2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程3.2.3 Word版含答案

直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．．根据倾斜角求斜率例如图，菱形的∠＝°，求两条对角线与所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定与的倾斜角，再利用公式＝θ.解∵在菱形中，∠＝°，∴∠＝°，∠＝°.又菱形的对角线互相平分，∴∠＝°，∠＝°.∴∠＝°－∠＝°.∴＝°＝，＝°＝－.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．．利用两点斜率公式例直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴的负方向平移个单位，恰好与原直线重合，求直线的斜率.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点，经过相应的平移后得到一个新点，它也在直线上，则直线的斜率即为的斜率．解设(，)是直线上任意一点，按平移后，点的坐标移动到(－，＋)．∵点也在直线上，∴＝＝－.评注①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(，)沿轴正方向平移个单位，再沿轴正方向移动个单位，坐标由(，)变为(＋，＋)．②直线过两点(，)，(，)，若＝，≠，则倾斜角等于°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在．．利用待定系数法例如果直线沿轴负方向平移个单位，再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置，求直线的斜率．分析本题可以利用例的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果．解设直线的方程为＝＋.把直线左移个单位，上移个单位后直线方程为－＝(＋)＋，即＝＋＋＋.由条件，知＝＋＋＋与＝＋为同一条直线的方程．比较系数，得＝＋＋，解得＝－.评注本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．直线方程中的“缺陷”．斜截式中斜率“缺陷”。

3.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案 不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( ) A ．α＋40° B ．α－140° C ．140°－αD ．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140° 答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以 k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6. 反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 ．答案 92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°， 当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|＝3， 即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12) B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5) C ．(0,2)、(2,5)、(3,7) D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析 如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案 A解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于 ．答案 12解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0， 解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°； 当tan α<0时，90°<α<180°. ∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)． 三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)． (1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？ (2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？ 解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角． 四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( ) A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．解 考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2， 由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33， 故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

两条直线的交点坐标
两点间的距离
学习目标.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.掌握两点间距离公式并会应用．
知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系
思考直线上的点与其方程＋＋＝的解有什么样的关系？
答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．
思考已知两条直线与相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？
答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．
思考由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？
答案()若方程组无解，则∥；
()若方程组有且只有一个解，则与相交；
()若方程组有无数解，则与重合．
梳理()两直线的交点
几何元素及关系代数表示
点(，)
直线：＋＋＝
点在直线上＋＋＝
直线与的交点是
()两直线的位置关系
方程组的解一组无数组无解直线与的公共点的个数一个无数个零个
直线与的位置关系相交重合平行
知识点二两点间的距离
已知平面上两点(，)，(，)．
思考当≠，＝时，＝？
答案＝－.
思考当＝，≠时，＝？
答案＝－.
思考当≠，≠时，＝？请简单说明理由．
答案如图，在△中，＝＋，所以＝.
即两点(，)，(，)间的距离＝.。

3.2.3直线的一般式方程[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化．[知识链接]1．过点A (x 0，y 0)分别垂直于x 轴、y 轴的直线方程为：x ＝x 0，y ＝y 0.2．直线的点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0)．直线的两点式方程：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)．[预习导引]1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－CB .3．直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列．(3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.要点一直线的一般式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于()A.3B ．－5 C.95D ．－33答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确．(2)令y ＝0则x ＝－33.规律方法(1)一般式化为斜截式的步骤：①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤：方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B ＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ；②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ；③代入截距式方程x a ＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．跟踪演练1已知直线l 经过点A (－5,6)和点B (－4,8)，求直线l 的一般式方程和截距式方程，并画出图形．解因为直线l 经过点A (－5,6)，B (－4,8)，所以由两点式，得y －68－6＝x ＋5－4＋5，整理得2x －y ＋16＝0，化为截距式得x －8＋y16＝1，所以直线l 的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1.图形如图所示：要点二直线方程的应用例2已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解方法一l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二(1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9.∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.规律方法一般地，直线Ax ＋By ＋C ＝0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.这是经常采用的解题技巧．跟踪演练2已知A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求：(1)过点A 和直线l 平行的直线方程；(2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．解(1)将与直线l 平行的方程设为3x ＋4y ＋C 1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直线方程为4x－3y－2＝0.要点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案m≠－3解析若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.2＋5m＋6＝0，2＋3m＝0，得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．(2)解①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m2＋m－3m2－m＝1，2－m≠0，m2＋m－3＝－(m2－m)，≠0且m≠1，＝－1或m＝1.所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，所以4m－12＋m－3＝1，m2＋m－3≠0，m－1＝2m2＋m－3，≠1且m≠－32，＝－12或m＝2.所以m＝－12或m＝2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪演练3已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围．直线l k (x ＋2)＋(1－y )＝0，＋2＝0，－y ＝0，＝－2，＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要－1＋2k k ≤－2，＋2k ≥1，解之得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.故k 的取值范围为{k |k ≥0}.1．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为()A ．A ≠0B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0答案D解析方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过()A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限答案C解析由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，∵ab<0，∴直线的斜率k＝－ab>0，直线在y轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是() A．30°B．60°C．150°D．120°答案C解析直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.4．已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为()A．－6B．6C．－45D.4 5答案B解析由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.第二种方法可避免讨论，减小失误．一、基础达标1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为() A．－2B．2C．－3D．3答案D解析由已知得m2－4≠0，且2m2－5m＋2m2－4＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去)．2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0D．AB>0，C＝0答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断．3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A.3，1B.3，－1C．－3，1D．－3，－1答案D解析原方程化为x1a＋y1b＝1，∴1b＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－ab＝a，且3x－y－3＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°，∴a＝－3，故选D. 4．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于() A．－3B．3C.1 3D．－13答案D解析由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－1 3 .5．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．答案－4 15解析把(3,0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6.∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415.6．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案(－∞，－12)∪(0，＋∞)解析当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－aa ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．7．已知直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，求a 的值．解方法一当a ＝1时，l 1为x ＝3，l 2为y ＝25，故l 1⊥l 2.当a ＝－32时，l 1的方程为－32x ＋52y ＝3，l 2的方程为－52＝2，显然l 1，l 2不垂直．当a ≠1且a ≠－32时，由k 1·k 2＝－1，得a a －1·1－a 2a ＋3＝－1，解得a ＝－3.综上所述，当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2.方法二因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0.解得a ＝1或a ＝－3.故当a ＝1或a ＝－3时，l 1⊥l 2.二、能力提升8．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是()答案C解析将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.9．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．答案0或－1解析a ＝0时，l 1：x ＝2，l 2：y ＝3，显然l 1⊥l 2；a ＝1时，l 1：x ＋y －2＝0，l 2：x ＝－32，显然l 1和l 2不垂直；a ≠0，且a ≠1时，则k 1＝－1a ，k 2＝2a 1－a.由l 1⊥l 2得－1a ·2a1－a ＝－1，解得a ＝－1.故a 的值为0或－1.10．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．答案2x ＋3y ＋4＝0解析a 1＋3b 1＋4＝0，a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求．11．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.解(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.三、探究与创新12．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A (1，－4)，与直线2x ＋3y ＋5＝0平行；(2)过点A (1，－4)，与直线2x －3y ＋5＝0垂直．解(1)设所求直线方程为2x ＋3y ＋C 1＝0，则由题意得2×1＋3×(－4)＋C 1＝0，解得C 1＝10，所以所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)设所求直线方程为3x ＋2y ＋C 2＝0，则由题意得3×1＋2×(－4)＋C 2＝0，解得C 2＝5，所以所求直线方程为3x ＋2y ＋5＝0.13．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值．(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解方法一(1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.方法二(1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.3.3直线的交点坐标与距离公式。

直线的点斜式方程
学习目标.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一直线的点斜式方程
思考如图，直线经过点(，)，且斜率为，设点(，)是直线上不同于点的任意一点，那么，应满足什么关系？
答案由斜率公式得＝，
则，应满足－＝(－)．
思考经过点(，)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点斜率不存在的直线为＝.
梳理
点斜式
已知条件点(，)和斜率
图示
方程形式－＝(－)
适用条件斜率存在
知识点二直线的斜截式方程
思考已知直线的斜率为，且与轴的交点为(，)，得到的直线的方程是什么？答案将及点(，)代入直线方程的点斜式得：＝＋.
思考方程＝＋，表示的直线在轴上的截距是距离吗？可不可以为负数和零？答案轴上的截距不是距离，可以是负数和零．
思考对于直线：＝＋，：＝＋.
①∥⇔＝且≠，
②⊥⇔＝－.
梳理
斜截式
已知条件斜率和直线在轴上的截距
图示
方程式＝＋
适用条件斜率存在。

两条直线平行与垂直的判定学习目标.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．知识点一两条直线平行的判定思考如图，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？答案α与α之间的关系为α＝α；对于与之间的关系，当α＝α≠°时，＝，因为α＝α，所以α＝α，即＝.当α＝α＝°时，与不存在．思考对于两条不重合的直线与，若＝，是否一定有∥？为什么？答案一定有∥.因为＝⇒α＝α⇒α＝α⇒∥.梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α＝α≠°α＝α＝°对应关系∥⇔＝∥⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定思考如图，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为与，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？答案α＝°＋α，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．思考已知(°＋α)＝－，据此，如何推出思考中两直线的斜率、之间的关系？答案因为α＝°＋α，所以α＝(°＋α)，由于(°＋α)＝－，α＝－，即αα＝－，所以·＝－.思考如果两直线的斜率存在且满足·＝－，是否一定有⊥？如果⊥，一定有·＝－吗？为什么？答案当·＝－时，一定有⊥.不妨设<，即α为钝角，因为·＝－，则有αα＝－，所以α＝－＝(°＋α)，则α＝°＋α，所以⊥.当⊥时，不一定有·＝－，因为如果直线和分别平行于轴、轴，则不存在，所以·＝－不成立．梳理。

直线的点斜式方程学习目标 1.认识由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 .3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实责问题．知识点一直线的点斜式方程思虑 1如图，直线l 经过点 P0 (x0，y0)，且斜率为k，设点 P(x，y)是直线 l 上不同样于点P0的任意一点，那么x， y 应知足什么关系？y－ y0答案由斜率公式得k＝，那么 x，y 应知足 y－y0＝k(x－x0 )．思虑 2经过点 P0(x0， y0)的所有直线可否都能用点斜式方程来表示？答案斜率不存在的直线不能够用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理点斜式条件点 P(x0， y0)和斜率 k图示方程形式y－ y0＝ k(x－ x0)适用条件斜率存在知识点二直线的斜截式方程思虑 1直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为 (0， b)，获得的直线l 的方程是什么？答案将 k 及点 (0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝ kx＋ b.思虑 2方程 y＝ kx＋ b，表示的直线在 y 轴上的截距 b 是距离吗？ b 可不能够够为负数和零？答案y 轴上的截距 b 不是距离，能够是负数和零．思虑 3对于直线 l 1：y＝ k1x＋ b1， l 2：y＝ k2x＋ b2.①l1∥ l2 ? k1＝ k2且 b1≠ b2，② l1⊥ l2 ? k1k2＝－ 1.梳理斜截式条件斜率 k 和直线在y 轴上的截距b图示方程式适用条件y＝ kx＋ b 斜率存在种类一直线的点斜式方程例 1写出以下直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线y＝ 2x＋7 平行；(2)经过点 C(－ 1，－ 1)，且与 x 轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．解 (1) 由题意知，直线的斜率为 2，因此其点斜式方程为 y－ 5＝ 2(x－ 2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝ tan 0 ＝°0，因此直线的点斜式方程为y－(－1)＝ 0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，因此直线的方程为x＝ 1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－ y0＝ k(x－ x0)可表示过点 P(x0， y0)的所有直线，但直线 x＝ x0除外．追踪训练 1(1)经过点 (－ 3,1)且平行于 y 轴的直线方程是 ________．(2)直线 y＝ 2x＋ 1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转90°后获得直线 l ，那么直线 l 的点斜式方程是________．3(3)素来线 l1过点A(－ 1，－ 2)，其倾斜角等于直线l 2： y＝3 x 的倾斜角的 2 倍，那么 l 1的点斜式方程为 ________．答案 (1) x＝－ 3(2) y－ 3＝－1(x－ 1) 2(3)y＋ 2＝3(x＋ 1)剖析(1) ∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在，∴ 直线方程为x＝－ 3.1 (2)由题意知，直线l 与直线y＝ 2x＋1 垂直，那么直线l 的斜率为－ 2.由点斜式方程可得l 的方程为1y－ 3＝－ 2(x－ 1)．(3)∵直线l2的方程为y＝33x，设其倾斜角为α，那么tan α＝33，∴α＝ 30°，那么直线l1的倾斜角为2× 30°＝60°，那么 l 1的点斜式方程为y＋ 2＝ tan 60 (x°＋ 1)，即y＋ 2＝3(x＋ 1)．种类二直线的斜截式方程例 2 (1) 倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________ ．(2)直线 l 1的方程为 y＝－ 2x＋ 3，l 2的方程为 y＝ 4x－ 2，直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距同样，求直线 l 的方程．(1)答案y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3剖析∵直线的倾斜角是60°，∴ 其斜率k＝ tan 60＝°3，∵ 直线与y 轴的交点到原点的距离是3，∴ 直线在y 轴上的截距是3或－3，∴ 所求直线方程是y＝3x＋ 3 或 y＝3x－ 3.(2)解由斜截式方程知直线l 1的斜率k1＝－ 2，又由于 l ∥l 1，因此 k l＝－ 2，由题意知l2在 y 轴上的截距为－2，因此直线l 在 y 轴上的截距b＝－ 2，由斜截式可得直线l 的方程为y＝－ 2x－2.引申研究本例 (2) 中假设将“直线 l 与 l1平行且与 l2在 y 轴上的截距相等〞改为“直线 l 与 l 1垂直且与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数〞，求 l 的方程．解∵l 1⊥ l ，直线 l 1： y＝－ 2x＋ 3，∴ l 的斜率为1，2∵ l 与 l 2在 y 轴上的截距互为相反数，直线 l2： y＝ 4x－ 2，∴ l 在 y 轴上的截距为2，1∴直线 l 的方程为 y＝2x＋ 2.反思与感悟(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝ 0 时， y＝ b 表示与 x 轴平行 (或重合 )的直线．(2)截距不同样于平常生活中的距离，截距是一个点的横(纵 )坐标，是一个实数，能够是正数，也能够是负数和零，而距离是一个非负数．追踪训练2直线l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为63 的三角形，求l 的斜截式方程．1解设直线方程为y＝6x＋b，那么当 x＝ 0 时， y＝b；1y＝ 0 时， x＝－ 6b.由可得2·|b| |·－ 6b|＝ 3，即 6|b|2＝ 6，∴ b＝±1.故所求直线 l 的斜截式方程为y＝1x＋ 1 或 y＝1x－ 1. 66种类三平行与垂直的应用例 3(1) 当 a 为何值时，直线l1： y＝－ x＋ 2a与直线 l2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行？(2)当 a 为何值时，直线l1： y＝(2a－ 1)x＋ 3 与直线 l 2： y＝ 4x－ 3 垂直？解(1) 由题意可知，k l＝－ 1，k l2－ 2，＝a12a2－ 2＝－ 1，∵ l1∥ l2，∴解得 a＝－ 1.2a≠ 2，故当 a＝－ 1 时，直线l 1： y＝－ x＋ 2a 与直线 l 2：y＝ (a2－ 2)x＋ 2 平行．(2)由题意可知，k l1＝2a－1， k l2＝4，∵l1⊥l2，3∴ 4(2a－1) ＝－ 1，解得 a＝8.3故当 a＝时，直线l1：y＝ (2a－ 1)x＋ 3 与直线 l2：y＝ 4x－3 垂直．反思与感悟设直线 l1和 l 2的斜率 k1， k2都存在，其方程分别为l1： y＝ k1x＋ b1， l2： y＝ k2x ＋b2，那么： (1)l 1∥l 2? k1＝ k2，且 b1≠ b2；(2)k1＝ k2，且 b1＝ b2 ? 两条直线重合； (3) l1⊥ l2 ? k1·k2＝－ 1.追踪训练 3 直线2与直线1y＝ 3x＋5l： y＝(a － 2)x＋2a＋ 9y＝－ x＋ 1 垂直，且与直线2在 y 轴上的截距同样，求 a 的值．21解由题意知： (a － 2) ×(－ )＝－ 1，解得 a＝±2.经检验知a＝－ 2 吻合题意．1．方程 y＝ k(x－ 2)表示 ()A ．经过点 ( － 2,0)的所有直线B ．经过点 (2,0) 的所有直线C．经过点 (2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线D．经过点 (2,0) 且除去 x 轴的所有直线答案C剖析易考据直线经过点(2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．直线 y＝ kx＋ b 经过第一、三、四象限，那么有 ()A ． k>0， b>0B． k>0， b<0C．k<0 ， b>0D． k<0， b<0答案B剖析∵ 直线经过第一、三、四象限，∴ 图形以以下图，由图知，k>0， b<0.3．直线 l 过点 P(2,1) ，且直线 l 的斜率为直线x－4y＋ 3＝ 0 的斜率的2 倍，那么直线 l 的方程为 ________．答案x－ 2y＝ 0剖析由 x－ 4y＋3＝ 0，得 y＝1x＋3，其斜率为1，444故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点 P(2,1)，1因此直线l 的方程为y－ 1＝2(x－ 2)，即 x－ 2y＝0.4．直线l1： y＝ 2x＋3a， l2： y＝ (a2＋ 1)x＋ 3，假设 l 1∥ l 2，那么 a＝________.答案－ 1剖析由于 l1∥ l2，因此 a2＋ 1＝ 2， a2＝ 1，因此 a＝±1，又由于 l 1∥ l2，两直线l 1与 l 2不能够重合，那么 3a≠ 3，即 a≠ 1，故 a＝－ 1.5．直线l 的方程为y－ m＝ (m－ 1)(x＋ 1)，假设l 在y 轴上的截距为7，那么m＝ ______.答案4剖析直线 l 的方程可化为y＝(m－ 1)x＋ 2m－ 1，∴2m－ 1＝7，得 m＝ 4.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋ b 不但形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率， b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和 b 的值，直线的图象就如数家珍．因此，在解决直线的图象问题时，常经过把直线方程化为斜截式方程，利用k， b 的几何意义进行判断．课时作业一、选择题1．过点 (4，－ 2)，倾斜角为150 °的直线方程为 ()3A ． y－ 2＝－3 (x＋ 4)3B ．y－ (－ 2)＝－3 (x－ 4)3C．y－ (－ 2)＝3 (x－ 4)3D． y－ 2＝3 (x＋ 4)答案B剖析由题意知 k＝ tan 150 °＝－3，因此直线的点斜式方程为y－ (－ 2)＝－333 ( x－ 4)．22．经过点 (－ 1,1)，斜率是直线y＝2 x－ 2斜率的 2倍的直线方程是 ()A ． y＝－ 1B ．y＝ 1C．y－ 1＝ 2(x＋ 1)D． y－ 1＝ 2 2(x＋ 1)答案C2剖析由方程知直线的斜率为 2，∴ 所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝ 2(x＋ 1)．3．直线 y＝ ax－1的图象可能是 () a答案B剖析 依照斜截式方程知，斜率与直线在 y 轴上的截距正负相反．4．与直线 y ＝ 2x ＋ 1 垂直，且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为 ()1A ． y ＝ 2x ＋ 4B ． y ＝2x ＋ 41 C ．y ＝－ 2x ＋ 4 D ． y ＝－ 2x ＋ 4答案 Dy ＝ kx ＋ 4，又由 2k ＝－ 1，得 k ＝－ 1剖析由题意可设所求直线方程为2， ∴ 所求直线方程为1y ＝－ 2x ＋ 4.5．以下四个结论：y － 2①方程 k ＝与方程 y － 2＝ k(x ＋ 1)可表示同素来线；②直线 l 过点 P(x 1， y 1)，倾斜角为 90°，那么其方程为 x ＝x 1； ③直线 l 过点 P(x 1， y 1)，斜率为 0，那么其方程为 y ＝ y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为 () A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 答案 B剖析① 中方程：k ＝y － 2中 x ≠ －1；④ 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④x ＋ 1错误， ②③ 正确．6．直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝0，当 k 变化时，所有的直线恒过定点 () A ． (1,3) B ． (－ 1，－ 3) C ．(3,1) D ． (－3，－ 1)答案 C剖析直线 kx －y ＋ 1－ 3k ＝ 0 变形为 y －1＝ k(x － 3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1) ．7．假设原点在直线l 上的射影是P(－ 2,1)，那么直线l 的方程为()A ． x ＋ 2y ＝ 0B ． y －1＝－ 2(x ＋ 2)C ．y ＝ 2x ＋ 5D ． y ＝ 2x ＋ 3C剖析∵ 直线OP的斜率为－12，又OP ⊥ l ，∴ 直线l 的斜率为2，∴ 直线l 的点斜式方程为y－ 1＝ 2(x ＋2)，化简，得 y ＝ 2x ＋5，应选 C.二、填空题8．在 y 轴上的截距为－ 6，且与 y 轴订交成 30°角的直线方程是 ________．答案y ＝3x － 6 或y ＝－3x － 6剖析由于直线与y 轴订交成 30°角，因此直线的倾斜角为60°或 120°，因此直线的斜率为3或－3，又由于在 y 轴上的截距为－ 6，因此直线方程为 y ＝ 3x － 6 或 y ＝－ 3x － 6.9．直线 y ＝ (3－ 2k)x － 6 不经过第一象限，那么 k 的取值范围为 ________．答案[ 3，＋∞ ) 2y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，那么－6≤0， 剖析由题意知，需知足它在得3－ 2k ≤ 0，3k ≥ 2.10．与直线l ： y ＝ 3 x ＋ 1 平行，且在两坐标轴上截距之和为1 的直线 l 1 的方程为4________________ ． 答案y ＝ 3x － 34剖析依照题意知直线l 的斜率 k ＝ 3，433故直线 l 1 的斜率 k 1＝4，设直线 l 1 的方程为 y ＝4x ＋ b 1，那么令 y ＝ 0 得它在 x 轴上的截距 4a 1＝－b 1.3∵ a 1＋ b 1＝－ 4 1 b 1＝ 1， ∴ b 1＝－ 3.b 1＋ b 1＝－ 333 ∴ 直线 l 1 的方程为 y ＝ 4x － 3.11．斜率为 3，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线方程是 ________．4 答案y ＝3x ±34剖析设所求直线方程为y ＝ 3x ＋ b ，4令 y ＝0 得 x ＝－4b，34 ＋216b 2由题意得 |b|＋ － b b ＋ ＝ 12，3945|b|＋ 3|b|＋ 3|b|＝12， 4|b|＝ 12， ∴ b ＝ ±3，3∴ 所求直线方程为 y ＝ 4x ±3.三、解答题12．△ ABC 的三个极点坐标分别是A(－ 5,0)， B(3，－ 3)， C(0,2) ，求 BC 边上的高所在的直线方程．解 设 BC 边上的高为 AD ，那么 BC ⊥AD ，∴ k AD ·k BC ＝－ 1，即 2＋ 3＝－ 1，解得 k ＝3·k ADAD.0－ 35∴ BC 边上的高所在的直线方程为y － 0＝ 3(x ＋ 5)，5即 y ＝3x ＋ 3.513．直线 l 的斜率与直线 3x － 2y ＝ 6 的斜率相等， 且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1，求直线 l 的方程．解由题意知，直线 l 的斜率为 3，2 故设直线 l 的方程为 y ＝3x ＋ b ，22l 在 x 轴上的截距为－ 3b ，在 y 轴上的截距为 b ，因此－ 2b － b ＝ 1， b ＝－ 3，35因此直线 l 的方程为 y ＝3x －3.25四、研究与拓展14．将直线 y ＝ x ＋ 3－ 1 绕它上面一点 (1， 3)沿逆时针方向旋转 15°，所获得的直线方程是 ________． 答案 y ＝ 3x剖析由 y ＝ x ＋ 3－ 1 得直线的斜率为 1，倾斜角为 45°.∵ 沿逆时针方向旋转 15°后，倾斜角变成 60°，∴ 所求直线的斜率为3.又 ∵ 直线过点 (1， 3)，∴ 由直线的点斜式方程有 y － 3＝ 3(x － 1)，即 y ＝ 3x.15．直线 l 的方程为 3x ＋4y － 12＝ 0，求 l ′的方程，使得：(1)l′与 l 平行，且过点 (－ 1,3)；(2)l ′与 l 垂直，且 l ′与两坐标轴围成的三角形面积为 4.解 (1) ∵直线 l 的方程为 3x＋ 4y－ 12＝ 0，∴直线 l 的斜率为－3 4.∵l′与 l 平行，∴直线 l′的斜率为－3 . 43∴直线 l ′的方程为y－ 3＝－4(x＋ 1)，即 3x＋ 4y－ 9＝ 0.4(2)∵ l′⊥ l，∴ k l′＝3.设 l ′在 y 轴上的截距为 b，那么 l ′在 x 轴上的截距为－3 b，4由题意可知，1346，S＝ |b| |·－b|＝ 4，∴ b＝±3 24∴直线 l ′的方程为 y＝4x＋46或 y＝4x－4 6. 3333只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。