第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析2 [兼容模式]
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uL 1 t 0
1 L
t 0
L R
18
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三、单位阶跃响应和单位冲激响应关系 e(t ) R(t) 响应 激励
零状态
单位阶跃
单位阶跃响应
(t )
(t)
单位冲激
s(t)
单位冲激响应
d (t ) dt d h(t ) s (t ) dt
(t)
h(t)
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【例】 求:is (t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC (t). 解 先求单位阶跃响应： 令 uC(0+)=0 iS(t) R
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7.5 一阶电路的阶跃响应
一、单位阶跃函数
（一）定义
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
1 0 t
(t)
（二）单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1 0 t0 t
(t t0 )
0 (t t0 ) 1 (t t0 )
1
（三）单位阶跃函数的作用
iS (t ) (t )
t 1 ) (t ) 1 e RC (t ) e RC (t ) C C t
R (1 e
f (t ) (t ) f (0) (t ) i d [e RC (t )] C dt
e
t RC
t t 1 RC 1 RC e (t ) (t ) e (t ) (t ) RC RC
电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
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(2) t > 0+ RL放电
L R
1 e t0 L R t u L iL R e L 1 iL
1 iL (0 ) L t
R
+ uL -
iL L
t0
iL
L
e (t )
t
R t u L (t ) e (t ) L iL
C[uC (0 ) uC (0 )] 1
uC (0 )
1 uC ( 0 ) 15 C
(2) t > 0+ 为零输入响应（RC放电）
uC
t 1 RC e C
t0
t RC
iC
R
C
+ 1 uC uC (0 )
u 1 iC C e R RC
iC C duC 1 2t e (t ) mA dt 5
5 (t )
ic
ic
100F
10
5 (t 0.5)
5
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分段表示为：iC
e2t (t ) e2 ( t 0.5) (t 0.5)
(t 0.5) 0
0 t 0.5 (t ) 1
1 iC(mA) 0.368 0 -0.632
11
波形
0.5
t(s)
7.6 一阶电路冲激响应
一、单位冲激函数
（一）定义
(t ) 0 (t 0) (t ) (t 0) (t )dt 1
(t) 1 0 p(t) 1/ 单位脉冲函 数的极限 t
p(t )
பைடு நூலகம்
u (0 ) 3V i (0 ) 0
C L
u R (0 ) 3V
u
i
C
L
(0 ) 7 V
e(0)=10V
iR (0 ) 1A (0 ) 1A
24
12
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同理可推广至任一时刻t1 由 e(t1) 求出
u (t ) i (t )
C 1 L 1
u (t ) u (t ) i (t ) i (t )
f (t ) 2 (t 1) (t 3) (t 4)
4
2
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【例】 f(t) 2 1 0 1 3 4 t
f (t ) (t ) (t 1) (t 3) (t 4)
【例】 f(t) 1 0 1 t
t (t )
iC e2t
0.5s t (t ) 1
(t 0.5) 1
iC e 2 t e 2 ( t 0.5 ) e 2 ( t 0.5 ) (e 1 1) 0.632 e 2 ( t 0.5 )
(0 t 0.5 s) e 2 t mA i ( t ) 分段表示为： C - 2( t -0.5) mA (t 0.5 s) - 0.632 e
f (t ) t[ (t ) (t 1)] (t 1)
t (t ) (t 1) (t 1)
(t 1) (t 1)
5
【例】 1
u(t)
已知电压u(t)的波形如图，试画 出下列电压的波形。 1 1
－2
0
2 t
(1) u (t ) (t )
(2) u (t 1) (t ) (3) u (t 1) (t 1)
( 4) u (t 2) (t 1)
0 1 t 0 1 2
6
0
2 t
－1
0
1
t
1
1
t
3
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二、一阶电路的阶跃响应
阶跃响应： 激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。
uC (t ) (1 e
R L 1 1 R 1 1 C
注： (1)状态变量和储能元件有关 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 (3)状态变量的选择不唯一。
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二、状态方程的列写
【例】 iL C 设 uc、iL 为状态变量
+ e(t) -
L
iC + uC 3 -
uo
duC u iL C dt R diL uL L e(t ) uC dt iC C
iS (t ) (t )
uC()=R
t RC
iC C
+ uC -
= RC
uC (t ) R (1 e
iC(0+)=1 iC()=0
) (t )
uC(0－)=0
iC e
t RC
t RC
(t )
t
再求单位冲激响应,令： 0
uC
t d R(1 e RC ) (t ) dt
0
(t-t0)
（1） t0 t
（三）单位冲激函数的性质
1、冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
t
(t )dt
0 1
t0 t 0
(t )
d (t ) (t ) dt
(t)
1 f(0) 0
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2、冲激函数的‘筛分性’
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
22
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（三） 状态变量法
借助于状态变量，建立一组联系状态变量和激励函数的一阶微 分方程组，称为状态方程。只要知道状态变量在某一时刻值X(t0),再 知道输入激励e(t)，就可以确定t>t0后电路的全部性状(响应)。 状态变量 激 励
X(t0) e(t) (tt0)
Y(t) (tt0)
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阶跃响应
uC R t 0 0 1
iC
t iC
冲激响应
1 C
0
uC
1 t t
1 RC
0
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7.10 状态方程
一、网络的状态与状态变量
（一）网络状态
指能和激励一道唯一确定网络现时和未来行为的最少量的一 组信息。
（二）状态变量
电路的一组独立的动态变量X， X=[x1, x2…… xn]T ，们在任何 时刻的值组成了该时刻的状态，如独立的电容电压（或电荷）， 电感电流（或磁通链）就是电路的状态变量。
t RC
i
) (t )
R
i (t )
ie （一）
t RC
1 e R
t RC
(t )
C
(t )
t RC
+ uC –
uC (0－)=0
(t ) 和 i e
t 0 的区别
ie
t RC
(t )
t0
7
ie
t RC
（二）激励在 t = t0 时加入，则响应从t =t0开始。
响应
这里讲的为数最少的变量必须是互相独立的。
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【例】 + e(t) 解 L iL C iC + uC 3 -
已知: e(t ) 20 sin(t 30 ) uC (0 ) 3V uo
o
i
L
(0 ) 0
求：iC (0 ), u L (0 ), i R (0 ), u R (0 ).
(1) t 在 0－ → 0+间方程为 di RiL L L (t ) dt 0
+
R
(t )
+ uL -
iL L
0
0
iL不是冲激函数 , 否则KVL不成立。
0 di RiL dt 0 L L dt 0 (t )dt 1 dt 1 i ( 0 ) iL (0 ) L i (0 ) i (0 ) = 1 L + L L L 0
