逻辑代数的基本定律

逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。

逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。

逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：1. 同一律同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。

即A ∧ T = A，A ∨ F = A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。

例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。

同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。

2. 恒等律恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。

即A ∧ A = A，A ∨ A = A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。

例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。

同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。

3. 交换律交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。

即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。

例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。

同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。

4. 结合律结合律是指一个逻辑表达式中的多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。

即A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C，A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C。

这个定律的意思是，当逻辑表达式中有多个变量相与（或相或）时，可以任意加括号，而结果不变。

例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ (B ∧ C)，它与表达式(A ∧ B) ∧ C 相与的结果是相等的。

数字电子技术基础13. 逻辑代数中的基本定律主讲人：杨聪锟1. 布尔代数概述摩根定律 常量与变量之间的基本逻辑关系 交换律、结合律、分配律 布尔 代数常用 公式基本 定律 反演定律 对偶定律化简公式 求反公式 带入定律 多余项定律 吸收定律 1、2、3 推广一 推广二 推广三 推广四在任何包含变量 A 的逻辑公式中，若以另外一个逻辑表达式带入公式中所有 A 的位置（即替换 A ），公式仍然成立。

D AC D C B A D ABC F =+=A B C D A B C D A B C D +++=⋅++==⋅⋅⋅吸收定律1： AB A AB =+摩根定律： BA B A ⋅=+摩根定律的 推广二 原函数 反函数④ 长非号不变，保证原先运算优先级。

① “与”、“或”对调； ② 原变量、反变量对调； ③ 0、1对调；注意逻辑运算的优先级 【例】已知 ,求反函数 。

0+++=E D C B A F F 解： 1)(⋅⋅+⋅+=E D C B A F同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。

① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； 解： CA AB BC C A AB +=++【例】写出多余项定律的对偶式，且加以证明。

))(())()((C A B A C B C A B A ++=+++同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。

① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； A B A AB =+AAB A =+B A B A A +=+A B A A =+)(A B A B A =++))((ABB A A =+)(增加异或、同或的关系，对偶定律的推广 同样要注意 逻辑运算优先级 原表达式 对偶式④ 长非号不变，保证原先运算优先级。

① “与”、“或”对调；② 0、1对调；③ 变量不变； 使用对偶定律，可以根据一个成立的逻辑公式，得到与其结构上满足对偶关系的新公式。

数字电路--逻辑代数的基本运算定律
逻辑代数的基本定律可以用真值表证明：
分别列出等式两边的真值表，如果等式两边对于变量的可能取值所得的结果相符，就证明该公式是正确的。

如：证明
A +
B ·
C = (A + B) ·(A + C) 成立
逻辑代数中的基本公式只反映了变量之间的逻辑关系，而不是数量之间的关系。

在运算中不能把初等代数的其他运算规律套用到逻辑代数中。

例如，等式两边不允许移项，因为逻辑代数中没有减法和除法。

在进行逻辑运算时，按先算括号、再算乘积、最后算加法的顺序进行，与普通代数是一样的。

最简的与或表达式的条件：在不改变逻辑关系的情况下，首先乘积项的个数最少，在此前提下，其次是每一个乘积项中变量的个数最少。

逻辑函数的化简方法l代数化简法l卡诺图化简法
2．卡诺图化简法
卡诺图—将真值表按一定的规则转换成相应变量的方格图
最小项—在一个有n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。

（1）卡诺图的画法
由卡诺图可以看到，任何两个相邻小方格中的最小项仅有一个变量不同。

因而卡诺图边框的变量取值的填法，每次只改变一个变量的值以实现相邻的最小项只有一个变量不同。

2) 由逻辑表达式画卡诺图
与或式→每个乘积项所包含的最小项填“1”，其余的填“0”。

逻辑代数基本定律规则及常⽤公式在四则运算中，我们知道有交换律、结合律以及分配律等。

那么在逻辑运算中，也有它⾃⼰的基本定律，下⾯将介绍逻辑代数运算中的基本定理。

逻辑代数基本定理1.0、1定律0、1定律描述的是单个变量A和0、1之间的运算规则。

其中有以下四条定律：（1）A·0=0，即A和0相与始终为0；（2）A·1=A，即A与1相与结果为A；（3）A+0=A，即A和0相或结果为A；（4）A+1=1，即A和1相或始终为1。

2.重叠律重叠率描述逻辑变量A和其⾃⾝的运算。

（1）A·A=A，即A和⾃⼰相与等于它本⾝；（2）A+A=A，即A和⾃⼰相或亦等于它本⾝。

3.互补律互补律描述A和⾃⾝的反变量¬A之间的关系。

（1）A·¬A=0，即A和⾃⾝反变量相与始终为0；（2）A+¬A=1，即A和⾃⾝反变量相或始终为1。

证明：由于A和¬A之间⾄少有⼀个为0，即⼆者不可能全为1，所以相与得0；同时，A和¬A之间⾄少有⼀个为1，满⾜或运算的“有1出1”，所以相或得0。

4.还原律A的反变量再取反，等于本⾝，即¬(¬A)=A。

5.交换律在此定律及之后的定律中，都将会涉及到两个及以上的逻辑变量。

交换律即两个逻辑变量运算时交换位置，结果不变。

（1）A·B=B·A，即A 与B等于B与A；（2）A+B=B+A，即A或B等于B或A。

6.结合律结合律指三个及以上变量相与或相或时，可以使任意两个变量先进⾏运算，再去和别的变量进⾏运算。

（1）(A·B)·C=A·(B·C)，即A与B后再与C，等于B与C后再与A。

（2）(A+B)+C=A+(B+C)，即A或B后再或C，等于B或C后再或A。

7.分配律逻辑代数的分配律和四则运算的分配律很类似，但是有⼀些不同。

（1）A·(B+C)=A·B+A·C，即A和B或C相与，等于A和B、C分别相与，然后进⾏或运算；（2）(A+B)·(A+C)=A+B·C，这⼀条定律显得有⼀些特殊，它的结果并不像四则运算中展开后有四项的形式，实际上，我们可以这样的得到：(A+B)·(A+C)=A·A+A·C+A·B+B·C=A+AC+AB+BC=A(1+B+C)+BC=A·1+BC=A+BC。

逻辑代数中的基本定律和公式
逻辑代数是一种用来研究逻辑的数学，它通过使用变元和逻辑公式来描述逻辑系统，它被用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。

它还可以帮助我们理解计算机语言、逻辑设计和许多其他类型的数学理论。

基本定律和公式是逻辑代数的基础，它们用来描述一个逻辑系统的行为。

以下是一些常见的定律和公式：* 交换律：如果A和B是同类元素，则A+B = B+A。

* 结合律：如果A、B和C是同类元素，则A+（B+C）=（A+B）+C。

* 分配率：如果A、B和C是同类元素，则A（B+C）= AB + AC。

* 吸收律：如果A和B是同类元素，则A+AB=A。

* 对立律：如果A是一个元素，则A+ A'=
1，其中A'是A的补充。

* 析取律：如果A和B是同类元素，则A+B'=A'B。

* 推理律：如果A和B是同类元素，则A→B = A'+B。

* 合取律：如果A和B是同类元素，则A+B = A'B'。

这些定律和公式提供了一种方法来描述逻辑系统的行为，这些定律和公式可以用来构建逻辑系统，并且可以用来解释和分析逻辑系统的行为。

它们也可以用来构建计算机语言，并用来解释和分析计算机语言的行为。

因此，我们可以看出，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的工具，它们可以帮助我们理解和分析逻辑系统，也可以帮助我们理解和分析计算机语言的行为。

此外，它们还可以用来解释和分析许多不同类型的逻辑结构。

因此，逻辑代数中的基本定律和公式是一种非常重要的研究工具，它们可以帮助我们理解和探索逻辑系统的行为，从而有助于我们更好地理解和设计逻辑系统。

逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。

在实际中，可以通过列真值表来判断。

二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。

由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。

三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。

1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。

利用代入规则可以扩大定理的应用范围。

例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。

逻辑代数基本定律逻辑代数是一门研究逻辑关系的数学分支。

在逻辑代数中，有许多基本定律可以帮助我们理解和分析逻辑关系。

本文将介绍逻辑代数的基本定律，希望能够以生动、全面、有指导意义的方式来展示这些定律的重要性和应用。

第一个基本定律是交换律。

交换律告诉我们，对于逻辑运算而言，两个表达式的次序不会影响最终的结果。

也就是说，无论是与运算还是或运算，两个表达式的顺序都可以随意交换。

这一定律的生动例子可以是两个朋友来到一个餐馆，无论他们是坐在一起还是分开坐，最后都是一起进餐，结果是一样的。

第二个基本定律是结合律。

结合律告诉我们，在逻辑运算中，无论是与运算还是或运算，多个表达式可以按照不同的方式组合，最终的结果都是一样的。

例如，对于三个命题A、B和C，无论我们是先对A和B进行与运算，再与C进行与运算，还是先对B和C进行与运算，再与A进行与运算，最终的结果都是一样的。

第三个基本定律是分配律。

分配律告诉我们，在逻辑运算中，一个逻辑表达式可以与一个逻辑运算的结果进行分配，同时保持逻辑等价。

这一定律在代数中也有类似的应用。

例如，对于命题A、B和C，我们可以将A与B进行或运算，再与C进行与运算，结果与先将A和C 进行与运算，再将B和C进行与运算，然后将两个结果进行或运算，得到的结果是一样的。

第四个基本定律是德·摩根定律。

德·摩根定律告诉我们，在逻辑运算中，当取反运算作用于一个由与和或运算构成的复合命题时，先取反再进行与运算，等价于先将每个部分取反，然后再进行或运算；先取反再进行或运算，等价于先将每个部分取反，然后再进行与运算。

这一定律的一个生动的例子是在布尔代数中，将一个复杂的逻辑表达式进行简化时，可以通过应用摩根定律来实现。

综上所述，逻辑代数的基本定律帮助我们理解和分析逻辑关系。

交换律告诉我们顺序不影响结果，结合律告诉我们组合方式不影响结果，分配律告诉我们运算的分配方式不影响结果，摩根定律告诉我们取反运算的顺序可以改变。

逻辑代数的基本定律和常用公式1、基本定律逻辑代数是一门完整的科学。

与普通代数一样，也有一些用于运算的基本定律。

基本定律反映了逻辑运算的基本规律，是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本方法。

（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）反演律（德·摩根定律）2、基本公式（1）常量与常量（2）常量与变量（3）变量与变量3、常用公式除上述基本公式外，还有一些常用公式，这些常用公式可以利用基本公式和基本定律推导出来，直接利用这些导出公式可以方便、有效地化简逻辑函数。

（1）证明：上式说明当两个乘积项相加时，若其中一项（长项：A·B）以另一项（短项：A）为因子，则该项（长项）是多余项，可以删掉。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“长中含短，留下短”。

（2）证明：上式说明当两个乘积项相加时，若他们分别包含互为逻辑反的因子（B和），而其他因子相同，则两项定能合并，可将互为逻辑反的两个因子（B和）消掉。

（3）证明：上式说明当两项相加时，若其中一项（长项：·B）包含另一项（短项：A）的逻辑反（）作为乘积因子，则可将该项（长项）中的该乘积因子（）消掉。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“长中含反，去掉反”。

例如：（4）证明：上式说明当3项相加时，若其中两项（AB和C）含有互为逻辑反的因子（A和）,则该两项中去掉互为逻辑反的因子后剩余部分的乘积（BC）称为冗余因子。

若第三项中包含前两项的冗余因子，则可将第三项消掉，该项也称为前两项的冗余项。

该公式可用一个口诀帮助记忆：“正负相对，余（余项）全完”。

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