随机变量的数字特征课件

(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元)
X 45
45
45 45
p 0 .1
0 .4
0 .3 0 .2
E X 4 5 0 . 1 4 5 0 . 4 4 5 0 . 3 4 5 0 . 2 4 5
(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元)
Y 42
48
离散型随机变量的数学期望
定义3.1 设离散型随机变量的分布律为
x1 x2
xk
p p1 p2
pk
若级数 xkpk绝对收敛，则定义的数学期望E为 k1 E p 1 x 1 p 2 x 2 p k x k p k x k k
数学期望又可以称为期望，均值。
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,它是一种加权平均, 也称均值.
解 设 X 为投资利润，则
X 40000 10000 20000
p 0.3
0 .5
0 .2
E ( X ) 4 0 0 0 0 0 . 3 1 0 0 0 0 0 . 5 2 0 0 0 0 0 . 2 1 3 0 0 0
存入银行的利息: 8 0 0 0
故应选择股票投资.
练 设 随 机 变 量 的 分 布 律 为
01 2 3
p 0.4 0.3 0.2 0.1
求 E ， E 2 ， E 2 -1
解 ： E 0 0 . 4 1 0 . 3 2 0 . 2 3 0 . 1 1
随 机 变 量 2 的 分 布 律 为
2 02 12
22
32
p 0.4 0.3 0.2 0.1
E 2 0 0 .4 1 0 .3 4 0 .2 9 0 .1 2

随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +

计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
23
0.1 sin
(1 0)
0.15
例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其他, 0,
求E(X),E(XY).
解：E ( X )





解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e 2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,
求E(X),E(XY).
解：E ( XY )

0





xyf ( x, y)dydx



0
xy xe x (1 y ) dydx
0
0
xe [
x
y xe xy dy]dx


0
xe
x
1 dx e x dx 1. 0 x
25
xf ( x, y)dydx

0

例3.
在重复Bernoulli实验中, 每次实验成功的概率为p , 设X为首次实验成功时的实验次数, 求EX .
解: 事实上X服从几何分布
其概率分布为 P{ X k} qk1 p , k 1,2,3,


EX k P{ X k} kqk1 p
k 1
k 1
Li Jie
例2. 设随机变量X的所有可能取值为
xk

(1)k
2k k
, k 1,2,3,
X的概率函数为
P{ X

xk }

1 2k
, k 1,2,3,
判断X的数学期望是否存在，为什么？
解:

xk pk
k 1


(1)k
k 1
2k k

1 2k
(1)k 1 ln 2

xf (x)dx
x exdx

0
x dex 0

[ x ex|0

exdx]
0

[0

0]

(
1

ex
)|0
1

所以
EX 1

Li Jie
例9. 设X的密度函数为 f (x), 求EX .其中
f
(
x)


p (qk )q
k 1


p( qk )q
k 1

p(
1
q
q
)q

p
(1
1 q
)2

1 p
Li Jie
例4. 设X服从参数为 的Poisson分布,即X ~ P(), 求EX .

n
n p
(n 1 )!
pq k 1(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )[! n ( 1 ) (k 1 )]!
= 令rk1
mn1
m
npCmr r 0
prqmr
np
(2). Poisson分布
X的概率分布为：P{Xk}k k0,1,2，
k!
k
E(X)k
k0 k!
k1
k1(k 1)!
第4章：随机变量的数字特征 §1.数学期望 §2.方差 §3.几种重要随机变量的数学期望与方差 §4.协方差及相关系数 §5.矩、协方差矩阵
例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工
小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如
何定义X的平均值呢？
32天没有出废品;
统计100天,可得这100天 每天的平均废品数为
一般来说,若统计n天,
ni表示每天出i件废品
(假定小张每天至多出三件废品)
i=0,1,2,3.
得n天中每天的平均废品数为
以频率为权
0n01n12n23n3
的加权平均
nn n n
当统计天数趋于时，才是小张每天的平均废品数
由频率和概率的关系，用概率代替频率：
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y) (4).当X与Y相互独立时： E(XY)=E(X)E(Y) (其中X，Y为随机变量；a为常数。)
例5.某机器有3个部件,各部件需要调整的概率分 别为0.1, 0.2, 0.3记X为需要调整的部件数.求E(X).
解法1：先求X的概率分布： 设：Ai为第i个部件不需要调整 P{X=0}=P(A1A2A3)=0.9×0.8×0.7=0.504 P{X=1}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)

记为
E(X)．即
E( X ) xf (x)dx
(12.1.2)
随机变量的数字特征
例12.1.5 设X~U(a, b)， 求E(X) 解 X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
0,
由公式（12.1.2）得
a x b, 其他.
b
E(X ) xf (x)dx
x
dx a b
a ba
2
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
12.1 数学期望 12.2 方差
随机变量的数字特征
12.1 数学期望
12.1.1
定义12.1.1 设离散型随机变量X的分布律为 pk=P{X=xk} (k=1, 2, …)
若
| xk | pk k
随机变量的数字特征
则称 xk pk 为随机变量X的数学期望， 简称期望或均值， k
记为E(X)． 即
E( X ) xk pk k
(12.1.1)
期望公式（12.1.1）实际上是随机变量X的取值以概率为 权的加权平均， 其物理意义为： 质量为单位1的一根金属细 棒， 其质量散布在坐标为x1, x2, …的质点M1, M2, …上.
随机变量的数字特征
例12.1.1 设X服从参数为p的0-1分布， 求E(X)
随机变量的数字特征
特别地， 若X、 Y相互独立， 则有
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
(12.2.6)
这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的
情况;
（4） D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数C， 即
P{X=C}=1

i 1,2, , 如果 xi pi ， 则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
28
第二节 方差与标准差
29
引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67

随机变量的数字特征
数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征
1
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变 量的分布函数外，更关心的是随机变量的 某些特征。
2
例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离 程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。
k 1
k 1
的值为X的数学期望，记为E(X)，即
E( X ) xk pk k 1
6
定义：设连续型随机变量X的概率密度
函数为f(x)，若积分
+
x
f (x)dx ,
则称积分
+
xf (x)dx
的值为X的数学期望，
记为E(X)，即
+
E( X ) xf (x)dx
数学期望简称期望，又称均值。
7
n
n
E(c0 ci X i ) c0 ci E( X i )
i 1
i 1
31
4.设X,Y是相互独立随机变量, 则有 E(XY)=E(X) E(Y),
推广到任意有限个相互独立随机变量之积：
n
n
E( i 1
X
i
)
i 1
E(
X
i
),
其中Xi，i 1,..., n相互独立.
32
证明：
1. C是常数，P(X C) 1, E(X ) E(C) 1C C
33
4. E(XY )
xyf (x, y)dxdy
xyfX (x) fY ( y)dxdy

k 1
k 1
变量X的数学期望，记为E(X),即
EX xk pk k1
§4.1 数学期望
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与
一般的算术平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望 是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不应随可能值的 排列次序而改变.
❖ 例3：设 X(),求 E (X)。
解 ： X 的 分 布 律 为 ： P ( X k ) k e k 0 , 1 , 0 k ! X的 数 学 期 望 为 ：
E(X) k ke
k0 k!
e
k1
k1
(k 1)!
ee
即E(X)
§4.1 数学期望
三、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量X 的概率密度为f ( x), 若积分
§4.2 方差
(2) 利用公式计算
D (X ) E (X 2 ) [E (X )2 .] 证明 D (X ) E {X [ E (X )2 } ]
E { X 2 2 X ( X ) E [ E ( X )2 } ] E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )2] E (X 2)[E (X )2] E (X2)E 2(X).
§4.1 数学期望
❖ 例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一 辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间 相互独立。其规律为
8:10 8:30 8:50
到站时刻
9:10 9:30 9:50

X
4
5
6
pi
1/4
1/2
1/4
求数学期望E(X ).
解：由数学期望的定义
E(X ) 4 1 5 1 6 1 5 424
例3.2已知随机变量X的分布律为 X 0 1
求数学期望E(X ).
pi q p
解：由数学期望的定义 E( X ) p
例3.3已知随机变量 X ~ P() 。求数学期望E( X ).
3
1
x
1
3
k xdx ydy 2k 1
所以k 1
0
1
2
1
(2)随机变量X的概率密度为
2x
f X
(x)
f
(x,
y)dy
0
随机变量X的概率密度为
x [0,1] 其它
fY
( y)
f
(x,
y)dx
y 4
0
x [1,3] 其它
(3)随机变量X ,Y的数学期望为
1
2
E( X ) xfX (x)dx 0 x 2xdx 3
例3.10 设风速V 在(0, a)上服从均匀分布,即具有概率0 其它
又设飞机机翼受到的正压力W kV 2 (k 0,常数),求W的数
学期望E(W ).
解：由上面的公式
E(W ) kv2 f (v)dv a kv2 1 dv 1 ka2
0a
3
例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
1y
13
E(Y ) yfY ( y)dy
0
y dy 4
6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况
设Y g( X )是随机变量 X的函数，