2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-1-4

突破练一1．已知函数f (x )＝sin x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos 2x －12.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，b ＋c ＝3.求a 的最小值．解 (1)f (x )＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＋cos 2x －12＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋14＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴函数f (x )的最大值为34.当f (x )取最大值时sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z .故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋14＝12， 化简得sin (2A ＋π6)＝12.∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈(π6，13π6)，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝3，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝94，即a 2≥94.∴当b ＝c ＝32时，a 取最小值32.2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E (ξ)．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝[(30＋50)×0.0 065＋(50＋70)× 0.0 140＋(70＋90)×0.0 170＋(90＋110)×0.0 050＋(110＋130)×0.0 043＋(130＋150)×0.0 032]×12×20＝74.84分．(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )，则[1－P (A )]2＝19，P (A )＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5.则P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1027， P (ξ＝5)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.所以ξ的分布列为E (ξ)＝3×13＋4×1027＋5×27＝27. 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1， 又a n ＋1＝－4S n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n＝－3，n ≥2， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n，∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n，所以，T n ＝1－n ＋－n16.4．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD . (1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面PAB ∥平面EFG ，AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG 的法向量n 1＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝a －1，∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的法向量n 2＝(1,0,0)，依题意， cos 〈n 1，n 2〉＝2－a －a2＋a －2＋1＝22， ∴a ＝1，于是GF →＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的法向量n 3＝(m ，n,1)，PC →＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36，故有cos θ＝336. 5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值．解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以，以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16，所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x 得，3y 2－4y ＋4m ＝0，则y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m 3，Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33， 所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4， 所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4， 所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4， 所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－233当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －233，所以直线在y 轴上截距最大值为－23 3.6．已知函数f (x )＝ln x .(1)求证：当0＜x ＜1时，f (1＋x )＜x －x 36；(2)设g (x )＝ax －(x ＋1)f (x ＋1)，若g (x )的最大值不大于0，求a 的取值集合； (3)求证：(1＋1)(1＋12) (1)1n)＞e n －25(n ∈N *)．(1)证明 要证f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，即证：ln(x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)，设u (x )＝x －16x 3－ln(x ＋1)(0＜x ＜1)，则u ′(x )＝－x x ＋x －x ＋＞0，所以，u (x )在(0,1)递增，即u (x )＞u (0)＝0. 从而f (x ＋1)＜x －16x 3(0＜x ＜1)成立．(2)解 g (x )＝ax －(x ＋1)ln(x ＋1)，∴g ′(x )＝a －[1＋ln(x ＋1)]，令g ′(x 0)＝0，则x 0＝ea －1－1.∴g (x )max ＝g 极大值0x ，则a ＝x ＋1，∴g (x )max ＝e x－(x ＋1)，设h (x )＝e x －(x ＋1)，则h ′(x )＝e x－1.令h ′(x )＝0，则x ＝0.所以，h (x )又因为g (x )max ＝ea －1－a ≤0，所以，e a －1－a ＝0，即：a ＝1.(3)证明 要证(1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋12…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞e ，即证：ln(1＋1)＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －25， 由(2)可知ln(x ＋1)≥xx ＋1，令x ＝1n， 当n ≥3时，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≥11＋n ＞1n －1＋n ＝n －n －1， 所以，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12≥2－1，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＞3－2，…，ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －n －1， 所以，ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＞n －1＋ln 2＞n －25，即：(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12…(1＋1n )＞e成立．。

【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理（含最新原创题，含解析）(建议用时：40分钟) 一、选择题1．若A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∩B 中元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }＝{x |1＜x ＜4，x ∈Z }＝{2,3}，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{2}． 答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋i B ． 5 C.52D ．54解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋b i|＝|－12－i|＝52. 答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )． A.815B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2.所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)． 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值X 围是( )． A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )，∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a n n＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________．解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)， ∴|p ＋λq |＝2＋λ2＋2λ－12＝5λ2＋5≥ 5.答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6.答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x，所以，曲线y ＝x在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2b a＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)． 答案 7＋4 3。

第2讲 数列的综合问题一、选择题1．(2014·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 ∵a 4＜0，a 5＞|a 4|， ∴a 4＋a 5＞0， ∴S 8＝a 4＋a 52＝a 1＋a 82＞0.∴最小正整数为8. 答案 C2．(2014·广州综合测试)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )．A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析 由a n ＋1－a n ＝sinn ＋π2⇒a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S 2 014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008. 答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为 ( )．A ．－3B ．－4C ．3D ．4解析 a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1a n＝1n －1n ＋1，所以S n ＝n n ＋1，所以b n S n ＝n n －n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－10≥－4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立，所以b n S n 的最小值为－4. 答案 B4．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )．A.32 B ．53 C.256D ．43解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫24mn ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.答案 A 二、填空题5．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2， 因此S 6＝－261－2＝63.答案 636．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1，所以q ＞1.∵a 2a 1＝q ，∴a 1(q －1)＝1，a 1＝1q －1， ∴a 3＝q 2q －1＝q －2＋q －＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2q －1q －1＋2＝4， 当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.答案 2n －17．(2014·咸阳一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析 因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 108．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23，由于函数f (x )＝x 33－10x 23(x ＞0)在x ＝203处取得极小值也是最小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49. 答案 －49 三、解答题9．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n.(1)解 设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明 当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1. 当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1.∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1.∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴S n ＝n 2.∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11.当n ≥2时，1S n ＝1n 2<1nn －＝1n －1－1n. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n. 10．(2014·四川卷)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 11．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)． 因为a 1＝1,2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2. 又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2， 使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列．。

合测评 试卷分拆练常考填空题——基础夯实练(一) (对应学生用书P403)(建议用时：40分钟)1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析 ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4. 答案 42．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面上对应的点位于第________象限．解析 z 1·z 2＝3－i ，对应的点为(3，－1)． 答案 四3．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________． 解析 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，由于θ∈[0，π]故θ＝120°. 答案 120°4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．解析 如图所示，可知AC ＝1，CO ＝2，AO ＝3， ∴tan ∠AOC ＝33，所以切线方程为y ＝－33x . 答案 y ＝－33x5．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________(用区间表示)．解析 据题意知x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，故有4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞) 6.如果执行右图的流程图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于________． 解析 p 1＝3，p 2＝12，p 3＝60，p 4＝360，此时m ＝k ，结束，所以输出结果为360. 答案 3607．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5等于________．解析 ∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，∴a 15a5＝a 13a 3＝3或13.答案 3或138．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析 根据约束条件，可得三条直线的交点坐标为A (6,4)，B (4,6)，C (4,2)，将三个坐标分别代入目标函数，可得最小值为目标函数线过点C 时取得，即最小值为z min ＝2×4＋3×2＝14.答案 149．下列：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－|x ＋1|；③f (x )＝ln2－x 2＋x；④f (x )＝12(2x ＋2－x )四个函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的函数是________． 解析 f (x )＝sin x 在区间[－1,1]上单调递增；f (x )＝－|x ＋1|不是奇函数；f (x )＝12(2x ＋2－x )不满足在区间[－1,1]上单调递增；对于f (x )＝ln 2－x 2＋x ，f (－x )＝ln 2＋x2－x＝－ln2－x 2＋x ＝－f (x )，故为奇函数，x ∈[－1,1]时，2－x 2＋x ＝－1＋42＋x，它在[－1,1]上单调递减，故f (x )＝ln 2－x2＋x在[－1,1]上单调递减． 答案 ③10．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12. 答案 1211．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞).若f (x )＞4，则x 的取值范围是________．解析 当x ＜1时，由2－x ＞4，得x ＜－2，当x ≥1时，由x 2＞4，得x ＞2，综上所述，解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈[－π6，α]．若f (x )的值域是[－12，1]，则a 的取值范围是________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2a ＋π6.∵f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴π2≤2a ＋π6≤76π.则π6≤a ≤π2，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π213．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为________．解析 因为y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，所以a 2＋b 2＝4①，又因为|PF |＝5，所以点P (x ，y )到准线的距离也是5，即p2＋x ＝5，而p ＝4，∴x ＝3，所以P (3,26)，代入双曲线方程，得9a 2－24b 2＝1②，由①②得a 4－37a 2＋36＝0，解得a 2＝1或a 2＝36(舍去)，所以a ＝1，b ＝3，所以离心率e ＝ca ＝2. 答案 214．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋3)＝f (x ＋1)且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点个数为________．解析 由f (x ＋3)＝f (x ＋1)⇒f (x ＋2)＝f (x )，可知函数的最小正周期为2，故f (1)＝f (3)＝f (5)＝f (7)＝1，函数f (x )＝x 2的值域为{y |0≤y ≤1}，当x ＝7时，函数y ＝log 7x 的值为y ＝log 77＝1，故可知在区间[0,7]之间，两函数图象有6个交点． 答案 6常考填空题——基础夯实练(二) (对应学生用书P404)(建议用时：40分钟)1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析 由⎩⎨⎧x 2－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1.答案 －12．已知集合M ＝{x |－5＜x ＜2}，N ＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}, 则M ∩N ＝________.答案 {－4，－3，－2，－1,0,1}3．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是________．解析 根据平均数为9，得x ＝8，根据方差公式，得s 2＝14[(10－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝1. 答案 1 4.若如图所示的流程图输出的S 是62，则在判断框中①表示的“条件”应该是________．解析 ∵S ＝21＋22＋23＋24＋25＝62，所以判断框中①表示的“条件”应为n ≤5. 答案 n ≤55．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为________．解析 ∵(a －b )⊥c ，a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，∴(a －b )·c ＝(x －1，－x ＋2)·(1,2)＝x －1－2x ＋4＝3－x ＝0，解得x ＝3. 答案 36．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 cos α的值为________．解析 已知α为锐角，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 答案43＋3107．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________． 解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 35 8.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为________．解析 如题图，过B 作BD ⊥AA 1于D ，连接CD ，则△BAD ≌△CAD ，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 所以△BCD 为垂直于侧棱AA 1的截面． 又因为∠BAD ＝60°，AB ＝a ，所以BD ＝32a .所以△BDC 的周长为(3＋1)a ，从而S 侧＝(3＋1)a 2，S 底＝12×a 2sin 60°＝34a 2.故S 全＝S 侧＋2S 底＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 29．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 所以，原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案 410．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 解析 由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4.答案 411．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：y 2＝8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是________． 解析 由抛物线定义可得R ＝|MF |＝x 0＋p2＝x 0＋2，又抛物线准线x ＝－2与圆相交，故有2＋2＜R ＝x 0＋2，解得x 0＞2. 答案 (2，＋∞)12．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )，若∃x ∈R 使得(x －a x ＋a )＞1成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵∃x 使得(x －ax ＋a )＞1⇒(x －a )(1－x －a )＞1，即∃x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞13．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________． 解析根据题设条件，画出可行域，如图所示．由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝(0＋1)2＋(－2－0)2－1 ＝5－1. 答案5－114．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d ＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案 ①②③常考填空题——基础夯实练(三) (对应学生用书P405)(建议用时：40分钟)1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{0,1,2}，则A 与B 的关系为________． 答案 B A2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝________. 解析3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i. 答案 1＋2i3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 解析 化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 答案 14．设命题p ：存在两个相交平面垂直于同一条直线；命题q ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0，则(綈p )∧(綈q )________命题；(綈p )∧q ______命题．(填“真”或“假”)解析 对于命题p ，注意到垂直于同一条直线的两个平面相互平行，因此命题p 是假命题；对于命题q ，注意到x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，因此命题q 是真命题，则(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是真命题． 答案 假 真5．为了了解某地居民每户月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方图如图所示，若月均用电量在区间[110,120)上共有150户，则月均用电量在区间[120,140)上的居民共有________户．解析 根据频率分布直方图，可知[110,120)的频率为10×0.03＝0.30，由题意，得样本容量为n ＝1500.3＝500，[120,140)的频率为10×(0.04＋0.02)＝0.60，故居民有0.60×500＝300(户)． 答案 3006．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是________．解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ； ∴S 33－S 22＝(a 1＋d )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝d 2，因此d ＝2.答案 27．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为________． 解析 从1,2,3,4,5中随机抽取三个不同的数，有1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；2,3,4；2,3,5；3,4,5；2,4,5；1,4,5；共10种不同的取法，其中和为奇数的有1,2,4；1,3,5；2,3,4；2,4,5共4个，由此可得和为奇数的概率为P ＝410＝25.答案 25 8.某流程图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为________(填“真”或“假”)．解析 依据流程图画出运行n 次后M ，N ，i 的值.3次运行后，i ＝4＞3，于是有M ＝13，N ＝21. 答案 13,21 9.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C 的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′-ABC 的体积为________．解析 V B ′- ABC＝13×BB ′×S △ABC ＝13×3×34×12＝34. 答案 3410．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析 由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7.当且仅当3x ＝93x ，即x ＝1时取得等号． 答案 711．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD →－DC →)＝AD →2－12DC →·AD→－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －3212．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0所表示的可行域如图所示，由图示可得，当平行直线系z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值z 最大值＝2＋0＝2. 答案 213．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．解析 记椭圆的左焦点为F 1，依题意得|OA |＝|OB |＝|OF |＝c ，四边形AFBF 1为矩形，△AF 1O 是正三角形，|AF 1|＝c ，|AF |＝3c ，椭圆C 的离心率为e ＝|FF 1||AF 1|＋|AF |＝2c c ＋3c ＝3－1. 答案3－114．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为________． 解析 构造函数h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，由已知条件可知h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2>0，则h (x )在R 上为增函数，得a >1，又a ＋a －1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍去)．所以f (n )g (n )＝2n ，其前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，由2n ＋1－2>62，解得2n ＋1>26，∴n >5，故n 的最小值为6. 答案 6常考填空题——基础夯实练(四) (对应学生用书P406)(建议用时：40分钟)1．复数1i －2＋11－2i 的虚部为________．解析 依题意得1i －2＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－1＋i 5，因此该数的虚部是15. 答案 152．若集合A ＝{1，m 2}，集合B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的________条件．解析 由m ＝2，得A ∩B ＝{2}；反过来，由A ∩B ＝{2}不能得知m ＝2，此时m 可能取－ 2.因此，“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的充分不必要条件．答案 充分不必要 3.执行如图所示的流程图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为________． 解析 依次可得x ＝3；x ＝7；x ＝127＞126，由判断框可知输出x ＝127. 答案 1274．已知函数f (x )＝2x ＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为________． 解析 依题意得f (1)＝2，f ′(x )＝－2x 2＋ln x ＋1，f ′(1)＝－1，所求的切线方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝05．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 解析由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3. 答案 2 36．右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．解析 得分平均数为x ＝84＋84＋84＋86＋87＋91＋937＝87.方差S 2＝17[(84－87)2＋(84－87)2＋(84－87)2＋(86－87)2＋(87－87)2＋(91－87)2＋(93－87)2]＝807.答案 8077．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.解析 据题意将已知两式相减可得3(S 3－S 2)＝a 4－a 3⇒3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，从而q ＝a 4a 3＝4.答案 48．(2014·苏州调研)已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 A 中有两个数字，a ，b ，c 可重复，共有8种不同取法，其中可以构成三角形的取法有5种，分别为(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5种，∴构成三角形的概率为58. 答案 589．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x ＜6.则该校招聘的教师人数最多是________．解析 由题意，可设目标函数为z ＝x ＋y ，根据约束条件，作出可行域，由于x ≠6，结合可行域，可知当目标函数z ＝x ＋y 过点(5,5)时，z max ＝5＋5＝10，所以该校招聘的教师最多为10名．答案 1010．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________． 解析 由弦长结合抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又由AB 的中点到y 轴的距离可得x 1＋x 22＝2，代入上式可得p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x11．已知∀x ∈(0，＋∞)，都有ax 2＋2ax ≥x －4a ，则实数a 的取值范围是________． 解析 分离参数：a ≥xx 2＋2x ＋4＝1x ＋4x ＋2， ∵x ＞0，∴x ＋4x ＋2≥6，则a ≥16. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞12.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A ＝________.解析 由图知OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，∵OM →·ON →＝7π2144－A 2＝0，∴A ＝712π. 答案 712π13．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析 如图，三棱柱的外接球球心为O ，其中D 为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD ＝33×6＝23，又OD ＝3，故在Rt △OAD 中可得R ＝|OA |＝(23)2＋32＝21，故球的表面积为4π(21)2＝84π. 答案 84π14．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x )＝x －[x ]．给出下列四个命题：①函数f (x )的定义域是R ，值域为[0,1]；②方程f (x )＝12有无数个解；③函数f (x )是周期函数；④函数f (x )是增函数． 其中正确命题的序号有________．解析 据已知函数的定义可得f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧⋮x (0≤x ＜1)，x －1(1≤x ＜2)，x －2(2≤x ＜3)，⋮如图为其部分图象，观察图象可得函数的定义域为R ，值域应为[0,1)，故①错；又图象与直线y ＝12有无穷多个交点，因此方程f (x )＝12有无穷多个解，故②正确；③由图象知函数周期为1；④由于函数是以1为周期的函数，故函数在整个定义域上不单调．综上可知命题②③是正确的．答案 ②③常考填空题——基础夯实练(五) (对应学生用书P407)(建议用时：40分钟)1．已知集合M ＝{y |y ＝2x }，N ＝{x |y ＝2x －x 2}，则M ∩N ＝________. 解析 将两集合化简得M ＝{y |y ＞0}，N ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，故M ∩N ＝{x |0＜x ≤2}． 答案 {x |0＜x ≤2} 2．在复平面内，复数i1－i对应的点位于第________象限． 解析 将复数化简得i 1－i＝i (1＋i )2＝－1＋i 2，因此其在复平面对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限． 答案 二3．若a ，b 为实数，则“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的________条件． 解析 由a ＋b ≤1不能得a ≤12且b ≤12，如取a ＝1，b ＝－5；反过来，由a ≤12且b ≤12得知a ＋b ≤1.因此，“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的必要不充分条件． 答案 必要不充分4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 相交5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________.解析 据分层抽样中各层等概率的特点可得18n ＝33＋5＋7⇒n ＝90.答案 906．运行如图所示流程图后，输出的结果为________．解析 S ＝0－2－0－(－2)－(－4)＝4. 答案 47．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝15，前6项和S 6＝21，则前11项和S 11＝________.解析 由等差数列的求和公式，可得S 5＝5a 1＋5×42d ＝15，S 6＝6a 1＋6×52d ＝21，∴a 1＝1，d ＝1，则S 11＝11a 1＋55d ＝66. 答案 668．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，则该圆锥的体积为________． 答案22π39．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析 画图，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 3，y ＝－k3，代入－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝8，∴k ＝－6. 答案 －6 10.已知|OA →|＝2，|OB →|＝23，OA →·OB →＝0，点C 在AB 上，∠AOC ＝30°，则向量OC →等于________(用OA→与OB →线性表示)． 解析 据题意以OA ，OB 分别为x ，y 轴建立直角坐标系，由OA →＝(2,0)，OB →＝(0，23)，设OC →＝xOA →＋yOB →＝x (2,0)＋y (0，23)＝(2x,23y )，由∠AOC ＝30°得点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32(由两直线的方程得交点)，即OC→＝(2x ，23y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32⇒x ＝34，y ＝14，故OC→＝34OA →＋14OB →.答案 34OA →＋14OB →11．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是________． 解析 据已知可得A ＝1，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝cos(2x ＋φ)，再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，解得φ＝－π4，因此f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，解得x ∈k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z )即为函数的单调递减区间． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z12．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0142＜________.解析 由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 013个表达式的右边应当为2×2 013＋12 013＋1＝4 0272 014.答案 4 0272 01413．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 作斜率为2的直线l 使它与圆x 2＋y 2＝b 2相切，则椭圆离心率是________． 解析如图所示，过点F 斜率为2的直线l 方程为y ＝2(x －c )，由直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切可得，d ＝2c 5＝b ＝a 2－c 2，整理可得9c 2＝5a 2，即e ＝c a ＝c 2a 2＝59＝53. 答案 5314．已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．解析 ∵f ′(x )＝5＋cos x ＞0，可得函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又函数f (x )的奇函数，∴由f (x )＝5x ＋sin x ＋c 及f (0)＝0可得c ＝0，由f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，可得f (1－x )＜－f (1－x 2)＝f (x 2－1)，从而得⎩⎨⎧1－x ＜x 2－1，1－x ＞－1，x 2－1＜1，解得1＜x ＜ 2.答案 (1，2)常考填空题——基础夯实练(六)(对应学生用书P408)(建议用时：40分钟)1．复数z＝1＋ii，则|z|＝________.解析依题意得z＝1－i，|z|＝12＋(－1)2＝ 2.答案 22．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，则P∩Q＝________.解析由x(x－1)≥0，得x≥1或x≤0.则P＝{x|x≥1或x≤0}．由x－1＞0，得x＞1，则Q＝{x|x＞1}．∴P∩Q＝{x|x＞1}，即P∩Q＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)3．在等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于________．解析由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4＞0，故a6a7＝4. 答案 44．若流程图所给的算法运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是________．解析据程序框图可得当k＝9时，S＝11；当k＝8时，S＝11＋9＝20，此时要求程序结束，故判断框填入条件k＞8即可．答案k＞85．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“＞”连接)．解析 由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知，甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s 1＞s 2＞s 3. 答案 s 1＞s 2＞s 36．从{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率是________．解析 因为该实验所有的基本事件有9个，其中直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限时，斜率k ＜0，纵截距b ＞0，有2个基本事件，所以所求概率为29. 答案 297．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 解析 由正弦定理得：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即3sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝ 2.答案28．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是________．解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3. 答案 3 9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝________.解析 依题意得BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2(BP →2＋PD →·BP →)＝2BP →2＝8. 答案 810．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________． 解析 因为1＝x 3＋y4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy 3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. 答案 311．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1012．如图所示，已知三棱柱，ABC -A ′B ′C 的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为______．解析 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32×312.答案 31213．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________． 解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22. 答案 2214．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，若对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最大值为π－32，则(1)a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________．解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，所以a ＞0，此时f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x 的图象在x ∈(0，π)上的交点个数，又x ＝π2时，sin π2＝1＞3π＞0，所以两图象在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2. 答案 (1)1 (2)2。

限时练四(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为 ( )．A ．－1或1B ．1C ．－1D ．3解析 ∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴a 2－1＝0，且a －1≠0，∴a ＝－1.答案 C2．若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q 的( )．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件． 答案 A3．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小．a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A4．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( )． A ．24 B ．39 C ．52D ．104解析 ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，由等差数列的性质得6a 4＋6a 10＝48，∴a 7＝4，∴数列{a n }的前13项和为13a 7＝52.答案 C5.执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 此程序框图的算法功能是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞2，x 2－1，x ≤2的求值，当y ＝3时，相应的x 值分别为±2,8. 答案 C6．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )．由此估计山高为72(km)处气温的度数为 ( )．A ．－10B ．－8C ．－6D ．－4解析 ∵x ＝10，y ＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋a ^，即a ^＝60，∴线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6. 答案 C7．曲线f (x )＝e x(其中e 为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与直线y ＝－x ＋3和x 轴所围成的区域为D (包含边界)，点P (x ，y )为区域D 内的动点，则z ＝x －3y 的最大值为 ( )． A ．3B ．4C．－1 D．2解析∵f′(x)＝e x，∴f′(0)＝1，∴曲线f(x)＝e x在点(0,1)处的切线方程为y＝x ＋1，其与直线y＝－x＋3及x轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z＝x－3y 过点A(3,0)时，目标函数z＝x－3y取得最大值3.答案 A8．三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为( )．A．211 B．4 2C.38 D．16 3解析取AC的中点D，连接BD，SD，由正视图及侧视图得，BD⊥平面SAC，SC⊥平面ABC，则∠SDB＝90°，且BD＝23，SD＝25，∴SB＝4 2.答案 B9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是 ( )． A ．1 B ． 2 C ．3D ． 3解析 ∵c sin A ＝3a cos C ∴sin C sin A ＝3sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴32＜3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.答案 D10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2.若线段MF 1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为( )．A ．4＋2 3B ．3－1 C.3－12D ．3＋1解析 ∵正三角形MF 1F 2的边长为2c ，设MF 1的中点为N ，∴F 2N ⊥NF 1，在Rt △NF 1F 2中，容易求得，|NF 2|＝3c ，|NF 1|＝c ，又N 在双曲线上，∴|NF 2|－|NF 1|＝2a ，∴2a ＝3c －c ，∴e ＝c a＝23－1＝3＋1. 答案 D11．若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆(x －k )2＋y 2＝2相切的概率等于 ( )．A.12 B ．13 C.23D ．34解析 点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A 距离大于半径即可，即(1－k )2＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P ＝46＝23.答案 C12．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图，下列关于函数f (x )的四个命题：①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数是 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 首先排除①，不能确定周期性，f (x )在[0,2]上时f ′(x )<0，故②正确，当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t ≤5，所以排除③；不能确定在x ＝2时函数值和a 的大小，故不能确定几个零点，故 ④错误． 答案 D 二、填空题13．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，且a ∥b ，则|a －b |＝________.解析 ∵a ∥b ，∴1×6－2x ＝0，∴x ＝3. 故|a －b |＝－2＋－2＝2 5.答案 2 514.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________．解析 T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.所以常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40. 答案 4015．在三棱锥P ­ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析 ∵侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，∴三棱锥P ­ABC 的外接球就是以PC ，PB ，PA 为长，宽，高的长方体的外接球，∵PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为14，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案 14π16．若实数a ，b ，c ，d 满足|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为______．解析 ∵|b ＋a 2－3ln a |＋(c －d ＋2)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3ln a －a 2，d ＝c ＋2，(a －c )2＋(b －d )2表示两点(a ，b )，(c ，d )间距离的平方，将直线d ＝c ＋2平移到与曲线b ＝3ln a －a 2相切，切点到直线d ＝c ＋2的距离即两点(a ，b )，(c ，d )间距离的最小值，由b ′＝3a －2a ＝1，得a ＝1(a ＝－32舍去)，∴切点为(1，－1)，到直线d ＝c ＋2的距离为22，∴(a －c )2＋(b －d )2的最小值为8. 答案 8。

一、选择题1．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()．A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.答案 D2．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．54 B．60 C．66 D．72解析还原为如图所示的直观图，S表＝S△ABC＋S△DEF＋S矩形ACFD＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5＝60.答案 B3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．A.233B．476C．6 D．7解析如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案 A4．(2014·潍坊一模)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()．A.32πB．32πC．3πD．12π解析如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝2，SC＝3，所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 C 二、填空题5. (2014·金丽衢十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析 由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223. 答案 2236．(2014·山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 解析 设棱锥的高为h ，则V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝23， ∴h ＝1，由勾股定理知，侧棱长为22＋1＝5， ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为 (5)2－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12. 答案 127．(2014·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为3，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．所以，S＝12×12×2π×1×2＋12×π×12＋12×2×3＝3π2＋ 3.答案3＋3π28．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，则V E－ABC ＝16V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案①②③三、解答题9．(2014·山东卷)如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面P AC.证明(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC. 由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△P AC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面P AC，所以BE⊥平面P AC.10. (2014·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝3 2.所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312， V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33， 所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312.11．(2014·江西卷)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC －A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．(1)证明 由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC ，又BB 1⊥A 1B ， 故BB 1⊥平面BCA 1，即BB 1⊥A 1C ， 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)解 法一 设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2. 同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－ x 2.在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)，sin ∠BA 1C ＝12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)，所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22，因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.法二 如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°， 所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中， A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.。

创新问题专项训练(一)一、选择题1.如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是( )2．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．8D ．63．设实数a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足1<a 1<3，a 3＝4.若定义b n ＝{2a n }，给出下列命题：(1)b 1，b 2，b 3，b 4是一个等比数列；(2)b 1<b 2；(3)b 2>4；(4)b 4>32；(5)b 2·b 4＝256.其中真命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．我们把形如y ＝f (x )φ(x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝φ(x )ln f (x )，两边求导得y ′y＝φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f x f x ，于是y ′＝f (x )φ(x )[φ′(x )·l n f (x )＋φ(x )·f x f x]．运用此方法可以探求得y ＝x 1x的一个单调递增区间是( )A ．(e,4)B ．(3,6)C ．(2,3)D ．(0,1)5．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x )上运动，且OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O为坐标原点)，若向量m ＝(12，3)，n ＝(π6，0)，则y ＝f (x )的最大值为( )A.12 B ．2 C ．3 D. 3二、填空题6．设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是________．7．若从集合113,434⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，中随机抽取一个数记为a ，从集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b ，则函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的图像经过第三象限的概率是________．8.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A，B与边a所对应的三个数分别为________．9．已知数列{a n}：a1，a2，a3，…，a n，如果数列{b n}：b1，b2，b3，…，b n满足b1＝a n，b k＝a k－1＋a k－b k－1，其中k＝2,3，…，n，则称{b n}为{a n}的“衍生数列”．若数列{a n}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n}为________；若n为偶数，且{a n}的“衍生数列”是{b n}，则{b n}的“衍生数列”是________．三、解答题10．设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N+，存在k∈N+，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k 成立，则称数列{a n}为“J k型”数列．(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n}是等比数列．11．春节前，有超过20万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．答 案1．选D 依题意，直线l 从l 0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此结合各选项知，选D.2．选D |a |＝－2＋42＝5，|b |＝02＋22＝2，a ·b ＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝85×2＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故根据定义可知|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝5×2×35＝6. 3．选C 若{a n }是公差为d 的等差数列，则{2a n }是公比为2d的等比数列，故(1)正确；a 3>a 1⇒公差d >0⇒公比2d >1，(2)正确；a 1＋a 3＝2a 2，由1<a 1<3，a 3＝4，得a 1＋a 3>5⇒a 2>2⇒b 2＝2a 2>4，(3)正确；1<a 1<3，a 3＝4，又a 3＝a 1＋2d ⇒d ＝4－a 12∈(12，32)⇒a 4∈(92，112)，故b 4＝2a 4不一定大于32，(4)不正确；因为b 2·b 4＝b 23＝(2a 3)2＝256，所以(5)正确．4．选D 由题意知y ′＝x 1x(－1x 2l n x ＋1x ·1x )＝x 1x ·1x 2(1－ln x )，x >0，1x2>0，x 1x >0，令y ′>0，则1－ln x >0，所以0<x <e ，因为(0,1)⊆(0，e)，所以选D.5．选C 设P ＝(x 1，y 1)，Q ＝(x ，y )，∵m ＝(12，3)，∴m ⊗OP ＝(12，3)⊗(x 1，y 1)＝(x 12，3y 1)，∵OQ ＝m ⊗OP ＋n ，∴(x ，y )＝(x 12，3y 1)＋(π6，0)，∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x－π3，y 1＝y3， 又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin(2x －π3)，∴y ＝3sin(2x －π3)，显然当sin(2x －π3)＝1时，y ＝f (x )取得最大值3.6．解析：∵a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，∴a <c ，∴⎩⎨⎧x 2－xy ＋y 2＋p xy >x 2＋2xy ＋y 2，x 2－xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＋y 2>p xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧p > x y ＋yx ＋2－ x y ＋yx －1，p < x y ＋yx＋2＋ x y ＋yx－1，令t ＝x y ＋y x(t ≥2)，则⎩⎨⎧p >t ＋2－t －1p <t ＋2＋t －1，从而1<p <3.答案：(1,3)7．解析：(b ，a )的所有可能情况有：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，(－1,3)，(－1,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，(1,3)，(1,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，(－2,3)，(－2,4)；⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图象经过第三象限，因此，0<a <1，b <－1或a >1，b <0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，(－2，13)，(－2，14)，(－2,3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P ＝616＝38.答案：388．解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A 对应的数为3，点B 对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、39．解析：由b 1＝a n ，b k ＝a k －1＋a k －b k －1，k ＝2,3，…，n 可得，a 4＝5,2＝a 3＋a 4－7，解得a 3＝4.又7＝a 2＋a 3－(－2)，解得a 2＝1.由－2＝a 1＋a 2－5，解得a 1＝2，所以数列{a n }为2,1,4,5.由已知，b 1＝a 1－(a 1－a n )，b 2＝a 1＋a 2－b 1＝a 2＋(a 1－a n )，….因为n 是偶数，所以b n ＝a n ＋(－1)n(a 1－a n )＝a 1.设{b n }的“衍生数列”为{c n }，则c i＝b i ＋(－1)i(b 1－b n )＝a i ＋(－1)i·(a 1－a n )＋(－1)i(b 1－b n )＝a i ＋(－1)i(a 1－a n )＋(－1)i·(a n －a 1)＝a i ，其中i ＝1,2,3，…，n .则{b n }的“衍生数列”是{a n }．答案：2,1,4,5 {a n }10．解：(1)由题意得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝(a 8a 2)13＝12，所以a 2n ＝a 2qn －1＝(12)n －4. (2)由数列{a n }是“J 4型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t .由数列{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1；a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3.则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3. 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43.于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1，a 3k －1＝a 5αk －2＝a 1t αk －2＝a 1α23k －＝a 1(3α)(3k －1)－1，a 3k ＝a 9αk －3＝a 1t 2αk －3＝a 1α13k －＝a 1(3α)3k －1，所以a n ＝a 1(3α)n －1，故{a n }为等比数列．11．解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法． (2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得5100＝x40，解得x ＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b 1，b 2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有可能结果共有{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，a 4}，{a 1，a 5}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 2，a 3}，{a 2，a 4}，{a 2，a 5}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 3，a 4}，{a 3，a 5}，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 4，a 5}，{a 4，b 1}，{a 4，b 2}，{a 5，b 1}，{a 5，b 2}，{b 1，b 2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的结果有{b 1，b 2},1个． 所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P 1＝121，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P ＝1－P 1＝1－121＝2021.。