2016学年初二下册《反证法》知识点归纳：例题解析

《反证法和放缩法》知识清单一、反证法反证法是一种间接证明的方法。

当我们要证明一个命题成立时，如果直接证明比较困难，那就可以考虑使用反证法。

反证法的基本思路是先假设命题的结论不成立，即提出与命题结论相反的假设。

然后，从这个假设出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果。

这个矛盾可以是与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、或者是自相矛盾。

由于推理过程是正确的，所以产生矛盾的原因只能是假设不成立，从而证明原命题的结论是正确的。

例如，证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60 度”。

我们先假设三角形的三个内角都大于 60 度，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和定理（三角形内角和为 180 度）矛盾，所以假设不成立，原命题成立。

反证法的一般步骤可以总结为：1、提出反设：假设命题的结论不成立。

2、推出矛盾：从反设出发，通过推理得出矛盾。

3、肯定结论：由于矛盾的出现，说明反设错误，从而证明原命题的结论正确。

反证法在数学证明中有着广泛的应用，尤其是在证明一些存在性、唯一性、否定性的命题时，往往能起到意想不到的效果。

二、放缩法放缩法是不等式证明中一种常用的方法。

其基本思想是将不等式中的某些项进行放大或缩小，从而使不等式变得更加简单，易于证明。

放缩的依据通常是不等式的基本性质、已知的不等式、函数的单调性等。

比如，要证明不等式＼（A ＜ B\），我们可以先将＼（A\）适当放大得到＼（A' ＼），使得＼（A' ＜ B\）易于证明；或者将＼（B\）适当缩小得到＼（B' ＼），使得＼（A ＜ B' ＼）易于证明。

常见的放缩技巧有：1、舍去或加上一些项，如：＼（＼frac{1}｛n(n ＋ 1)｝＜＼frac{1}｛n^2}＼）。

2、将分子或分母放大（或缩小），如：＼（＼frac{1}｛n} ＜＼frac{1}｛n 1}＼）（＼（n ＞ 1\））。

3、利用基本不等式进行放缩，例如：若＼（a, b\）均为正数，则＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。

其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。

在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。

本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。

初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。

或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。

例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。

但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。

如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。

2. 分析这些结论是否有矛盾之处。

3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。

4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。

举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。

因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。

需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。

为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。

例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。

解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。

考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。

注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。

同理，3y³也是无理数。

2016学年初二下册《反证法》知识点归纳：
例题解析
附加例题解析(独立完成小组交流)：
例1说出下面的反面的假设
(1) 直线与圆只有一个交点。

(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

(3) 一个三角形中不能有两个钝角。

例2试使用反证法证明下列结论
(1) 求证：两直线相交只有一个交点。

(2) 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60deg;
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反证法——证明命题为真命题的杀手锏反证法在目前的高中教材中虽较显见，但也是教材中证明真命题的一种重要方法。

教材中第一次使用反证法是在“不等式的基本性质”一小节中证明不等式的基本性质八时用到。

第二次用到是在立体几何中证明两直线是异面直线。

反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。

反正法的基本原理就是原命题与其逆否命题是同真同假的两个命题。

为什么说反证法是证明真命题的杀手锏呢？如今，高考的证明题一般都是代数问题（函数、数列等），几何证明题几乎不可能考，所以证明题现在转战代数题。

而高中代数不像几何那样有一套完整的公理、判定定理和性质定理（当然这一套现在也减负减掉了，这也是证明题不考几何题主因），在高中代数里我们判定一个事实的依据只能是概念的定义，而很多结论仅根据定义从正面往往无法推理，这个时候反证法祭出往往就能解决。

例一.证明：tan1°是无理数分析：拿到这个问题我们首先要搞明白何为无理数——无限不循环小数，不能写作两整数之比。

已知什么呢，tan30°=1/√3是无理数。

所以这个问题的证明用反证法就容易了。

证明：假设tan1°不是无理数，则tan1°是有理数。

因为tan2°=2tan1°/(1-（tan1°）^2)，所以tan2°也是有理数，同理可推得tan4°、tan8°、tan16°、tan32°也都是有理数，又因为tan30°=tan（32°-2°）=（tan32°-tan2°）/（1+tan32°*tan2°），所以tan30°是有理数与tan30°=1/√3是无理数矛盾因此，tan1°是无理数。

初中数学竞赛辅导资料（初二18）反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。

它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B A B →⇔ 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③ 结论 从而得出命题结论正确例如： 求证两直线平行。

用反证法证明时① 假设这两直线不平行；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。

乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D这时，∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。

（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。

但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。

例3.已知：m 2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时， m 2＝（3k+1）2＝9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时， m 2＝（3k+2）2＝9k 2＋12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m 2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。