电路原理相量法共58页

t
t1
解 i(t ) = 100cos(103 t +θ )
0
t = 0 →50 = 100cosθ
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
θ = ±π 3 π θ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
称为旋转因子。 除以旋转因子时， 故把 ejθ 称为旋转因子。当A除以旋转因子时， 除以旋转因子时 相当于A顺时针旋转一个角度 模不变。 相当于 顺时针旋转一个角度θ ，模不变。
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
& + jI
0
& I
,
π
2
= cos
π
2
+ j sin
π 2
π
2
Re
8.2 正 弦 量
正弦量 正弦电流电路 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 电路中按正弦规律变化的电压或电流。 激励和响应均为正弦量的电路称 为正弦电路或交流电路。 为正弦电路或交流电路。 i T 波形： 波形：
1. 正弦量
瞬时值表达式： 瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ψ/ω
O
t
周期T 和频率f 周期 (period)和频率 (frequency) : 和频率
1 f = T
单位： ， 兹 单位：Hz，赫(兹)
周期T 重复变化一次所需的时间。 单位： ， 周期 ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒 频率f 每秒重复变化的次数。 频率 ：每秒重复变化的次数。

2U 2
e
j t
)
Re(
2U1
e
j t
2U
2
e
j
t
)
Re[
2(U1U 2) e
j t ]
相量关系为：
U
U U1 U2
结论： 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
8
相量法的基础
电路 原理
i1 i2= i3
I1 I2 I3
例3 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
u2(t) 4 2cos(314t 60 o) V
u 311.1cos(314t 67) V
试用相量表示i, u。
解
I 100 50A, U 220 67V
例2 已知I 60 30 A , f 50Hz , 试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 60 2cos(314t 30) A
6
相量法的基础
相量图
在复平面上用矢量表示相量的图。
u(t) 2Ucos( t θ) U U
j t
Re 2Ie dt Re 2
I j t e
j
dij
dt
IIi
+π
2
II idt j
i 2
11
相量法的基础
电路 原理
例4 用相量运算：
i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2I cos( t i)
u(t) Ri L di 1 idt dt C
| F |
a2 b2
b
或
θ
arctan( ) a
二. 复数运算
Im
b
F

周期电流、电压有效值(effective value)定义
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|

①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t

复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
孙惠英 shy@
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角

ω = 0(直流), X L = 0, 短路 ; ; ω → ∞, X L → ∞, 开路
ω
相量表达式: 相量表达式
& & & U = jX L I = jωLI ,
& = jB U = j − 1 U = 1 U & & & I L jωL ωL
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波形图及相量图： 波形图及相量图：
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电感元件VCR的相量形式 2. 电感元件 的相量形式
时域形式： 时域形式：
已知 i(t ) = 2I cos(ω t +ψi )
i(t) + uL(t) •
则
L
di(t ) uL (t ) = L = − 2ωL I sin(ω t +Ψ ) i dt π = 2ω L I cos(ω t +Ψ + ) i 2
uL O
pL i
2π π
& UL
电压超前电 流900
& I
ωt
Ψi
功率： 功率：
pL = uLi = ULm Im cos(ωt +Ψ ) sin(ω t +Ψ ) i i = UL I sin 2(ω t +Ψ ) i
瞬时功率以2ω交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 瞬时功率以 ω交变，有正有负，
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波形图及相量图： 波形图及相量图： pR uR i
& UR
URI
& I
Ψu=Ψi
同 相 位
O
ωt
瞬时功率： 瞬时功率：
pR = uRi = 2UR 2I cos2 (ω t +Ψ i )

I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
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感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為感納，單位為 S
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I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
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例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物 直流I R 理 意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
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均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ

量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；

三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A

法
θ2
F1 |F2|F1
F2
乘法的几何意义 如图所示
θ1 θ2
+1
8-2:
二：复数的运算
正 设两个复数: 弦 F1=a1+jb1=|F1|cosθ1+ j|F1|sinθ1= |F1|e jθ1
量 F2=a2+jb2=|F2|cosθ2+ j|F2|sinθ2= |F2|e jθ2
的 则:
相 (2) F=F1F2 =|F1|e jθ1|F2|e jθ2 =|F1||F2|e j(θ1+θ2)
弦 i1(t) Im1 cos(t i1) i1的相位
量 的
i2 (t) Im2 cos(t i2 ) i2的相位
基 i1和i2的相位差定义为:
本 概
(t i1) (t i2 ) i1 i2
念 可见：两个同频率正弦量的相位差就等于它
们的初相位之差。并且：
(2)、交流电气设备的额定电压、额定电流都
是有效值；交流电压表、电流表上标出的数
字也是有效值。
8-2:
一：复数
虚部:Im[F]=b +j
b
F
正 F=a+jb (代数形式)
θ
+1
弦 =|F|cosθ+ j|F|sinθ (三角形式)
a
量 的
其中: |F|=
a2 b2 (模)
实部:Re[F]=a
相 量 表
念 就是说正弦电流的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i(t)2
dt
8-1:
对正弦电流 i(t) Im cos(t i )其有效值
正 弦 量

8
相量法的基础(****) §8 - 3 相量法的基础
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义： 相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 例如： 正弦量 i = 220 2 cos(314t − 30 o )A
& = 220 e − j30o A 表示。 表示。 可用相量 I
& = Re[ 2 I e e jω t ] = Re[ 2 I e jω t ]
三、正弦量的运算： 正弦量的运算：
1、同频正弦量的代数和： 、同频正弦量的代数和： i1 = 2 I1 cos(ω t + ψ 1 )A， i2 = 2 I 2 cos(ω t + ψ 2 )A
& & & & i = i1 + i2 = Re[ 2 I1 e jω t ] + Re[ 2 I 2 e jω t ] = Re[ 2 ( I1 + I 2 )e jω t ]
2π ω = 2πf = T
额定值为有效值， 额定值为有效值， 耐压值为最大值。 耐压值为最大值。
热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 热效应上与一个周期内的平均效应相等的直流值。 ③有效值： 有效值： 周期电流的有效值： 周期电流的有效值： = I 正弦电流的有效值： 正弦电流的有效值：I =
& I =Ie
jψ i
& = ωI e jψ i +90o = ωI e jψ i ⋅e90o = jωI e jψ i = jωI & ∴Y
结论： 正弦量的微分为同频正弦量，对应的相量为原相量乘以 jω。 结论： 正弦量的微分为同频正弦量， 。 注意：不能说“ 的函数。 注意：不能说“相量的导数为相量乘 jω” 。 因为相量不是 t 的函数。 11

+j
设相量
相量 乘以 ，
将逆时针旋转 90， 得到
A
0ψ +1
相量 乘以
，
- A
将顺时针旋转 90，得到
应用举例
例： 6-5 在图示相量图中， 己知I1=10A， I2=5A, U=110V， f=50Hz，试分别写出 它们的 相量表达式和瞬时值表达式，并说明它们之间的相位关系。
解： 相量表达式为 I1 10 30 A I2 5 45 A
F2
(1) 加法运算：
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 +1
F1 F2 F2
(2) 减法运算：
作图方法：首尾相连
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形
(3) 乘法运算：
F1 F2 F1 F2 (1 2 )
试分别画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率及相位差。
解：u 10 2sin(314t 30)
i、u
10 2cos(314t 120)
ui
i、u波形图如图所示。其有效值为
I 20 14.142Α 2
0 π 2π ωt
U 10V
i、u 的频率为 f ω 314 50Hz
2π 2 3.14
u、i 的相位差为：
ψu ψi 120 60 180
应用举例
例： 6-3已知正弦电压 u 311cos(314t 60)V，试求：(1)角频率ω、频率f、周期T、
最大值Um和初相位Ψu ；(2)在t=0和t=0.001s时，电压的瞬时值；(3)用交流电压 表去测量电压时，电压表的读数应为多少？

def
1 T
∫
T
0
i 2 ( t )dt
有效值也称均 有效值也称均方根值 (root-mean-square，简记为 rms。) ， 。
电压有效值： 电压有效值：
U=
def
1 T
∫
T
0
u 2 ( t )dt
2011-5-28
信息科学与工程学院
6
2. 正弦电流、电压的有效值： 正弦电流、电压的有效值： 设 i(t)=Imsin(ω t + ψ )
•
U
ψu
ψi
I
•
2011-5-28
信息科学与工程学院
13
相量运算： 四. 相量运算： 1、 同频率正弦量相加减： 、 同频率正弦量相加减：
u1 ( t ) = 2 U 1 sin(ωt + ψ 1 ) = Im( 2 U 1 e jω t ) u2 ( t ) = 2 U 2 sin(ωt + ψ 2 ) = Im( 2 U 2 e jω t )
2011-5-28 信息科学与工程学院 15
例：u1 ( t ) = 6 2sin( 314t + 30 ) V
u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 60o ) V
ɺ U 1 = 6∠ 30o V ɺ U 2 = 4∠60o V
ɺ ɺ ɺ U = U 1 + U 2 = 6∠ 30 + 4∠ 60 = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464 = 7.196 + j 6.464 = 9.67∠ 41.9 o V
∴ u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 9.67 2sin( 314t + 41.9 o ) V

2019年11月27日星期三
19
1. 相量
正弦量的相量要追溯到欧拉公式。
若 q =wt + fi 则 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi) 根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行
分析求解，就能得到全部结果。
设： i = Im cos (wt+fi)
则： i = Re[Im. e j(wt+fi) ] = Re[Im e jfi e jwt ] = Re[ Im e jwt ]
21
注意：正弦量与相量的关系是一种数学变换 关系。不是相等的关系！
正弦量→相量，可认为是正变换；
相量→正弦量，可认为是反变换。 .
.
Im = Im fi
. Im Um
是 [Im e jfi e jwt ] 的复常数部分。
i = Imcos (wt+fi)
+j . Um .
fu Im
fi
+1
o
是 [Ime jfi e jwt] 的实部。
2019年11月27日星期三
2
+j
§8-1 复数
b
F
q
+1
o
a
| F | = a2 + b2
q = arctg
b a
(3)指数和极坐标形式
1. 复数的表示形式
根据欧拉公式
(1)代数形式 F=a+jb
e jq =cosq +jsinq
Re[F]=a， Im[F]=b
得指数形式：
(2) 三角形式
F = | F | e jq
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。

05 相量法的实验验证
CHAPTER
实验设备与器材
电源
提供稳定的交流电，模拟真实 电路中的电源。
电阻、电容和电感
用于构建各种电路，验证相量 法的理论。
示波器
用于观察和记录实验中的电压 和电流波形。
数据采集器和计算机
用于实时采集和处理实验数据 。
实验步骤与操作
3. 开启电源
2. 设置测量参数
设定示波器的采样率、电压范围 等参数，确保能够准确记录波形 。
音频处理
相量法用于分析声音信号的频率和相位，以进行 音频处理和编辑。
谢谢
THANKS
电阻元件的相量模型
总结词
描述电阻元件在相量法中的数学 模型和特性。
详细描述
电阻元件的相量模型是一个实数 ，表示其纯实部的阻抗。在相量 图中，电阻元件的相量位于实轴 上。
04 相量法的电路分析
CHAPTER
简单电路的相量分析
总结词：简单明了
详细描述：对于简单的电阻、电容、电感电路，可以使用相量法进行直观分析， 通过相量图和公式计算得出结果。
《电路原理相量法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 相量法简介 • 相量法的数学基础 • 电路元件的相量模型 • 相量法的电路分析 • 相量法的实验验证 • 相量法在日常生活中的应用
01 相量法简介
CHAPTER
相量法的定义
相量法是一种分析正弦稳态电路的方 法，通过引入相量来描述正弦量，将 时域中的正弦稳态电路转换为复平面 上的向量图，从而简化计算过程。
CHAPTER
复数及其运算
复数的定义
由实部和虚部组成的数，表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是 虚数单位。

1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式 0
i(t)=Imcos( t+y) 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
t
f 1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
15
正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
16
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
i1t 50 2 cos 2ft 15 70.7 cos 314 t 15
i2t 220 2 cos 2ft 60 311cos 314t 60 180
311cos 314t 120
35
四 . 用相量表示正弦量运算


I
u(t) 2U cos (t θ) U U θ

不同频率的相量不能画在一张向量图上。
相量图是把相量在复平面上表示出来的图形。
三、正弦量和相量关系
一个振幅相量乘以旋转因子ejt后得到的复指数函数
的实部即为该相量对应的正弦量。
2U e jt 2Ue j e jwt 2Ue jt +j
2
U1

311.1cos(314t

60
180 )