第4章随机变量的数字特征前面我们讨论的随机变量的分布函数，能够完整地描述随机变量的统计规律性，但是在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只要知道它的某些特征即可.例如，评定射击运动员的射击水平时，常感兴趣的是他命中的环数的平均值，以及命中点的集中程度．命中环数的平均值越大，说明运动员的水平越高；命中点越集中，说明运动员水平越稳定．这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，这些数字特征在概率论与数理统计中起着重要的作用．本章主要介绍随机变量的数学期望和方差、随机变量的矩以及两个随机变量的协方差和相关系数.4.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最重要的数字特征之一，已经广泛应用于社会生活和生产实践的各个领域，它对评判事物、做出决策等具有重要作用.例如，在某次教师技能大奖赛上，七位评委为某选手打出的分数如下：9.5，8.9，9.5，9.8，9.6，9.5，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，该教师的平均分是多少？如果用随机变量X表示有效分数，则X的概率分布为：X9.59.69.7P0.60.20.2这时该选手的平均分为：39.519.619.75⨯+⨯+⨯=0.69.50.29.60.29.79.56⨯+⨯+⨯=这个平均分数称为随机变量的数学期望，不难看出，它等于随机变量的取值与对应概率乘积的和，下面我们把这个现象用分析的语言描述出来.定义1设离散型随机变量X 的概率分布为：X 1x 2x …n x …P1p 2p …np …即{},1,2,i i P X x p i ===…，若级数11221iin n i x px p x p x p ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑绝对收敛（即1iii x p∞=<+∞∑），则称其和为X 的数学期望，简称期望，也叫均值，记作EX ，即1i ii EX x p ∞==∑(4.1)否则，称X 的数学期望不存在.例1设随机变量X 服从参数为p 的0—1分布，求EX .解由题设知，X 的概率分布为：于是0(1)1EX p p p =⋅-+⋅=.例2一批产品中有一、二、三等品及废品四种，相对应的比例分别为%%%60，20，10和%10，若各等级产品对应的产值分别为6元，4.8元，4元和0元，求产品的平均产值.X 01P1p-p解设产品的产值为X 元，根据题意X 的概率分布为：X 04 4.86P0.10.10.20.6于是40.1 4.80.260.6 4.96EX =⨯+⨯+⨯=（元）.例3设随机变量~(,)X B n p ，求EX .解因为~(,)X B n p ，所以X 的概率分布为：{}(1),0,1,2,,.k kn k n P X k C p p k n -==-= 于是00!(1)(1)!()!nnkkn kk n knk k kn EX kC p p p p k n k --===-=--∑∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!k n k nk np n p p k n k ----=--=----∑1[(1)]n np p p np -=+-=．例4设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求EX .解根据题意，X 的概率分布为：{},0,1,2,,.!m e P X m m n m λλ-=== 于是101!(1)!m m m m e EX m e e e m m λλλλλλλλλ--∞∞--======-∑∑．二、连续型随机变量的数学期望定义2设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若()xf x dx +∞-∞⎰绝对收敛（即()xf x dx +∞-∞<+∞⎰），则称()xf x dx +∞-∞⎰为X 的数学期望，记作EX ，即()EX xf x dx+∞-∞=⎰(4.2)否则，称X 数学期望不存在.例5设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求EX .解根据题意得1,,~()0,a xb X f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他,于是1()baEX xf x dx x dx b a+∞-∞==⋅-⎰⎰2122b ax a bb a +==-.该例表明，一维均匀分布的期望为该随机变量取值区间的中点.例6设随机变量X 服从参数0λλ>（）的指数分布，求EX .解根据题意得,0,~()0,x e x X f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,于是()x EX xf x dx xe dxλλ+∞+∞--∞==⎰⎰xx xe e dx λλ+∞+∞--=-+⎰+011xeλλλ∞-=-=．例7已知连续型随机变量X 的分布函数0,01(),0221,2x F x x x x ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，求EX .解根据题意随机变量X 的密度函数为1,02,()()20,x f x F x ⎧<≤⎪'==⎨⎪⎩其他,所以222001()124x EX xf x dx x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰.例8已知随机变量X 的概率密度为：,01()0,ax b x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他且7=12EX ，求a 与b 的值.解根据题意1()()12af x dx ax b dx b +∞-∞=+=+=⎰⎰1207()()3212a b EX xf x dx ax bx dx +∞-∞==+=+=⎰⎰解关于a 与b 的方程组得，1a =，1=2b .定义3在考虑n 维随机向量12(,,,)Tn X X X 时，若每个iEX (1,2,,)i n = 都存在，则称12(,,,)T n EX EX EX 为n 维随机向量12(,,,)T n X X X 的数学期望或均值.三、随机变量函数的数学期望设X 是随机变量，()g x 为实函数，则()Y g X =也是随机变量.理论上，可以通过X 的分布求出()Y g X =的分布，再按定义求出数学期望[()]E g X ，但是这种求法一般比较复杂，下面的定理给出了一种直接求解方法.定理1设X 是随机变量，Y 是随机变量X 的函数，()Y g X =，其中()y g x =是一元连续函数.(1)若X 为离散型随机变量，其概率分布为{}i i P X x p ==，1,2,i = ，如果无穷级数1()iii g x p∞=∑绝对收敛，即1|()|iii g x p∞=<+∞∑，则Y 的数学期望为1[()]()i i i EY E g X g x p ∞===∑.(4.3)(2)若X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，即|()|()g x f x dx +∞-∞<+∞⎰，则Y 的数学期望为[()]()()EY E g X g x f x dx +∞-∞==⎰.(4.4)根据定理1，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需知道X 的分布，无需求Y 的分布，这给我们计算提供了极大的方便.上述定理可以推广到二元或二元以上随机变量函数的情形.定理2设(,)X Y 是二维随机向量，Z 是关于随机向量X 和Y 的函数，(,)Z g X Y =，其中(,)Z g x y =是二元连续函数.(1)若(,)X Y 是二维离散型随机向量，其概率分布为{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2i j = ，，并且11|(,)|i j ij i j g x y p ∞∞==<+∞∑∑，则11[(,)](,)i j ij i j EZ E g X Y g x y p ∞∞====∑∑.(4.5)(2)若(,)X Y 是二维连续型随机向量，其概率密度为(,)f x y ，并且|(,)|(,)g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞<+∞⎰⎰，则[(,)](,)(,)EZ E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰.(4.6)定理1和定理2的证明超出本书范围，略.例9设(,)X Y 的概率分布为：Y X 0123103838031818求EX ，EY ，2EX 和()E XY .解关于X 和Y 的边缘分布为：于是31313442EX =⨯+⨯=，13313=0+1+2+3=88882EY ⨯⨯⨯⨯22231=1+3=344EX ⨯⨯，331()(10)0(11)(12)(13)0(30)88819(31)0(32)0(33).84E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=例10随机变量X 服从区间],0[π上的均匀分布，求EX ，2EX ，)(sin X E 及2)]([X E X E -解1()2EX xf x dx x dx πππ+∞-∞==⋅=⎰⎰，22221()3EX x f x dx x dx πππ+∞-∞==⋅=⎰⎰，0112(sin )sin ()sin (cos )0E X xf x dx x x πππππ+∞-∞==⋅=-=⎰⎰X 13i p ⋅3414Y 0123jp ⋅18383818222201[()]()()2212E X E X E X X dx πππππ-=-=-⋅=⎰.例11假定国际市场对我国某种商品的需求量是随机变量X (单位：吨)，它服从区间[2000，4000]上的均匀分布，每销售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元，若销售不出去，则每吨商品需贮存费1万元，问如何计划出口量，能使国家收益最大？解设计划年出口量为t 吨，国家年收益Y 万元，根据题意20004000t ≤≤，且有120004000,~()20000,x X f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，其它，3,=()4,t X t Y g X X t X t ≥⎧=⎨-<⎩，，于是由（4.4）式有400020001()()()2000EY g x f x dx g x dx +∞-∞==⎰⎰400020001(4)32000tt x t dx tdx ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰()26170004101000t t =-+-⨯易得当3500t =时，EY 达到最大，所以计划出口量为3500吨时，国家年收益最大.例12已知随机变量X 表示某电子元件的使用寿命(单位：小时)，并且服从参数为0.001的指数分布，若规定使用寿命X 在500小时以下为废品，产值为0元；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值为30元；在1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该电子元件的平均产值.解设该电子元件的产值为Y 元，由题设知0.0010.001,0,~()0,0,x e x X f x x -⎧>=⎨≤⎩0,500,10,5001000,()30,10001500,40,1500.X X Y g X X X <⎧⎪≤<⎪==⎨≤<⎪⎪≥⎩于是由（4.4）式有()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰50010000.0010.00105000(0.001)10(0.001)x x e dx e dx --=⋅+⋅⎰⎰15000.001100030(0.001)xedx -+⋅⎰0.001150040(0.001)x e dx+∞-+⋅⎰15.65≈(元).该例表明，在利用定理1求[()]E g X 时，允许函数()y g x =不连续.例13设,01,01,(,)~(,)0,x y x y X Y f x y +≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,求2EX ，()E X Y +及()E XY .解由(4.6)式，有11222005(,)()12EX x f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰，112007()()(,)()6E X Y x y f x y dxdy x y dxdy +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰，11001()(,)()3E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.四、数学期望的性质设,,a b c 为常数，X 和Y 是随机变量，且EX 和EY 都存在，则数学期望有下列性质：性质1Ec c =.(4.7)性质2()E aX b aEX b +=+.(4.8)性质1请读者自己证明，下面给出性质2的证明.证明令Y aX b =+，因为y ax b =+是单调的，所以可以排除X 是连续型随机变量而Y 却是离散型随机变量的可能，也就是说只需分两种情况来证明，即X 与Y 都是离散型随机变量或者X 与Y 都是连续型随机变量.1.当X 为离散型随机变量时，设X 的概率分布为{}1,2,i i P X x p i === ，.则Y 的概率分布为{}i i P Y ax b p =+=，1,2i = .于是1()()i ii EY E aX b ax b p ∞==+=+∑11i i i i i a x p b p ∞∞===+∑∑aEX b =+.2.当X 为连续型随机变量时，设~()X X f x ，并且不失一般性地假设0a ≠(显然Eb b =)，则1~()()Y X y bY f y f a a-=.于是()()Y EY E aX b yf y dy +∞-∞=+=⎰1[(X y by f dy a a+∞-∞-=⎰()()X y ax b ax b f x dx +∞-∞=++⎰令()()X X a xf x dx b f x dx+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰aEX b =+.性质3()E X Y EX EY ±=±.(4.9)性质3可以推广到任意有限个随机变量的情况，即1212()()()()n n E X X X E X E X E X ±±⋅⋅⋅±=±±⋅⋅⋅±.(4.10)性质4设X 与Y 相互独立，则()E XY EX EY =⋅.(4.11)性质4可以推广到任意有限个相互独立的随机变量的情况，即设12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，则1212()()()()n n E X X X E X E X E X ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.(4.12)下面我们来证明性质3和性质4.证明仅就(,)X Y 为二维连续型随机向量的情形加以证明.设二维连续型随机向量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，其关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为()X f x 和()Y f y ，则()()(,)E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞±=±⎰⎰(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=±⎰⎰⎰⎰EX EY =±.性质3得证.又若X 与Y 相互独立，此时(,)()()X Y f x y f x f y =⋅.于是()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰()()X Y xf x dx yf y dy +∞+∞-∞-∞=⋅⎰⎰EX EY =⋅.性质4得证.注意到：只要将证明中的“积分”用“和式”代替，就能得到(,)X Y 为二维离散型随机向量情形的证明.性质4的逆命题不成立，即由()E XY EX EY =⋅不能得到X 与Y 一定独立.例如，在例9中，我们已经计算得()94E XY EX EY =⋅=，但{1,0}0,P X Y ==={1}3{0}18,P X P Y ====显然{1,0}{1}{0}P X Y P X P Y ==≠=⋅=，故X 与Y 不独立.例14已知X 与Y 的概率分布分别为并且()8.5E X Y +=，求(1)EX ，(2)E X ，EY ；(2)2(23)E Y +.解(1)10.320.530.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=.由(4.8)式及(4.9)式，有(2)22 1.9 3.8E X EX ==⨯=，()8.5 1.9 6.6EY E X Y EX =+-=-=.(2)由于60.40.6 6.6EY a =⨯+⨯=，故7a =.由(4.3)式，有222(23)(263)0.4(273)0.690.6E Y +=⨯+⨯+⨯+⨯=.这里我们也可以利用定义1计算(2)E X 和2(23)E Y +，只是需要先求出2X 和223Y +的概率分布.例15设(,)X Y 等可能地取(1,0)-，(0,1)-，(1,0)和(0,1)，试判断(1)()E XY 与EX EY ⋅是否相等；(2)X 与Y 是否独立．解由题设知(,)X Y 的概率分布为：Y X 1-011-0140014014114X 123P0.30.50.2Y 6a P0.40.6()(1)(1)0E XY =-⨯-⨯11(1)0(1)100(1)00044+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯1014+⨯⨯1(1)0+⨯-⨯11011004+⨯⨯+⨯⨯=，11(1)0(1)(1)0044EX EY ==-⨯+-⨯+-⨯+⨯1000104+⨯+⨯+⨯111004+⨯+⨯=，于是()E XY EX EY =⋅.(2)由于{0,0}0P X Y ===，并且111{0}{0}0442P X P Y ====++=，于是{0,0}{0}{0}P X Y P X P Y ==≠=⋅=，故X 与Y 不独立.这里已知(,)X Y 的概率分布，也可以利用期望的定义4.1计算()E XY ，EX 和EY .4.2随机变量的方差上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它主要用来描述随机变量的平均特征，但是在许多实际问题中，仅仅知道平均值是不够的，为此本节我们引入方差的概念，用它来描述随机变量取值的离散程度.一、方差的概念先看一个例子.设甲、乙两位射击运动员打中靶的环数分别为1X ，2X ，其概率分布为：1X 78910P0.40.30.20.12X 05610计算两位运动员打中靶的环数的期望为170.480.390.2100.18EX =⨯+⨯+⨯+⨯=200.0450.1660.2100.68EX =⨯+⨯+⨯+⨯=虽然两位运动员打中靶环数的期望相同，但是比较两组数据可知甲射手比乙射手技术稳定，因此甲打中靶的环数比较集中.可见在实际问题中，仅仅靠期望来描述随机变量的分布特征还不够完善，还需要进一步研究其离散程度，通常人们关心的是随机变量X 对均值EX 的离散程度.定义4如果随机变量X 的数学期望EX 存在，则称X EX -为随机变量X 的离差.显然，随机变量X 离差的期望为零，即()=0E X EX -.(4.13)这样，如果用()E X EX -来度量X 与EX 的偏差，结果是正负偏差相互抵消，为了消除离差X EX -的符号，通常用2()E X EX -来度量X 与EX 的偏差.定义5设X 是一个随机变量，若2()E X EX -存在，则称其为X 的方差，记作DX 或VarX ，即2()DX E X EX =-.(4.14)为X 的标准差或均方差.由定义5知，方差实际上就是随机变量函数2()X EX -的数学期望，所以可以用求随机变量函数2()X EX -的数学期望的方法来求随机变量X 的方差.1.设X 为离散型随机变量，其概率分布为{}i i P X x p ==，1,2,,i = P 0.040.160.20.6若21()ii i x EX p +∞=-<+∞∑，则21()i i i DX x EX p +∞==-∑.(4.15)2.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若2()()x EX f x dx +∞-∞-<+∞⎰，则2()()DX x EX f x dx +∞-∞=-⎰.(4.16)可见，随机变量的方差是一个非负数.当X 的可能值密集在它的期望值EX 附近时，方差较小，反之则方差较大.因此，方差刻画了随机变量的取值的离散程度.由方差的定义式容易得到下面的常用计算式22()DX EX EX =-．(4.17)证明2()DX E X EX =-22[2()]E X X EX EX =-⋅+222()EX EX EX EX =-⋅+22()EX EX =-.(4.17)式表明2EX 不小于2()EX ，而且提供了一种计算方差的主要方法，即它把方差的计算归结为计算两个容易求得的期望EX 和2EX .例16设随机变量X 服从参数为p 的0—1分布，求DX .解由题设知，X 的概率分布为X 01P1p-p由例1知，EX p =，再由（4.3）式2220(1)1EX p p p =⋅-+⋅=，于是222()(1)DX EX EX p p p p =-=-=-.例17在本节开始所举甲、乙两位射击运动员射击一例中，求1DX 及2DX .解前面已经计算过128EX EX ==，又22222170.480.390.2+100.165EX =⨯+⨯+⨯⨯=22222200.0450.1660.2+100.671.2EX =⨯+⨯+⨯⨯=，所以22111()1DX EX EX =-=，22222()7.2DX EX EX =-=.例18设X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求DX .解由题设知1,,~()0,a xb X f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他.由(4.4)式，有222221()3ba a ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++==⋅=-⎰⎰，由例5知，2a bEX +=，于是222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=.*例19设随机变量~()X P λ，其中0λ>，求DX .解X 的概率分布为{}!m P X m e m λλ-==，(0,1,2,...)m =.由例4可知=EX λ，根据(4.3)式2201(11)!(1)!m m i i EX m e m em m λλλλ∞∞--====-+-∑∑21(2)!(1)!m m m m e e m m λλλλ∞∞--===+--∑∑2122010(2)!(1)!m m m m e e m m λλλλλλ--∞∞---=-==+--∑∑2λλ=+.因此利用（4.17）式有2222()()DX EX EX λλλλ=-=+-=.即=EX DX λ=.例20设X 服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为,0,()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他.其中0λ>，求DX .解由例6可知1=EX λ，再由(4.4)式，有2220()x EX x f x dx x e dxλλ+∞+∞--∞==⎰⎰220xx x e xe dxλλ+∞--+∞=-+⎰22λ=.因此，利用(4.17)式有2221()DX EX EX λ=-=.*例21设随机变量2~(,)X N μσ，即X的概率密度为22()2(),x f x μσ--=(x -∞<<+∞)，其中μ，σ为实数，并且0σ>，求,EX DX .解根据题意得22()2()x EX xf x dx dxμσ--+∞+∞-∞-∞==⎰⎰令x y μσ-=，则dxdy σ=，由泊松积分221y dy -+∞-∞=⎰，有22y EX dy-+∞-∞=⎰2222y y yedyμ--+∞+∞-∞-∞=+⎰μ=.由(4.16)式，有2()()DX x EX f x dx+∞-∞=-⎰22()22x e dxμσ--+∞-∞=⎰2222y y e d y-+∞-∞⎰=222y de σ-+∞-∞=-⎰222222y y ye dyσ--+∞-∞+∞=+-∞⎰2σ=.特别地，若~(0,1)X N ，则0EX =，1DX =.定义4.6在考虑n 维随机向量12(,,,)Tn X X X 时，若每个i DX (1,2,)i = 都存在，则称12(,,,)T n DX DX DX 为n 维随机向量12(,,,)T n X X X 的方差.二、方差的性质关于方差，我们有下面几个重要性质.设X ，Y 是随机变量，a ，b ，c 为实值常数，则性质10Dc =.(4.18)性质22()D aX a DX =.(4.19)性质3()D X b DX +=.(4.20)性质1到性质3的证明留给读者自己完成.性质42()D aX b a DX +=.(4.21)证明222()[()()][()]D aX bE aX b E aX b E a X EX +=+-+=-222()a E X EX a DX =-=.性质5若X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY ±=+.(4.22)证明由(4.17)式，有22()()[()]D X Y E X Y E X Y ±=±-±2222(2)[()2()]E X XY Y EX EX EY EY =±+-±⋅+2222[2()][()2()]EX E XY EY EX EX EY EY =±+-±⋅+2222[()][()]2[()]EX EX EY EY E XY EX EY =-+-±-⋅2[()]DX DY E XY EX EY =+±-⋅.由X 与Y 独立，有()E XY EX EY =⋅.于是()D X Y DX DY ±=+.性质5的逆命题不成立，即由()D X Y DX DY ±=+，不能得到X 与Y 相互独立.但是它可以推广到任意有限个相互独立的随机变量的情形，即若12,,,n X X X 相互独立，则11()n niii i D X DX===∑∑.(4.23)例22设随机变量~(,)X B n p ，求DX .解根据题意{}ii n in P X i C p q-==，(0,1,,)i n = ，则X 可以理解为n 重伯努利试验中“成功”的次数.若令1,1,2,,,0,i i X i n i ⎧==⎨⎩ 第次成功,第次失败,则12n X X X X =++⋅⋅⋅+，并且(1,2,,)i X i n = 相互独立同服从参数为p 的0—1分布，于是i EX p =，i DX pq =，(1,2i = ，).由(4.10)式及(4.23)式，有11()nni ii i EX E X EXnp =====∑∑，11()nni ii i DX D X DXnpq =====∑∑．例23设随机变量X 与Y 相互独立，并且0EX EY ==，2DX DY σ==，求2()E X Y -.解由(4.9)式，有()0E X Y EX EY -=-=，由X 与Y 独立，得222()2D X Y DX DY σσσ-=+=+=，于是2222()()[()]202E X Y D X Y E X Y σσ-=-+-=+=.4.3常用分布及其数学期望与方差表为了方便今后查询，现将七种常用分布的期望与方差总结为下表.表4—1常用分布及其数学期望与方差总结表4.4协方差与相关系数前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，本节将讨论反映多维随机变量的两个分量之间关系的强弱的数字特征．一、协方差在证明方差的性质时，我们已经知道，在X 与Y 相互独立的条件下，有[()()]0E X EX Y EY --=，可知，当[()()]0E X EX Y EY --≠时，X 与Y 一定不独立．这说明[()()]E X EX Y EY --在一定程度上反映了随机变量X 与Y 之间的关系．定义7设(,)X Y 为二维随机向量，EX 和EY 均存在，若数学期望[()()]E X EX Y EY --存在，则称数值[()()]E X EX Y EY --为X 与Y的协方差，记作cov(,)X Y ，即cov(,)[()()]X Y E X EX Y EY =--.(4.24)显然，cov(,)X X DX=(4.25)由定义7知，X 与Y 的协方差实际上就是二元随机变量函数()()X EX Y EY --的数学期望，因此由定理2有(1)设(,)X Y 是二维离散型随机向量，其概率分布为{,}i j ij P X x Y y p ===，,1,2,i j = ，并且|()()|ij ijijx EX y EY p--<+∞∑∑，则cov(,)()()i j ij ijX Y x EX y EY p =--∑∑.(4.26)(2)设(,)X Y 是二维连续型随机向量，其概率密度为(,)f x y ，并且|()()|(,)x EX y EY f x y dxdy +∞+∞-∞-∞--<+∞⎰⎰，则cov(,)()()(,)X Y x EX y EY f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰.(4.27)此外，协方差还有下面常用性质：1.cov(,)()X Y E XY EX EY =-⋅.(4.28)证明cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--()E XY XEY YEX EX EY =--+⋅()E XY EX EY =-⋅.公式(4.28)提供了一种计算协方差的主要方法，即它将协方差的计算归结为计算三个数学期望EX ，EY 和()E XY .2.cov(C,X)0,=C 为任意常数．3.cov(X,X)DX =．4.设X 与Y 独立，则cov(,)0X Y =.5.()2cov(,)D X Y DX DY X Y ±=+±.(4.29)6.对称性cov(,)cov(,)X Y Y X =.(4.30)7.齐次性cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =.(4.31)8.可加性cov(,)cov(,)cov(,)X Y Z X Z Y Z ±=±.(4.32)性质2至性质8的证明留给读者自行完成．二、相关系数和相关性协方差在一定程度上反映了X 与Y 相互间的关系，但它还受X 与Y 本身度量单位的影响．例如，kX 和kY 之间的统计关系与X 和Y 之间的统计关系应该是一样的，但协方差却扩大了2k 倍，即2cov(,)cov(,)kX kY k X Y =为了克服这一缺点，可将每个随机变量标准化，即取*X=*Y =并将**cov(,)X Y 作为X 和Y 之间相互关系的一种度量，而********cov(,)()()()()X Y E X Y E X E Y E X Y =-=E===此结果表明，可利用标准差对协方差进行修正，从而得到一个新的数字特征—相关系数．定义8设(,)X Y 为二维随机向量，0DX >，0DY >，则称为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ，也可简记为ρ，即XYρ==(4.33)显然，XY ρ的协方差.定理3设X 与Y 是两个随机变量，并且XY ρ存在，则有||1XY ρ≤.证明由定义8知，只需证明2cov (,)X Y DX DY ≤⋅.由于任何随机变量的方差都是一个非负实数，所以对任意实数k ，恒有()D Y kX -2()E Y kX EY kEX =--+222[()2()()()]E Y EY k Y EY X EX k X EX =----+-0≥，即22cov(,)0DY k X Y k DX -+≥.上面不等式的左边是一个关于k 的一元二次函数，因此该不等式成立的充分必要条件为判别式0∆≤，即2[2cov(,)]40X Y DX DY ∆=--⋅≤，于是2cov (,)X Y DX DY ≤⋅.定理4设Y 是随机变量X 的线性函数：Y aX b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.证明由定义7知cov(,)()()X Y E X EX Y EY =--()[()()]E X EX aX b E aX b =-+-+2()aE X EX =-aDX =.因为2()DY D aX b a DX =+=，所以||||XY aDX aa DX a ρ===，即当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.以上两个定理表明，当Y aX b =+时，XY ρ的绝对值达到最大值1.事实上，还可以证明定理4的逆命题也是成立的.因此，X 与Y 的相关系数XY ρ反映了X 与Y 线性关系的密切程度.定义9设XY ρ为X 与Y 的相关系数.(1)如果0XY ρ≠，则称X 与Y 是相关的(实为一定程度的线性相关).其中当||1XY ρ=时，称X 与Y 是完全相关的；当0XY ρ>时，称X 与Y 正相关；当0XY ρ<时，称X 与Y 负相关.(2)如果0XY ρ=，则称X 与Y 不相关(实为线性无关).显然，若X 与Y 相互独立，则0XY ρ=.例24设(,)X Y 的概率分布为Y X 1231-0.10.20.1000.20.110.20.1求X 与Y 的协方差及相关系数.解由(,)X Y 的概率分布，不难得到其关于X 和关于Y 的边缘概率分布为于是(1)0.400.310.30.1EX =-⨯+⨯+⨯=-，10.320.530.2 1.9EY =⨯+⨯+⨯=.由(4.3)式及(4.5)式，有222(1)0.410.30.7EX =-⨯+⨯=，222210.320.530.2 4.1EY =⨯+⨯+⨯=，()(1)10.1(1)20.2(1)30.1010020.2E XY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯030.1110.2120.11300.4+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-.于是222()0.7(0.1)0.69DX EX EX =-=--=，222() 4.11.90.49DY EY EY =-=-=，cov(,)()0.40.11.90.21X Y E XY EX EY =-⋅=-+⨯=-，0.210.360.830.7XY ρ-===-⨯.例25已知随机变量X 服从区间[0,2]π上的均匀分布，并且sin Y X =，sin()Z X k =+，k 为常数，求Y 与Z 的相关系数YZ ρ.解由题设知1,[0,2],~()20,X x X f x ππ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.由(4.4)及(4.6)式，有201(sin )sin 02EY E X xdx ππ===⎰，X 1-01P0.40.30.3Y 123P0.30.50.2201[sin()])02EZ E X k x k dx ππ=+=+=⎰，222201(sin )sin 0.52EY E X xdx ππ===⎰，222201[sin ()]sin ()0.52EZ E X k x k dx ππ=+=+=⎰，()[sin sin()]E YZ E X X k =+201sin sin()2x x k dx ππ=+⎰201[cos cos(2)]4k x k dxππ=-+⎰1cos 2k =.于是22()0.5DY EY EY =-=，22()0.5DZ EZ EZ =-=，cov(,)()Y Z E YZ EY EZ =-⋅1cos 2k =，1cos 2cos YZ k k ρ==.若2k π=，则0YZ ρ=，此时221Y Z +=.但由于Y 与Z 满足关系221Y Z +=，所以Y 与Z 不独立.例26对于二维随机向量(,)X Y ，设X 服从[1,1]-上的均匀分布，并且2Y X =，证明0XY ρ=.证明由题设知1,[1,1],~()20,X x X f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其他.于是0EX =.由(4.4)式及(4.28)式，有13311()02E X x dx -==⎰，cov(,)()X Y E XY EX EY =-⋅3()0E X ==，因此0XY ρ=.但由于X 与Y 满足关系2Y X =，所以X 与Y 不独立.上两例表明，X 与Y 不相关，但它们不独立.因此，由X 与Y 不相关不能得到X 与Y 相互独立.事实上，X 与Y 不相关是指没有线性关系，但并不排除存在其他关系，如平方关系.*例27设二维随机向量1212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，求X 与Y 的相关系数XY ρ.解根据二维正态分布的边缘概率密度知221212,,,EX EY DX DX μμσσ====而12cov(,)()()(,)X Y x y f x y dxdyμμ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰12()()x y μμ+∞+∞-∞-∞=--⎰222112211()exp 2y x x dxdy μμμρσσσ⎡⎤⎫---⎥⨯--⎪⎥⎭⎦令211211,,y x x t u μμμρσσσ⎛⎫---=-=⎪⎭则有222()/21121cov(,)()2ut X Y u e dtduσσρσσπ+∞+∞-+-∞-∞=+⎰⎰2221222()()2u tu e du e dt ρσσπ+∞+∞---∞-∞=⎰⎰2222)()u tue du te dt +∞+∞---∞-∞⎰⎰12ρσσ==于是XYρρ==．注 1.二维正态分布随机向量(,)X Y 的概率密度中的参数ρ是X 与Y 的相关系数，X 和Y 的各自的数学期望、方差及它们的相关系数可以确定二维正态随机向量的分布；2．在第三章已经讲过，若(,)X Y 服从二维正态分布，则X 和Y 相互独立的充分必要条件为0ρ=．现知XY ρρ=，故对于二维正态随机向量(,)X Y 来讲，X 和Y 不相关与X 和Y 相互独立是等价的．4.5矩、协方差矩阵与相关矩阵本节在推广随机变量的期望、方差和两个随机变量的协方差、相关系数等数字特征基础上，引入矩、协方差矩阵和相关矩阵这些概念.一、矩定义10设X 为随机变量，若1,2,k EX k =，…存在，则称其为X 的k 阶原点矩，（简称k 阶矩），也记作k v .若()2,3,k E X EX k -=，…存在，则称其为X 的k 阶中心矩，也记作k μ.若2,3,kE X EX k -=，…存在，称其为X 的k 阶绝对中心矩.对于二维随机向量X Y （，），若(,1,2,k l E X Y k l =)，…存在，则称其为X 和Y 的+k l 阶混合矩.若[()(),1,2,k l E X EX Y EY k l --=]，…存在，则称其为X 和Y 的+k l 阶混合中心矩.注1.随机变量X 的数学期望EX 是X 的一阶原点矩；2.随机变量X 的方差DX 是X 的二阶中心矩.二、协方差矩阵与相关矩阵定义11设12(,,,)n X X X 是n 维随机向量，并且(1,2,,)i DX i n = 存在，则以cov(,)i j X X 为元素的n 阶矩阵111212122212.....................n n n n nn v v v v v v V v v v ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，ii i v DX =，cov(,)ij i j v X X =，,1,2,,i j n = 称为该n 维随机向量的协方差矩阵，记作V .显然，协方差矩阵V 是对称矩阵，即ij ji v v =，,1,2,,i j n = .定义12设12(,,,)n X X X 是n 维随机向量，其任意两个分量i X 与j X 的相关系数ij ρ(,1,2,,i j n = )都存在，则以ij ρ为元素的n 阶矩阵111212122212.....................n n n n nn R ρρρρρρρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为该n 维随机向量的相关矩阵，记作R .由于cov(,)i i i X X DX =，1,2,,i n =，因此1ii ρ==，(1,2,,i n = )，ij ρ==(,1,2,,i j n = ).对于协方差矩阵和相关矩阵，我们主要讨论2n =的情况．例28已知二维随机向量(,)X Y 的协方差矩阵为251236a V ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求参数a 以及相关矩阵R .解根据题意知11221ρρ==，1221120.456ρρ====⨯又由对称性知12a =，因此10.40.41R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.例29已知随机变量X 的方差2DX σ=，并且32Y X =-，求(,)X Y 的协方差矩阵及相关矩阵.解211v DX σ==，222(32)4v DY D X σ==-=.由于32Y X =-为线性函数，所以1XY ρ=-，即12211ρρ==-.于是2122112cov(,)2XY v v X Y ρρσ===-.因此222221222424V σσσσσ-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，1111R -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.例30计算例24中(,)X Y 的协方差矩阵V .解由于110.69v DX ==，220.49v DY ==，12cov(,)0.21v X Y ==-，因此0.690.210.210.49V -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.例31设(,)X Y 的概率密度为221,1,(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他,求(,)X Y 的相关矩阵R .解由(4.6)式，有11()()0E XY dy -==⎰11()0EX EY dy -===⎰于是cov(,)()0X Y E XY EX EY =-⋅=显然0DX DY =>，所以120ρ==于是1001R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.习题四1.盒中有5个球，其中有3个白球、2个黑球，从中一次任取两个球，求取得白球数X 的数学期望与方差.2.设随机变量X 的概率分布为{}1(2,4,,18,20),10P X k k ===…求EX .3.袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，现从中一次任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，求EX .4.设随机变量X 的概率分布为求EX ，2EX 和2(35)E X +.5.连续型随机变量X 的概率密度为,01()0,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其他，,0k α>（），且0.75EX =，求(1),k α；(2)DX .6.一个螺丝钉的重量是随机变量，平均重10克，标准差为1克，求100个同型号螺丝钉重量的数学期望和方差.7.设随机变量X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求EX 和DX .8.设随机变量||1~()0x X f x <=⎩，其他，求EX 和DX .X 2-02P0.40.30.39.设随机变量X 的概率密度为0()00,x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，求：（1）2Y X=的数学期望；（2）2XY e-=的数学期望.10.设随机变量X 与Y 相互独立，概率密度分别为01()0,X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩2，，，其他和55()05,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，，，求()E XY .11.设随机变量X 与Y 相互独立，概率密度分别为01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩1，，，其他和0()00,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，，，求()E X Y +.12.设随机变量X 服从柯西分布，即其概率密度为21()(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+试证明X 的数学期望不存在.13.设随机变量X 的分布函数为10()0x e x F x λ-⎧->=⎨⎩，，其他，求EX 和DX .14.一台实验仪器中有3个元件，各元件发生故障是相互独立的，其概率分别为0.2，0.3，0.4，求发生故障的元件数的数学期望及方差.15.同时掷2颗骰子，设随机变量X 表示出现点数的最大值，求EX 和DX .16.把4只球随机的投入4个盒子中，设X 表示空盒子的个数，求EX 和DX .17.一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这批零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去.求在取得合格品以前，已经取出废品数的数学期望和方差.18.调查结果表明：某地区的科技人员年龄X 具有如下概率密度4(24)(84),2484,()0,k x x x f x ⎧--≤≤=⎨⎩其他,(1)求常数k 的值；(2)计算该地区科技人员的平均年龄.19.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，并且Y =，求Y 的数学期望与方差.20.设随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，并且|1|Y X =-，求EY 和DY .21.对某一目标进行射击，每次射击相互独立并且击中概率为p ，(1)若直到击中为止，求射击次数的数学期望与方差；(2)若直到击中k 次为止，求射击次数的数学期望与方差.22.设X 服从参数为2的泊松分布，32Y X =-，试求,,EY DY cov(,)XY X Y ρ及.23.设随机向量(,)X Y 的概率密度为1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，其他，试求,,cov(,)()XY EX EY X Y D X Y ρ+，，.24.设随机向量(,)X Y 的概率密度为(),0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其他，求cov(,)X Y .25.设随机变量X 的方差16DX =，随机变量Y 的方差25DY =，又X 与Y 的相关系数0.5XY ρ=，求()D X Y +与()D X Y -.26.设随机向量(,)X Y 服从单位圆域{}22(,)1x y x y +≤上的均匀分布，试证明X ，Y 不相关.27.将3个球随机地放入4个盒子，记(1,2)i X i =表示第i 个盒子内球的个数，求随机向量12(,)X X 的协方差矩阵.28.设随机变量X 的概率密度为0.5,02()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，求随机变量X 的1至4阶原点矩和中心距.29.设随机变量X 服从拉普拉斯分布，即其概率密度为1(),2xf x e x λλ-=-∞<<+∞，其中0λ>为常数，求X 的k 阶中心距.30.设随机向量21.502,01(,)~(,)0xy x y X Y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，，其他，求随机向量(,)X Y 的均值和协方差矩阵.31.设随机向量22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae -+++-+-=，试确定A 的值，并求X 与Y 的相关矩阵.32.设二维随机向量(,)X Y 的概率密度为sin()(,)(,)0A x y x y Df x y +∈⎧=⎨⎩，，其他，其中D 为矩形区域(,)0,022x y x y ππ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭.(1)求系数A ；(2)求EX EY DX 及DY ；(3)求cov(,)X Y 及XY ρ；(4)求协方差矩阵C 及相关系数矩阵R .选做题四1.某流水生产线上每个产品部合格的概率为01p p <<（），各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求X 的数学期望E X （）和方差D X （）.2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格产品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品．从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.3.设随机变量X 的概率密度函数为()1cos ,0,220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.4.设两个随机变量,X Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为12的正态分布，求随机变量X Y -的方差.5.假设二维随机向量,X Y （）在矩形(){},02,01G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,,1,X Y U X Y ≤⎧=⎨⎩若若＞，0,2,1,2,X Y V X Y ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求U V 和的联合分布；（2）求U V 和的相关系数γ.6.箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出红球的个数，Y 为取出白球的个数.(1)求随机向量,X Y （）的概率分布；(2)求Cov(,)X Y .7．设二维离散型随机向量,X Y （）的概率分布为Y X 012014014101302112112（1）求{}2P X Y =；（2）求Cov(,)X Y Y -.8.设A B 和为随机事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令110X Y ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩， A发生，， B发生，0，A不发生，，B不发生.（1）求二维随机向量(),X Y 的概率分布；（2）求X Y 和的相关系数XY ρ.9.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨8点的第X 分钟到底层候梯处，且X 在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.10.两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f t ()、数学期望和方差.11.一商店经销某种商品，每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布，商品每销售出一单位商品获得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获得利润500元，试计算此商点经销该种商品每周所得利润的期望值.12.设,A B 是两个随机事件，随机变量111,1,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨--⎩⎩，若出现，，若出现，若不出现，若不出现，试证明：随机变量X Y 和不相关的充分必要条件是A B 与相互独立.13.假设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布，随机变量11111,11,1U U X Y U U ≤-≤⎧⎧==⎨⎨->-->⎩⎩，若，，若，若，若，试求：（1）X Y 和的联合概率分布；（2）()D X Y +.14.设随机变量X 的概率密度为()1,10,21,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩，其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机向量(),X Y 的分布函数，求：（1）Y 的概率密度()Y y f ；（2）()Cov ,X Y ；（3）1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
