江苏省南通市通州区、启东市2021届高三第一学期第一次质量检测数学试卷

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷 高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 （ ） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则 （ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 211.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

2021届高三第一次质量检测数学一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=√3—x +√x 的定义域为 ( )A. (1,3]B. [1,3]C. (-∞,1)D. [3,+∞)2.已知a,b,c,d ∈R ，则下列命题正确的是 ( )A.若a>b,n ∈N +，则a n > b nB.若a>b,c<d ，则a-c>b-dC.若a>b,c>d ，则ac>bdD.若a>b ，则1a <1b3.集合M={yly=8x+1,x ∈N,y ∈N}的非空子集个数是 ( ) A.3 B. 7 C.15 D.314.已知a=(12)−13,b= log 132 ,c=(13)12，则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. b<c<a 5.函数f(x)= (x —1x )cosx 在其定义域上的图象大致是 ( )6.函数f(x)=lnx — 2x —1x 的单调减区间为 ( )A. (1,+∞)B. (0,1)C. (—12,1)D. (-∞,— 12)和(1, +∞) 7.某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃,那么t min后物体的温度θ(单位: ℃)满足: θ=θ0+(θ1-θ0)e−0.2t.若将物体放在15 ℃的空气中从62℃分别冷却到45 ℃和30℃所用时间为t1，t2，则t2−t1，的值为(取ln2=0.7，e=2.718... ) ( )A.-72B.-27C.72D,278.已知函数f(x)=lnx+ax ，∀m,n∈[1,2], m≠n时，都有f(m+1)−f(n−1)m−n>0，则实数a的取值范围是( )A. (一∞,1)B. (一∞,1]C. (一∞,2)D. (一∞,2]二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是( )A.“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件B.“M>N”是“1gM>1gN”的必要不充分条件C.命题“∀x∈R，x2+1<0”的否定是“∃x∈R，使得x2+1<0”D.设函数f(x)的导数为f"(x)，则“f"(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的充要条件10.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )A.ab −ba<0 B.2020a−b>1 C.2aba+b<√ab D.a b>b a11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，则A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称C.函数f(x)是周期函数且对于任意x∈R，f(x+2)= f(x)成立D.当x∈(0,1]时，f(x)=e x-1，则函数f(x)在区间[1 + 4k,3+ 4k](k∈Z)上单调递减(其中e为自然对数的底数)12.已知函数f(x)=x n+4x n(n为正整数)，则下列判断正确的是( )A.函数f(x)始终为奇函数B.当n为偶数时，函数f(x)的最小值为4C.当n为奇数时，函数f(x)的极小值为4D.当n=1时，函数y= f(x)的图象关于直线y=2x对称三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)=[1x,0<x<12(x−1),x≥1,若f(a)= f(a+1),则实数a=___________14.若2s+3t=st(s>0,t>0)，则s+t 的最小值是___________15.已知偶函数f(x) (x≠0) 的导函数为f"(x)，f(e)=e，当x>0时，xf'(x)一2f(x)>0，则使f(x-1)>1e(x−1)2成立的x的取值范围是______(其中e为自然对数的底数) 16.校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直) (如图)，现在一支架斜.杆长为16 dm，一端靠在墙上，另一端落在地面.上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为__________ dm; 现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30 dm，面积为30 dm2，则此时斜杆长度应设计为_________dm. (第一空2分，第二空3分. )四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在①A∩B=A,②A∩B≠∅,③B∈C R A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围;若不存在，说明理由.问题:已知集合A={x|x−ax+1<0,x∈R}，B= {x|log2(1-x)≤1,x∈R}，是否存在实数a，使得____________?注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. (本小题满分12分)已知函数f(x)= x2+ax+b，a,b∈R,关于x的不等式f(x) <0的解集为(2,3).(1)求a,b的值;(2)求函数y= f(f(x))一2的所有零点之积.19. (本小题满分12分)设函数f(x)=-13x3+(k-1)x2+(k2-2k-3)x，x∈R，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求函数f(x)在区间[—3,3] 上的最值;(2)若函数f(x)在区间(0,2)内不单调，求实数k的取值范围.22. 20. (本小题满分12分)经验表明，在室温25°C下，85 °C开水冷至35 °C到40°C (温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min测量一次开水温度(如下表)，经过xmin后的温度为Y°C.现给出以下2个函数模型:①y=kx°+25(k∈R,0<a<l,x≥0);②y=k a x+25(k∈R,0<a<1,x≥0),其中a为温度衰减比例，计算公式为: a= (i∈N ).开水温度变化(1)请选择-一个恰当的函数模型描述x,y之间的关系，并求出k;(2)求a值( a保留0.01);(3)在25 °C室温下，85 °C开水至少大约放置多长时间(单位: min,保留整数)才能冷至到对身体有益温度? ( 参考数据:10.9216.6≈4,10.9221.5≈6)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)lnx+x-1 .(1)求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;(2)已知x=x0是函数y=f(x)的极值点，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2, x1,x2∈R，求证:x1+x2> 2x0(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x−1+ax，g(x)= bx-blnx,其中e为自然对数的底数，a, b∈R.(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)当a=0时，f(x)≥xg(x)对x> 0恒成立，求实数b的取值范围.。

江苏省七市2021届高三第一次调研考试数学试题2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A ＝{}N 26x x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则AB ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5}2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2﹣iB ．﹣4C ．2D ．43．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt kx k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h ）．经测试发现，当t ＝23时，02kx k =，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69）A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：PA PB PC 0++=； 乙：PA (PA PB)PC (PA PB)⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ∥nD ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n 10．已知函数()sin(2)6f x x π=-，则A ．()f x 的最小正周期为πB ．将sin 2y x =的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到()f x 的图象 C ．()f x 在(6π-，3π)上单调递增 D ．点(512π-，0)是()f x 图象的一个对称中心 11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为2三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．在正项等比数列{}n a 中，若35727a a a =，则931log i i a =∑＝ ．14．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程： ． 15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样 的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．延长线段CA 至点A 1，使得AA 1＝a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a ＝4，b ＝3，c ＝5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 ．16．已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ， 第15题其面积为8．若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若∀n N *∈，24n S λλ<-+（λ为偶数），求λ的值．18．（本小题满分12分）在①()()b a c b a c ac +--+=；②cos(A ＋B)＝sin(A ﹣B)；③tanA B2+＝sinC 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝22， ， ？注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．19．（本小题满分12分）2019 年4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．20．（本小题满分12分）如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A′BF，使得平面A′BF ⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A′C的中点．（1）证明：OH∥平面A′EF；（2）求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．22．（本小题满分12分）已知点A ，B 在椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上，点A 在第一象限，O 为坐标原点，且OA⊥AB ．（1）若a b ＝1，直线OA 的方程为x ﹣3y ＝0，求直线OB 的斜率； （2）若△OAB 是等腰三角形（点O ，A ，B 按顺时针排列），求ba的最大值．参考答案1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．BC 10．ACD 11．ABD 12．BD13．9 14．2214y x -= 15 16 17．18．19．20．21．22．。

江苏省南通市2021届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()fx x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12 答案：C 解析：P ＝38，故选C ． 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc a a b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2xx kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)xg x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴cb ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1，故B正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+∴S △ABC12=ab sinC 12=（1=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；②时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24y x=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB ，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143x y+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y、()22,B x y，则以A为切点的切线方程为()1112y y x xy-=-，即()112y y x x=+，同理以B为切点的切线方程为()222y y x x=+，两条切线均过点()1,P t-，()()11222121ty xty x⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x tyx ty--=⎧⎨--=⎩，所以，点A、B的坐标满足直线220x ty--=的方程，所以，直线AB的方程为220x ty--=，在直线AB的方程中，令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PAB PCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】 ，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则12．如图，已知矩形的边长，.点， 分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为 ，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解． 所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点． 综上可得5112a -<<或1a >． 故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ； （2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ， 所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②， 由①②得20918160x x --=， 解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得422820k k +-=， 即()()2272410k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥， 由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式 试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-， 则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->， 所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立； 若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析： 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析： 延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -． 试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =， 所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解． 试题解析： 由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --， 所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值 试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==， 所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。

2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置． 3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则 ▲ ． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数()f x kx =α的图象经过点()4,2，则k +=α ▲4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭▲ ．5．若()()1233,2,log 1, 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f f 的值为 ▲ 6.已知,x y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a 的值为 ▲ .7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线C ：y ＝e x上一点，直线l ：x ＋2y ＋c ＝0经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 10. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ . 11. 如图所示的梯形ABCD 中，,2,234,//MD AM CD AD AB CD AB ====，，如果AD AB BM AC ⋅-=⋅则,3= ▲ .12. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[－π4，π4]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，－1＜x ≤1，1－|x －2|，1＜x ≤3．若函数y ＝f (x )－m |x|恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为 ▲ .14. 已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a _x001F_22，当x ∈[0，ln3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a（1）求AC AB ⋅的值；（2）求)23tan(B C-+π的值为.16.（本小题满分14分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为x 25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．19.（本小题满分16分）设1a >,函数()2(1)x f xx e a =+-.（1）证明()x f在(上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:1m ≤-20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111()N n n n S a λ*++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤．2021届江苏省启东中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案1.(),3-∞ 2.1x ∃>，23x < 3.324.20-5.36. 2 7．198．－4－ln2. 9．50231 11.23 12.{13，56，43}． 13.(16，8－215) 14.5215. .解:1）在ABC ∆中,B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 由余弦定理AC AB ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------7分2）π=+=++C B C B A 2 C B Ctan )23tan(=-+∴π 972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分 ==∴C C C cos sin tan 724 -------14分 16.解：（1）由22430x ax a -+<，得()()30x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<， 当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.q 为真时302x x -<-等价于()()230x x --<，得23x <<， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<. 若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<.（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒， 设{}3A x a x a =<<，{}23B x x =<<，则BA ；则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤.17.解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则),100(,50)]1(6[25N x x x x x x y ∈≤<--+-=， 即),100(,50202N x x x x y ∈≤<-+-=，由050202>-+-x x ，解得25102510+<<-x ， 而325102<-<，故从第三年开始运输累计收入超过总支出.（2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为)25(19)2519(1)]25([12xx x x x x y x y +-=-+-=-+=， 而925219)25(19=⋅-≤+-xx x x ，当且仅当5=x 时等号成立。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。

南通市直2022届高三第一学期期末质量监测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(1－i 1＋i)2022＝A ．1B ．iC ．－1D ．－i 2．已知集合A ＝{x |x －2x ＋1≥0}，B ＝{x |(12)x ≥1}，则( R A )∩B ＝A ．[0，2)B ．[－1，0)C ．(－1，0]D ．(－∞，－1) 3．若二项式(x －a x)6的展开式中常数项为160，则a 的值为 A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－44．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是A ．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B ．第二名的总分可能超过18分C ．第三名的总分共有3种情形D ．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名5．梅森素数是指形如2p －1的素数，其中p 也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为A ．1328B ．128C ．914D ．376．已知a ＝log 0.20.02，b ＝log 660，c ＝ln6，则A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 7．在正三棱锥P －ABC 中，D 是棱PC 上的点，且PD ＝2DC ．设PB ，PC 与平面ABD 所成的角分别为α，β，则sin α：sin β＝A ．16B ．12C ．22D ．238．函数y ＝[x ]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3．已知函数f (x )＝[log 2x ]，则f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (210＋1)＝A ．4097B ．4107C ．5119D ．5129二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,3] B ．(1,3]C ．(,1)-∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由()f x 解析式知：3010x x -≥⎧⎨->⎩，解之得：13x <≤，故选：B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题. 2．已知,,,a b c d R ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a N b n *>∈，则n n a b > B ．若,a b c d ><，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若a b >，则11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】A 选项，22(1)(2)-<-，故A 错误；B 选项，,a b c d ><有,a b c d >->-，即有a c b d ->-，故B 正确；C 选项，1,0,1,2a b c d ===-=-，ac bd <，故C 错误；D 选项，0a b >>时不等式不成立，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3．集合M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭的非空子集个数是（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】 由M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭知：{1,2,4,8}M = ∴非空子集个数为：42115-=， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4．已知131()2a -=，13log 2b =，121()3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可. 【详解】131()12a -=>，13log 20b =<，1210()13c <=<， ∴b c a <<， 故选：D 【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象. 【详解】()11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+-=--=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A D 、， 因为当02x π<<时，(1)0f =，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，故在区间()0,2π与x 轴有两个交点，故 排除B 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题. 6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(1,)+∞ 【答案】A【解析】求出导函数，由'()01f x x <⇒>，从而可得答案.【详解】因为1()ln 2f x x x x=--， 所以()()2'2221121121()2,0x x x x f x x x x x x -+-++=-+==> 由'()01f x x <⇒>， 所以函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为(1,)+∞，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()teθθθθ-=+-.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为(取207,2718ln e ==⋯．．)（ ）A ．72-B ．27-C ．72D ．27【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出1t ，2t ，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃， 则有10.24515(6215)t e-=+-，即10.23047t e -=，则10.24730t e=，解得1475ln 30t =； 若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到30℃， 则有20.23015(6215)t e -=+-，即20.21547t e -=，则20.24715t e=，解得2475ln 15t =； 因此2147305ln 5ln 2 3.51647t t ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型. 8．已知函数()ln ,,[1,2],af x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D【解析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11ag x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可. 【详解】()()1ln 11af x x x +=+++， 令()()()1ln 11ag x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件 【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a bb a-< B ．20201a b ->C ．2aba b<+D ．b a a b >【答案】BC【解析】对选项A ，利用做差法即可判断；对选项B ，利用指数函数的性质即可判断，对选项C ，利用基本不等式即可判断，对选项D ，利用赋值法即可判断. 【详解】对选项A ，22a b a b b a ab--=，因为0a b >>，所以22a b >，0ab >.所以0a bb a->，故A 错误. 对选项B ，因为a b >，所以0a b ->，即20201a b ->，故B 正确.对选项C ，因为0a b >>，所以(22aba b a b ab a b+>⇒+>⇒>+， 故C 正确.对选项D ，设4a =，3b =，满足0a b >>，此时3464b a ==，4381a b ==，不满足b a a b >，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11+f x f x -=，则（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立D ．当(0,1]x ∈时，()1x f x e =-，则函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减(其中e 为自然对数的底数) 【答案】ABD【解析】由函数()f x 是奇函数，可判断A ；由()()11+f x f x -=，可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可判断B ；因为()()(2)1+1+f x f x f x +=≠⎡⎤⎣⎦，可判断C ；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，由函数()f x 的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故A 正确； 因为函数()f x 满足()()11+f x f x -=，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()(2)1+1+11+()f x f x f x f x f x f x +==-=-=-≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()(4)1+3+13+(2)2+f x f x f x f x f x f x f x +==-=--=-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，故C 不正确；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，且()1xf x e =-在(0,1]x ∈上单调递增，因为函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在()10x ∈-，上单调递增， 又函数()f x 关于直线1x =对称，所以函数()f x 在()13x ∈，上单调递减，所以()()1>3f f ，又函数()f x 的周期为4，所以()()1+4>3+4f k f k ，所以函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减，故D 正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题. 12．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC【解析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D . 【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t =+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13．已知函数1,01()2(1),1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a =___________.【答案】2【解析】根据分段函数各分支上的性质有011a a <<<+，结合解析式得12a a=即可求a . 【详解】∵()f x 在不同分支上是单调的， ∴()(1)f a f a =+有011a a <<<+，即12a a=，解之得：2a =，（舍去2a =-），故答案为：2【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14．若()230,0s t st s t +=>>，则s t +的最小值是___________.【答案】5+【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求s t +的最小值. 【详解】 由题意知：231t s+=，∴2323()()555s t s t s t tst s +=++=++≥++，=时等号成立故答案为：5+【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，属于简单题.15．已知偶函数()f x (0)x ≠的导函数为()'f x ，()f e e =，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是___________.(其中e 为自然对数的底数)【答案】(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞；【解析】构造函数()()2f x g x x =，求导()()()''32xf x g xf x x -=，由已知分析出函数()g x 的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令()()2f x g x x =，则()()()()()'''43222f x xf x xf x f x x x g x x--==， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()'>0g x ，()g x 单调递增，又()f x 是偶函数，所以()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=，所以()g x 是偶函数， 而21(1)(1)ef x x ->-，所以()22(1)1(1)f e f x x e e ->=-，即()(1)g x g e ->，所以()(1)g x g e ->，又()g x 在()0+∞，单调递增，所以1x e ->，解得+1x e >或1x e <-， 故答案为：(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞. 【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题. 16．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？ 【答案】答案见解析【解析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a 的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为___________dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为___________dm.【答案】16162+13.【解析】（1）由勾股定理有22256x y+=，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为x、y，则：周长16l x y=++，而22256x y+=，又222()x y x y+≤+，∴2216162()16(12)l x y x y=++≤+=，（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，由题意有：22sin cos30sin cos sin2602a a aaaθθθθθ++=⎧⎪⎨==⎪⎩，∴21202sin cosaθθ=，而30sin cosaaθθ-+=，结合22sin cos1θθ+=，知：2230120()1a a a--=，解之得13a =，故答案为：16+13； 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18．已知函数2()f x x ax b =++，,R a b ∈，关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,3.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()()2y f f x =-的所有零点之积. 【答案】（1）5a =-，6b =；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程20x ax b ++=的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果； （2）令()()20ff x -=，由（1）得到2[()]5()62f x f x -+=，求出()1f x =或()4f x =，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为()2,3，即20x ax b ++<的解集为()2,3， 所以方程20x ax b ++=的解为2和3，所以24056a b a b ⎧->⎪-=⎨⎪=⎩，解得5a =-，6b =；（2）由（1）得2()56f x x x =-+，令()()20ff x -=，即2[()]5()62f x f x -+=，解得()1f x =或()4f x =，即2550x x -+=或2520x x -+=，2212(5)4550,(5)42170∆=--⨯=>∆=--⨯=>,方程2550x x -+=有两解，设为1x ，2x ，方程2520x x -+=有两解，设为3x ，4x ， 所以125x x =，342x x =，即函数()()2y f f x =-的所有零点之积为123410x x x x =. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型. 19．设函数()3221()(1)23,,3f x x k x k k x x R k R =+-+--∈∈. （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3﹣上的最值； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最大值为163，最小值为163-；（2）(3,1)(1,3)--. 【解析】（1）由已知得()()f x f x -=对x R ∀∈成立，根据恒等式的思想可求得1k =，得到31()43f x x x =-，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，由已知条件建立不等式可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=对x R ∀∈成立， 即()()32232211(1)23(1)2333x k x k k x x k x k k x -+----=------对R x ∀∈成立，即22(1)0k x -=对x R ∀∈成立，所以1k =，此时31()43f x x x =-， 2()4(2)(2),[3,3]f x x x x x '=-=+-∈-，令()0f x '=，则2x =-或2x =，函数()f x 的极大值为16(2)3f -=，极小值为16(2)3f =-，而(3)3f -=，(3)3f =-. 所以函数()f x 在区间[-3,3]上的最大值为163，最小值为163-；（2）因为()3221()(1)233f x x k x k k x =+-+--，所以()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，因为函数()f x 在区间(0,2)内不单调，所以032k <-<或012k <--<，解得13k <<或31k -<<-.所以实数k 的取值范围为(3,1)(1,3)--.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20．经验表明，在室温25C ︒下，85C ︒开水冷至35︒C 到40C ︒(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min 测量一次开水温度(如下表)，经过min x 后的温度为C y ︒.现给出以下2个函数模型：①25(,01,0)ay kx k R a x =+∈<<≥；②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑.开水温度变化（1）请选择一个恰当的函数模型描述,x y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置多长时间(单位：min ，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：16.6140.92≈，21.5160.92≈) 【答案】（1）应该选择②，k 的值为60；（2）0.92；（3）17min .【解析】（1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在35C ︒到40C ︒之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求x 范围即可； 【详解】（1）若选择①25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥，把0x =代入得2585y =≠矛盾；若选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，把0,85x y ==代入，得60k =. ∴选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中k 的值为60.（2）5112511545046434052556054504643i i i y a y =--⎛⎫==++++ ⎪-⎝⎭∑0.92≈ （3）由（1）（2）知，x 、y 之间的关系为600.9225xy =⨯+，∵85C ︒开水冷至35C ︒到40C ︒ (温水)饮用对身体更有益， ∴35600.922540x ≤⨯+≤，有110.9264x ≤≤，即1460.92x ≤≤， 又16.621.5114,60.920.92≈≈，得16.621.5x ≤≤，∴在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置17min 才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21．已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程即可；（2）利用导数研究()f x 有极值点01x =；结合已知条件构造()()(2),01h x f x f x x =--<<，应用导数研究其单调性及()()12f x f x =即可证122x x +>.【详解】（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2()ln 1x f x x x'-=++∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y = （2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->， 则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值.∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<， 令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证. 【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22．已知函数1()x f x e ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为1a e ≥-、1a e<-讨论函数的单调区间；（2）[方法1]由不等式构造含参函数1()ln x h x bx b x xe -=-+，结合导数研究其在0x >上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数b 并确定其范围；[方法2、3]利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数()g x 将问题转化为min ()b g x ≤，由()g x 的导数研究单调性得到最小值，进而求得b 的范围.【详解】（1）因为1()x f x e ax -=+，则1(),0x f x e a x '-=+>当1a e ≥-时，1()0f x e a -'>+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时令1()0x f x e a '-=+>，得1ln()x a >+-，所以()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，令1()0x f x e a '-=+<，得1ln()x a <+-，所以()f x 在(0,ln()1)a -+上单调递减，综上，当1a e ≥-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时，函数()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，在(0,ln()1)a -+上单调递减；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立12ln x e bx bx x -⇔≥-对0x >恒成立， 【方法1】1ln 0x bx e b x x--+≥对0 x >恒成立，令1()ln x h x bx b x x e -=-+则112(1)(1)(1)(),0x x b x x x b x h x x x x xe e --⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'=+=>， 设1()x b e x x ϕ-=-，令12(1)()0x x x xe ϕ--'==，得1x =， ∴当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1x b ϕϕ≥=-.①若10b -≥，即1b ≤，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10h x h b ≥=-≥成立. 即1b ≤时()()f x xg x ≥对0x >恒成立.②当10-<b ，即1b >时，(1)10h b =-<与()0h x ≥矛盾； 综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【方法2】1ln (ln )0x x b x x e ----≥对0x >恒成立，令()ln h x x x =-，由11()10x h x x x-'=-==得1x =，即当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h x h ≥=.令ln t x x =-，则1t ≥，则原问题等价于10t t e b --≥，对1t ≥恒成立，等价于1t b te -≤，对1t ≥恒成立，令1(),1t e p t t t -=≥，则12(1)()0t t p t e t--'=≥，所以()p t 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()1p t =，所以，实数b 的取值范围为(,1]-∞. 【方法3】令()ln x x x ϕ=-，由1()10x xϕ'=-=得1x =，函数()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，有()(1)1x ϕϕ≥=，所以ln 1x x -≥当且仅当1x =时取等号.令()1xp x e x =--，则由()10x p x e '=-=得0x =，函数()p x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号.因为ln 1x x -≥，所以原条件等价于11ln (ln )ln x x xe e b x x x x x---≤=--对0x >恒成立，令1ln ()ln x xe g x x x --=-，因为1ln 1ln 1ln x x x e x x x ----+=-≥，当且仅当ln 10x x --=时取等号，即1x =时取等号，所以1ln ()(1)1ln x xg x g x xe --=≥=-，所以min ()1g x =，即1b ≤.综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问--方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为min ()b g x ≤，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.。

通州区2021—2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021年1月第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA =A ．{}2,5B ．{}3,5C ．{}4,5D ．{}1,2,3,4,52．抛物线24y x =的准线方程是A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x = 3．已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <4. 已知数列{}n a 为等差数列，且11a =，59a =，则数列{}n a 的前5项和是A ．15B ．20C ．25D ．355．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A ．20B ．25C ．30D ．55 6．已知a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是A ．11a b >B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33a b > D ．22log log a b >7．已知角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos2α= A ．2425-B ．725-C ．725D ．16258．在ABC △中，2AB =，3AC =，且3AB AC ⋅=-AC AB-λ()∈R λ的最小值是 A ．32BCD． 9．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是（结果精确到0.1m ）（≈1.412.24≈2.65）A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．如图，等腰直角ABC △中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，π2PBA ∠=，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ；③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是A ． ①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．复数1ii-（i 是虚数单位）的虚部是 ． 12．在6()2x -的展开式中，3x 的系数是 ．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()4,0，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．14．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>，()0,πϕ∈．CBAPBA统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同． 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.15．已知函数()4e,0,e ,0.x x x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本题13分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.17．（本题13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为ABC S △，已知c =为已知，求a 与sin C 的值. 条件①：3b =；条件②：ABC S =△cos B =． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．FED 1C 1B 1A 1DC BA18．（本题14分）某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有职工对两款APP 是否使用相互独立.（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率、该企业女职工使用A 款APP 的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04﹪、女性占47.96﹪；B 款APP 的用户中男性占38.92﹪、女性占61.08﹪.试分析该企业职工使用A 款APP 的男、女用户占比情况和使用B 款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符. 19．（本题15分）已知函数()11f x x=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数.20．（本题15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且4AB =，椭圆C 离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.21．（本题15分）已知数列n A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）满足：①11a =；②12k ka a +=（1k =，2，⋅⋅⋅，1n -）.记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）直接写出()3S A 的所有可能值； （Ⅱ）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （Ⅲ）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.。