2016学年初二下册《反证法》知识点归纳：例题解析

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，那就可以考虑使用反证法。

反证法的基本思路是先假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设。

然后，从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、或者是自相矛盾。

由于推理过程是正确的，所以产生矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明原命题的结论是正确的。

例如，证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 度”。

我们先假设三角形的三个内角都大于 60 度，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形内角和为 180 度）矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

反证法的一般步骤可以总结为：1、提出反设：假设命题的结论不成立。

2、推出矛盾：从反设出发，通过推理得出矛盾。

3、肯定结论：由于矛盾的出现，说明反设错误，从而证明原命题的结论正确。

反证法在数学证明中有着广泛的应用，尤其是在证明一些存在性、唯一性、否定性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。

其基本思想是将不等式中的某些项进行放大或缩小，从而使不等式变得更加简单，易于证明。

放缩的依据通常是不等式的基本性质、已知的不等式、函数的单调性等。

比如，要证明不等式＼（A ＜ B\），我们可以先将＼（A\）适当放大得到＼（A' ＼），使得＼（A' ＜ B\）易于证明；或者将＼（B\）适当缩小得到＼（B' ＼），使得＼（A ＜ B' ＼）易于证明。

常见的放缩技巧有：1、舍去或加上一些项，如：＼（＼frac{1}｛n(n ＋ 1)｝＜＼frac{1}｛n^2}＼）。

2、将分子或分母放大（或缩小），如：＼（＼frac{1}｛n} ＜＼frac{1}｛n 1}＼）（＼（n ＞ 1\））。

3、利用基本不等式进行放缩，例如：若＼（a, b\）均为正数，则＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。

八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。

其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。

在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。

本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。

初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。

或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。

例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。

但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。

如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。

2. 分析这些结论是否有矛盾之处。

3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。

4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。

举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。

因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。

需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。

为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。

例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。

解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。

考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。

注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。

同理，3y³也是无理数。

2016学年初二下册《反证法》知识点归纳：
例题解析
附加例题解析(独立完成小组交流)：
例1说出下面的反面的假设
(1) 直线与圆只有一个交点。

(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

(3) 一个三角形中不能有两个钝角。

例2试使用反证法证明下列结论
(1) 求证：两直线相交只有一个交点。

(2) 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60deg;
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初二下册数学《二次根式的加减法》知识点巩固
八年级下册数学第四章知识点：相似三角形。

∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
时是 AOB和 AOC的平分线，产生矛盾.∴ PO .
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有
一个不小于 1 。 2
分析：设| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
练习1,2
练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4

反证法——证明命题为真命题的杀手锏反证法在目前的高中教材中虽较显见，但也是教材中证明真命题的一种重要方法。

教材中第一次使用反证法是在“不等式的基本性质”一小节中证明不等式的基本性质八时用到。

第二次用到是在立体几何中证明两直线是异面直线。

反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。

反正法的基本原理就是原命题与其逆否命题是同真同假的两个命题。

为什么说反证法是证明真命题的杀手锏呢？如今，高考的证明题一般都是代数问题（函数、数列等），几何证明题几乎不可能考，所以证明题现在转战代数题。

而高中代数不像几何那样有一套完整的公理、判定定理和性质定理（当然这一套现在也减负减掉了，这也是证明题不考几何题主因），在高中代数里我们判定一个事实的依据只能是概念的定义，而很多结论仅根据定义从正面往往无法推理，这个时候反证法祭出往往就能解决。

例一.证明：tan1°是无理数分析：拿到这个问题我们首先要搞明白何为无理数——无限不循环小数，不能写作两整数之比。

已知什么呢，tan30°=1/√3是无理数。

所以这个问题的证明用反证法就容易了。

证明：假设tan1°不是无理数，则tan1°是有理数。

因为tan2°=2tan1°/(1-（tan1°）^2)，所以tan2°也是有理数，同理可推得tan4°、tan8°、tan16°、tan32°也都是有理数，又因为tan30°=tan（32°-2°）=（tan32°-tan2°）/（1+tan32°*tan2°），所以tan30°是有理数与tan30°=1/√3是无理数矛盾因此，tan1°是无理数。

推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
上空还悬浮着一块高五米、宽二米的飞美色的峨然绸布……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把贪官转换制做成蛔虫，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的 ！！随着三声礼炮的轰响，灿烂熠熠、五颜六色的蝶角猫拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着老虎似的兔子梦天巾，穿着紫罗兰色馅饼神光服的主监考官站起
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
Hale Waihona Puke -2z+π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、 不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽 然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以 上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a < b 或 a = b ∵a>0,b>0, ∴ a < b a a < a b 且 a b < b b a<b, a = b a=b. 这些与条件a>b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.

初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。

用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。

2．2.2 反证法
学习导航
学习目标
结合实例
―了―解→
反证法是间接证明 的一种方法
―理―解→
反证法的 思维过程
―掌―握→
运用反证法证 明数学问题
重点难点 重点：了解反证法及其思考过程、特点． 难点：根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点解决 有关问题．
新知初探思维启动
1．反证法 假设原命题_不__成__立__ ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明__假__设____错误，从而证明了__原__命__题___成立，这种证明 方法叫做反证法．
则n≠m. 若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾； 若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾． 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两 个命题，即存在性和唯一性．本例用直接证法中的综合法证 明了存在性，反证法证明了唯一性．
证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝
a1a3，即
(23λ－
3)2＝
λ(49λ－
4)⇔4λ2－ 9
4λ＋
9＝4λ2－ 9
பைடு நூலகம்4λ⇔
9＝
0，
矛盾．所以对任意实数 λ，{an}不是等比数列．
本部分内容讲解结束
用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于 小于 大于
不等于
都是 不都是(至少有一个不是)
不小于(大于或等于) 至多有一个
至少有两个
不大于(小于或等于) 至少有一个
一个也没有
是
不是
想一想 1.用反证法证明命题“若 p，则 q”时，为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？

结合其他方法
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。

反证法
1．反证法
【知识点的认识】
反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法．
【解题思路点拨】
用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论
2．反证法的一般步骤：
（1）分清命题的条件和结论；
（2）作出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
1/ 1。

点击“反证法”(全文)一、知识归纳1. 用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2. 反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.二、学习要点1. 用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2. 反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：①由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；②由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾；③由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.3. 反证法的逻辑依据.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.三、应用1. 在简易逻辑中的应用.例1设x，y∈R ，P：x+y≠8，q：x≠2或y≠6，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰.解析：因为“？劭q∶x=2 且y=6”是“？劭p∶x+y=8 ”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件.点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰.2. 在平面向量中的应用.例2. 设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使 + + + + = 成立的点M的个数为（）A. 0B. 1C. 5D. 10分析：先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的.解析：由 + + + + = ，得 = （ + + + + ），由向量加法法则知存在这样的点M；下面用反证法证明点M的个数是唯一的，假设满足条件的点除M外还有点N，那么 + + + += ……①，+ + + + = ……②，①-②得5 = ，则N点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M只有一个.点评：涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅.3. 在数列中的应用.例3. 已知数列{an}和{bn}满足：a1= ，an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数，证明数列{an}不是等比数列；（2）略.分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾.证明：假设{an}是等比数列，则a22=a1a3又题知：a2= -3，a3= a2-2= -4，（ -3）2= （ -4），9=0，矛盾，故假设不成立，即{an}不是等比数列.点评：数列中涉及到证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证明可直捣黄龙.例4. 已知数列{an}满足：a1= ， = ，anan+1分析：先假设存在三项是等差数列，化为整式后利用数论知识推导矛盾.解析：（1）an=（-1）n-1 ，bn= ・（）n-1；（2）假设数列{bn}中存在三项br，bs，bt（rbt，2bs=br+bt， 2・（）s-1= （）r-1+ （）t-1，两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2・2s-r3t-s，r点评：借助反证法思想，乍看繁难的问题，利用反证法有效的突破了解题困境，一气呵成.4. 在函数中的应用.例5. 设f（x）=x|x+m|+n，m，n为常数，讨论f（x）的奇偶性并说明理由.分析：容易观察m， n都是0时，f（x）是奇函数，利用定义容易证明； m，n至少有一个不为0时，f（x）是非奇非偶函数，利用反证法分两类情况证明.解析：①若m=n=0，则f（-x）=-x│x│=-f（x），故f（x）为奇函数；②若m2+n2≠0，则f（x）是非奇非偶函数，下用反证法证明：假设f（x）是奇函数，则f（0）=n=0， f （-1）=-│m-1│=-f（1）=│m+1│，（m-1）2=（m+1）2，m=0，这与m2+n2≠0矛盾，故f（x）不是奇函数；假设f （x）是偶函数，则f（-1）=-|m-1|+n=|m+1|+n，|m+1|+|m-1|=0，这与|m+1|+|m-1|≥2矛盾，故f（x）不是偶函数. 综合上述，f（x）是非奇非偶函数.点评：函数中涉及到“不是奇（偶）函数，不是单调函数”这类问题的证明时，往往可用反证法将问题解决得干净彻底.例6. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y= （其中x∈R且x≠ ），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2，假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即 = ，整理得a（x1-x2）=x1-x2. x1≠x2， a=1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.5. 在立体几何中的应用.例7. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.证明：假设AC平面SOB，直线SO在平面SOB内， ACSO.SO底面圆O， SOAB，SO平面SAB，平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.点评：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.6. 在不等式中的应用.例8. 已知a1，a2，a3，…，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+…+a10=30，a1a2a3…a10分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件矛盾.证明：假设ai≥1（1≤i≤10，i∈N？鄢），令bi=ai-1≥0，则由a1+a2+...+a10=30得b1+b2+...+b10=20，又a1a2 (10)（b1+1）（b2+1）…（b10+1）=1+（b1+b2+…+b10）+…+（b1b2…b10）≥1+（b1+b2+…+b10）=21，这与条件a1a2…a10点评：不等式中涉及到“必有一个，至少一个，至多一个”等命题的证明时，采用反证法可以使问题解决的十分干脆彻底.例9. 设a>0，b>0，（）A. 若2a+2a=2b+3b，则a>bB. 若2a+2a=2b+3b，则aC. 若2a-2a=2b-3b，则a>bD. 若2a-2a=2b-3b，则a分析：本题将常见不等式题目中的条件和结论进行了交换，直接证明感觉无从下手，采用反证法问题可以迎刃而解.解析：对于A选项，利用反证法，假设a≤b，则2a≤2b，2a≤2b点评：对于常见不等式问题的逆命题，利用反证法可以化难为易.例10. 设 a，b为正实数.现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b分析：对假命题②③，可用特值法判断；对真命题①④，可利用反证法证明.解析：对于②，令a=2，b= ，显然满足条件，但a-b= >1故②错误；对于③，令a=4，b=1，显然满足条件，但│a-b│=3>1故③错误；对于①，假设a-b≥1，a，b>0，a+b>a-b≥1，a2-b2=（a+b）（a-b）>1，即a2-b2≠1，与条件矛盾，假设不成立，故a-b0，a2+ab+b2>（a-b）2= |a-b|2≥1，|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与条件矛盾，假设不成立，故|a-b|点评：本题主要考查反证法在不等式中的应用，利用反证法可以扭转不利的局面，从而使问题快速获解.7. 在三角函数中的应用.例11. 存不存在0解析：不存在.否则有cosx-sinx= -tanx= ，。

a5 a k 0,
∴ k a a5 0(mod 5), 这与题设矛盾.
若为后者,即
x5 x k (x2 ax b)(x3 cx2 dx e)
比较系数知
a c 0, ac b d 0,
由前３式得
ad bc e 0,

XZ )(FY

YZ)
FY AY CY DY (CZ ZY )(DX XY)
三式相乘并整理得
左边= AY BZ CZ DX EX FY
右边=(AY YX )(BZ ZX )(CZ ZY )
(DX XY)(EX XZ)(FY YZ)
(6)
再由(2)及(6)式知 x2 x1 ,
(7)
与 x1 x2矛盾. 同理可证另两分量相等,得证.
4、存在性命题 存在性命题，指的是结论中出现如“至少”
“命例至题８多.”设、有“非必零有实”数等p1、形p式2、的q1、证q明2 满可足用关反系证式法. p1 p2 4(q1 q2 ),求证：x2 p1x q1 0与 x2 p2 x q2 0中至少有一个具有不等的 实数根. (1993年北京市初二)
位数字分别为 a、b、c,试证关于x的二次方程
ax 2 bx c 0无整数解.
证明 由p
设有整数
ax02
x0使
bx0

c

0
100a 10b c 为三位质数知
(＊)
0＜a, c≤9,
0≤b≤9.
若x0 0, 则由(＊)式知c=0,矛盾; 若x0 0, 则 ax02 bx0 c 0,由(＊)式知,矛盾.

整数的性质
通过假设整数不具有某种 性质，如假设一个整数不 是质数，然后推导出矛盾 来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以 通过假设两个整数不同余 来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被 唯一分解为质因数的乘积 来推导矛盾，从而证明唯 一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛 盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证 明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可 能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧 ，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以 通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和 逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供 新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与 已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程 的解，然后代入方程得到 矛盾，从而证明该数是方 程的解。

反证法最简单三个例子《反证法最简单三个例子带来的思考》嘿，大家好啊！今天咱来聊聊反证法最简单的三个例子，可别小看它们，那是相当有意思呢！咱先来说个日常生活中的例子。

比如说你觉得你的朋友小明不可能吃辣，但是呢，你又没啥确凿的证据。

那咱就用反证法来瞅瞅。

你就假设他能吃辣，然后要是按照这个假设，你就会发现很多事情说不通啦，比如每次吃火锅他都不点辣锅，吃辣条也是一脸痛苦的表情等等，这些都和他能吃辣这个假设矛盾嘛，所以就得出来了，他确实不能吃辣。

你看，这多简单明了，还挺有趣的吧！再讲个学习上的例子。

数学老师说三角形的内角和一定是180 度。

那咱就来反证一下，假设不是180 度，然后你去试着推导，哎呀，怎么推导都会发现不对劲，到处都是矛盾，最后你就不得不承认，嘿，还真是180 度啊！这种推翻自己错误想法的过程，就像一场小小的冒险，充满了新奇感。

还有个好玩的例子，你说世界上没有外星人。

那咱也用反证法来试一试。

假设世界上有外星人，然后你会发现宇宙那么大，有那么多未知的星球，凭啥就肯定没有外星人呢？你看，这样一想，是不是就觉得自己原来的想法不一定对啦。

反证法就像是一把神奇的小钥匙，能打开我们思维里那些固执的小锁头。

它让我们学会从相反的方向去思考问题，有时候能发现以前没看到的东西。

它还特别像一个爱挑刺的小伙伴，总是揪出我们以为对但其实不一定对的想法。

这既让我们有些尴尬，又让我们觉得特别好玩。

而且啊，通过反证法，我们能更深刻地理解问题，也能让我们的思维变得更加灵活。

就像给大脑做了一场有趣的体操，让它变得更健康、更有活力。

所以啊，大家可别小看这反证法最简单的三个例子，它们背后藏着的可是大大的智慧呢！以后我们遇到问题，也可以试着用用反证法，说不定会有新的发现和乐趣哦！让我们一起在反证法的世界里欢快地玩耍吧！。

所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
第三章 推理与证明
3.已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列， 求证： a， b， c不成等差数列．
证明： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac， ∴a＋c＋2 ac＝4 ac， ∴( a－ c)2＝0. 即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
第三章 推理与证明
第三章 推理与证明
1.已知 x，y＞0，且 x＋y＞2. 1＋x 1＋y 求证： ， 中至少有一个小于 2. y x
1＋x 1＋y 证明： 假设 ， 都不小于 2. y x 1＋x 1＋y 即 ≥2， ≥2. y x ∵x＞0，y＞0，
第三章 推理与证明
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2，与已知 x＋y＞2 矛盾． 1＋x 1＋y ∴ ， 中至少有一个小于 2. y x
在平面α内，过点P作直线b，使得b∥a，则过点P有一条直
线与a平行．
第三章 推理与证明
假设过点P还有一条直线c与a平行．
∵a∥b，a∥c，∴b∥c.
这与b、c相交于一点P矛盾，
故假设不成立，原命题正确．
第三章 推理与证明
设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2
＋ab＋cd≠1.
第三章 推理与证明
图② 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何 中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．