一阶常系数线性微分方程组解法举例

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。

本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。

关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。

广东省佛山市高三毕业班语文综合测试（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2020高三上·芜湖期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。

宜兴手工紫砂陶技艺是指分布于江苏省宜兴市丁蜀镇的一种民间传统制陶技艺，迄今已有600年以上的历史。

紫砂陶制作技艺，每件紫砂陶制品都是以特产于宜兴的一种具有特殊团粒结构和双重气孔结构的紫砂泥料为原料，采用百种以上的自制工具，经过的步骤制作完成的。

用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。

紫砂器内外一般均不施釉，以纯天然质地和肌理为美。

作为上品茶具，（），因此紫砂器与中国传统的茶文化相契合，成为茶文化的重要组成部分。

代表性的陶刻是由诗文、金石、书画等艺术与紫砂制作技艺完美结合而成的，符合中华民族传统的审美标准，尤与文人阶层的审美情趣相___________。

但由于紫砂制陶的原料是一种稀缺矿产资源，目前已被过度开发和滥用，加之紫砂制陶精品越来越少，如何这一优秀的民间手工技艺已成为一个亟待解决的课题。

（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 独一无二繁冗融合传承B . 独占鳌头繁冗契合继承C . 独占鳌头繁复融合继承D . 独一无二繁复契合传承（2）下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A . 有良好的透气性，能使人尽享茶之色香味B . 其良好的透气性能使人尽享茶之色香味C . 其透气性良好，茶之色香味能使人尽享D . 它能使人尽享茶之色香味，透气性良好（3）文中画线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 宜兴紫砂陶用这种技艺制作的成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。

B . 用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。

一阶微分方程解法微分方程（differential equation）是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。

它是描述物理、化学、生物、经济等问题的数学模型，对于研究和解决实际问题有着重要意义。

一阶微分方程（first-order differential equation）是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程。

本文将介绍一些一阶微分方程的常见解法方法。

一、可分离变量法（Separable Variables Method）可分离变量法是一种常见的解一阶微分方程的方法。

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的分离变量方程，我们可以将其重新排列为g(y)dy =f(x)dx，并进行变量分离的积分求解。

具体步骤如下：1. 将方程重新排列为g(y)dy = f(x)dx；2. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx；3. 对左右两边的积分进行求解，得到方程的通解。

二、线性微分方程的求解方法线性微分方程（linear differential equation）是指未知函数和其导数出现在线性组合中的微分方程。

对于形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性微分方程，我们可以利用常数变易法（Method of Variation of Parameters）解得其通解。

具体步骤如下：1. 假设原方程的通解为y = u(x)y1(x)，其中y1(x)为已知的齐次方程的解，u(x)为待定的函数；2. 根据常数变易法，将u(x)代入方程中，并得到u(x)满足的方程；3. 求解u(x)满足的方程，并代入通解表达式中，得到方程的通解。

三、恰当微分方程的求解方法恰当微分方程（exact differential equation）是指存在一个原函数F(x, y)，使得该方程可以写成dF(x, y) = 0的形式。

对于形如M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0的一阶微分方程，我们可以利用其恰当条件进行求解。

一元微分方程与常系数线性微分方程一元微分方程是微积分中的重要概念，常系数线性微分方程是其中的一种特殊形式。

本文将首先介绍一元微分方程的基本概念和解法，然后详细讨论常系数线性微分方程及其解析解。

最后，我们将通过一个实际例子来说明这些概念和解法的应用。

一、一元微分方程的基本概念和解法一元微分方程是指只含有一个未知函数及其导数的方程。

一元微分方程的一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。

解一元微分方程的方法有很多种，常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性常微分方程法等。

这里我们主要介绍一阶线性常微分方程。

二、常系数线性微分方程及其解析解常系数线性微分方程是指未知函数的导数与其本身线性相关的微分方程。

一般形式可以表示为：dy/dx + ay = b其中，a和b是常数。

为了求解这类微分方程，我们先研究其特征方程，特征方程的解对应着齐次线性微分方程的通解。

对于一阶常系数线性微分方程，特征方程的解即为根式：r + a = 0解出r之后，我们可以根据特征方程的解，得到齐次线性微分方程的通解：y = C * e^(-ax)其中，C是常数。

接下来，我们需要找到特解来得到原方程的通解。

特解的形式可以根据b的类型来确定，若b为常数，则特解形式为：y = K将特解和齐次线性微分方程的通解相加，即可得到原方程的通解。

三、实例应用假设某地天气预报显示，某一天的温度随时间的变化满足一元微分方程：dy/dt + y = 10其中，y表示温度，t表示时间。

这是一个一阶常系数线性微分方程。

我们可以先求解其特征方程：r + 1 = 0解得r = -1。

根据齐次线性微分方程的通解公式，我们得到：y = C * e^(-t)接下来，我们需要找到特解。

特解的形式可以设为：y = K代入方程，得到：K + K = 10解得K = 5。

将特解和齐次线性微分方程的通解相加，得到原方程的通解：y = C * e^(-t) + 5通过这个例子，我们可以看到一元微分方程的求解过程，以及常系数线性微分方程的特解和齐次线性微分方程的通解如何组合成原方程的通解。

一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。

对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。

我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。

1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。

1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。

1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。

第三章⼀阶线性微分⽅程组第四讲常系数线性微分⽅程组的解法（1）第四讲常系数线性微分⽅程组的解法（4课时）⼀、⽬的与要求: 理解常系数线性微分⽅程组的特征⽅程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分⽅程组的基本解组的求法.⼆、重点：常系数线性微分⽅程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分⽅程组的特征⽅程式, 特征根, 特征向量的概念.四、教学⽅法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学⼿段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 新课引⼊由定理3.6我们已知道，求线性齐次⽅程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于⼀般的⽅程组(3.8)，如何求出基本解组，⾄今尚⽆⼀般⽅法. 然⽽对于常系数线性齐次⽅程组dYAYdx(3.20)其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这⼀问题得到彻底解决. 本节将介绍前⼀种⽅法，因为它⽐较直观.由线性代数知识可知，对于任⼀n n ?矩阵A ，恒存在⾮奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对⽅程组(3.20)引⼊⾮奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij Tt i j n == det 0T ≠,将⽅程组(3.20)化为1dZ T ATZ dx-= (3.22)我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征⽅程 111212122212det()0nn n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-的根的情况有关. 上述⽅程也称为常系数齐次⽅程组(3.20)的特征⽅程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下⾯分两种情况讨论.(⼀) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-=⽅程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ=(3.23)易见⽅程组(3.23)有n 个解1110(),00x Z x e λ??=??220010(),,()0001n xx n Z x e Z x e λλ==把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到⽅程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i ini t t Y x e e T t λλ==(1,2,,)i n =这⾥i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性⽅程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的⼀个基本解组，因为它们的朗斯基⾏列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果⽅程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x x x n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是⽅程组(3.20)的⼀个基本解组.例1 试求⽅程组353dxx y z dt dyx y z dtdzx y z dt ?=-+=-+-=-+??的通解.解它的系数矩阵是311151313A -=--??-特征⽅程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--即321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c =??,,a b c 满⾜⽅程1111()1310111a a A E b b c c λ--=--=-??????即0300a b c a b c a b c -+=??-+-=??-+=?可得,0a c b =-=. 取⼀组⾮零解，例如令1c=-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ??=- 211,1T = 3121T =-故⽅程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t=++--????????(⼆) 常系数线性微分⽅程组的解法复特征根从上⼀讲我们已经知道，求解⽅程组dYAYdx= （3.20）归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是⼀对共轭根，由定理3.11，对应解是111(),xY x e T λ= 222()xY x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出⽅程组（3.20）的实值解，这可由下述⽅法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次⽅程组()dYA x Y dx= 有复值解()()(Y x U x i V x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x = 12()()()()n v x v x V x v x ??=??证明因为()()()Y x U x iV x =+是⽅程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx +≡+()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx= ,()()()dV x A x V x dx =即()U x ,()V x 都是⽅程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n个线性⽆关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x +212[()()],b Y x Y x -3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性⽆关的.证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性⽆关，从⽽11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，⽭盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根⼀定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，⽅程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it +++++===+????1Y1112212212(cos sin )ax n n t it t it e bx i bx t it +??+??=++??11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx e ie t bx t bx t bx t bx -+-+=+-+这⾥1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是⽅程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述⽅法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx --??+=-??12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx ++??-=+??12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是⽅程组(3.20)的解，并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解⽅程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ?=--=+??=+解它的系数矩阵为111110301--=??A特征⽅程是111det()11031λλλλ----=--A E即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011=??-T 再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满⾜⽅程组2211((12))120302i a i i b i c ----+=-=-A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ?---=??-=??-=?? ⽤2i 乘上述第⼀个⽅程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ?--=??-=??-=?? 显见，第⼀个⽅程等于第⼆与第三个⽅程之和. 故上述⽅程组中仅有两个⽅程是独⽴的，即20320a bi a ci -=??-=?求它的⼀个⾮零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-=+=+故原⽅程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -=++-(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当⽅程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然⽽，当矩阵A 的特征⽅程有重根时，定理3.11不⼀定完全适⽤，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性⽅程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性⽆关特征向量的个数i γ, ⼀般将⼩于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对⾓阵，其求解⽅法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性⽆关的特征向量，通常称为⼴义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型121m =-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零⽆素，⽽1010i ii i λλλ=J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下⽅程组(3.20)化成 12m d dx =J J Z ZJ (3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的⼩⽅程组.为了说清楚这个问题，我们通过⼀个具体重根的例⼦，说明在重根情形下⽅程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于⼀般情形，其推导是相似的.设⽅程组d Dx=YAY （3.26）中A 是5.5矩阵，经⾮奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将⽅程组(3.26)化为d dx =Z JZ(3.27) 我们假定1112210000100000000010000λλλλλ??=?J 这时，⽅程组(3.27)可以分裂为两个独⽴的⼩⽅程组1112212313dz z z dx dz z dx dz z dx λλλ?=+==??(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ?=+=(3.29)在(3.28)中⾃下⽽上逐次⽤初等积分法可解得11123121232332!()xx xC z x C x C ez C x C e z C eλλλ??=++ =+=同样对(3.29)可解得2245455()xxz C x C e z C eλλ=+=这⾥125,,,C C C 是任意常数.由于在⽅程(3.28)中不出现45,,z z在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到⽅程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000xxx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ===??Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ==Z Z 从⽽1111112222002!000()00000000000x x xx xxx x xx e xe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ=Z (3.31)是⽅程组(3.27)的⼀个解矩阵. ⼜det (0)10=≠Z ,。