北京大学2017年中学生数学奖个人能力挑战赛试题

数 学（满分 100 分，时间 60 分钟）1．数列{}n a 满足 123a =，12(21)1n n n a a n a +=++ ，则数列{}n a 的前 2017 项和2017S = A ．20162017 B ．20172018 C ． 40344035 D ． 403340342．若 x 1 是方程 xe x = e 2的解， x 2 是方程 x ln x = e 2 的解，则 x 1 x 2A ．1B ．eC ．e 2D ．e 43．9 tan10︒ + 2 tan 20︒ + 4 tan 40︒ - tan 80︒ =A ．0B ．3 C ．1 D ．4．若关于 x 的方程 a x 2 + bx + c = 0(ac ≠ 0) 有实数解，且 (a - b )2 + (b - c )2 + (a - c )2 ≥ rc 2 ，则 实数 r 的最大值是A ．1B ．98C ．916D ．2 5．设函数 f (x ) = x 2 + ax + b ，对于任意的 a ，b ∈R ，总存在 x ∈[0, 4] 使得()f x m ≥ ，则实数 m 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ．(,1]-∞ C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞6 ．已知数列{}n a 的通项公式是 2n n a = ，数列{}n b 的通项公式是52n b n =-，那么集合 {}1232019,,,...,a a a a {}1232019,,,...,b b b b 的元素个数为A ．503B ．504C ．505D ．5067．过原点的直线l 与双曲线 xy =-交于 P ，Q ，其中 P 在第二象限，现将上下两个半平 面折成直二面角，则 PQ 的最小值是A ．B ．4C ．D ．8．数列满足 11a = ，11n n na a a +=+，若 2017(,1)a k k ∈+，其中*k N ∈，则 k 的值是 A ．63 B ．64 C ．65 D ．66 9．i a R ∈(1,2,3,...,)i n =，212()a a -+223()a a -+234()a a -+245()1a a -=，则123522a a a a --+的最大值是 A． B ．C ．D ．10．设在 R 上可导函数()f x 满足()f x 31()3f x x --=，并且在(,0)-∞上'21()2f x x ，实数 a 满足(6)f a -321()1318363f a a a a -≥+-+，则实数 a 的取值范围是A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞11．桌面上有 3 个半径为 2017 的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与 3 个球的顶点在同一平面内，则该球的半径是A ． 20176B ．20174C ． 20173D ．2017212．60 支足球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率为 50%，设没有两队赢相同场数的概率为p q，其中 p ，q 互质，则 2n 可整除 p 的最大 n 值是 A ．1768 B ．1746 C ．1714 D ．1702 13．设椭圆 C 1： 22221(0)x y a b a b+=的左右焦点分别为F 1， F 2，离心率为34，双曲线 C 2：22221(0)x y c d c d-=的渐近线交椭圆 C 1于 P ， PF 1⊥ PF 2，则双曲线C 2的离心率是A ．BCD 14．设函数 f (x ) = x 2 - ln x ， g (x ) = x -1 ，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x ) 和 y = g (x ) 于 P ，Q 两点，则 PQ 的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．415．方程组324113012y y y x x y --+⎧=⎪⎨+=⎪⎩的各互异实数解的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．616．设实数 0 < k 1 < k 2 ，并且 k 1k 2 = 4 ，两曲线 C 1 ， C 2 的渐近线分别是 1(2)24k y x =±-+和2(2)2y k x =±-+，且 C 1 ， C 2 都过原点，则曲线 C 1 ， C 2 离心率的比值是AB C ．1 D ．217．两圆均过点 (3, 4) ，且其半径之积为 80，两圆均以 x 轴为公切线，并且另一公切线过原 点，则其斜率为A ．B ．C ．．18．在△ABC 中， cos A cos B cos C 的最大值是A ． 12B ． 1C ．2D ．19．两个相同的正四面体，四面分别标有 1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两底面数字之和为所得数字，共投掷 3 次，则 3 次所得数字之积能被 10 整除 的概率是A ． 12B ．38C ．1132D ． 153220．在圆锥中，M 是顶点，A 在底面圆周上，B 在底面圆内，6MA =，AB ⊥OB ，OH ⊥MB 于 H ， C 为 M A 中点，当四面体 O - CHM 体积最大时，HB =A ．B C D ．。

D．4．
（）
若 (a,b, c) 为好数组，则 abc 2(a b c) 6c ，所以 ab 6 .显然， a 只能为 1 或 2.
若 a ＝2，由 ab 6 可得 b 2 或 3， b 2 时可得 c 4 ， b 3 时可得 c 5 （不是整数）； 2
若 a ＝1，则 bc 2(1 b c) ，于是可得 (b 2)(c 2) 6 ，可求得 (a,b, c) ＝（1，3，8）或（1，4，
若 b ＝6，则 (a 9)2 0 ，解得 a 9 ，此时 c 18 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页）
因此， a 9 ， b ＝6， c 18 ，故 a2 b2 c2 ＝441.
5．设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点，若 BAD ACB 180，且 BC 3，AD 4 ，
（2）以 a 2,b 3,c 4 为边长可以构成三角形，但以 a2 4,b2 9,c2 16 为边长的三角形不存在；
（3）因为 a b c ，所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ，故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边，而（| a b | 1）（| b c | 1）（a b 1）（b c 1）=a c 11 a c 1 | c a | 1 ，故
2
4
2
设 m 是最接近 n 的整数，则| m n | 1 ， m 1. 2
易知：当 m 1时，| m n | 1 (m 1)2 n (m 1)2 m2 m 1 n m2 m 1 .

i 1 100
,100 ）
k 1 k 1 2k 99 100 k
若 k 49 ，则有 f i 100 100 k 99 98
i 1
100
容易算出当 k 66 时取到最小值 8350，此时
两问各15在正方形的边界和内部给出若干个点以这些点和原正方形的顶点为顶点将正方形划分为若干个小三角形不允许出现一个小三角形的顶点在另一个小三角形的边上
北京大学中学生数学奖 个人能力挑战赛——解答
每题 30 分，满分 120 分 评分以 5 分一档
1. 已知实数 a1 , a2 ,
, a6 满足 a1 a2 a3 a4 a5 a6 2014 ，试求
a2 a5 a1 a3 a4 a6 2 ， a3 a6 a2 a4 a1 a5 2 ．
故
1i j 6
a
i
a j 10 ，
1i j 6

ai a j 最小值为 10060．
1i j 6

ai a j 的最小可
能值． （其中 x 表示不超过 x 的最大整数） 简答：最小值为 10060．
1i j 6

ai a j 2014 5
1 i j 6
a
i
aj
而由 a1 a2 a3 a4 a5 a6 为整数，故 a1 a2 a3 a4 a5 a6 2 ． 类似可得 a2 a3 a4 a5 a6 a1 2 ， a1 a4 a2 a6 a3 a5 2 ，

2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝ ，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。

2017北京大学优特测试数学部分1．已知x ，y ∈R ，且4(x -1)2+(y -1)2＝1，求yx的最大值。

2．已知f (x )＝x 2-ln x ，g (x )＝x -2，直线y ＝m 与f (x )和g (x )分别交于P ，Q ，求|PQ |的最小值。

3．已知a ，b ，c 成等差数列，点P (-1，0)在直线l :ax +by +c ＝0上的投影为M ，又已知N 的坐标为(0，3)，求|MN |的最小可能值。

4．已知正数数列{a n }满足a 1＝1，且112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（S n 为数列的前行项和），求S 9。

5．已知f (x )在R 上可导，且满足以下两个条件： ①当x ≠1时，(x -1)[f′(x )-f (x )]＞0 ②f (2-x )＝f (x )e 2-2x试比较f (1)与f (0)的大小关系；以及f (2)与f (0)的大小关系。

6．在△ABC 中，求cos A B C 的最大值。

7．求值：9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°。

8．已知(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2＝1，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，5。

求a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值。

9．已知54和128是某等比数列中的两项，问该数列中最多有多少项为正整数。

10．求不定方程x 2-xy -2x +3y ＝11的正整数解。

11．求22018888999⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…被63除的余数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数。

12．求y ＝x 2上任三点所确定的外接圆半径的取值范围。

13．已知()10)1010x x f x x −=+−+，求解集f (3x +1)+f (x )＞2014．60支球队两两比赛，任两支相互胜率均为50％，设有两支球队取胜场数相同的概率为pq ，(p ，q )＝1。

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

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15. 方程组
xy3 −4y2 −11y+30 = 1, x + y = 2 B ．4
的实数解的组数是
A ．3
C ．5
D ．6
16. 设实数 k1 ,k2 满足 k2 > k1 > 0，且 k1 k2 = 4，两双曲线 C1 ,C2 的渐近线分别是 k1 y = ± (x − 2) + 2 和 y = ±k2 (x − 2) + 2，且 C1 ,C2 都经过原点，则双曲线 4 C1 ,C2 的离心率 e1 ,e2 的比值 √ √ 2 2 16 + k1 16 + 16k1 A． B ． C ．1 D ．2 2 2 16 + 16k2 16 + k2 17. 已知圆 C1 ,C2 均过点 (3, 4)，且其半径之积 r1 r2 = 80．若 x 轴是 C1 ,C2 的公切 线，且 C1 ,C2 的另一条公切线 l 通过原点，则直线 l 的斜率为 √ √ √ √ 8 5 8 5 8 3 8 3 A ．± B ．− C ．± D ．− 11 11 15 15 √ √ 18. 在 △ABC 中，cos A + 2 cos B + 2 cos C 的最大值是 √ 1 A． 2 + 2 √ B ．2 2 − 1 C ．2 √ D ．2 2
班级
学校
√ 7. 过原点的直线 l 与双曲线 xy = −2 2 交于 P ,Q 两点，其中 P 在第二象限，Q 在第四象限，现将上下两个半平面沿 x 轴方向折成直二面角，则 |P Q| 的最小 值是
14. 设函数 f (x) = x2 − ln x,g (x) = x − 1，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x) 和

若 n k 时结论成立，考虑 n k 1 时．
x2k 1 2
5x2k
x2k 1
10
x2k 5ຫໍສະໝຸດ x2k 1 ，故x2k1 为整数．
x2k 2 2 5
5x2k 1 x2k 5
2x2k1
x2k 5
，故 x2k 2 5
为整数．
综上，可得此时 x1 ~ x2017 中，只有 x2 , x4 , , x2016 这 1008 个为无理数．（30 分）
3. 显然该数列为严格递增正实数数列．
整理可得 xn1
5xn 2
xn2
1
，两边平方后得
xn2
x2 n1
4
2
5xn xn1 ，
故相邻两项中至少有一项为无理数．
于是 x1, x2 , , x2017 中至少有 1008 个无理数．（10 分）
再由
xn2
x2 n1
4
2
5xn xn1
可得
x2 n1
x2 n2
以称量出 1 克~2017 克的所有情况，故最重的砝码的最小可能质量为 147 克．（10 分）
（2）设这 20 个砝码的质量依次为 b1 b2 b20 ．
下证 b20 147 ．若结论不成立，则 b20 147 ．
类似的，要想称量 1 克的质量，有 b1 1．
同时对正整数 k 2 ，若 b1 b2 bk1 2017 ，则有 bk b1 b2 bk1 1 ．
，矛盾．故 b10
146 ．
于是 b10 ,b11, ,b20 146,147 ，它们均不为整数．
注意 b1 b2 b8 255 ，要想称量 256 克，一定要用到 b9 ~ b20 中砝码．

北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2xxe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e 【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=- 于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。

班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）A ．2c ﹣aB ．2a ﹣2bC ．﹣aD ．a2．如果正比例函数y=ax （a ≠0）与反比例函数y=（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，3）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（3，2）3．如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，那么1，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A ．1B．C ．D ．4．已知一个三角形的三个内角的度数，一个是素数，另外两个恰好都是素数的平方，则这个三角形最大角与最小角的度数之差是（ ）A ．172B ．167C ．160D ．325．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P 0，P 1，P 2，P 3，则P 0，P 1，P 2，P 3中最大的是（ ） A ．P 0 B ．P 1 C ．P 2 D ．P 3二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．已知y=+3，则x +y= ．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 ．8．如图，正方形ABCD 的边长为，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 ．9．如果关于x 的方程x 2+kx +k 2﹣3k +=0的两个实数根分别为x 1，x 2，那么的值为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD=DC ．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线交于点F ．若AE=AO ，BC=6，则CF 的长为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数y=x 2+（m +3）x +m +2，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0；关于x 的方程x 2+（m +3）x +m +2=0的两个实数根的倒数和小于．求m 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．13．如图，⊙O的直径为AB，⊙O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O1交于点D，且OD＞CD．点E在OD上，且DC=DE，BE的延长线与⊙O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．14．已知整数a，b满足：a﹣b是素数，且ab是完全平方数．当a≥2012时，求a 的最小值．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）答题卷一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6． ．7． ．8． ．9． ．10． ．三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．12．13．14．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 2017年全国初中数学竞赛冲刺试卷（1）答案一、选择题1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）A ．2c ﹣aB ．2a ﹣2bC ．﹣aD ．a【解答】解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知：b ＜a ＜0＜c ，且|b |＞c ， 所以原式=|a |+（a +b ）+|c ﹣a |﹣（b +c ）=﹣a +a +b +c ﹣a ﹣b ﹣c=﹣a ．故选C ．2．如果正比例函数y=ax （a ≠0）与反比例函数y=（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（3，2）【解答】解：由题设知，﹣2=a•（﹣3），（﹣3）•（﹣2）=b ，解得a=，b=6，联立方程组得，解得，，所以另一个交点的坐标为（3，2）．或：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）．故选：D ．3．如果a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，那么1，a +1，2a +b ，a +b +1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） A ．1B ．C ．D ．【解答】解：∵a ，b 为给定的实数，且1＜a ＜b ，∴在这一组数据中平均数是：[1+（a +1）+（2a +b ）+（a +b +1）]÷4=，∴在这一组数据中中位数是：[（a +1）+（a +b +1）]÷2=， ∴这四个数据的平均数与中位数之差是：﹣=﹣∴这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是：．故选D ．4．已知一个三角形的三个内角的度数，一个是素数，另外两个恰好都是素数的平方，则这个三角形最大角与最小角的度数之差是（ ） A ．172 B ．167 C ．160 D ．32【解答】解：设三个素数分别为：x 、y 、z ．若x 、y 、z 都为奇数，则x +y 2+z 2=奇数，这与三角形的内角和为180°是偶数矛盾． ∴x 、y 、z 中必有一个素数是偶数，令x 是偶数，则x=2， ∴y 、z 是奇数，∴y 2、z 2是奇数，∴y 2、z 2中任何一个数与x 的差都为奇数．∴只有B 答案正确．故选B ．5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P 0，P 1，P 2，P 3，则P 0，P 1，P 2，P 3中最大的是（ ） A ．P 0B ．P 1C ．P 2D ．P 3【解答】解：根据题意画出树状图如下：一共有36种情况，两个数字之和除以4：和为4、8、12时余数是0，共有9种情况， 和是5、9时余数是1，共有8种情况，和是2、6、10时余数是2，共有9种情况， 和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，所以，余数为0的有9个，P 0==；余数为1的有8个，P 1==；余数为2的有9个，P 2==；余数为3的有10个，P 3==．可见，＞＞；∴P 1＜P 0=P 2＜P 3．故选D ．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．已知y=+3，则x +y= 8 ． 【解答】解：由题意得，，解得：x=5，∴y=3，故可得x +y=8．答案为：8．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；由已知得：，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤487 9x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．8．如图，正方形ABCD 的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是8．【解答】解：连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴△BFN∽△DAN ，∴==，∵F是BC的中点，∴BF=BC=AD=，∴AN=2NF，∴AN=AF，在Rt△ABF中，AF==5，∴cos∠BAF===，∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC，∴AE=BF=，∵∠DAE=∠ABF=90°，在△ADE与△BAF中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠AED=∠AFB，∴∠AME=180°﹣∠BAF﹣∠AED=180°﹣∠BAF﹣∠AFB=90°．∴AM=AE•cos∠BAF=×=2，∴MN=AN﹣AM=AF﹣AM=×5﹣2=，∴．又∵S△AFD=AD•CD=×2×2=30，∴S△MND =S△AFD =×30=8．故答案为：8．9．如果关于x的方程x2+kx +k2﹣3k +=0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为．【解答】解：根据题意可得，∵方程有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即k2﹣4（k2﹣3k +）≥0，∴﹣2（k﹣3）2≥0，∵（k﹣3）2≤0，∴k﹣3=0，即k=3，∴原方程为：x2+3x +=0，∴x1=x2=﹣，∴=（）2011•==﹣．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC．分别延长BA，CD，交点为E．作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE=AO，BC=6，则CF的长为．【解答】解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=∠BDA=90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC=90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF=∠BAD，∴Rt△BCF∽Rt△BAD ，∴=，即=，∵OD是⊙O的半径，AD=CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC ，∴=，∴△EOD∽△EBC ，∴==，=，而AE=AO，即OE=2OB，BE=3OB，BC=6，∴===，=2，∴OD=4，CE=DE，又∵∠EDA=EBC，∠E公共，∴△AED∽△CEB，∴DE•EC=AE•BE，∴DE•DE=4×12，∴DE=4，∴CD=2，则AD=2，∴=，∴CF=．故答案为．班级： 姓名：____________座号：_____________ 准考证号：_______________密 封 线 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知二次函数y=x 2+（m +3）x +m +2，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0；关于x 的方程x 2+（m +3）x +m +2=0的两个实数根的倒数和小于．求m 的取值范围．【解答】解：①由题意可得，方程x 2+（m +3）x +m +2=0与x 轴有两个交点， 故有△＞0，即（m +3）2﹣4（m +2）＞0，解得：m ≠﹣1， 又因为y=x 2+（m +3）x +m +2=（x +1）（x +m +2），当y ＜0时，x 可取两个范围：﹣1＜x ＜﹣m ﹣2或﹣m ﹣2＜x ＜﹣1， 而由题意得，当﹣1＜x ＜3时，恒有y ＜0，故可得，当y ＜0时，x 的取值范围为：﹣1＜x ＜﹣m ﹣2，也可得出﹣m ﹣2≥3，解得：m ≤﹣5； ②由题意得，方程x 2+（m +3）x +m +2=0有实数根，故有△≥0，即（m +3）2﹣4（m +2）≥0，解得：m 可取任意实数， 又因为+==＜﹣，解得：m ＜﹣12，综合①②可得：m ＜﹣12．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO=8，AB=AC ，sin ∠ABC=．CD 与y 轴交于点E ，且S △COE =S △ADE ．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．【解答】解：过点D 作DN ⊥BC ，∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵sin ∠ABC=，AO=8，∴sin ∠ABC===，∴AB=10，BO==6，∴B 点坐标为：（6，0），C 点坐标为：（﹣6，0），∵S △COE =S △ADE ，∴S △CDB =S △ABO ，∴DN ×BC=AO ×BO ，∴DN===4，∵ND ∥AO ，∴=，∴NO=NB=3，∴=，∴=，解得：EO=，∴E 点坐标为：（0，﹣），∵经过B ，C ，E 三点的图象对称轴为y 轴，∴经过B ，C ，E 三点的解析式为：y=ax 2+c ， 将E 点坐标为：（0，﹣），B 点坐标为：（6，0）代入解析式得：，解得：，∴这条抛物线对应的二次函数的解析式为：y=x 2﹣．13．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD ＞CD ．点E 在OD 上，且DC=DE ，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△DO 1F ．【解答】解：连接DB ．∵⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C ∴BO 为⊙O 1直径，∴∠ODB=90°，∵DC=DE ，∴BD 垂直平分CE ，∴BC=EB ，∠FBD=∠CBD ，∴∠BCE=∠BEC ．∵BO=CO ， ∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC=∠BCE=∠BEC ，∴∠CBE=∠COB （三角形内角和定理）， ∵∠FO 1D=2∠FBD ，∴∠FO 1D=∠FBC ， ∵CO=BO ，FO 1=DO 1，∴=，∴△BOC ∽△DO 1F ．14．已知整数a ，b 满足：a ﹣b 是素数，且ab 是完全平方数．当a ≥2012时，求a 的最小值．【解答】解：设a ﹣b=m （m 是素数），ab=n 2（n 是正整数）．∵（a +b ）2﹣4ab=（a ﹣b ）2，∴（2a ﹣m ）2﹣4n 2=m 2，即：（2a ﹣m +2n ）（2a ﹣m ﹣2n ）=m 2． ∵2a ﹣m +2n 与2a ﹣m ﹣2n 都是正整数，且2a ﹣m +2n ＞2a ﹣m ﹣2n （m 为素数）， ∴2a ﹣m +2n=m 2，2a ﹣m ﹣2n=1， 解得：a=，n=，∴b=a ﹣m=，∵a ≥2012，∴≥2012，∵m 是素数，解得：m ≥89，此时，a ≥=2025，当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．∴a 的最小值为2025．。

2017年全国中学生数学能力竞赛（决赛）试题七年级（初一）组（试题总分120分；答题时间120分钟）一、画龙点晴 (本大题共8小题，每小题3分，总计24分)1.如图所示，要输出大于100的数，则输入的正整数x 最小是( )。

如是奇数则x 4＝ ？＋13，输出y输入正整数如是偶数则x 5，输出y2.若abc≠0,则a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc |a bc |的最小值是( )。

3.若两位数2a ̅̅̅̅与三位数3bc ̅̅̅̅̅的积为6657，其中a ，b ，c 代表非零数字，则三位数abc̅̅̅̅̅＝（ ）。

4.如a+120＝b+121＝a+b 17，那么ab ＝（ ）。

5.（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人;若一千零二卒为一营，则剩余四人.此次点兵至少有（ ）人。

6.若a 与b 是互为相反数，且|a －2b |＝32，则2a －ab －b 2+2a 2+ab +b －１＝（ ）。

7.规定:a ⨂b ＝（a ＋b ）（a －b ），若m 是最小的质数，n 是大于100的最小的合数，则m ⨂(m －n )＝（ ）。

8.如果多项式2x3－x的值等于1，那么如4x4－4x3＋3x2－x－1的值等于（）。

二、一锤定音（本大题共4道小题，每小题3分，总计12分）9.若m＝2，则(−m)3×(−1)4−|−12|÷[−(−1m)2]－m×(−14)+[1－32×(−m)]＝（）。

A.－2B.－1C.1D. 210.若x2＋x－2＝0，则x3＋2x2－x＋2015=（_________ ）.A. 2017B.2016C.－2016D. －201711.甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%.最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）。

2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案填空题答案一、选择题1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x 2−2∈A, x −2∉A}，则集合B的所有元素之积为 （A ）36．（B ）54．（C ）72．（D ）108． 答：A ．解：由x 2−2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x=±2，±3．又因为x −2∉A ，所以x ≠2，x ≠3，故x= −2，，−3．因此，集合B={−2, ,,−3}．所以，集合B 的所有元素的乘积等于(−2)()(−3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC∠)= （A ． （B ）2． （C ）1．（D ． 答：A ．解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内．连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O 的直径. 连接AK ，CK ．因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．所以KC=AH=AO=12BK ． 在直角△KCB 中，由KC=12BK ，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．故tan(2BAC∠)= tan30°=3．3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n −1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.解：数2017是数列a n = 2n −1的第1009项．设2017位于第k 组，则1+3+5+…+(2k −1)≥1009，且1+3+5+…+(2k −3)＜1009．即k 是不等式组221009(1)1009k k ⎧≥⎨-<⎩的正整数解，解得k =32，所以2017在第32组中． 4．如图，平面直角坐标系x-O-y 中，A, B 是函数y =1x在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB=90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于（A ）12． （B ）2． （C）2． （D）2．答：D ．解：依题意，∠OAB=90°且AO = AB ，∠AOB=∠ABO=45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．易见△COA ≌△DAB ． 设点A(a,1a )，则点B(a +1a , 1a− a)． 因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a − a)=1，即21a−a 2=1．因此S △ABC =12OA 2=12(21a + a 2) =12= 5．已知f (x) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，则f (10)−f (−5)= （A ）71655． （B ）75156． （C ）75615． （D ）76515． 答：C ．解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m)=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)−2017x=0的四个实根，由于5次多项式f (x)−2017x 有5个根，设第5个根为p ，则f (x)−2017x = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p)即 f (x) = (x −1)(x −2)(x −3)(x −4)(x −p)+2017x ．所以f (10)=9×8×7×6(10−p)+2017×10，f (−5)=−6×7×8×9(5+p)−2017×5， 因此f (10)− f (−5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．6．已知函数2||,,()42,.x x a f x x ax a x a ≤⎧=⎨-+>⎩若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x)=m 有四个不同的实根，则a 的取值范围是（A）17a>．（B）16a>．（C）15a>．（D）14a>．答：D．解：要使方程f (x)=m有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点．而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|, x ≤a的图像和y=x2−4ax+2a, x＞a的图像的交点分别都是2个．而存在实数m，使y=m与y=|x|, x≤a的图像有两个交点，需要a＞0，此时0＜m≤a；又因为y=x2−4ax+2a, x＞a顶点的纵坐标为242(4)4a a⨯-，所以，要y=m与y=x2−4ax+2a, x＞a的图像有两个交点，需要m＞2 42(4)4a a⨯-．因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：0＜m≤a且m＞2 42(4)4a a⨯-，解得14 a>．二、填空题1. 用[x]表示不超过x的最大整数，设[99]S=++++，求的值．答：24．解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,2，因此1===，共3个1；同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此=[15]3===，共7个3；依次类推，[23]4=====，共9个4；[34]5=====，共11个5；[47]6=====，共13个6；[62]7=====，共15个7；[79]8=====，共17个8；[98]9=====，共19个9.S = (++)+(++++)+…+([99]++) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．因为242=576＜615=S＜625=252，即2425，所以，．2．确定(201721log2017×201741log2017×201781log2017×2017161log2017×2017321log2017)15的值．答：8．解：原式=(20172017log2×20172017log4×20172017log8×20172017log16×20172017log32)15=(2×4×8×16×32)15= (21×22×23×24×25)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=8．3．已知△ABC 的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求△ABC 的面积． 答：平方厘米．解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此△ABC 的面积可求．△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×5−12×2×3=9.5（平方厘米）． 4. 设函数222(1)ln(1)()1x x x f x x ++++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M+N 的值．答：2．解：由已知得222ln(1)()11x x x f x x +++=++ 因为2222ln(1)ln(()1())ln[(()1())(()1())]x x x x x x x x +++-++-=-+---++-=22ln(()1())ln10x x -+--==，所以22ln(()1())ln(1)x x x x -++-=-++， 因此，2ln(1)x x ++是奇函数．进而可判定，函数222ln(1)()1x x x g x x +++=+为奇函数．则g(x)的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．答：504．解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．事实上504是n 的最大值．因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F. 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点ADNAMBPD. 再以E 为圆心DE 为半径画圆弧DC ，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）答：(12−)π−4平方厘米． 解：半圆(O, 2)的面积=12π×22=2π． 因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，，ED=EC=4−． 又∠AEB=∠CED=90°，∠EAB =∠EBA=45°，因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12×4×2=4，直角扇形EDC 的面积=14π(4−)2= 6π−π， 卵形AFBCDA 的面积 = 半圆(O, 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积−△AEB 的面积+直角扇形EDC 的面积= 2π+2×2π−4+6π−= (12−)π−4（平方厘米）．7. 已知22()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．答：101．解：设g(x) = x 2−100x+5000，则g(100−x) = (100−x)2−100(100−x)+5000=1002−200x+x 2−1002+100x+5000 = x 2−100x+5000= g(x)， 即 g(k) = g(100−k)．所以 f (k) + f (100−k) =22(100)()(100)k k g k g k -+- =22(100)()k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-⨯+， f (100)22100==2.1001001005000-⨯+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．答：解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a, b, b, c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC+a = CD+b = (AC −c+b)+b ，而AC = BC ，所以a+c = 2b ．由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得12O F BE AF O E =，即22ac =，由此推出ac = 4．D AC BD BE GO 2 a b ·分别计算△BCD 和△ACD 的面积：12(),2BCD S BC CD BD ∆=⨯+-12()2ACD S AC CD AD ∆=⨯++所以24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ∆∆-=+==++=. ①又设由C 引向AB 的高为h ，可得1()2ACD BCD S S c a h ∆∆-=-=②由①、②两式可得4b =将a+c = 2b ，ac = 4代入，化简得42251000b b -+=解得b 2=5或b 2=20，即，（负根舍）．于是，若，△ABC 为钝角三角形，不合题设△ABC 是锐角三角形的要求．所以AB 的长为．。

2017中国数学奥林匹克中等数学2017年的中国数学奥林匹克中等数学竞赛是一场备受瞩目的盛会。

这场比赛是为了选拔数学方面的优秀学生，培养他们的创新思维和解决问题的能力。

参赛学生们在这个赛场上展示了他们的才华和智慧，为数学的发展做出了贡献。

在这次比赛中，学生们面临的数学题目相当高难度。

这些题目不仅要求学生们掌握扎实的数学基础知识，还需要他们具备灵活运用的能力。

例如，一道题目要求学生们证明一个数列的递推关系，这不仅需要他们熟练掌握数列的性质，还需要他们善于运用数学归纳法等证明方法。

这样的题目不仅考察了学生的记忆和理解能力，更重要的是考察了他们的创新思维和解决问题的能力。

除了题目的难度较大之外，比赛的时间也是一项挑战。

学生们需要在有限的时间内解决尽可能多的数学题目。

这要求他们具备良好的时间管理能力和快速解题的能力。

在赛场上，学生们紧张而专注地答题，他们的脑海中闪现着各种数学公式和解题方法。

他们尽力发挥自己的水平，争分夺秒地解答每个题目。

在这场比赛中，学生们不仅仅是为了得到奖牌和荣誉，更重要的是通过这样的比赛来提高自己的数学水平。

他们通过与其他优秀的学生交流和竞争，不断学习和进步。

这样的比赛为他们搭建了一个展示自己才华的平台，也为他们未来的学习和发展提供了宝贵的经验。

这场比赛也对学校和教师起到了一定的推动作用。

学校为学生提供了良好的学习环境和资源支持，教师们也为学生提供了精心的指导和辅导。

他们通过培养学生的数学兴趣和能力，为学生参加数学竞赛打下了坚实的基础。

同时，学校和教师们也通过这样的比赛来检验和提高自己的教学水平，不断完善教学方法和内容。

2017年的中国数学奥林匹克中等数学竞赛是一场精彩纷呈的盛会。

参赛学生们通过这个平台展示了他们的才华和智慧，同时也在竞赛中不断提高自己的数学水平。

这场比赛对于学校、教师和学生都起到了积极的推动作用，促进了数学教育的发展和学生的全面发展。

希望未来的数学竞赛能够继续繁荣发展，为更多的学生提供展示自己才能的机会，为数学事业的发展做出更大的贡献。

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()co s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=cos tan =sin cosx x c x c x ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3.设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4.设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。