专题：勾股定理折叠问题教学文稿

义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十七章《勾股定理》习题课勾股定理的应用——折叠问题教学设计一．教学目标：知识与技能1、学习利用方程思想，转化思想，勾股定理解决折叠问题中边长问题。

2、识别三角形，四边形折叠中经典问题。

3、学会运用折叠解决折叠中综合题。

过程与方法1 经历探究勾股定理在折叠问题中的应用过程，进一步体会勾股定理在折叠问题中发挥的作用。

2 通过解决问题的过程，树立类比转化的思想，方程的思想。

情感态度与价值观1 在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2 体会勾股定理的应用价值，增加学生应用数学知识解决问题的经验。

3 学习过程中体会获得成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣和信心。

二重点难点1 重点：运用勾股定理解决折叠问题。

2 难点：利用轴对称找到数量关系，列出方程。

三 教学准备：导学案 课件四 教学设计：（一）复习回顾：填空：1 在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，那么三边a,b,c 之间的关系为( ）。

2 轴对称的定义：平面内如果把一个图形沿着某一条直线折叠后能够与另一个图形（ ），那么这两个图形关于这条直线（ ），这条直线叫（ ），折叠后重合的点叫 （ ）。

设计意图：学生回顾勾股定理的内容和轴对称定义，为本节课利用这些知识点做好铺垫。

二 具体探究过程：（一）折叠三角形探究一（一次折叠）如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长 设计意图: 由学生小组合作完成，引导学生主动探究，养成良好的思维习惯，培养与他人合作交流的意识，激发学生强烈的求知欲。

让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。

A CB解:设CD=x,在R t ∆ABC 中，AC=6，BC=8，易求AB=10由折叠可知，DE=CD=x,AE=AC=6, BE=4,DB=8－x,在 R t ∆DEB 中 x ²+4²=(8－x)²,解得x=3, CD=3 探究二：（二次折叠）如图，∆ABC 中，AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC折叠到CA 边上，折痕为CE，求∆ACE 的面积分析：这道题是两次折叠，已知条件也较上题复杂，仍让学生小组合作探究，找学生到前面给大家讲解，提高学生分析问题解决问题的能力。

利用勾股定理解决折叠问题一、学习目标1.掌握处理勾股定理中折叠问题用到的相关知识点,明确解决此类问题的技巧。

2、明确折叠的性质,会进行线段的转移、能够将已知条件、设出的未知数转移至同一直角三角形中，最终利用勾股定理解决问题。

二、学习重难点教学重点：利用勾股定理解决数学问题教学难点：用转化思想将有关线段转化到直角三角形中，借助勾股定理通过设未知数列方程求解三、前置性小研究（一）复习回顾（1）如图，在则AC∠=∆BCABRABCCct=,b中，,a︒,，==90（2）轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的基本特征：相等，相等。

（3）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将Rt △ABC折叠，使点A，C重合，得折痕DE，求△ABE的周长为。

（二）新知探究有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点G处，试求CD的长。

四、新知运用例1.如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD于E．若AB=4cm,BC=8cm求AE的长.练习1.如图，折叠长方形ABCD的一边AD,点A落在BC边的点F处，已知DC=8,AD=10,求EB的长。

例2.Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC 上运动，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若∠B′ED＝90°，求BD的长。

五、课堂小结六、当堂检测1.如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为。

3.如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC的长为．4.如图.长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3.求AB的长。

勾股定理折叠问题教案
中考中的折叠问题题型多样、变化灵活，从考查同学们的空间想象能
力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的中考压轴题。

下面就对中考中的折叠问题进行总结。

一、寻找或构造直角三角形
例1如图1，一张直角三角形的纸片折叠，使两个锐角的顶点A、B
重合，若∠B=30°，AC2=3，求DE的长。

点评：对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相
等的线段，也可以构造直角三角形,本题把折叠问题转化为轴对称问题，
利用勾股定理或相似三角形的性质求出未知线段，最后把所求的线段转化
到直角三角形中去处理。

二、挖掘相等的线段和角
例2如图2，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，EB延长线交AD于F得到△AEF，若矩形的宽CD=4，求
△AEF的面积。

点评：1、折叠通常是轴对称变换．折叠过程中，重合部分是全等图形，一些隐藏的条件需要同学们去发掘，譬如相等的线段、相等的角、相
等的弧等等。

2、折叠前后对应点的连线被折叠垂直平分。

三、寻求坐标变化与直角三角形的关系
点评：把矩形放在平面直角坐标系中，经过折叠后，求一些点坐标的
问题，要抓住两个关键点：（1）抓住翻折前后两个图形是全等的，把握
翻折后不变的要素；（2）作适当的辅助线，构造直角三角形，把求点的
坐标转化为求直角三角形中条边的长度。

编辑、王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

教学设计勾股定理的应用----直角三角形、矩形的折叠问题抚顺市德才中学霍泰波勾股定理的应用------- 直角三角形、矩形的折叠教学设计教学目标：1.以直角三角形、矩形、勾股定理为载体，使学生通过复习，掌握矩形中折叠问题的解题规律。

2.通过动手操作，帮助学生更好的理解题意，引领学生尝试画出符合题意的图形，设计解题方案。

初步感悟动点问题、存在性问题的解题思路。

3.通过动手操作，动脑思考，合作交流，让学生在生动有趣的情景中学会知识。

教学重点：利用勾股定理建等式，列方程。

教学难点：1.利用勾股定理建等式，列方程。

2.动点问题，存在性问题的处理思路。

教学过程：一、复习导入1.复习提问：（抢答）（1）一个直角三角形的三边分别用a，b，c来表示，若∠C=90º，则a2+b2=c2; 若∠B=90º，则a2+c2=b2; 若∠A=90º，则b2+c2=a2;（2）勾股定理的文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.导语入课1、在直角三角形ABC 中,∠C=90°，（１）已知ａ：ｂ＝３：４，ｃ＝２５，求ａ和ｂ （２）已知∠Ａ＝３０°ａ＝３，求ｂ和ｃ （３）已知∠Ａ＝４５°，ｃ＝８，求ａ和ｂ （4)已知a 比b 大1，ｃ＝５，求ａ和ｂ （5）两直角边和是10，三角形面积是9，求c ２、直角△的两边长为８和１０，求第三边的长度．例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．练习:三角形ABC 是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC 方向对折，再将CD 折叠到CA 边上，折痕为CE ，求三角形ACE 的面积例2. 如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点F ，若AF=425cm,则AD 长为（） A.7cm B.5cm C.6cm D.4cm启发学生发现此题中“平行线+角平分线 等腰” 的几何结构。

成都市七中育才学校学道分校教学设计课题勾股定理应用一一折叠专题授课人________ 张舟____________教学环节教师活动学生活动活动目标新课导入应用勾股定理探究折叠问题播放”折纸艺术欣赏“视频折纸与一数学定理密切相关。

该定理不仅引导了无理数的发现，引起了第一次数学危机，它更是被誉为“几何学的基石”，建立了数与形之间的桥梁，在求线段的长度时发挥着重要的作用。

聪明的你们知道它是什么定理吗？请同学们，将手中的矩形折叠，若已知边长为6、8，你知道重叠部分的面积吗？展开矩形纸片，再折叠，使AB落在对角线AC上G点处，得折痕AF,你知道折痕的长度吗？请同学们总结：折叠问题中求线段长度的方法学生观看视频并猜想激发学生学习兴趣，拓展学生对勾股定理的认识并提高学生审美能力。

折叠纸片，并在学案上计算重叠部分的面积。

分享求解方法。

折叠纸片，并在学案上计算折痕长度。

分享求解方法。

总结：利用折叠性质转化相等线段、设元表示相关线段、应用勾股定理建立等式、求解线段长度。

多媒体、教具应用及分析利用计算机播放视频，体验视觉冲击，导入新课。

通过折叠纸片，学生切身体会折叠的基本性质，为求解线段长度奠定基础。

调动学生一起动手展开探究，并分享求解方法，培养学生的表达能力。

加强同学对求线段长度方法的掌握，在总结方法过程中培养学生数学思想，如转化思想、方程思想。

利用纸片折叠，形象地让学生体会折叠过程，并用几何画板展示，进一步体会折叠过程。

板书的同时，利用多媒体展示，引起学生的注意，强化学生对方法总结的认识运用折叠实验探究动点问题几何画板展示矩形纸片，按照题意折叠，让学生利用手中的纸片来探究动点问题。

学生利用手中的纸片，通过实验完成探究。

矩形ABCD中，AB=3 BC=4点E是BC边上一点，连接AE,把/ B沿AE折叠，使B落在B'处，当三角形CEB'为直角三角形时，求BE的长。

将长为17,宽为8的矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边上A'处，折痕所在直线同时经过边ABAD(包括端点)，试利用手中的纸片探究BA'的最大值和最小值。

勾股定理在折叠问题中的应用(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除§勾股定理应用——图形的折叠授课人：林建萌一、学情分析：学生通过对第14章勾股定理的学习，已基本掌握了勾股定理及其逆定理，了解了勾股定理的文化背景，体验了勾股定理的证明过程，为进一步探索应用勾股定理做好了铺垫。

二、教学目标1、知识与技能：（1）理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口；（2）能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算；（3）通过问题的探索，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。

2、过程与方法：（1）经历观察、比较、发现折叠的过程，在讨论类比中探索勾股定理解决折叠问题的方法；（2）通过实际问题，强化转化思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。

3、情感态度与价值观：（1）在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的快乐，养成严谨认真的解题习惯；（2）通过图形的折叠，渗透全等，对称图形的意识；（3）体会勾股定理的应用价值，体会数学来源于生活，又应用到生活中去，增强学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受，同时在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

三、教学重点：（1）探究折叠前后图形的变化特点和规律；（2）利用勾股定理解决折叠问题；（3）引导学生对问题进行探讨，启发学生归纳、综合应用。

四、教学难点：（1）折叠前后元素对应关系；（2）利用勾股定理解决折叠问题；（3）引导学生对问题进行探讨，启发学生归纳、综合应用。

五、教学过程：1、复习导入（1）概念复习勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如图所示，∵在Rt△ABC中, ∠C=90º ,AB=c,AC=b,BC=a,a2+b2=c2。

勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。

利用勾股定理解决折叠问题的教学设计1、内容和内容解析1、内容利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度2、内容解析勾股定理是第十七章的内容，它指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。

勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角形、解析几何、微积分中都是理论基础，没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。

因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

课程标准（2011年版）指出，要想培养学生的空间观念，关键是要让学生会描述图形的运动和变化。

图形的运动有平移、旋转、折叠等。

其中图形的翻折问题是指将某一几何图形沿着某直线对折后得到新的几何图形，然后求解新图形中几何元素之问的数量关系的问题.由于折叠问题题型多样，变化灵活，在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质、考查学生的空问想象能力和动手操作能力，所以是近几年中考试题的热点题型。

这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都突出了比以往更高的要求。

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，在初中数学中，折叠问题主要是求几何图形中的角度;求图形中线段的长;求图形的面积;求图形点的坐标等。

角度问题，我们在八年级上册的三角形已经涉及。

而求图形的面积和图形的点坐标又可以转化为求解线段长度.我们已经在第四章线段加减、第5章利用平移的性质、第7章点坐标、第12、13章角平分线、线段的垂直平分线、轴对称的性质、等章节求过线段的长度。

学生对于本节课求线段长度并不陌生.基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度二、目标和目标解析1、目标（1）学生更深入地理解勾股定理（2）学生能够正确地利用勾股定理建立方程求解线段长度；三、教学问题诊断分析方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当选设未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究或解决的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的一种数学思想。

教师姓名程少东单位名称阿克苏市第十五中学填写时间2020.08.13 学科数学年级/册八年级下册教材版本人教版课题名称17.1 勾股定理利用勾股定理解决折叠问题难点名称利用勾股定理解决折叠问题时，通过全等和等角对等边转换边长，再利用勾股定理列方程求解线段的长度。

难点分析从知识角度分析为什么难知识点本身内容复杂：用勾股定理解决折叠问题时，折叠前后图形的变化特点和规律不能准确应用，转换边长不能精准到目标线段，找不准所求线段所在的直角三角形进行有关计算。

从学生角度分析为什么难学生抽象逻辑思维较弱，理解困难：八年级学生在复杂图形中抽象思维较弱，而且考察的题目多变灵活，折叠前后元素对应关系不能准确应用，转换边长不能精准到目标线段的情况下，很难进行直角三角形有关计算。

难点教学方法1.通过动画直观演示图形折叠前后的变化特点2.通过方法总结，让学生归纳出解题思想方法和规律教学环节教学过程导入情景导入：通过课间学生玩纸飞机，教师开始让学生自己把纸飞机抽象成平面几何图形，从学生画的平面几何图形中，讲解折叠后边角之间的关系，体现了数学来源于生活，激发学生学习兴趣。

知识讲解（难点突破） 1.如图所示，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，把∆ABC折叠，使AB落在直线BC上,点A 落在点E上，BD为折痕,求线段CD的长度.解：∵∠ACB=90°AB=10 ,BC=6∴AC=8∵△ABD≌△EBD∴AB=EB=10 AD=ED∴CE=BE-BC=10-6=4设CD=x，则DE=AD=AC-AD=8-x∴在 Rt△DCE 中CD2+CE2=ED2x2+42=(8−x)2解得x=3即CD的长度为32.如图，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处,AE交DC于点F, 已知AB=4cm，BC=2cm. 求折叠后重合部（∆ACF）的面积.解题方法：折叠--全等--转换边长---勾股定理3.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF=3，则求AB的长.解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8∵△AEF是△AEB折叠而成∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形∴CE=8-3=5在Rt△CEF中CF=√CE2−EF2=√25−9=4设AB=x,则AF=x, AC=x+4在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（x+4）2=x2+82解得x=6 ∴ AB的长为6课堂练习（难点巩固）4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿EF折叠,使点C恰好落在AB边的中点C’上，点D的对应点为D’,且BC’=3，则DE的长为多少.（请同学们自己完成，并写出详细的解题过程）解：如图17-Z-13, 由折叠的性质, 知∠1=∠2.∵在长方形ABCD中, CD∥AB, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∴AF=CF.设DF=x cm, 则AF=CF=CD-DF=(4-x)cm.在Rt△ADF中, 由勾股定理, 得AF2=AD2+DF2,即(4-x)2=22+x2, 解得x=32, 即DF=32cm,∴CF=52cm, 故S△ACF=12CF•AD=12×52×2=52(cm2).利用勾股定理解决折叠问题小结折叠——全等——转换边长——勾股定理（方程思想）。

教师姓名刘婷单位名称奎屯市第十中学填写时间2020.8.22 学科数学年级/册八年级下册教材版本人教版课题名称利用勾股定理解决折叠问题难点名称确定一个直角三角形，建立方程难点分析从知识角度分析为什么难知识点本身内容复杂，直角三角形较多，学生无法确定利用哪个直角三角形利用勾股定理建立方程从学生角度分析为什么难思维过程交为复杂，学生会有无从下手的感觉。

无法表示出直角三角形的三条边难点教学方法通过分解做题思路，变式训练，总结方法，让学生有路可寻，不至于无从下手教学环节教学过程导入如图，有一张直角三角形纸片,直角边AB=6,BC=8。

将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE 问题(1) ∵△CDE与△ADE折叠重合∴△CDE_______ △ADE∴AD= _______AE= _______(2)AC=_______EC=_______(3)BD=_______问题引入，回顾折叠的性质及勾股定理，并利于问题（3）引出新课知识讲解（难点突破）例1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠后，使点B恰好落在对角线AC上点F处．若AB=6，BC=8，求BE 的长.1、找等边,找出矩形的对边及折叠后全等三角形的对应边解：∵矩形ABCD∴ AB=CD=6 BC=AD=8由翻折可知△ABE≌△AFE∴AF=AB=6,BE=EF2、设未知数，并用未知数表示出与其有关的线段设BE=EF=x,则CE=8-x3、确定一个直角三角形，用勾股定理建立方程,利用方程解决问题AEDCBA DCBF在Rt △ADC 中由勾股定理得 AC=10∴CF=AC-AF=10-6=4在Rt △CEF 中由勾股定理得 EF 2+CF 2=CE 2x 2+42=(8-x)2解得 x=3∴ BE=3变式：如图，矩形ABCD 沿CE 折叠后，点B 落在AD 边上点F 处，已知AB=6，AD=10，则AE 的长是 _______解： 1、找等边,∵ 矩形ABCD ∴ AB=CD=6 BC=AD=10由翻折可知△BCE ≌△FCE∴BC=CF=10,BE=EF2、设未知数 设AE=x,则BE=EF=6-x在Rt △CDF 中由勾股定理得 DF=8∴AF=AD-DF=10-8=23、确定一个直角三角形在Rt △AEF 中由勾股定理得 AF 2+AE 2=EF 222+x 2=(6-x)2 x=38∴AE=38FA E DC B小结今天我们学习了矩形折叠的三种情况：点B恰好落在对角线AC点B恰好落在矩形的边上点B恰好落在矩形的外不论哪种情况，方法都是不变的。