北京大学2017年中学生数学奖个人能力挑战赛试题

数 学（满分 100 分，时间 60 分钟）1．数列{}n a 满足 123a =，12(21)1n n n a a n a +=++ ，则数列{}n a 的前 2017 项和2017S = A ．20162017 B ．20172018 C ． 40344035 D ． 403340342．若 x 1 是方程 xe x = e 2的解， x 2 是方程 x ln x = e 2 的解，则 x 1 x 2A ．1B ．eC ．e 2D ．e 43．9 tan10︒ + 2 tan 20︒ + 4 tan 40︒ - tan 80︒ =A ．0B ．3 C ．1 D ．4．若关于 x 的方程 a x 2 + bx + c = 0(ac ≠ 0) 有实数解，且 (a - b )2 + (b - c )2 + (a - c )2 ≥ rc 2 ，则 实数 r 的最大值是A ．1B ．98C ．916D ．2 5．设函数 f (x ) = x 2 + ax + b ，对于任意的 a ，b ∈R ，总存在 x ∈[0, 4] 使得()f x m ≥ ，则实数 m 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ．(,1]-∞ C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞6 ．已知数列{}n a 的通项公式是 2n n a = ，数列{}n b 的通项公式是52n b n =-，那么集合 {}1232019,,,...,a a a a {}1232019,,,...,b b b b 的元素个数为A ．503B ．504C ．505D ．5067．过原点的直线l 与双曲线 xy =-交于 P ，Q ，其中 P 在第二象限，现将上下两个半平 面折成直二面角，则 PQ 的最小值是A ．B ．4C ．D ．8．数列满足 11a = ，11n n na a a +=+，若 2017(,1)a k k ∈+，其中*k N ∈，则 k 的值是 A ．63 B ．64 C ．65 D ．66 9．i a R ∈(1,2,3,...,)i n =，212()a a -+223()a a -+234()a a -+245()1a a -=，则123522a a a a --+的最大值是 A． B ．C ．D ．10．设在 R 上可导函数()f x 满足()f x 31()3f x x --=，并且在(,0)-∞上'21()2f x x ，实数 a 满足(6)f a -321()1318363f a a a a -≥+-+，则实数 a 的取值范围是A ．(,3]-∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞11．桌面上有 3 个半径为 2017 的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与 3 个球的顶点在同一平面内，则该球的半径是A ． 20176B ．20174C ． 20173D ．2017212．60 支足球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率为 50%，设没有两队赢相同场数的概率为p q，其中 p ，q 互质，则 2n 可整除 p 的最大 n 值是 A ．1768 B ．1746 C ．1714 D ．1702 13．设椭圆 C 1： 22221(0)x y a b a b+=的左右焦点分别为F 1， F 2，离心率为34，双曲线 C 2：22221(0)x y c d c d-=的渐近线交椭圆 C 1于 P ， PF 1⊥ PF 2，则双曲线C 2的离心率是A ．BCD 14．设函数 f (x ) = x 2 - ln x ， g (x ) = x -1 ，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x ) 和 y = g (x ) 于 P ，Q 两点，则 PQ 的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．415．方程组324113012y y y x x y --+⎧=⎪⎨+=⎪⎩的各互异实数解的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．616．设实数 0 < k 1 < k 2 ，并且 k 1k 2 = 4 ，两曲线 C 1 ， C 2 的渐近线分别是 1(2)24k y x =±-+和2(2)2y k x =±-+，且 C 1 ， C 2 都过原点，则曲线 C 1 ， C 2 离心率的比值是AB C ．1 D ．217．两圆均过点 (3, 4) ，且其半径之积为 80，两圆均以 x 轴为公切线，并且另一公切线过原 点，则其斜率为A ．B ．C ．．18．在△ABC 中， cos A cos B cos C 的最大值是A ． 12B ． 1C ．2D ．19．两个相同的正四面体，四面分别标有 1，2，3，4，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两底面数字之和为所得数字，共投掷 3 次，则 3 次所得数字之积能被 10 整除 的概率是A ． 12B ．38C ．1132D ． 153220．在圆锥中，M 是顶点，A 在底面圆周上，B 在底面圆内，6MA =，AB ⊥OB ，OH ⊥MB 于 H ， C 为 M A 中点，当四面体 O - CHM 体积最大时，HB =A ．B C D ．。

2017年全国初中数学联合竞赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1. 已知实数a b c ，，满足2133903972a b c a b c ++=++= ，，则32b ca b+=+ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1− 2. 已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，有以下三个结论：(1) (2)以a 2，b 2，c 2为边长的三角形一定存在；(3)以|a －b |＋1，|b －c |＋1，|c －a |＋1为边长的三角形一定存在． 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若正整数a ，b ，c 满足a b c ≤≤且()2abc a b c =++，则称(a ，b ，c )为好数组．那么，好数组的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180︒，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，则DOOB＝( ) A ．109 B ．87 C ．65 D ．435. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB的延长线上，满足∠BAF ＝∠CAE ．已知BC ＝15，BF ＝6，BD ＝3，则AE ＝( ) A ．43 B ．213 C ．214 D ．2156. 对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 200＝( )A ．1917B ．1927C ．1937D ．1947二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.成立的实数a 的值为______．8. 如图，平行四边形ABCD 中，∠ABC ＝72︒，AF ⊥BC 于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE ＝2AB ，则∠AED ＝______．9. 设m ，n 是正整数，且m ＞n ．若9m 与9n 的末两位数字相同，则m －n 的最小值为____．10. 若实数x ，y 满足x 3＋y 3＋3xy ＝1，则x 2＋ y 2的最小值为______．第一试(B)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)的图象与x 轴有唯一交点，则二次函数y ＝a 3x 2＋b 3x ＋c 3的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定 2．题目与(A )卷第1题相同． 3．题目与(A )卷第3题相同．4．已知正整数a ，b ，c 满足a 2－6b －3c ＋9＝0，－6a ＋b 2＋c ＝0，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A ．424． B ．430． C ．441． D ．460．5．设O 是四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，若∠BAD ＋∠ACB ＝180，且BC ＝3，AD ＝4，AC ＝5，AB ＝6，DOOB＝( )A ．43B ．65C ．87D ．1096．题目与(A )卷第5题相同．二、填空题(本题满分28分，每小题7分) 1．题目与(A )卷第1题相同．2．设O 是锐角三角形ABC 的外心，D ，E 分别为线段BC ，OA 的中点，∠ACB ＝7∠OED ，∠ABC ＝5∠OED ，则∠OED ＝______． 3．题目与(A )卷第3题相同． 4．题目与(A )卷第4题相同．第二试(A)一、(本题满分20分)已知实数x ，y 满足x ＋ y ＝3，1x ＋y 2＋1x 2＋y ＝12，求x 5＋y 5的值．二、(本题满分25分)如图，△ABC 中，AB ＞AC ，∠BAC ＝45︒，E 是∠BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF ⊥AB ．已知AF ＝1，BF ＝5，求△ABC 的面积．三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a ，b )，使得a 3＝49×3b ＋8．第二试(B)一、(本题满分20分)已知实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，a ＋b ＋c ＝16，a 2＋b 2＋c 2＋14abc ＝ ，求c 的值．二、(本题满分25分)求所有的正整数m ，使得22m －1－2m ＋1是完全平方数．三、(本题满分25分)如图，O 为四边形ABCD 内一点，∠OAD ＝∠OCB ，OA ⊥OD ，OB ⊥OC ．求证：AB 2＋CD 2＝AD 2＋BC 2．7。

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。

2017北京大学优特测试数学部分1．已知x ，y ∈R ，且4(x -1)2+(y -1)2＝1，求yx的最大值。

2．已知f (x )＝x 2-ln x ，g (x )＝x -2，直线y ＝m 与f (x )和g (x )分别交于P ，Q ，求|PQ |的最小值。

3．已知a ，b ，c 成等差数列，点P (-1，0)在直线l :ax +by +c ＝0上的投影为M ，又已知N 的坐标为(0，3)，求|MN |的最小可能值。

4．已知正数数列{a n }满足a 1＝1，且112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（S n 为数列的前行项和），求S 9。

5．已知f (x )在R 上可导，且满足以下两个条件： ①当x ≠1时，(x -1)[f′(x )-f (x )]＞0 ②f (2-x )＝f (x )e 2-2x试比较f (1)与f (0)的大小关系；以及f (2)与f (0)的大小关系。

6．在△ABC 中，求cos A B C 的最大值。

7．求值：9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°。

8．已知(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2＝1，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，5。

求a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值。

9．已知54和128是某等比数列中的两项，问该数列中最多有多少项为正整数。

10．求不定方程x 2-xy -2x +3y ＝11的正整数解。

11．求22018888999⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…被63除的余数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数。

12．求y ＝x 2上任三点所确定的外接圆半径的取值范围。

13．已知()10)1010x x f x x −=+−+，求解集f (3x +1)+f (x )＞2014．60支球队两两比赛，任两支相互胜率均为50％，设有两支球队取胜场数相同的概率为pq ，(p ，q )＝1。

2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。

对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。

另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。

综上，最小的短信条数总数为2n−2。

2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。

2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。

3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。

计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。

6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。

北京大学2017年优特(U-Test)数学测试真题1. 数列{}n a 满足112,32(21)1n n n a a a n a +==++，则数列{}n a 的钱2017项的和2017S 等于（ ） A. 20162017 B. 20172018 C. 40344035 D. 40334034【解答】C 根据题意，有11142n n n a a +-=+，于是21122n n a =-，进而221111141222n a n n n ⎛⎫ ⎪==- ⎪- ⎪-+⎝⎭，于是1121n S n =-+，进而201740344035S =2. 若1x 是方程2xxe =e 的解，2x 是方程2ln x x =e 的解，则1x 2x 等于（） A. 1 B. e C. 2 e D. 4e 【解答】C考虑到1x 2x 分别是函数xy e =、函数ln y x =与函数2e y x=的图像的公共点A,B 的横坐标，且A,B 两点关于直线y x =对称，点（1x ，2x ）在反比例函数2e y x=的图像上，因此1x 2x =2e3. 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°等于（）A. 0B.C. 1D. 【解答】A 由于12tan tan tan 2θθθ-=- 于是tan10°- tan80°= -2cot20°，2(tan20°- cot20°)= - 4cot40°，4(tan40°- cot40°)= - 8cot80° 三式相加即得9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0 9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°=0.4. 若对任意使得关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠有实数解的a ，b ，c 均有()()()2222a -b +b -c +c -a rc ≥，则实数r 的最大值是（）A. 1B. 98C. 916D. 2 【解答】B设关于x 的方程()2ax +bx+c=0ac 0≠的实数解为m ，n ，则,b cm n mn a a+=-=， 于是()()()()()()2222222222222222222221111[(1)1](1)2(1)(1)11311322424222b bc c a -b +b -c +c -a a a a a r c c a m n mn m n mn m n n n m m m nm m n n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⎛⎫ ⎪⎝⎭++++++-=+++++=++++=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等号右边代数式的最小值为98，因此所求实数r 的最大值为98。