—根的判别式练习题
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—根的判别式练习题
铁⾯将军：根的判别式
【知识要点】1.⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，⽅程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，⽅程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，⽅程⽆实数根.
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这⽅⾯的知识主要⽤来求取值范围
等问题.
【经典例题】
【例1】已知关于x 的⽅程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何⾮负整数时：(1)⽅程只有⼀个实数根；
(2)⽅程有两个相等的实数根；
(3)⽅程有两个不等的实数根.
【例2】 已知关于x 的⽅程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0
有两个相等的实根，且满⾜2a-b=0.(1)求a 、b 的值；
(2)已知k 为⼀实数，求证：关于x 的⽅程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.
【例3】关于x 的⽅程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使⽅程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
【例4】 已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若⽅程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，
试判断△ABC 的形状.
【例5】已知：m 、n 为整数，关于x 的⼆次⽅程x 2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x 2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x 2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m 、n 的值.
【⽅法总结】1.求判别式时，应该先将⽅程化为⼀般形式.
2.应⽤判别式解决有关问题时，前提条件为
“⽅程是⼀元⼆次⽅程”，即⼆次项系数不为0.
【经典练习】
⼀、解答题1.若关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-2x+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ( )
A.m ＜1
B. m ＜1且m ≠0
C.m ≤1D. m ≤1且m ≠0
2.已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2+2x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ( )
A.k ≤1
B.k ≥1
C.k<1
D.k>1
3.如果⽅程组 {x
y m x y 322=-= 只有⼀个实数解，那么m 的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4
4.⼀元⼆次⽅程x 2+2x+4=0的根的情况是 ( )
A.有⼀个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
5.下列⼀元⼆次⽅程中，有实数根的是( )
A.x 2-x+1=0
B.x 2-2x+3=0
C.x 2+x-1=0
D.x 2+4=0
6.关于x 的⽅程k 2x 2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ( )
A.当k=1/2时，⽅程两根互为相反数
B.当k=0时，⽅程的根是x=-1
C.当k=±1时，⽅程两根互为倒数
D.当k ≤1/4时，⽅程有实数根
7．已知关于x 的⽅程022=+-mx x 有两个相等的实数根，则m 的值等于（ ）.
A ．22 B. 22- C. 22-或22 D. 8或-8
8．若⽅程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.
A ．0≤p B. 41
1≥p
9．要使关于x 的⽅程0342=+-x kx 有实数根，则k 应满⾜的条件是（ ）.
A ．34k C. 34≤k D. 3
4-≥k ⼆、填空题
1．关于x 的⽅程x 2+(2k-1)x+k 2-7/4=0有两个相等的实数根，则k= .
2．关于x 的⼀元⼆次⽅程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，m=
3．⼀元⼆次⽅程022=-+m x x ，当m= 时，⽅程有两个相等的实根；当m 时，⽅程有两个不相等的实根；当m = 时，⽅程有⼀个根为0．4．如果关于x 的⽅程()011222=+-+x k x k 有两个实数根，则k 得取值范围是 ．三、解答题1．当a 是什么实数时，关于x 的⼀元⼆次⽅程()3212+=++ax a x a 。（1）有两个相等的实数根？（2）有两个不相等的实数根？（3）没有实数根？2．已知关于x 的⽅程()014422=+-+k x k x 和()01214222=-++-k x k x ，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．
3．已知关于x 的⽅程032=-++n m mx x 根的判别式之值为0，1为⽅程的根，求m 、n 的值。
4已知，如图12-3-1，AD 为△ABC （AB ＞AC ）的⾓平分线，AD 的垂直平分线和BC 的延长线交于点E ，设CE=a ，DE=b，BE=c 。求证：关于x 的⼆次⽅程022=+-c bx ax 有两个相等的实根。A F
E C
D B
5． 当a 、b 为何值时，⽅程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根。
6．已知关于x 的⼆次⽅程0112=++q x p x 与0222=++q x p x ，求证：当)(22121q q p p +=?时，这
两个⽅程中⾄少有⼀个⽅程有实根。
作业
⼀、选择题1.⽅程x 2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D.只有⼀个实数根
2．已知⽅程x x x x y y x x 248,095,24912,04322222=+=-=+=-+，上述⽅程中，有两个相等实数根的⽅程个数是（ ）
A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，⽅程0)(222222=+-+-c x a c b x b 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实根
B. 有两个相等的实根
C. ⽆实根
D. 根据△ABC 的形状确定
⼆、填空题1．已知⽅程0122=-+-m x x ，当m 时，⽅程有两个不相等的实数根，当m 时，⽅程有两个相等的实根；当m 时，⽅程⽆实根。2．当m 时，⽅程0122=+-x mx 有两个不相等的实数根。
3．当m 时，⽅程04)13(2)13(2=+++-+m x m x m 有两个相等的实数根。
4．若关于x 的⽅程0)2()1(222=+---b x a x 有两个相等的实数根，则a b = 。
三、解答题1、证明：对于正数a 、b 、c ，如果⽅程0)(222222=+--+b x c b a x c 没有实数根，那么，以a 、b 、c 为边长的线段能够组成⼀个三⾓形。2、已知a 、b 是整数，032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根，07)6(2=-+-+b x a x 有两个不相等的实数根，05)4(2=-+-+b x a x没有实数根，试求a 、b 之值。
