人造卫星运行特点和双星 三星模型

双星及三星模型收集于网络，如有侵权请联系管理员删除《双星及三星模型》导学提纲设计人：班级： 组名： 姓名：【学习目标】 1. 理解双星模型特点2. 掌握双星及三星运动的向心力来源 【导读流程】一．双星模型条件及特点 ：例1 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A.T k n 23B.T k n 3C.T kn 2D.T k n例2（2015•天门模拟）经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1：m 2=3：2．则可知（ ）A. m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3：2B. m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3：2C. m 1做圆周运动的半径为 2/5LD. m 2做圆周运动的半径为 2/5L二． 三星模型的向心力来源 ：例3. （2015安微理综）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。

若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：（1）A 星体所受合力大小F A ；（2）B 星体所受合力大小F B ；（3）C 星体的轨道半径R C ；（4）三星体做圆周运动的周期T。

第10讲：卫星变轨、双星模型一.考向认知 ㈠命题特点与趋势从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题．㈡要点熟记 卫星变轨问题 1.变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.如图所示.(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B .(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同.(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 1<T 2<T 3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，则E 1<E 2<E 3.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图7所示.(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L ④两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1. ⑤双星的运动周期T ＝2πL 3G m1＋m 2⑥双星的总质量 m 1＋m 2＝4π2L3T G二.典例精析 考向1:卫星变轨例1.2018年6月2日，我国成功发射高分六号遥感卫星．如图所示是卫星发射过程中的某一次变轨示意图，卫星从椭圆轨道Ⅰ上的远地点Q 改变速度进入地球同步轨道Ⅱ，P 点为椭圆轨道的近地点．下列说法正确的是( )A ．卫星在椭圆轨道Ⅰ上运行时，在P 点的速度等于在Q 点的速度B ．卫星在椭圆轨道Ⅰ上的Q 点的速度小于在同步轨道Ⅱ上的Q 点的速度C ．卫星在椭圆轨道Ⅰ上的Q 点加速度大于在同步轨道Ⅱ上的Q 点的加速度D ．卫星耗尽燃料后，在微小阻力的作用下，机械能减小，轨道半径变小，动能变小 例2.(多选)(2018河南六市联考)2018年我国即将发射“嫦娥四号”登月探测器，将首次造访月球背面，首次实现对地对月中继通信，若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km 的环月圆轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图所示。

[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度.一、人造卫星的变轨问题 1.变轨问题概述 (1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G Mmr 2＝m v 2r .(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁.②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁. 2.实例分析 (1)飞船对接问题 飞船与在轨空间站对接先使飞船位于较低轨道上，然后让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道飞船完成对接(如图1甲所示).注意：若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙.图1(2)同步卫星的发射、变轨问题如图2所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P 点点火加速，使其满足GMmr 2＝m v 2r ，进入同步圆轨道3做圆周运动.图2例1 (2019·通许县实验中学期末)如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是( )图3A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期C.卫星在轨道1上经过Q 点时的速率大于它在轨道2上经过Q 点时的速率D.卫星在轨道2上经过P 点时的加速度小于它在轨道3上经过P 点时的加速度 答案 B解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： G Mmr 2＝m v 2r，v ＝GMr因为r 1＜r 3，所以v 1＞v 3，A 项错误， 由开普勒第三定律知T 3>T 2，B 项正确；在Q 点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速. 所以在Q 点v 2Q >v 1Q ，C 项错误.在同一点P ，由GMmr 2＝ma n 知，卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度，D 项错误.判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断.2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小.3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析.4.判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝F m ＝G Mr2判断.针对训练 (多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图4所示.关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )图4A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 点的速度B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案 ABC解析 在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点，由开普勒第二定律可得经过A 的速度小于经过B 的速度，A 正确；从轨道Ⅰ的A 点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度，B 正确；根据开普勒第三定律R 3T 2＝k ，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C 正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A 点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D 错误. 二、双星或多星问题 1.双星模型(1)如图5所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”.图5(2)双星问题的特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同. ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1＋r 2＝L .(3)双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2.2.多星系统在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”、“四星”等多星系统，在多星系统中： (1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同.(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的.例2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6所示.已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，引力常量为G ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .图6答案 Lm 2m 1＋m 2 Lm 1m 1＋m 24π2L 3G (m 1＋m 2)解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m 1：Gm 1m 2L 2＝m 1r 1ω2， 对m 2：Gm 1m 2L 2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L ， 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2.由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得周期T ＝4π2L 3G (m 1＋m 2).例3 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，如图7所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L ，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G ，下列说法正确的是( )图7A.每颗星做圆周运动的角速度为GmL 3B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关C.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍D.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍 答案 C解析 任意两星间的万有引力F ＝G m 2L2，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系和牛顿第二定律可得：3F ＝ma ＝mω2L3，联立可得ω＝3Gm L 3，a ＝ω2L3＝3Gm L 2，选项A 、B 错误；由周期公式可得T ＝2πω＝2πL 33Gm，L 和m 都变为原来的2倍，则周期T ′＝2T ，选项C 正确；由速度公式可得v ＝ωL 3＝GmL，L 和m 都变为原来的2倍，则线速度v ′＝v ，选项D 错误.1.(卫星变轨问题)(2019·启东中学高一下学期期中)2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8所示，地球在椭圆轨道 Ⅰ 上运行到远日点B 变轨，进入圆形轨道 Ⅱ.在圆形轨道 Ⅱ 上运行到B 点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚.对于该过程，下列说法正确的是( )图8A.沿轨道 Ⅰ 运动至B 点时，需向前喷气减速才能进入轨道 ⅡB.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C.沿轨道 Ⅰ 运行时，在A 点的加速度小于在B 点的加速度D.在轨道 Ⅰ 上由A 点运行到B 点的过程，速度逐渐增大 答案 B2.(卫星、飞船的对接问题)如图9所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于2016年10月19日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图9A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；同时，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误.3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A.轨道半径约为卡戎的17B.角速度大小约为卡戎的17C.线速度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍 答案 A解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B 错误.双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D 错误.根据m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 1r 2＝m 2m 1＝17，A 正确.根据v ＝ωr ，得v 1v 2＝r 1r 2＝17，C 错误. 4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为T ，两星到共同圆心的距离分别为R 1和R 2，引力常量为G ，那么下列说法正确的是( )A.这两颗恒星的质量必定相等B.这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT 2C.这两颗恒星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1D.其中必有一颗恒星的质量为4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2答案 BCD解析 两星有共同的周期T ，由牛顿第二定律得G m 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 14π2T 2R 1＝m 24π2T 2R 2，所以两星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故C 正确；由上式可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT 2，故A 错误，B 、D 正确.。

人造卫星运行特点和双星三星模型人造卫星是人类制造并放置在地球或其他天体轨道上的设备，用于进行通讯、导航、科学研究等任务。

它具有以下几个运行特点：1.轨道类型多样：人造卫星的轨道类型多样，包括地球静止轨道（GEO）、中地球轨道（MEO）、低地球轨道（LEO）等。

不同轨道类型的卫星可以实现不同的功能和应用。

例如，GEO卫星主要用于通信，MEO卫星主要用于导航，LEO卫星则多用于科学研究等。

2.高速运行：人造卫星在轨道上的速度非常快。

以低地球轨道为例，其高度约为300至2000公里，每小时速度可达数万公里。

这是因为卫星需要保持足够的离心力以与地球的引力保持平衡，确保始终在轨道上稳定飞行。

3.周期性运动：人造卫星的运行是周期性的，在轨道上按照一定的周期绕行。

轨道的周期与轨道高度有关，例如地球静止轨道的周期约为24小时，低地球轨道的周期约为90分钟。

卫星在轨道上按照规律定时落地点上。

4.数据传输：人造卫星用于通信、导航等任务，需要与地面或其他卫星进行数据传输。

卫星通过天线接收地面或其他卫星发来的信号，并通过自身的设备进行处理和转发，使数据能够在不同地点之间传播。

双星三星模型是指两颗或三颗卫星组成的系统。

它们通过特殊的轨道排布和通信协议，实现更加灵活、高效的数据传输和通信服务。

双星三星模型的优势包括：1.提高通信覆盖范围：通过在不同轨道上部署多颗卫星，可以实现更广泛的通信覆盖范围。

这非常适用于偏远地区、海洋、航空航天等领域，可以保持持续不间断的通信服务。

2.改善网络质量和容量：双星三星模型可以提供更高的网络质量和更大的容量。

多颗卫星之间可以进行数据传输和通信的互联互通，共享网络负载，提供更快的响应速度和更强的带宽，满足大规模的通信需求。

3.提高系统可靠性和容错能力：双星三星模型通过多颗卫星的冗余设计，提高了系统的可靠性和容错能力。

当其中一颗卫星发生故障或失效时，其他卫星可以接替其任务，保证通信服务的连续性和稳定性。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图1所示。

图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。

2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。

双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。

双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有21ωω=①rr r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1211221rw m rm m = ③G 1221221rw m r m m =④联立以上各式解得2121m m r m r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214rGT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。

《双星及三星模型》导学提纲设计人： 审核人：高三物理备课组班级： 组名： 姓名：【学习目标】1. 理解双星模型特点2. 掌握双星及三星运动的向心力来源 【导读流程】一．双星模型条件及特点 ：例1 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A.T k n 23B.T k n 3C.T kn 2D.T k n例2（2015•天门模拟）经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1：m 2=3：2．则可知（ ）A. m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3：2B. m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3：2C. m 1做圆周运动的半径为 2/5LD. m 2做圆周运动的半径为 2/5L二． 三星模型的向心力来源 ：例3. （2015安微理综）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。

若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：（1）A 星体所受合力大小F A ； （2）B 星体所受合力大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T 。

“双星”及“三星”问题宇宙中，因天体间的相互作用而呈现出诸如双星、三星及多星系统组成的自然天文现象，天体之间相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

现代实验观测表明，在天体运动中，将两颗彼此距离较近而绕同一点做圆周运动的行星称为双星模型。

而三星等多星模型则是指彼此相互依存和相互作用且围绕某一点作圆周运动的行星。

多星系统问题的求解方法仍然是建立万有引力方程和牛顿第二定律方程。

由于多星间的引力和运动情况特殊性，从而产生了很多有趣的天文现象。

一、“双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

4.“双星”问题的分析思路质量m1，m2；球心间距离L；轨道半径 r1 ，r2；周期T1，T2 ；角速度ω1，ω2 线速度V1 V2；周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2角速度相同：（参考同轴转动问题）ω1 =ω2向心力相同：Fn1=Fn2（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）轨道半径之比与双星质量之比相反：（由向心力相同推导）r1：r2=m2：m1m1ω2r1=m2ω2r2m1r1=m2r2 r1:r2=m2:m1线速度之比与质量比相反：（由半径之比推导） V1:V2=m2:m1V1=ωr1 V2=ωr2双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为（）A. B.C. D.设两颗恒星的质量分别为和，两颗恒星的运行半径分别为和，两恒星之间的距离，两恒星运动时都是由它们之间的万有引力提供向心力，即，，联立得两恒星的质量和，故，当质量和变为原来的k倍，距离变为原来倍时，两恒星做圆周运动的周期，B项正确.二、“三星”问题有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。

素养提升课(四) 天体运动的热点问题题型一 卫星运行规律及特点1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。

(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。

2．地球同步卫星的特点3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近做圆周运动而又不考虑中心天体自转影响时，万有引力等于重力，即G MmR2＝mg ，整理得GM ＝gR 2，称为黄金代换。

(g 表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2r T2＝ma n 。

(2021·1月浙江选考)嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。

为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。

已知引力常量G ＝6.67×1011N·m 2/kg 2，地球质量m 1＝6.0×1024kg ，月球质量m 2＝7.3×1022kg ，月地距离r 1＝3.8×105km ，月球半径r 2＝1.7×103km 。

当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200 km 处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为( )A ．16 m/sB ．1.1×102m/s C ．1.6×103m/s D ．1.4×104m/s[答案] C(2020·7月浙江选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。

若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为3∶ 2C ．角速度大小之比为22∶3 3D ．向心加速度大小之比为9∶4[解析] 火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A 错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ，解得a ＝GM r 2，v ＝GMr，ω＝GMr 3，所以火星与地球线速度大小之比为2∶3，B 错误；角速度大小之比为22∶33，C 正确；向心加速度大小之比为4∶9，D 错误。

卫星变轨问题双星模型类型一卫星的变轨和对接问题知识回望1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.例1(2019·北京市通州区期中)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球E运行，在A点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A ．在轨道1上，卫星在A 点的速度等于在B 点的速度 B ．卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期C ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小相同D ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小不同 【答案】B【解析】在轨道1上，卫星由A 点运动到B 点，万有引力做正功，动能变大，速度变大，故选项A 错误；由开普勒第三定律知卫星在轨道2上的周期较大，故选项B 正确；卫星由轨道1变到轨道2，需要在A 点加速，即在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小不相同，故选项C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝G Mr 2，可知在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小相等，故选项D 错误． 故选B 。

双星模型三星模型四星模型The manuscript was revised on the evening of 2021双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。

双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有 G1211221r w m rm m =③G 1221221r w m r m m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知 Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示). (2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=×105 m/s ，运行周期T=π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=×10-11 N·m 2/kg 2，m s =×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。

突破20 卫星变轨问题与双星模型问题一、卫星变轨问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。

2．三轨道运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点速率分别为v A 、v B 。

在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。

(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点时的加速度也相同。

(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律T2r3＝k 可知T 1＜T 2＜T 3。

【典例1】神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室在太空中自动交会对接的成功，显示了我国航天科技力量的雄厚。

已知对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下列说法正确的是( )A．为实现对接，飞船与天宫二号运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低D．进入天宫二号的航天员处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用【答案】BC【典例2】如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )A．飞行器在B点处点火后，动能增加B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度RD．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π g0【答案】D【跟踪短训】1．(多选) 同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200～300 km 的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P 点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km 处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q 时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。

双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。

双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。

双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。

【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。

双星系统在银河系中很普遍。

利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。

（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。

根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m rm m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。

天体运动与人造卫星运动的两个基本模型随着我国探月卫星的成功发射以及天宫一号与神舟八号的成功对接，显示了我国在空间探索方面的强大实力，极大地增强了中国人的民族自豪感。

天体及卫星的运动问题也是高考的热点问题，从近几年全国各地的高考试题来看，透彻理解两个基本模型是关键。

一、环绕模型环绕模型的基本思路是：①把天体、卫星的环绕运动近似看做是匀速圆周运动；②万有引力提供天体、卫星做圆周运动的向心力：G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ＝m(2πf)2r= ma 其中r 指圆周运动的轨道半径；③在地球表面，若不考虑地球自转，万有引力等于重力：由G Mm R 2＝mg 可得天体质量M ＝R 2g G，这往往是题目中重要的隐含条件。

1、围绕一个中心天体运转例一：用m 表示同步卫星的质量，h 表示它离地面的高度，表示地球半径，表示地球表面处的重力加速度，表示地球的自转的角速度，则通讯卫星受到地球对它的万有引力大小为A. B. C.D.分析：依万有引力定律公式，其中，所以，选项A 错误，选项B 正确。

因为万有引力提供向心力，所以，故选项D 正确。

同步卫星距地心为，则有，其中，解得，又，代入整理得，选项C 正确。

点评：解答此类问题应牢记两条线索：一是围绕星球旋转的物体，根据万有引力等于向心力列方程；二是静止在星球表面上的物体，根据万有引力等于重力列方程。

2、围绕两个中心天体运转例二：已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。

若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A ．6小时B ．12小时C ．24小时D ．36小时分析：设地球或行星的半径为r ，根据万有引力提供向心力，对地球或行星的同步卫星有G Mm r ＋2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2(r ＋h)，M ＝ρ43πr 3，得T ＝ 3πr ＋3G ρr 3，有T 1T 2＝ r 1＋h 13r 32ρ2r 2＋h 23r 31ρ1，其中T 1＝24 h ，h 1＝6r 1，h 2＝2.5r 2，ρ1＝2ρ2，代入上式得T 2＝12 h点评：两个天体的同步卫星运动遵循相同的规律，解决这类问题的关键是写出待求量的通式，然后根据比例关系求解。

专题强化八卫星变轨问题双星模型目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题．题型一卫星的变轨和对接问题1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示．图1(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.例1(多选)(八省联考·湖北·9)嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举．如图2所示为嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ.下列说法正确的是()图2A ．在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q 点的机械能比在P 点的机械能大B ．嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长C ．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q 点的向心加速度大小相等D ．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q 点的速度大小相等答案 BC解析 在同一轨道上运动时，嫦娥五号的机械能守恒，A 错误；由开普勒第三定律a 3T 2＝k 可知，半长轴越大，周期越长，故嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，B 正确；由牛顿第二定律GMm r 2＝ma 可知a ＝GM r2，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C 正确；由Ⅱ轨道在Q 点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见v ⅡQ >v ⅢQ ，D 错误．例2 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )A ．飞船加速直到追上空间站，完成对接B ．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C ．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接D ．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接答案 B解析 飞船在轨道上正常运行时，有G Mm r 2＝m v 2r .当飞船直接加速时，所需向心力m v 2r增大，则G Mm r 2<m v 2r，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A 错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B 正确，D 错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C 错误．1．(卫星变轨)(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.2018年12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图3所示，下列说法正确的是( )图3A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样答案 B解析嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道，需点火减速，所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道，嫦娥四号需点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律r3T2＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．2．(飞船回收)2017年9月，我国控制“天舟一号”飞船离轨，使它进入大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区．在受控坠落前，“天舟一号”在距离地面380 km的圆轨道上飞行，则下列说法中正确的是()A．在轨运行时，“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度B．在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度C．受控坠落时，应通过“反推”实现制动离轨D．“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行速度不断减小答案 C解析第一宇宙速度是环绕地球圆轨道运行的卫星的最大速度，则“天舟一号”在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；在轨运行时，“天舟一号”的运行半径小于同步卫星的运行半径，根据ω＝GMr3可知，其角速度大于同步卫星的角速度，选项B错误；受控坠落时要先减速，让前部的推进器点火，通过“反推”实现制动离轨，选项C正确；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行半径逐渐减小，地球的引力做正功，则运行速度不断增大，选项D错误．题型二双星或多星模型1．双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图4所示．图4(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.2．多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图5(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．双星模型例3 (多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G， 质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1④v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求解．多星模型例4 (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图6所示．三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R .忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力常量为G ，则( )图6A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为Gm RB ．每颗星做圆周运动的角速度为3Gm R 3C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案 ABC解析 每颗星受到的合力为F ＝2G m 2R 2sin 60°＝3G m 2R 2，轨道半径为r ＝33R ，由向心力公式F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝3Gm R2，v ＝Gm R ，ω＝3Gm R 3，T ＝2πR 33Gm，显然加速度a 与m 有关，故A 、B 、C 正确，D 错误．3.(双星模型)(多选)(2020·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M 1和M 2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是( )图7A ．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M 2∶M 1B ．双黑洞的轨道半径之比r 1∶r 2＝M 2∶M 1C ．双黑洞的线速度大小之比v 1∶v 2＝M 1∶M 2D ．双黑洞的向心加速度大小之比a 1∶a 2＝M 2∶M 1答案 BD解析 双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A 错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L ，由M 1ω2r 1＝M 2ω2r 2，得r 1∶r 2＝M 2∶M 1，故B 正确；由v ＝ωr 得双黑洞的线速度大小之比为v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝M 2∶M 1，故C 错误；由a ＝ω2r 得双黑洞的向心加速度大小之比为a 1∶a 2＝r 1∶r 2＝M 2∶M 1，D 正确．4.(四星模型)(多选)(2021·安徽模拟)如图8为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m 的星体位于边长为L 的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G .下列说法中正确的是( )图8A ．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B ．每个星体匀速圆周运动的角速度均为(4＋2)Gm 2L 3C ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D ．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变 答案 BD解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A 错误；由2G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝(12＋2)G m 2L 2＝mω2·22L ，可知ω＝(4＋2)Gm 2L 3，故B 正确；由(12＋2)G m 2L 2＝ma 可知，若边长L 和星体质量m 均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的12，故C 错误；由(12＋2)G m 2L 2＝m v 222L 可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v ＝(4＋2)Gm 4L，所以若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D 正确．。