函数奇偶性的案例分析
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函数奇偶性的案例分析-中学数学论文
函数奇偶性的案例分析
江苏省南京市第四中学洪莎莎
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它在代数、三角以及高等数学中都有着广泛的应用，近几年的中学各类考试中，也经常出现关于函数奇偶性的题型，一般出现在填空、选择、判断、证明、求值等题型中。正因如此，对函数奇偶性的教学必须给予重视。
例如在某次函数奇偶性教学课中，由对称的图形进行内容导入，从而让学生举例关于y轴对称的函数，并让学生尝试语言描述如何判断图象关于y轴对称，教学过程中教师给予一些具体数字的帮助，逐步得出结论：对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立。然后，再由教师给出了函数奇偶性的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。概念给出后，教师给出了6个小题，让学生判断其奇偶性，其中前3题可以由其关系式直接得到结论，但是后3题则不然，需要考虑函数的定义域。经过6个小题的练习后，师生共同总结了函数奇偶性的判断先决条件是函数的定义域是否关于原点对称。然后又通过一道例题，发现有一类既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)=0，这样的函数有无数个，根据其定义域的不同而不同。课的最后师生共同将函数根据其奇偶性进行了分类。
这节课上的一气呵成，非常的流畅，有关于函数奇偶性的几个重要知识点都讲解到位，特别是利用了6个小题，让学生边练边总结方法，这样可以加深学生的理
解。另外就是关于f(x)=0这个既奇又偶的函数到底有多少个的问题，再次强化了定义域对函数的重要性，这里也处理的非常好。
其实，要想把函数的奇偶性这个内容学习好，应该要注意以下几点：
第一，定义域关于原点对称是判断函数奇偶的必要条件。很多学生在讨论具体问题的时候，往往只重视表达式，而忽略了定义域。比如，判断y=x2(x0)的奇偶性，很多学生不经思索就说是偶函数，但实际上，仅从定义域就可以判断这是个非奇非偶函数。
还有一类问题，结合函数的单调性，可以得到结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
例：若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f(2)=0，求使得f(x)0的x的取值范围。
解：∵f(x)是偶函数，f(2)=0
∴f(-2)=f(2)=0
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数
∴f(x)在[0,+ ∞)上是增函数
∴当-2x2时，f(x)0
第三，既奇又偶的函数是存在的。如果有一个函数既是奇函数又是偶函数，则其关系式满足：f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)，由此可以得到f(x)=-f(x)，解得f(x)=0(x∈R)。另外，既奇又偶的函数有无数个，因为定义域有无数种情况。在这个地方，可以跟学生提及a≠0的常函数f(x)=a(x∈R)，这个函数是偶函数。第四，复合函数的奇偶性。如果要开设一节关于函数奇偶性的习题课，那就可以将这个内容放置进去。刚开始的时候可以出一些简单、具体的题目让学生练习，然后总结：
设y=f是u=Q(x)和y=f(u)复合函数，其定义域是关于坐标原点对称的区间。则有：（1）若u=Q(x)是偶函数，且y=f(u)是偶函数，则y=f是偶函数。（2）若u=Q(x)是奇函数，且y=f(u)是奇函数，则y=f是奇函数。
（3）若u=Q(x)是奇函数，且y=f(u)是偶函数，则y=f是偶函数。
利用这个性质，对帮助学生快速解决有关复合函数奇偶性的问题，可以起到事半功倍的效果。
第五，利用函数的奇偶性解决题目的过程中，如果可以巧妙构造一个具有奇偶性的函数，从而利用函数的奇偶性，可以使问题得以快速、准确地解决。
例：若函数f(x)=ax3+bx+3，且f(2)=1，求f(-2)。
解：∵f(2)=1
∴8a+2b+3=1，即8a+2b=-2
∴f(-2)= -8a-2b+3=-(8a+2b)+3=-(-2)+3=5
通过本文对以上各类问题的分析，在课堂教学中全面把握函数奇偶性问题的教学，一定能帮助学生透彻理解和掌握函数的奇偶性。
