江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学试卷(含答案)

江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高一第一次调研考试数学学科试卷第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．命题“，”的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．对于实数，“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若a b ==则a b +的值为 ( )A. 1B. 5C. －1D. 2π－5 5. 已知集合}1|||{≤=x x A ，}0|{≤-=a x x B ，且∅≠B A ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．1-≤a B ．1≤a C ．1-≥a D ．1≥a 6．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则43x y +的最小值为( ) A ．245B ．275C ．5D ．68．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112{2,3,4}B =AB ={0,1}{1,5}{0,1,5}{0,1,2,3,4,5}[1,3]x ∀∈-2320x x -+≤0[1,3]x ∃∈-200320x x -+>[1,3]x ∀∉-2320x x -+>[1,3]x ∀∈-2320x x -+>0[1,3]x ∃∉-200320x x -+>,,a b c a b >22ac bc >{|33}A x x =-<<2{|280}B x x x *=∈--<N A B ={1,2}{0,1,2}{1,2,3}{1,0,1,2,3}-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．设全集，集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．集合的真子集个数为810．下列运算(化简)中正确的有（ ）A. ()11112623a a a ---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭B. ()()144aa a xy y x --⋅=C.(((12121113-⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦D.(221723333335252a b a b a b -⎛⎫⋅-÷=- ⎪⎝⎭11．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能成为的充分条件的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④12．下列说法正确的是( ) A ．1(0)x x x+>的最小值是2B2C2的最小值是2 D ．423x x--的最大值是2-第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若全集，集合，，则________.14．已知条件：，：，若 是的必要条件，则实数的取值范围是{0,1,2,3,4}U ={0,1,4}A ={0,1,3}B ={0,1}A B ={4}UB ={0,1,3,4}AB =A 22xt yt >xt yt >22x y >110x y<<x y >U =R 2{|4}M x x =>1{|0}3x N x x +=<-M N =p 11x -<<q x m >q p m________．15．已知a ，b ，c 为正数，则222a b cab bc ac++++的最小值为________．16. 若不等式0322<--x x 的解集为A ，不等式062<-+x x 的解集为B ，不等式02<++b ax x 的解集为B A ，则B A =__________，=+b a _______。

江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。

)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。

专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：〔1〕定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．〔2〕等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否认式的命题，一般运用等价法．〔3〕集合法：假设A⊆B ，那么A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件． 例1、【2021年高考天津】设a ∈R ，那么“1a >〞是“2a a >〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 应选A ．1-1、【2021年高考天津理数】设x ∈R ，那么“250x x -<〞是“|1|1x -<〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<〞是“|1|1x -<〞的必要而不充分条件. 应选B.1-2、〔2021届浙江省台州市温岭中学3月模拟〕,x y 是非零实数，那么“x y >〞是“11x y<〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <〞的既不充分也不必要条件,选D 1-3、〔2021·浙江省温州市新力量联盟高三上期末〕0a >且1a ≠，那么“()log 1a a b ->〞是“()10a b -⋅<〞成立的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 那么()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->〔比方：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义〕 那么()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 应选：A.1-4、〔2021届浙江省温丽联盟高三第一次联考〕m 为非零实数，那么“11m＜-〞是“1m ＞-〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-〞是“1m >-〞的充分不必要条件.应选A.例2、【2021年高考浙江】空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面〞是“l ，m ，n 两两相交〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面〞是“,,m n l 两两相交〞的必要不充分条件. 应选B.2-1、〔2021·浙江学军中学高三3月月考〕直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.那么“直线a 和直线b 相交〞是“平面α和平面β相交〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交〞时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交〞，那么 “直线a 和直线b 可以没有公共点〞，即必要性不成立. 应选A.例3、【2021年高考北京】,αβ∈R ，那么“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-〞是“sin sin αβ=〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时， 假设k 为偶数，那么()sin sin πsin k αββ=+=；假设k 为奇数，那么()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-〞是“sin sin αβ=〞的充要条件. 应选C ．3-1、〔2021届浙江省宁波市余姚中学高考模拟〕在ABC ∆中，“tan tan 1B C >〞是“ABC ∆为钝角三角形〞的〔 〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，假设ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，应选D.3-2、〔2021·浙江温州中学3月高考模拟〕“”αβ≠是”cos cos αβ≠的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ 〔逆否命题〕必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、〔江苏省南通市通州区2021-2021学年高三第一次调研抽测〕将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.那么“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的________条件，〔从“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞和“既不充分也不必要〞中选填一个〕 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数，所以“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的充分条件； 假设函数()g x 为偶函数，那么,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=〞不是“函数()g x 为偶函数〞的必要条件， 因此“34πϕ=〞是“函数()g x 为偶函数〞的充分不必要条件.故答案为：充分不必要例4、【2021年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，那么“AB 与AC 的夹角为锐角〞是“||||AB AC BC +>〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB | ⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角〞是“|AB +AC |>|BC |〞的充分必要条件. 应选C.4-1、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕设,a b 是非零向量，那么2a b =是a abb =成立的〔 〕A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 应选B例5、〔2021届浙江省嘉兴市高三5月模拟〕,R a b ∈，那么“1a =〞是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直，那么()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =〞可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞， 由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞不能推出“1a =〞，故“1a =〞是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直〞的充分不必要条件， 应选：A.5-1、〔2021·浙江温州中学高三3月月考〕“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行〞的充要条件是m =〔 〕 A ．-3 B ．2C ．-3或2D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 应选：A ．例6、〔2021届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初〕等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么“10a >〞是“990S >〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >〞是“990S >〞的充要条件. 应选:C.6-1、〔2021·浙江高三〕等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，那么“d ＝0〞是“2nnS S ∈Z 〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，假设d ＝0，那么{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z 〞，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 应选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：〔1〕把充分、不要条件转化为集合之间的关系；〔2〕根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。

2021届高三第一次诊断测试英语（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is George’s favorite sport?A. Tennis.B. Fishing.C. Swimming.【答案】B【解析】【原文】W: George is really the sporty type. He likes to play tennis, go swimming and climb mountains.M: But he likes nothing better than fishing.2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】How will the man pay the bill?A. By card.B. By WeChat.C. In cash.【答案】C【解析】【原文】W:How will you pay for the bill?M:Actually,I haven't taken the card with me today and I've also left my phone at home.So I'd better pay in cash.3. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What are the speakers probably talking about?A. The woman's major.B. The woman's job.C. The woman's parents.【答案】A【解析】【原文】M:Medicine?Why did you choose to study that?W:Well,I really wanted to study physical education,but my parents thought that it'd be difficult to find a job with that degree.4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What will the woman take back to the shop?A. The T-shirt.B. The shorts.C. The sweater.【答案】B【解析】【原文】W: Hi, Louis. I got you the last T-shirt in the sales, and some shorts to match. I bought this sweater too, but I’m not sure if you like it.M: The sweater looks great. I’d keep it. But the color of those shorts is bad. You should take them back.W: Yeah. I guess you’re right.5. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】Where is the butter now?A. In the bowl.B. On the shelf.C. In the fridge.【答案】B【解析】【原文】M: Mum, where shall I put the bowl?W: Here, give it to me. It goes on this shelf. Hey! W hat’s the butter doing on the shelf?M: Dad put it there. Now give it to me. I’ll put it in the fridge.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。

南通市直2022届高三第一学期期末质量监测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(1－i 1＋i)2022＝A ．1B ．iC ．－1D ．－i 2．已知集合A ＝{x |x －2x ＋1≥0}，B ＝{x |(12)x ≥1}，则( R A )∩B ＝A ．[0，2)B ．[－1，0)C ．(－1，0]D ．(－∞，－1) 3．若二项式(x －a x)6的展开式中常数项为160，则a 的值为 A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－44．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是A ．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B ．第二名的总分可能超过18分C ．第三名的总分共有3种情形D ．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名5．梅森素数是指形如2p －1的素数，其中p 也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为A ．1328B ．128C ．914D ．376．已知a ＝log 0.20.02，b ＝log 660，c ＝ln6，则A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 7．在正三棱锥P －ABC 中，D 是棱PC 上的点，且PD ＝2DC ．设PB ，PC 与平面ABD 所成的角分别为α，β，则sin α：sin β＝A ．16B ．12C ．22D ．238．函数y ＝[x ]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3．已知函数f (x )＝[log 2x ]，则f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (210＋1)＝A ．4097B ．4107C ．5119D ．5129二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,3] B ．(1,3]C ．(,1)-∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由()f x 解析式知：3010x x -≥⎧⎨->⎩，解之得：13x <≤，故选：B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题. 2．已知,,,a b c d R ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a N b n *>∈，则n n a b > B ．若,a b c d ><，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若a b >，则11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】A 选项，22(1)(2)-<-，故A 错误；B 选项，,a b c d ><有,a b c d >->-，即有a c b d ->-，故B 正确；C 选项，1,0,1,2a b c d ===-=-，ac bd <，故C 错误；D 选项，0a b >>时不等式不成立，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3．集合M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭的非空子集个数是（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】 由M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭知：{1,2,4,8}M = ∴非空子集个数为：42115-=， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4．已知131()2a -=，13log 2b =，121()3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可. 【详解】131()12a -=>，13log 20b =<，1210()13c <=<， ∴b c a <<， 故选：D 【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象. 【详解】()11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+-=--=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A D 、， 因为当02x π<<时，(1)0f =，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，故在区间()0,2π与x 轴有两个交点，故 排除B 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题. 6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(1,)+∞ 【答案】A【解析】求出导函数，由'()01f x x <⇒>，从而可得答案.【详解】因为1()ln 2f x x x x=--， 所以()()2'2221121121()2,0x x x x f x x x x x x -+-++=-+==> 由'()01f x x <⇒>， 所以函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为(1,)+∞，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()teθθθθ-=+-.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为(取207,2718ln e ==⋯．．)（ ）A ．72-B ．27-C ．72D ．27【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出1t ，2t ，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃， 则有10.24515(6215)t e-=+-，即10.23047t e -=，则10.24730t e=，解得1475ln 30t =； 若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到30℃， 则有20.23015(6215)t e -=+-，即20.21547t e -=，则20.24715t e=，解得2475ln 15t =； 因此2147305ln 5ln 2 3.51647t t ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型. 8．已知函数()ln ,,[1,2],af x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D【解析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11ag x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可. 【详解】()()1ln 11af x x x +=+++， 令()()()1ln 11ag x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件 【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a bb a-< B ．20201a b ->C ．2aba b<+D ．b a a b >【答案】BC【解析】对选项A ，利用做差法即可判断；对选项B ，利用指数函数的性质即可判断，对选项C ，利用基本不等式即可判断，对选项D ，利用赋值法即可判断. 【详解】对选项A ，22a b a b b a ab--=，因为0a b >>，所以22a b >，0ab >.所以0a bb a->，故A 错误. 对选项B ，因为a b >，所以0a b ->，即20201a b ->，故B 正确.对选项C ，因为0a b >>，所以(22aba b a b ab a b+>⇒+>⇒>+， 故C 正确.对选项D ，设4a =，3b =，满足0a b >>，此时3464b a ==，4381a b ==，不满足b a a b >，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11+f x f x -=，则（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立D ．当(0,1]x ∈时，()1x f x e =-，则函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减(其中e 为自然对数的底数) 【答案】ABD【解析】由函数()f x 是奇函数，可判断A ；由()()11+f x f x -=，可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可判断B ；因为()()(2)1+1+f x f x f x +=≠⎡⎤⎣⎦，可判断C ；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，由函数()f x 的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故A 正确； 因为函数()f x 满足()()11+f x f x -=，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()(2)1+1+11+()f x f x f x f x f x f x +==-=-=-≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()(4)1+3+13+(2)2+f x f x f x f x f x f x f x +==-=--=-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，故C 不正确；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，且()1xf x e =-在(0,1]x ∈上单调递增，因为函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在()10x ∈-，上单调递增， 又函数()f x 关于直线1x =对称，所以函数()f x 在()13x ∈，上单调递减，所以()()1>3f f ，又函数()f x 的周期为4，所以()()1+4>3+4f k f k ，所以函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减，故D 正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题. 12．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC【解析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D . 【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t =+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13．已知函数1,01()2(1),1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a =___________.【答案】2【解析】根据分段函数各分支上的性质有011a a <<<+，结合解析式得12a a=即可求a . 【详解】∵()f x 在不同分支上是单调的， ∴()(1)f a f a =+有011a a <<<+，即12a a=，解之得：2a =，（舍去2a =-），故答案为：2【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14．若()230,0s t st s t +=>>，则s t +的最小值是___________.【答案】5+【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求s t +的最小值. 【详解】 由题意知：231t s+=，∴2323()()555s t s t s t tst s +=++=++≥++，=时等号成立故答案为：5+【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，属于简单题.15．已知偶函数()f x (0)x ≠的导函数为()'f x ，()f e e =，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是___________.(其中e 为自然对数的底数)【答案】(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞；【解析】构造函数()()2f x g x x =，求导()()()''32xf x g xf x x -=，由已知分析出函数()g x 的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令()()2f x g x x =，则()()()()()'''43222f x xf x xf x f x x x g x x--==， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()'>0g x ，()g x 单调递增，又()f x 是偶函数，所以()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=，所以()g x 是偶函数， 而21(1)(1)ef x x ->-，所以()22(1)1(1)f e f x x e e ->=-，即()(1)g x g e ->，所以()(1)g x g e ->，又()g x 在()0+∞，单调递增，所以1x e ->，解得+1x e >或1x e <-， 故答案为：(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞. 【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题. 16．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？ 【答案】答案见解析【解析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a 的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为___________dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为___________dm.【答案】16162+13.【解析】（1）由勾股定理有22256x y+=，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为x、y，则：周长16l x y=++，而22256x y+=，又222()x y x y+≤+，∴2216162()16(12)l x y x y=++≤+=，（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，由题意有：22sin cos30sin cos sin2602a a aaaθθθθθ++=⎧⎪⎨==⎪⎩，∴21202sin cosaθθ=，而30sin cosaaθθ-+=，结合22sin cos1θθ+=，知：2230120()1a a a--=，解之得13a =，故答案为：16+13； 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18．已知函数2()f x x ax b =++，,R a b ∈，关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,3.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()()2y f f x =-的所有零点之积. 【答案】（1）5a =-，6b =；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程20x ax b ++=的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果； （2）令()()20ff x -=，由（1）得到2[()]5()62f x f x -+=，求出()1f x =或()4f x =，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为()2,3，即20x ax b ++<的解集为()2,3， 所以方程20x ax b ++=的解为2和3，所以24056a b a b ⎧->⎪-=⎨⎪=⎩，解得5a =-，6b =；（2）由（1）得2()56f x x x =-+，令()()20ff x -=，即2[()]5()62f x f x -+=，解得()1f x =或()4f x =，即2550x x -+=或2520x x -+=，2212(5)4550,(5)42170∆=--⨯=>∆=--⨯=>,方程2550x x -+=有两解，设为1x ，2x ，方程2520x x -+=有两解，设为3x ，4x ， 所以125x x =，342x x =，即函数()()2y f f x =-的所有零点之积为123410x x x x =. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型. 19．设函数()3221()(1)23,,3f x x k x k k x x R k R =+-+--∈∈. （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3﹣上的最值； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最大值为163，最小值为163-；（2）(3,1)(1,3)--. 【解析】（1）由已知得()()f x f x -=对x R ∀∈成立，根据恒等式的思想可求得1k =，得到31()43f x x x =-，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，由已知条件建立不等式可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=对x R ∀∈成立， 即()()32232211(1)23(1)2333x k x k k x x k x k k x -+----=------对R x ∀∈成立，即22(1)0k x -=对x R ∀∈成立，所以1k =，此时31()43f x x x =-， 2()4(2)(2),[3,3]f x x x x x '=-=+-∈-，令()0f x '=，则2x =-或2x =，函数()f x 的极大值为16(2)3f -=，极小值为16(2)3f =-，而(3)3f -=，(3)3f =-. 所以函数()f x 在区间[-3,3]上的最大值为163，最小值为163-；（2）因为()3221()(1)233f x x k x k k x =+-+--，所以()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，因为函数()f x 在区间(0,2)内不单调，所以032k <-<或012k <--<，解得13k <<或31k -<<-.所以实数k 的取值范围为(3,1)(1,3)--.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20．经验表明，在室温25C ︒下，85C ︒开水冷至35︒C 到40C ︒(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min 测量一次开水温度(如下表)，经过min x 后的温度为C y ︒.现给出以下2个函数模型：①25(,01,0)ay kx k R a x =+∈<<≥；②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑.开水温度变化（1）请选择一个恰当的函数模型描述,x y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置多长时间(单位：min ，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：16.6140.92≈，21.5160.92≈) 【答案】（1）应该选择②，k 的值为60；（2）0.92；（3）17min .【解析】（1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在35C ︒到40C ︒之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求x 范围即可； 【详解】（1）若选择①25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥，把0x =代入得2585y =≠矛盾；若选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，把0,85x y ==代入，得60k =. ∴选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中k 的值为60.（2）5112511545046434052556054504643i i i y a y =--⎛⎫==++++ ⎪-⎝⎭∑0.92≈ （3）由（1）（2）知，x 、y 之间的关系为600.9225xy =⨯+，∵85C ︒开水冷至35C ︒到40C ︒ (温水)饮用对身体更有益， ∴35600.922540x ≤⨯+≤，有110.9264x ≤≤，即1460.92x ≤≤， 又16.621.5114,60.920.92≈≈，得16.621.5x ≤≤，∴在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置17min 才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21．已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程即可；（2）利用导数研究()f x 有极值点01x =；结合已知条件构造()()(2),01h x f x f x x =--<<，应用导数研究其单调性及()()12f x f x =即可证122x x +>.【详解】（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2()ln 1x f x x x'-=++∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y = （2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->， 则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值.∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<， 令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证. 【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22．已知函数1()x f x e ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为1a e ≥-、1a e<-讨论函数的单调区间；（2）[方法1]由不等式构造含参函数1()ln x h x bx b x xe -=-+，结合导数研究其在0x >上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数b 并确定其范围；[方法2、3]利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数()g x 将问题转化为min ()b g x ≤，由()g x 的导数研究单调性得到最小值，进而求得b 的范围.【详解】（1）因为1()x f x e ax -=+，则1(),0x f x e a x '-=+>当1a e ≥-时，1()0f x e a -'>+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时令1()0x f x e a '-=+>，得1ln()x a >+-，所以()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，令1()0x f x e a '-=+<，得1ln()x a <+-，所以()f x 在(0,ln()1)a -+上单调递减，综上，当1a e ≥-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时，函数()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，在(0,ln()1)a -+上单调递减；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立12ln x e bx bx x -⇔≥-对0x >恒成立， 【方法1】1ln 0x bx e b x x--+≥对0 x >恒成立，令1()ln x h x bx b x x e -=-+则112(1)(1)(1)(),0x x b x x x b x h x x x x xe e --⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'=+=>， 设1()x b e x x ϕ-=-，令12(1)()0x x x xe ϕ--'==，得1x =， ∴当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1x b ϕϕ≥=-.①若10b -≥，即1b ≤，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10h x h b ≥=-≥成立. 即1b ≤时()()f x xg x ≥对0x >恒成立.②当10-<b ，即1b >时，(1)10h b =-<与()0h x ≥矛盾； 综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【方法2】1ln (ln )0x x b x x e ----≥对0x >恒成立，令()ln h x x x =-，由11()10x h x x x-'=-==得1x =，即当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h x h ≥=.令ln t x x =-，则1t ≥，则原问题等价于10t t e b --≥，对1t ≥恒成立，等价于1t b te -≤，对1t ≥恒成立，令1(),1t e p t t t -=≥，则12(1)()0t t p t e t--'=≥，所以()p t 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()1p t =，所以，实数b 的取值范围为(,1]-∞. 【方法3】令()ln x x x ϕ=-，由1()10x xϕ'=-=得1x =，函数()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，有()(1)1x ϕϕ≥=，所以ln 1x x -≥当且仅当1x =时取等号.令()1xp x e x =--，则由()10x p x e '=-=得0x =，函数()p x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号.因为ln 1x x -≥，所以原条件等价于11ln (ln )ln x x xe e b x x x x x---≤=--对0x >恒成立，令1ln ()ln x xe g x x x --=-，因为1ln 1ln 1ln x x x e x x x ----+=-≥，当且仅当ln 10x x --=时取等号，即1x =时取等号，所以1ln ()(1)1ln x xg x g x xe --=≥=-，所以min ()1g x =，即1b ≤.综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问--方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为min ()b g x ≤，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.。

通州区2021—2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021年1月第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA =A ．{}2,5B ．{}3,5C ．{}4,5D ．{}1,2,3,4,52．抛物线24y x =的准线方程是A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x = 3．已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <4. 已知数列{}n a 为等差数列，且11a =，59a =，则数列{}n a 的前5项和是A ．15B ．20C ．25D ．355．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A ．20B ．25C ．30D ．55 6．已知a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是A ．11a b >B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33a b > D ．22log log a b >7．已知角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos2α= A ．2425-B ．725-C ．725D ．16258．在ABC △中，2AB =，3AC =，且3AB AC ⋅=-AC AB-λ()∈R λ的最小值是 A ．32BCD． 9．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是（结果精确到0.1m ）（≈1.412.24≈2.65）A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．如图，等腰直角ABC △中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，π2PBA ∠=，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ；③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是A ． ①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．复数1ii-（i 是虚数单位）的虚部是 ． 12．在6()2x -的展开式中，3x 的系数是 ．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()4,0，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．14．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>，()0,πϕ∈．CBAPBA统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同． 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.15．已知函数()4e,0,e ,0.x x x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本题13分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.17．（本题13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为ABC S △，已知c =为已知，求a 与sin C 的值. 条件①：3b =；条件②：ABC S =△cos B =． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．FED 1C 1B 1A 1DC BA18．（本题14分）某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有职工对两款APP 是否使用相互独立.（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率、该企业女职工使用A 款APP 的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04﹪、女性占47.96﹪；B 款APP 的用户中男性占38.92﹪、女性占61.08﹪.试分析该企业职工使用A 款APP 的男、女用户占比情况和使用B 款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符. 19．（本题15分）已知函数()11f x x=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数.20．（本题15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且4AB =，椭圆C 离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.21．（本题15分）已知数列n A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）满足：①11a =；②12k ka a +=（1k =，2，⋅⋅⋅，1n -）.记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）直接写出()3S A 的所有可能值； （Ⅱ）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （Ⅲ）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.。

江苏省南通市通州区2021届高三数学第一次调研抽测试题（含解析）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =，则A B =________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =， 所以{1,2}AB =.故答案为{1,2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，化简3(1)i +，即可得出结果. 【详解】因为32(1)((1)2(1)221)=++=+-++=i i i i i i ，所以其实部为2-. 故答案为2-【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3.某校共有学生2400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______. 【答案】25 【解析】【分析】先由题意确定抽样比，进而可得出结果.【详解】由题意，从全校2400人中抽取100人，抽样比为1001 240024=，又高三年级共有600人，所以高三年级应抽取的学生人数为1 6002524⨯=.故答案为25【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可，属于常考题型.4.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】3 4【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有344C=种，甲被选中事件数有233C=,所以甲被选中的概率为34.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为-2，则输入的x的值为_______.【答案】14【解析】 【分析】先由程序框图，得到该算法流程图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值，由输出的y 值为2-，分类讨论，即可求出结果.【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值；因为输出的y 的值为2-，当1x ≤时，有2log 2x =-，所以14x =，满足题意； 当1x >时，有222x -=-，所以0x =，不满足题意； 所以输入的x 的值为14. 故答案为14【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型.6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.3【解析】 【分析】根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c，解得a =【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.7.不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求解即可【详解】由题23122xx --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)【点睛】本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.【答案】2【解析】 【分析】先由题意得到(,0)A a ，(0,)B b ，再由椭圆过点(2,1)P ，得到22411a b +=，由基本不等式，确定AB =取最小值时的条件，进而可得出结果.【详解】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b +=，所以3===≥=AB ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为2===c e a .故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可，属于常考题型.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若21a =，3680a a +=，则5S 的值为______. 【答案】112- 【解析】 【分析】先设等比数列的公比为q ，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得212536111880a a q a a a q a q ==⎧⎨+=+=⎩，即13180a q q =⎧⎨+=⎩， 解得1122a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，因此5151(132)(1)1121122-+-===--+a q S q .故答案为112-【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10.将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】先由题意得到sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x x ，显然()g x 为偶函数，所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.11.已知函数()()xf x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.【答案】3e 【解析】 【分析】先对函数求导，得到(0)'=+f a b ，再由曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.【详解】因为()()xf x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，则(0)'=+f a b ，又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，当0x =时，1y =，即(0)1f =，所以有31a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.因此()(21)xf x x e =+，所以(1)3f e =.故答案为3e【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.12.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.【答案】9 【解析】 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝422,xy ≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件13. 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______. 【答案】()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 先令2()3=-g x x x，作出其图像，根据函数2()3f x x x k =--有两个零点，得到2()3=-g x x x 的图像与直线y k =有两个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】令2223,0()33,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，因为函数2()3f x x x k =--有两个零点， 所以2()3=-g x xx 的图像与直线y k =有两个交点，作出函数2()3=-g x x x 的图像如下：因为min 39()24⎛⎫=±=- ⎪⎝⎭g x g ， 由图像可得：min 9()4==-k g x 或0k >. 故答案为()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查由函数零点的个数求参数的问题，通常需要将函数零点个数转化为两函数图像交点个数来处理，结合函数图像即可求解，属于常考题型.14.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ的长度的最大值为 _______. 【答案】6 【解析】 【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由QC =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.【详解】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA =所以(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ， 因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点， 设(,,0)Q x y ，因为QC =，=整理得：22(2)(2)4-++=x y即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点，又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离，因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r 表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径.） 故答案为6【点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连结OE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立. 【详解】（1）连结OE .因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ， 所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=， 所以PA ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量sin ,16a A π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向量()1,cos b A =，且12a b ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值. 【答案】（1）3A π=（2）7【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据角的范围可确定3A π=；（2）利用余弦定理求得a ，根据正弦定理求得sin B ；由三角形大边对大角知道B 为锐角，从而求得cos B ；利用二倍角公式求得结果. 【详解】（1）1sin cos sin cos cos sin cos cos 66622a b A A A A A A Aπππ⎛⎫⋅=+-=+-=- ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,A π∈ 5π,666ππA ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ 66A ππ∴-=，解得：3A π=（2）由余弦定理得：2222cos 162540cos213a b c bc A π=+-=+-=a ∴=由正弦定理sin sin ab A B=得：4sin sin b A B a ⨯===b c < B C ∴< B ∴为锐角cos 7B ∴==sin 22sin cos 2777B B B ∴==⨯=【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常考题型.17.设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2128n n S a =+，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为q （0q >），前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.【答案】（1）42n a n =-（2）12-+或24-+. 【解析】 【分析】 （1）先由()2128n n S a =+求出12a =，再由2n 时，1n n n a S S -=-，求出通项，进而可求出结果；（2）先由（1）得到22n S n =，根据33m S S T =⋅，得到22912q q m=++，结合题意求出1m =或2m =，分情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）当1n =时，()2111128a S a ==+，则12a =. 当2n 时，()()2211112288n n n n n a S S a a --=-=+-+， 即2211440n n n n a a a a -----=， 所以()()1140n n n n a a a a --+--=.因为数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ->+， 所以14n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以24(1)42n a n n =+-=-.（2）由（1）知，22n S n =.由33m S S T =⋅，得()22182222m q q =⋅++，所以22912q q m=++. 因为0q >，所以2912m >，即322m <， 由于*m ∈N ，所以1m =或2m =. 当1m =时，2702q q +-=，解得1152q -±=（舍负）， 当2m =时，2108q q +-=，解得264q -±=（舍负）， 所以q 的值为115-+或26-+. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.【答案】（1）2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当点P 选在距离A 地(623)km -处时，铺设的总费用最少，详见解析.【解析】 【分析】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ，根据题中条件，得到BD AD =，3BD DC =，由BPN θ∠=，得到6sin BP θ=，6tan DP θ=，66tan AP θ=-，进而得到66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭，化简即可得出结果； （2）根据（1）的结果，先设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对()θh 求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值.【详解】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D .在Rt BAD ∆中，4BAD π∠=，则BD AD =.在Rt BCD ∆中，tan 3BDBCD DC∠==， 所以3BD DC =. 因为4AC =，所以143BD BD -=， 所以6BD =.由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6tan DP θ=.由6AD BD ==，得66tan AP θ=-. 所以66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭， 即2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ'---==. 令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.列表如下：所以当3πθ=时，2cos ()sin h θθθ-=所以()f θ取得最小值12+6AP =-答：当点P 选在距离A 地(6-处时，铺设的总费用最少，且为12+. 【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.19.在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上。

专题06 从句（定语从句、状语从句、名词性从句）（新模拟和新高考）I.语法填空1. 【江苏省苏锡常镇四市2021届高三教学情况调查（一）】Like any natural force, gravity pull can work with us or not. The gravity pull of our habits may currently be keeping us from going 64．we want to go.【答案】where (wherever)【解析】考查状语从句。

句意：现在，习惯的引力可能正在阻止我们去想去的地方。

分析句子可知，动词going为不及物动词，后接地点状语从句，表示“（无论）……地方”。

故填where (wherever)。

2.【2021届江苏省南京市高三学情调研】"He then handed Todd a large bag, inside 43．were clean shirts and shorts, plus a brand-new pair of New Balance sneakers. Todd was blown away."I was very happy." he toldWATN-TV."Shocked, completely."【答案】which【解析】考查定语从句关系词。

句意：然后他递给托德一个大袋子，里面有干净的衬衫和短裤，还有一双崭新的纽巴伦运动鞋。

分析句子结构，“inside ____ were clean shirts and shorts…”是定语从句，先行词a large bag，指物，因此用“介词inside+which”引导定语从句。

故填which。

3.【2021届江苏省第一次百校联考】Why do squirrels spend their time in trees and chipmunks(花栗鼠) prefer the ground? The answer has a lot to do with 36．chipmunks and squirrels spend their winters.【答案】how【解析】考查名词性从句连接词。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为 ． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为 ． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为 ． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为 ． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为 ．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为 ．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝ ． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为 ． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝ ．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为 ．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥平面SCD ； （2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈． （1）若a b =，求t 的值； （2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >） 设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。