*4.4.6相量法分析RLC 串联电路
正弦交流电用相量式表示后，正弦交流电路的分析和计算都可以用复数来进行，这时
直流电路中应用的分析方法和基本定律就可以全部应用到正弦交流电路之中,使解题更简
便、更快捷。
1．基尔霍夫定律阐明了电路中各电流、电压的约束关系，对任何电路都适用。在正弦交流电路中，所有的电流、电压都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的有效值相量关系
都遵从基尔霍夫定律。
基尔霍夫节点电流定律（KCL ）指出：在任一时刻，电路中任一节点上电流的代数和为
零，即
∑=0
i
它对应的相量形式为
（4-52） ∑
=•0
I
上式即为KCL 的相量形式。它表明在正弦交流电路中，任一节点上各电流的相量的代数和等于零。
同理可得，KVL 应用于正弦交流电路在任何瞬时都成立，即 ∑=0
u 其对应的相量形式为
(4-53) 0=∑
•U
上式即为KVL 的相量形式。它表明：在正弦交流电路中，沿任一回路的各部分电压相量的代数和等于零。
2．用相量法分析RLC 串联电路
上节我们已学习了RLC 串联电路的分析和计算方法，本节，我们在建立电路相量模型的基础上，介绍用相量法分析和计算RLC 串联电路。
RLC 串联电路和它的相量模型及等效电路如图4-62所示。
图4-62RLC 串联电路及其相量模型
设正弦交流电压u = U Sin(ωt +φi )，其对应的电压相量为 / φu
电路中正弦电流为i= ISin(ωt+φi )，其对应的电流相量为
/φi 由三种基本元件的欧姆定律相量形式可知，电流在电阻R 上产生一个与电流同相位的
正弦电压：
U U =•22I I =••
•=I R U R
在电感L 上产生一个超前电流的电压：
在电容C 上产生一个滞后于电流的电压：
( 4-55） 抗的实部是电阻R ，虚部为电抗
Z 上不加
是二端网络端口的等效复阻抗，与直流电路中串联电阻的
效电相似。复阻抗也可以用极坐标形式来表示：
•••==I
jX I L j U L L ω•••−=−=1I jX I c j U C C
ω 由KVL 的相量形式可得
C
L R U U U U ++=••••• (4-54)
式（4-54）称为欧姆定律的相量形式。Z 称为复阻抗，即
•−+=−+=•••I X X j R I jX I jX I R C L )]([C L =I Z 可见，复阻抗是以复数jX R X X j R Z 形式出现的，单位是Ω。复阻C 串联电路中，Z C L +=−+=)(X=X L -X C 。复阻抗Z 虽然是复数，但它不代表正弦量，所以它不是相量，符号“·”。在RL 等阻的情况 （4-56） ；φ=φu -φi 是复阻抗的辐角，称为阻抗角，大小等于电压与电流的相位差。
在RLC 串联电路中，流过各元件的电流相等，一般以电流相量为参考相量作图。电阻压 、电抗电压
和总电压 构成电压三角形；电阻R 、电抗X 和阻抗|Z|构成阻抗角形，如图4-63（a）、（b）所示，它们是相似三角形。
上式中 称为复阻抗的模，简称阻抗，其大小等于电压有效值与电流有效值之
比 电三
图表-63RLC 串联电路相量图 阻抗三角形和功率三角形
电流相量 的共轭复数为 我们把二端网络的电压相量
与 电流相量的共轭复数 乘积 ，称为复功率，用 表示，单位是VA 。则 有 即 （4-57） φφφφ∠=−∠=∠==Z U U U Z i u u •φ∠•I I I i I U Z =RX U •X U ••U i φ∠I −=∠I −=∗∗•I I =i I φ∠u U U φ=•∗•i
I φ∠I U S ~jQ
P j S S UI I U I U S i u u +=+=∠=−∠=−∠⋅∠==∗•)sin (cos ~φφφφφφφφ
∠==∗S Q P I U +=•j S ~
由此可见，复功率的实部为二端网络中所有电阻元件所消耗的有功功率的总和，虚部Q 为二端网络中所有贮能元件的无功功率的总和。复功的模S 为视在功率，其大小 的辐角φ，称为功率因素，大小等于阻抗角、即电压路的有功功
源电压 ，电阻R=30Ω，电感（1）元件端电压U R 、U L 、U C ；（3）电路的有功功φ；（4）作出相量图。
率
S ~
为
；复功率 22Q P UI S +== 与电流的相位差。由P 、Q 和 S 组成的功率三角形与电压三角形和阻抗三角形都相似。 复功率的引入，可把功率的计算变复数的代数运算，可十分方便地求出电P 、无功功率S 和功率因素
。 φcos tV U 314sin 2220= [例4-22]在RLC 串联电路中，电L=445mH ，电容C=32μF 。试求：
电路的复阻抗Z ；（2）电路中的电流，各P 、无功功率Q ，视在功率S 和功率因素cos 率解：由 可知： =220/00 V ω=314rad/s
tV U 314sin 2220=•（1） X L =ωL=314×0.445≈140Ω
U Z=R+0Ω≈××==−100103231411X 6
c C ωj(X L －X C )=30+j(140－100)=30+j40=50/53.13Ω
（2） 由 ,
A U I 00
13.534.4220−∠===•• Z 013.5350∠0∠得
由 , A t i )13.53314sin(24.40−=V
I R U R 13.5313213.534.430−∠=−∠×==•00•
得 由 , V
t u R )13.53314sin(2132−=••0V
I jX U L L 00087.3661613.534.490140∠=−∠×∠==
得
由 ,
3） 由 V t u )87.36314sin(26160+=V I jX U C C 13.14344013.534.490100−∠=−∠×−∠=−=L 000••
得
（ ,
得 4） 相量图如图4-64所示。
V )13.1430−4
.7748.58013.5396813.534.40220~000j I U S ==∠=∠×∠==∗•t u C 314sin(2440= 6.013.53cos cos ,968var,4.774,8.5800=====φVA S Q W P （
