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带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即①为静止状态。
②则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间：(Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a点沿ab方向垂直射入匀强磁场：若从c点射出，则圆心在d处若从d点射出，则圆心在ad连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O和运动轨迹圆心O′都在入射点和出射点连线AB的中垂线上。
或者说两圆心连线OO′与两个交点的连线AB垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O、A、B三点时，其圆心O′在OA、OB的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A做v垂线AO，延长v线与切线CD交于C点，做∠ACD的角平分线交AO于O点，O点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
带电粒子在场中运动高考题型归类解析1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】（04天津）钍核Th 23090发生衰变生成镭核Ra 22688并放出一个粒子。
设该粒子的质量为m 、电荷量为q ，它进入电势差为U 的带窄缝的平行平板电极1S 和2S 间电场时，其速度为0v ，经电场加速后，沿ox 方向进入磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，ox 垂直平板电极2S ，当粒子从p 点离开磁场时，其速度方向与ox 方位的夹角︒=60θ，如图所示，整个装置处于真空中。
（1）写出钍核衰变方程；（2）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R ； （3）求粒子在磁场中运动所用时间t 。
2、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题。
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。
如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。
②磁场变化导致半径变化。
如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。
③动量变化导致半径变化。
如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。
如吸收电荷等。
总之，由qBm vr =看m 、v 、q 、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
【例2】（06年全国2）如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。
一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类解析一、单直线边界磁场1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或2+=ϕθ）.2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则m υr=Bqa O r-d二、双直线边界磁场规律要点：最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线.在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。
已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类
命题人：罗 通 审题人：李吉彬
一、单直线边界磁场
1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点：
（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.
（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；
正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=ϕϕπ，且2-=ϕθ（或
2+=ϕθ）.
2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子. 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） （1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于
1
2
圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；
（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于
1
2
圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点.
图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则
m υr=
Bq
()2
222aO=r -d-r =dr-d ()
2
22Ob=r -d
22224x=ab=aO+Ob=dr-d +r -d
例1．如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比
m
q 。
υ
υ θ θ υ
υ
O －
O ＋ θ φ＋ φ－ 图1
图2
d S
b
O 2
O 1 a O
二、双直线边界磁场
规律要点： 最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.
对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线. 在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得222ab=dr-d 最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.
例2．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁
场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图所示。
已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。
三、圆形边界
1．圆形磁场区域：
（1）相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；（如图4所示）
（2）直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小.（如图5所示） 2．环状磁场区域：
（1）带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场； （2）最值相切：（如图6所示）当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度υm 或磁场有最小磁感应强度B .
图3 d
O 2
O 1 a
b υ S
例3．地磁场可以“屏蔽”来自太空的带电粒子，防止这些高速运动的带电粒子对地球带来的危害.在高能物理实验中，为了避免宇宙射线中的带电粒子对实验的影响，可在实验装置外加磁场予以屏蔽.如图所示，半径为r 2的圆管形实验通道为实验中高能带电粒子的通道，在r 2到r 1的圆环形加有匀强磁场.假设来自太空的带电粒子的最大速度为υ，粒子均沿半径方向射入磁场区，为了使这些粒子均不能进入实验通道，则磁感应强度B 至少为多大？已知带电粒子的质量均为m ，电荷量均为-q .
四、带电粒子在磁场中运动的极值问题
寻找产生极值的条件： ① 直径是圆的最大弦；
② 同一圆中大弦对应大的圆心角； ③ 由轨迹确定半径的极值。
例4．如图半径r ＝10cm 的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y 轴在坐标原点O 处相切；磁场B ＝0．33T 垂直于纸面向内，在O 处有一放射源S 可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106
m/s 的α粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10-27
kg ，电量q=3.2×10-19
c ，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t 各多少？
练习
r 1
O ’
r
r
υ υ
r 2 图6 B
b a O
θ
B
R b a O
υ υ r 图5 B
O
r R b a O ’
υ υ
图4
m
υ
1.如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是。
2.长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（）
A．使粒子的速度v<BqL/4m；
B．使粒子的速度v>5BqL/4m；
C．使粒子的速度v>BqL/m；
D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。
3.如图所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。
4.圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。
O＇
M
N
L
带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类参考答案
例1.解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得：R L sin θ=
1
2
① 带电粒子在磁场中作圆周运动，由qv B mv R
00
2
=
解得R mv qB
=
② ①②联立解得
q m v LB
=
20sin θ
例2.解析：此例包括单直线边界进入型、双直线边界中的最值相切两种类型。
（1）为单直线边界进入型，由图可知：O 1为轨道圆心，由于对称性，速度的偏转角θ1＝60°，故轨道半径12
L r =
据2
001m υq υB r =， 则102qBr qBL
υm m
==
（2）当0υ最大时，轨道与cd 相切：
11cos602
L
R R -︒=，得R 1=L
则1max qBR qBL
υm m
==
当0υ最小时，轨道与ab 相切： 22sin302
L
R R +︒=，得23L R =
则2min 3qBR qBL υm m ==03qBL qBL
υm m
∴<≤
带电粒子从ab 边射出磁场，当速度为max υ时，运动时间最短。
O 3 O 2
O 1 60°
min 15053606m
t T Bq
π=
=
速度为min υ时，运动时间最长 max 24043603m
t T Bq
π=
= ∴粒子运动时间t 的范围5463m m
t Bq Bq
ππ≤<
例3.解析：要使带电粒子不进入实验通道，则粒子运动的轨道只能与半径为r 2的内圆相切，因此由几何关系可得
()
2
2221r+r =r +r ①m υr=
Bq
② 联立解得 221222r -r m υ=r Bq ，即(
)
2
22
12
2m υr B=q r -r 例4．解析：α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：r 2m 2.0qB
mv
R ===
α粒子从点O 入磁场而从点P 出磁场的轨迹如图圆O /
所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。
由上面计算知△SO /
P 必为等边三角形，故θ＝60° 此过程中粒子在磁场中运动的时间由
即粒子在磁场中运动的最长时间。
