3.1 刚体模型

M
o
r
F

M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F

※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。

注意：定轴转动 定点转动瞬时转轴的方向
五、线速度
v v v dr dn × r v v v= = = ω ×r dt dt
注意：角速度为刚体共有， 线速度应是刚体上某一点的线速度
图
返回
表示绕转轴的转动，3 个独立的角度表示刚体的转动
二、刚体运动的分类
1. 2. 3. 4. 5.
平动
独立坐标数：3 独立坐标数：1 独立坐标数：2＋1
定轴转动
平面平行运动
Байду номын сангаас
定点转动独立坐标数：3 一般运动独立坐标数：3＋3 定点转动
学习重点：定轴转动 平面平行运动
§3.2 角速度矢量
一、矢量 ♥ 有大小、有方向 v v v v ♥ 满足对易律 A + B = B + A
第三章 刚体力学
刚体：理想模型. 任何两质点间的距离 不因力的作用而改变. 刚体力学的内容： 刚体运动学 刚体动力学 刚体静力学
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体的独立变量
一个质点 一个点 二个点 三个点 3个独立坐标 ； n个质点 3个坐标能否确定刚体？ 6个坐标能否确定刚体？ 3个不在一条直线上的点 3点间距是常数 9－3＝6 9个坐标？ 3n?
位移、速度等线量满足对易律
二、有限转动
图
角位移、角速度不满足对易律
三、无限小转动的矢量性
无限小转动角位移、角速度满足对易律 角位移、角速度可用矢量描述 证明
四、角速度矢量 定义：
v v ∆n dn v = ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
dθ ω的大小：ω = ω dt
ω的方向：沿转动瞬轴
结论：刚体的独立坐标数是 6 .
如何用 6 个坐标？

一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )

二．平动和转动
平动：刚体运动时，若刚体内任意一条直线在 各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动 叫做平动。
特征： 1.运动学特征：平动时刚体中各质点的位移，
速度，加速度相等。刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
2.动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距 离保持不变的质点组。
对刚体中的每一个质元应用牛顿运动定律
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
பைடு நூலகம்
0
0t
1 2
t
2
v2 v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0)
角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v ret
at r an r 2
a
an
同 学 们 好
第三章 刚体的运动
出发点：牛顿运动定律
§3-1 刚体模型及其运动
刚体的运动形式：平动、转动。 （平动，定轴转动，定点转动， 平面平行运动，一般运动）
刚体是实际物体的一种理想的模型
一．刚体（理想模型）：在外力作用下，形状 和大小都不发生变化的物体 。（任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组）
r
at
e v
t
a ret r 2en
刚体平动
质点运动
转动：刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周 运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 转动又分定轴转动和非定轴转动。 定轴转动：转轴固定不动的转动。
刚体定轴转动的运动学特征：质点在垂直转轴的 平面内作圆周运动，用角量度描述，刚体中各质 点的角位移 、角速度、角加速度均相等。

2 1
Jd

1 2
J22

1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF

Liz mi ri vi mi ri
2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz mi ri ( mi ri )
2 2 i i i
令
J z mi ri
i
2
kg m
2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
Lz J z
2、转动惯量：（单位
kg m )
（2）转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度
（3）瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。
(4)在定轴转动中，M z 和 的方向均在转轴方位， 可用代数表示。
例4.一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在o点，距 A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动， 求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直 位置时的角速度和角加速度。
J J c md
2 2
同样得
1 l 2 J ml m ml 12 3 2 1
例二 求质量为 m，半径为 R 的细圆环和均匀 薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动 时的转动惯量。 解：（1）在圆环上取一质量元为
dm dl m 2 R dl
dl

x
任意点P(r,)的转动可代表整个刚体的转动.
在p点的转动平面内进行研究. 1 描述点P转动的物理量为:
(1). 角坐标 (t) 一般规定逆时针转动为正. (2).角速度 定义:
d dt
o
• P
r
• P
单位:
rad/s
x
>0
一般规定逆时针转动时 > 0 顺时针转动时 < 0 方向用右手法则确定.
W
z

解 根据定义，飞轮的角速度为 d 2π 0t dt
飞轮的角加速度为 b d 20π dt
距转轴r处质点的切向加速度 at rb 2π 0r
法向加速度
an r2 40π20r2t
例 船用螺旋桨的正常转速为120r/min。从静止启动均匀地到
此转速需时40s。当转速为84r/min时运动系统出现振动，
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 根据题意，设 b kt2（k为比例常量）
由角加速度的定义，有
b dkt2
dt
分离变量并积分，有
d tkt2dt
➢ 说明
刚体作平动时，刚体上各点的轨迹可以是直线，也可以是曲线； 刚体作平动时，刚体上所有质点都具有相同的位移、速度和加速度，
各点的运动轨迹都相同； 刚体平动的运动规律完全符合质点运动规律； 刚体质心的运动代表平动刚体的运动。
3. 刚体的转动 转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。 转动轴: 刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定的或变化的)。
y
确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。
O
当刚体受到某些限制——自由度减少。
x i = 3+2+1= 6
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
主要内容：
1. 描述刚体定轴转动的物理量 2. 定轴转动刚体上一点的速度和加速度与角量的关系 3. 刚体定轴转动运动学的两类问题
3.2.1 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标
任选刚体上的任意点P点为参考点
刚体定轴转动的运动方程
(t)
角位移
若P在t 和t 后的角坐标为1和2，则
角速度
21
平均角速度
t
瞬时角速度 d dt

z
A

角位移

r1
A
o1 o2
B r2

B
d 角速度 dt d 角加速度 dt
刚体的定轴转动
例：
一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在
t=25s 时边缘上一点的速
O a
an
v r at
度和加速度。
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变 速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在 t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
（2）t=25s 时飞轮的角速度为
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。 由
v r
v v r sin r sin 900 r 78.5m / s
J O J DO J dO
2 1 R 2 1 R 2 MR md md ( ) 2 2 2 2 2
1 3 R 2 MR md 2 2 2
M R 2 md
R
2

m
2 R R 4 2
c
a b
刚体的平动过程
c
a b b
刚体的平动过程
c
a b
刚体的平动过程
c
a b

2π
R
r
0
3dr
π
R4
0
Jz
1 2
mR2
2
非均匀圆盘呢？
o r dr R
dS rdrd (r,)
Jz r2 dS
d
o rr dr
R
x
质量为m，长为l 的均匀细棒绕质心且垂直于棒的
轴的转动惯量
JC
1 ml2 12
质量为m，长为l 的均匀细棒绕一端且垂直于棒的
轴的转动惯量
Jz
刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质 量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。
J mrG2
z
刚体对该转轴的回转半径rG为：
J rG m
三、刚体对Oz轴的角动量
m rG
Lz Jz
Lz J
Lz J
3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律
一、转动定律
质点系：
M
dL
dt
Mz
d Lz dt
JC r2dm
dm dx, m
z
l
O dm
r2 x2
x dx
x
JC
l/2 x2dx 1 x3 l/2
l / 2
3
l / 2
JC
1 12
ml 2
非均匀的棒绕质心且垂直于棒的轴的转动惯量呢？
例2: 一质量为m，半径为r的均匀圆环，求对通过 环中心并与环面垂直的轴的转动惯量。
解： Jz r2dm
1 ml2 3
Jz
1 3
ml 2
1 12
ml 2
m( l )2 2
平行轴定理
若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚 体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是