3)= 5(4 + 9 × 3)= 5(4 + 27)= 5 × 31= 155故该等差数列的前10项和为155。

2. 求解等比数列的前n项和已知等比数列的首项为3，公比为2，求该数列的前5项和。

解：根据等比数列的求和公式，代入a=3, q=2, n=5，可得：S_n = 3(1 - 2^5) / (1 - 2)= 3(1 - 32) / (-1)= 3(-31) / (-1)= 93故该等比数列的前5项和为93。

数列综合练习题在数学中，数列是指按照一定规律排列的一系列数字。

数列综合则是指求解数列中所有数值的和。

本文将为大家提供一些数列综合的练习题，通过解题来提升对数列综合的理解和应用能力。

1. 求解等差数列的综合等差数列是指数列中的每一项与其前一项的差都相等。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。

题目一：求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前10项的和。

解析：该等差数列的首项a为1，公差d为2，前10项的和可以通过等差数列求和公式进行计算：S = (2a + (n - 1)d) * n / 2代入a = 1, d = 2, n = 10得到：S = (2 * 1 + (10 - 1) * 2) * 10 / 2 = 100所以，等差数列1, 3, 5, 7, 9的前10项的和为100。

题目二：已知等差数列的首项为-3，公差为4，求该等差数列的前15项的和。

解析：根据题目中的条件，可以使用等差数列求和公式来解题：S = (2a + (n - 1)d) * n / 2代入a = -3, d = 4, n = 15得到：S = (2 * (-3) + (15 - 1) * 4) * 15 / 2 = 195所以，该等差数列的前15项的和为195。

2. 求解等比数列的综合等比数列是指数列中的每一项与其前一项的比值都相等。

例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个公比为2的等比数列。

题目三：求解等比数列1, 2, 4, 8, 16的前5项的和。

解析：等比数列的首项a为1，公比r为2，前5项的和可以通过等比数列求和公式进行计算：S = a * (1 - r^n) / (1 - r)代入a = 1, r = 2, n = 5得到：S = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31所以，等比数列1, 2, 4, 8, 16的前5项的和为31。

题目四：已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求该等比数列的前8项的和。