人教版初二数学下册19.1.2变量与函数(二)

19.1.1变量与函数（2）教学目标：1．进一步体会运动变化过程中的数量变化；2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．教学重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系，用式子表示变量间的关系教学难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量教学过程一、预习检测：什么是变量？什么是常量？二、合作交流:问题1 下面变化过程中的变量之间有什么联系？（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；60180204240540问题2 下面变化过程中的变量之间有什么联系？（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x张票，票房收入为y 元；（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r ，面积为S ；（4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为x，它的邻边长为y．三释疑解惑：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x =a 时，对应的y =b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值．四、随堂练习：课本P74页-75页练习五、总结归纳：1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系．2.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．六、布置作业1．已知2x-3y=1，若把y用x表示为___________．其中变量是_____、•_____，常量是________．2．等腰△ABC中，AB=AC，则顶角y与底角x之间的函数关系式为_____________．其中变量是_______、•_______，常量是________．3．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内剩余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_____________．其中变量是_______、_______，常量是________4．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系．（2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t•（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）5．买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．6．个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．。

4 教材分析本节课内容是义务教育教科书人教版八年级下册第19章《一次函数》中的第一节《19.1.1变量与函数》的第二课时，本节课是在上一节学习“变量与常量”的基础上，进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，重点抽象出函数的概念，并进一步讨论函数的自变量的取值范围，用解析式法表示函数关系。

初步体会用函数来描述和分析运动变化的规律。

本节课的重点是学习函数的概念，是上一节学习常量与变量的继续，同时也是在学生学习了字母表示数，平面直角坐标系、方程与不等式等内容的继续。

学好函数的概念可以为以后学习基本初等函数（一次函数以及二次函数、反比例函数及高中函数知识等）打下坚实的基础。

所以本节课起到承上启下的重要作用。

在人教版八年级下册的教科书中，19.1.1变量与函数这一节总共为2个课时，第一课时主要学习掌握变量与常量的概念为本节学习函数概念做好铺垫；本节课是第二课时，并且均为新授课。

函数概念的学习是本章一个教学的难点。

为此，我设计了如下的教学目标：知识与技能部分：1.通过回顾思考认识变量中的自变量与函数。

理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数，会用变化的量描述事物。

2.进一步理解掌握确定函数关系式.3.会确定自变量的取值范围.过程与方法部分：1.经历回顾思考过程，提高归纳、总结、概括的能力.2. 经历从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高读图与识图能力，体会函数的不同表达方式.3.探索函数概念的过程，感受函数的数学模型思想。

情感、态度与价值观部分：1.积极参与活动，提高学习兴趣；2.形成合作交流的意识，及独立思考的习惯.3.会用变化与对应的观点观察事物，分析事物，体验数学与生活的密切联系。

二、教学重点：1.理解函数的概念；2.能确定自变量的取值范围.三、教学难点：1.认识函数的概念。

（函数概念的含义比较抽象、深刻，往往不能一下子从其定义的文字真正地理解它，突破的办法是由具体的例子逐步过渡到抽象定义。

变量与函数（2）知识技能目标1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.过程性目标1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．教学过程一、创设情境问题1填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．解如图能发现涂黑的格子成一条直线．函数关系式：y＝10－x．问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．解y与x的函数关系式：y＝180－2x．问题3 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式．解 y 与x 的函数关系式：221x y．二、探究归纳思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围．问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ．解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9；问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90；问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s ＝60t ， S ＝πR 2．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是y ＝5×(30－5)＝5×25＝125．125叫做这个函数当x ＝5时的函数值．三、实践应用例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)21+=x y ； (4)2-=x y ．分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，21+x 没有意义；在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．解 (1)x 取值范围是任意实数；(2)x 取值范围是任意实数；(3)x 的取值范围是x ≠－2；(4)x 的取值范围是x ≥2．归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式． 例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x (cm)，求底边上的高y (cm)关于x 的函数关系式；(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r (cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S (cm 2)，求S 关于r 的函数关系式．解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数； (2)xy 40=，x 可取任意正数； (3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10．例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?解 设重叠部分面积为y cm 2，MA 长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为221x y = 当x ＝1时，211212=⨯=y 所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是21cm 2．例4 求下列函数当x = 2时的函数值：(1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ； (3)12-=x y ； (4)x y -=2． 分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值．解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；(3)当x = 2时，y =122-= 2； (4)当x = 2时，y =22-= 0．四、交流反思1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义．①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．五、检测反馈1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．2.求下列函数中自变量x 的取值范围：(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)； (3)36+=x x y ； (4)12-=x y ． 3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：(1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)12-+=x x y ．。

19.1变量与函数第2课时1・什么叫变量?2 •什么叫常量?指出其中的变量与常量: y=2x思考：1、问题（1）〜（4）中是否各有两个变量?2、同一个问题中的变量之间有什么联系?当时间t取定一个值时,路程s就问题〔1】:行驶里程s （千米）与行驶时间I （小时）的关系式为：S=60t o如下表所示:问题(2)票房收入y 元与售票数量x 张的关系式:y=10xX=150 时 y=1500;X=310 时 当售票数量X 取定一个值时，票房收入y 一确定的值与其对应。

X=205 时 y=2050；y=3100；就有唯问题⑶据此可以算岀r 分别为10cm ，20cm ，30cm 时，s 分 别为1O 磴力？ 400?烧 QOQcni一确定的值与其对应。

圆的面积s 与半径r 的关系式为:sI ：I 当圆的半径r 取定一个值时,面积S 就有唯问题(4)矩形的邻边长y与x的关系式为：y=5-x据严可以算出x分别为3m,3・5m,4m,4・5m时，y分别当—取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应。

归纳1每个变化的过程中都存在着（两个）变量.2两个变量互相联系f当其中一个变量取定_个值时,另一个变量就有（唯一确定的值与其对应）函数的概念:在一个变化过程中，如果有两个变量X与必并且对于x的每一个确定的值，有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。

如果当乂=玄时『=匕那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

函数概念理解(1)在一个变化过程中(2)有两个变量v与y■加升的每一个确定的值,甫有唯一确定的值与■思考：1 ・ S=60t; 2. y=10x; 3. s = TZT2 4,y=5-x上面每个问题中，哪个量是自变量？哪个量是自变量函数?p \想一想■ 在计算器上按下列程序进行操作: 诵入X （任意一个薮齐I按鋼冈回田巨I显勃（计算结果）I 填表显示的数y是x的函数吗?为什么?函数关系可以表述为:输入X （自变量）函数关系输出y （因变量）y的值是唯一的思考⑴下图是体检时的心电图.其中图上点的横坐标X表示时间, 纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？:士::: ：|：：：d IX思考⑵⑵在下硼般人理刎訓，轴与人瑚可竝作时奸 烏屮对于表申4个械髀份⑴，刪应卜何制人理人口林 年份人诚/必1984 10.341989 11.061994 11761899 12.52像 1 ・ S=60t; 2. y=10x ; 3. s = 7ZT2 4.y=5-x一•函数关系是用数学式子给出的（叫解析式法）二.前面像体检心电图函数关系是用图象给出的（叫图象法）三•前面我国人口数统计表函数关系是用表格给出因此，当汽车行驶200 km时，油箱中还有油30L的（叫列表法）因此，当汽车行驶200 km 时，油箱中还有油30L 例1 一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果 不再加油,那么油箱中的余油量y (单位：L) 随行驶里程T 伸位：km)的增加而减少，平 均耗油量为O.lL/kmo(1) 写出表示y 与兀的函数关系的式子。

第2课时函数理解函数的概念，准确写出函数的关系式．重点函数的概念，函数解析式的求法．难点函数概念的理解．一、创设情境，引入新课师：上一节课中的每个问题都涉及两个变量，这两个变量之间有什么联系呢？当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否也随之确定呢？这将是我们这节课要研究的内容．二、讲授新课师：观察问题(1)中的表格，时间t和路程s是两个变量，但当t取定一个值时，s也随之确定一个值.t/时 1 2 3 4 5s/千米60 120 180 240 300生：是的，当t时，s＝300.师：问题(2)也是一样的，当早场x＝150时，收入y＝1500；当午场x＝205时，y＝2050；当晚场x＝310时，y＝3100.也就是说售票张数x与票房收入y是两个变量，但当x取定一个值时，票房收入y也就确定一个值．师：问题(3)中，当圆的半径r＝10 cm时，S＝100πcm2，当r＝20 cm时，S＝400πcm2等，也就是说…生：也就是说当圆的半径r取定一个值时，面积S也随之确定，并且S＝πr2.师：问题(4)中，当长为4 m时，面积为4 m2；当长为3 m时，面积S为6 m2；当长x 为2.5 m时，面积S为6.25 m2，也就是说…生：也就是说当长x取定一个值时，面积S也就随之确定一个值．师：当长取定为x m时，面积S等于多少呢？生：S＝x·(5－x)＝5x－x2.师：像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．前面的几个问题中，哪个是自变量，哪个是函数呢？它们之间的关系如何用式子表示？生1：问题(1)中，时间t是自变量，路程s是t的函数，s＝60t.生2：问题(2)中，售票数量x是自变量，收入y是x的函数，y＝10x.生3：问题(3)中，圆的半径r是自变量，面积S是r的函数，S＝πr2.生4：问题(4)中，长方形的长x是自变量，面积S是x的函数，S＝x(5－x)．师：其实，现实生活中某些函数关系是用图表的形式给出的，比如说：心脏部位的生物电流，y是x的函数吗？生：y是x的函数，因为在心电图里，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应．师：很好！再比如说下面是我国的人口统计表，人口数量y是年份x的函数吗？中国人口数统计表年份人口数/亿1984 10.341989 11.061994 11.761999 12.522010 13.71教师总结：(再一次叙述函数的定义)像这样，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．如果当x ＝a 时，y ＝b ，那么b 叫做当自变量x ＝a 时的函数值，例如在问题(1)中当t ＝1时的函数值s ＝60，当t ＝2时的函数值s ＝120.在人口统计表中当x ＝1999时，函数值y ＝12.52亿．【例】教材第73页例1师：关于自变量的取值范围我们再来看两个题目．求下列函数中自变量x 的取值范围：y ＝2x 2－5；y ＝1x ＋4； y ＝x ＋3.生1：对于y ＝2x 2－5，x 没有任何限制，x 可取任意实数．生2：对于y ＝1x ＋4，(x ＋4)必须不等于0式子才有意义，因此x≠－4. 生3：对于y ＝x ＋3，由于二次根式的被开方数大于等于0，因此x≥－3.三、巩固练习下列问题中，哪些是自变量？哪些是自变量的函数？写出用自变量表示函数的式子．1．改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．【答案】S ＝x 2，x 是自变量，S 是因变量．2．秀水村的耕地面积为106 m 2，这个村人均占有耕地面积y 随这个村人数n 的变化而变化．【答案】y ＝106n，n 是自变量，y 是因变量．四、课堂小结本节课我们通过对问题的思考、讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，并通过两个活动，加深了对函数意义的理解，学会了确定函数关系式以及求自变量取值范围的方法，从而提高了运用函数知识解决实际问题的能力．本节课引入新课所设计的一些问题都来自于学生生活，函数的概念也是在教师引导下学生自主发现的，这样做能充分调动学生学习的积极性，同时能让学生更加热爱生活，增强学生利用所学知识解决实际问题的意识。