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中考后我该如何规划数学竞赛之路？很多家长担心，高中学习竞赛会不会耽误孩子课内学习，最后鸡飞蛋打。
的确，高中数学竞赛内容多、难度大，要想取得好成绩，且平衡课内学习，就必须要有一整套合理的学习规划，而且，越早开始规划，时间越充裕。
目前不少中学已经推行2+4学制，初一、初二学习初中课内知识，初三就可以提前学习高中基础知识，并开始竞赛学习、训练，如果你囿于学制和中考的压力也没关系，中考后就是你开始竞赛学习的最佳时机，本文将针对竞赛各个模块的特点，按照时间顺序给大家梳理一条可操作的学习路径，望各位摘取有用信息，对号入座。
一、高中数学竞赛简介在讲学习规划之前，先跟还不太了解竞赛的家长、同学简单介绍一下高中数学竞赛的体系。
我们常说的高中数学竞赛一般指的是全国高中数学联赛，简称高联，每年9月第二个周日举行，分别设置一二三等奖，即省一二三等奖，也是高校自招认可的奖项。
各个省市会从高联一等奖中选拔出省队选手参加中国奥林匹克数学竞赛（CMO），每年十一月举行，设立一二三等奖，也叫金牌银牌铜牌，也是我们说的国奖，清北自招一般要求五大学科竞赛获得国奖。
CMO一等奖中前60名同学入选国家集训队，并通过两次选拔，选拔出6名国家队队员参加国际奥林匹克数学竞赛（IMO）。
60名国家集训队队员具有保送清北等名校的资格。
除了上面说的高联、CMO和IMO外，还有一些比较重要的数学竞赛，如中国女子数学奥林匹克、中国西部数学奥林匹克、中国东南地区数学奥林匹克、北方希望之星数学邀请赛等，这些赛事，一方面可以练手，一方面获得的奖项可作为清北竞赛营及高校自招的参考。
二、学习路径规划初三暑假这个暑假，你最重要的目标是学习高中数学竞赛中的平面几何模块，以及快速学习高中数学必修课本。
1、平面几何很多基础知识在初中就学过，高中课内涉及很少，而高联只是额外补充了一些定理、概念和方法，尤其明显加强了圆这部分内容的考核。
所以这个暑假最适合先从中考压轴的平几题入手，然后补充竞赛知识。
攻略⾼中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单挤进清北等优质名校是众多⾼中⽣的梦想，有梦想是好的，但现实很残酷，这些⾼校招⽣名额有限！尤其在招⽣⽅式改⾰后，⾼考裸分被录取的可能性更⼩。
因此，通过学科竞赛拿奖牌获得降分优惠或直接被保送，成为许多考⽣的必然选择。
但你知道，学科竞赛应该如何备考才能拿到⾼含⾦量的奖牌吗？学科竞赛⽹（jingsai985）根据多年经验，总结出⼀份⾼含⾦量的数学竞赛备考秘籍。
我们从不轻易告诉外⼈，但今天很⾼兴与你分享，因为我们是⾃家⼈！（⼀）先看赛程数学预选赛（初赛）在各地市学校举⾏，评选出的奖项分为市⼀、市⼆、市三，考核优秀的学⽣晋级参加数学联赛。
数学联赛（⼀试、⼆试）全省在指定的⼀个或⼏个地⽅进⾏选拔考试，评选出的奖项分为省⼀（含省队）、省⼆、省三，考核优秀的学⽣晋级参加全国数学决赛，即冬令营（CMO）。
冬令营全国统⼀指定⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出的奖项分为国⼀（含集训队）、国⼆、国三，考核优秀的学⽣晋级参加国家集训队。
最终选出6名优秀选⼿代表中国参加IMO。
IMO全世界在指定的⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出国际⾦牌，国际银牌，国际铜牌。
（⼆）重点看时间安排和阶段备考内容⾼中学业较之前本来就繁重，还要挤出时间备战数竞，因此，进⾏科学规划显得尤为重要。
从初赛到国决⼤略可分为以下五个阶段：1、第⼀阶段：初三暑假到⾼⼀上学期⼤部分学⽣的竞赛之路是从初三毕业那个暑假开始的，虽然某些省份呈低龄化趋势，但并⾮主流。
这个阶段多数竞赛⽣学习必备知识，由于预选赛（初赛）和⼀试的内容均是⾼中知识，且初赛难度较⼩，所以，⽆需单独备考初赛，准备⼀试即可。
此阶段，你需要配合⽼师的课堂教学，以最短时间尽可能⾃学完成⾼考要求掌握的数学知识，同时要注意做题训练。
可以从数学53（五年⾼考三年模拟）【⽂末附详细书单】开始练习，若做起来⽐较顺⼿，就跳过直接刷浙⼤版《⾼中数学竞赛培优教程：⼀试》（第四版），偶尔选53重要题型练⼿感；若做起来有难度，还是要坚持先把53弄懂吃透，奠定⾼考基础。
奥林匹克数学 90年代教材
90年代的奥林匹克数学教材可能因地区和出版机构的不同而有所差异。
但是，通常来说，奥林匹克数学教材的内容一般涵盖了从小学到高中的所有数学知识点，并且难度较高，注重培养学生的数学思维和解题能力。
以下是一些可能有用的奥林匹克数学教材：
1. 《数学奥林匹克小丛书》（小学卷、初中卷、高中卷），由单�元复主编，华东师范大学出版社出版。
2. 《数学奥林匹克基础》（小学版、初中版、高中版），由王元、丁石孙主编，北京师范大学出版社出版。
3. 《数学奥林匹克教程》（小学版、初中版、高中版），由朱华伟、李志强主编，湖北科学技术出版社出版。
这些教材通常包含了大量的例题和练习题，并且有详细的解答过程和注释，有助于学生深入理解数学知识和提高解题能力。
此外，这些教材通常也会介绍一些数学竞赛的考试内容和技巧，对于参加数学竞赛的学生来说也很有帮助。
《面积和面积单位》教案4教学目标1．让学生经历探索物体表面和封闭图形a小的实际问题的过程，理解面积的含义。
2．在观察、比较、拼摆、测量等建立常用面积单位表象的活动中，理解面积的含义。
3．通过自主学习，获得成功体验，感受数学的价值。
重点难点重点：初步建立面积的概念，形成常用的面积单位的表象。
难点：面积单位与相应的长度单位间的联系与区别。
知识解析知识点一面积的含义问题导入观察数学教材的封面和桌面，比一比，哪个大？过程讲解1．观察比较：教材有漂亮的封面，课桌有平滑的桌面，这些都是物体表面的一部分。
通过观察可以看出课桌的桌面要比教材的封面大得多。
2．认识物体表面的面积：教材封面的大小是教材封面的面积，课桌桌面的大小是课桌桌面的面积。
可以得出：课桌桌面的面积比教材封面的面积大。
3．认识封闭图形的面积：将教材封面和桌面抽象出平面图形，如下：教材的封面和桌面抽象出来的图形都是长方形，观察这两个长方形可以得出：右边的长方形远远大于左边的长方形。
这些长方形的大小就是长方形的面积。
比较这两个长方形的面积得出：右边长方形的面积大于左边长方形的面积。
4．意义点拨：生活中很多物体的表面是有大有小的，我们接触到的封闭图形，也是有大有小的。
这些物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
归纳总结物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
拓展提高周长与面积的区别：意义不同，周长与面积是两个不同的概念，周长是指封闭图形一周的长度；面积是指物体所占平面的大小。
例如：长方形的周长是长方形一周的长度（四条边的总长度）；长方形的面积是指长方形所占平面的大小。
典例剖析[例1] 判断：图a的面积大于图6的面积。
( )解析图以不是封闭图形，不能确定面积的大小。
图6是个封闭图形，面积的大小是固定的。
所以二者不能进行比较。
答案×点拨面积是指物体表面或封闭图形的大小。
在计算平面图形的面积时，必须是封闭图形。
[类题突破1] 判断：下图的面积是a+b+c+d+e+f+g。
目录一、数学竞赛介绍 (1)二、数学竞赛学习路径 (1)高联一试备考路径 (2)高联二试备考路径 (3)三、数学竞赛书单推荐 (4)一、数学竞赛介绍一、高中数学竞赛介绍数学竞赛分为高中数学联赛（CMO）高中数学联赛（CMO）中国数学奥林匹克竞赛，英文简称CMO，你也可以叫它冬令营（全国中学生数学冬令营）。
1、举办时间：每年9月的第2个星期日2、周期：一般为期5天左右，2019年为7天3、参与国家：中国内地、中国香港、澳门、俄罗斯、新加坡等国外代表队4、考试时间一共考2天：DAY1-高联一试：8:00-9:20，共80分钟。
试题分为填空题和解答题两部分。
满分120分。
DAY2-高联二试：9:40-12:30，共170分钟。
试题共4道解答题，满分120分。
5、考试难度题目难度接近IMO，奖项与IMO类似，CMO最终成绩与正式获奖名单在决赛结束后的一周左右公布，前60名将组成备战当年IMO 的中国国家集训队，可获得保送清北的资格。
二、数学竞赛学习路径第一轮为高联一试基础知识的系统化学习，提炼高联所需所有知识技巧，重新梳理课程逻辑，且先前全无竞赛经历也可同步学习。
第二轮为高联二试，分为基础课和进阶课，一共8个专题模1块。
第三轮为联赛冲刺，系统复习并讲解提分技巧，原创模拟题及真题分析讲解。
高联一试备考路径：1、学习目标：系统、扎实地学完高联一试要求的知识点，并且会做题2、内容：高联一试，高联考纲涉及所有知识点扎实的过一轮。
3、知识点组成：高中课内数学＋高联一试：集合、函数、数列、导数、不等式、向量、解析几何、立体几何、三角、复数、概率、计数4、学习时间：大约一年下面我们以新高一入坑为例，给出一版通用的第一年时间规划。
以2020年9月入学的新高一同学为例，一轮数竞学习可做如下规划：初三升高一暑假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：高中课内数学+集合与函数、三角达成目标：了解所有高中课内知识点+掌握【集合、函数、三角】知识并会做题高一上学期-秋季建议学习时间：45小时竞赛学习任务：数列、计数、概率、向量、立体几何达成目标：掌握【数列、计数、概率、向量、立体几何】知识并会做题高一寒假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：解析几何、不等式2达成目标：掌握【解析几何、不等式】知识并会做题高一下学期-春季建议学习时间：21小时知识点+最少24小时刷题竞赛学习任务：复数、函数与导数+刷套题达成目标：掌握【复数、函数、导数】知识并会做题，同时开始刷题，刷套题，不懂的知识点进行专项专练高联二试备考路径：1、内容：高联二试，高联考纲涉及所有知识点扎实的全部学习一遍2、知识点组成：代数、几何、数论、组合学习目标：3、学习目标：【目标省一】系统、扎实地学完高联二试代数、几何、数论、组合的全部定理及知识点，深度掌握代数和几何的解题技巧。
面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。
知识梳理1、 等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
学奥数这里总有一本适合你奥数图书出版大事记2000年 《奥数教程》（10种）第一版问世2001年 《奥数教程》获优秀畅销书奖2002年 《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版2002年 《奥数测试》（第一版）出版2003年 《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动2003年 《奥数教程》（3~6年级）VCD出版2003年~ 陆续出版由IMO中国国家集训队教练组编写的《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》2005年 “奥数”图书累计销量近1000万册2005年 出版《数学奥林匹克小丛书》（30种）2006年 《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出版2006年 《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版2007~2008年 《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版2008年 《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版2009年~ 《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版2009年 《Mathematical Olympiad in China》、《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions》和《Graph Theory》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版2010年 《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2006）》出版2010~2011年 《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版2011年 《从课本到奥数》（1~9年级A、B版）出版2011年 《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版学奥数，这里总有一本适合你2000年华东师范大学出版社出版了《奥数教程》丛书，首次在书名中使用“奥数”一词。
《奥数教程》由国家集训队教练组执笔联合编写，获得第十届全国教育图书展优秀畅销图书奖，深受读者喜爱，被奉为经典奥数蓝皮书。
自《奥数教程》出版以来，华东师范大学出版社聚集国内最顶尖的作者团队，陆续为不同层次、不同需求的读者打造了近200种奥数图书, 形成多品种、多层次、全系列的格局，“奥数”图书累计销量超1000万册，由此奠定了奥数品牌出版社的地位。
几何之约
——再版序
一般认为，平面几何中，边的处理比角来得困难，原因是边大量参与四则运算，尤其是乘法（面积）和除法（比例），角只是参与一些简单的加减法，角的乘法是没有意义的，角的除法最多只出现在极少数极简单的问题中（如小学作业中问某个角是另一个角的几倍），没什么用处。
所以，如果纯粹是“捣角”（几何题中确实有大量的相等的角，它们甚至相距甚远），应该没什么难度，我一度也这么认为。
但到后来，我发现原先的这个理解是有偏颇的。
当然，捣边还是比捣角困难些，但是，“捣角”体现了平面几何的特色，而辅助线则是平面几何的魅力。
并且，由于图形中一般有大量的角的存在，捣角也并不见得容易。
如果没有捣角，平面几何就基本上不复存在；当然，如果不捣边、纯捣角，平面几何也几乎不存在什么难题。
历史上有些人看到平面几何太过困难，于是他们就把几何问题代数化，也就是用四则运算（所以发明乘法和除法的人尤其伟大）来处理几何，而用四则运算做几何，就是只捣边、不捣角，而且几乎不需要辅助线。
的确，无论是三角函数、解析几何，甚至是向量或复数方法，都把角归为边的比例。
但这样一来，几何的魅力就大打折扣了，而且很多复杂的几何题采用解析法十分繁复，甚至未必做的下去！
不过，凡事一分为二，从实用的角度来说（毕竟考试时间有限），纯几何与适当的计算相结合的方法，或许更受青睐。
解析几何往往太麻烦，但适当的计算，我认为主要是面积比（共边定理）、正弦定理、余弦定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理等，从形式上看，比一般的比例线段要复杂，但肯定比解析几何要简洁，也比三角函数公式少的多，但在追求纯粹的古希腊人来看，已经不是纯几何了，所以没有被《几何原本》提及或明确提及。
而这种介于纯几何和复杂计算之间的方法，恰恰又是非常有用的：既能节省时间，对几何的优美性也没有实质性的破坏。
完全可以纳入纯几何的范围。
因此，我认为面积方法堪称几何计算的第一步，以三角形面积为基础，逐步得到共边定理、正弦定理、梅涅劳斯定理、塞瓦定理等，是几何计算的两大体系之一（另一个以勾股定理为基础，推出余弦定理、托勒密定理等），而这本书讲述的，正是这第一个计算体系——比之另一个体系，似乎更为轻便，也更为笔者所偏爱。
甚至在现今的几何机械化中，众所周知著名数学家杨路、张景中等依据的也是面积方法。
以上是一些比较具体的描述。
当然，要学好几何乃至数学，大量练习以积累经验是必不可少的。
我常对学生说，柯南的推理不是纯推理，更多是依据他的经验（当然推理也是有的）；数学才是真正的纯推理，但掌握这些纯推理技术，又何尝不是经验的积累？我们的大脑本来就不是一台纯推理机
器，而是“经验型”复杂体，这些经验甚至都无法言传。
当热兵器如手枪、炸弹被发明出来，体格强壮的人突然就失去了优势。
《专家之死》的一个主要观点是，在今天，由于人们可以很方便地得到互联网的海量信息（是否都正确姑且不论），拥有知识也不再像过去认为的那样稀缺了，结果是几乎人人的自以为是。
尤其是医学、养生学等，确实也比较复杂，专家的观点也不一定准确，相互之间也会“打架”，但有一门学科绝对不是谁可以轻易染指的，那正是数学。
数学当然也是一堆知识，但它是系统性联接极强的知识体系，这就不是谁搜一搜网页就可以掌握了。
不难想象，在21世纪AI技术蓬勃发展之际，数学将受到越来越多的重视。
此外，大脑还关心意义、审美和信仰（这是人类高于一般动植物的地方，但也充满了困惑，因为人虽在某些方面远远胜出，但又与动物（至少是高级动物）一样有情绪，与几乎所有生命都不免生老病死，这是进化的不协调带来的）。
数学是一种高级趣味。
特别是几何，是迄今人类所有科学门类中真（结论可靠）与美（图形和谐）不可思议的结合体，很难以语言形容，也许在发现一个漂亮结果或找到一个巧妙方法的一刹那，你就突然感受到了。
而且，几何从来都对充满兴趣和智慧的人表现出极大的慷慨，“曲尽图形变化之规律（老封语）”，从老封（叶中豪）数以千计的发现中，我们看到了他令人惊叹的想象力如何在点线世界里得以淋漓尽致的发挥，以及几何在21世纪依然勃发的生命力。
很多人喜欢问，追求这些不太实用的东西，到底为了什么？逻辑思维、空间想象力的训练固然正确，但考察一下几何学起源地古希腊，可以得到的回答更能打动我们——让灵魂获得更大的自由。
几何之美常在；几何之树长青。
既然几何乃至数学是超越时空的，那么其精神就能得以代代传承，发扬光大，古今中外的大师与爱好者之间共鸣。
从某种意义上说，老封可谓是古希腊精神的传承者和实践者（实践者比鼓吹者更可贵）。
做几何的有缘人吧！我常常想，如果欧几里得在今天开讲座，老封或许有资格坐在教室里，而我向往自己能站在走廊上。
最后，感谢华师大出版社诸位老师，笔者同他们有十几年的合作，延续至今。
作者
2019.4.30于高斯诞辰日
目录
0 几何题究竟是怎样证明的
0.1 简化图形原则
0.2 破坏对称原则
0.3 以进为退原则
0.4 重新表述原则
0.5 制造对称原则
1 三角形的面积与面积比
2 较为复杂的问题
3 不等关系与极值问题
4 面积与正弦定理
5 杂题选讲
习题解答。
