根的判别式

根的判别式

根的判别式是指用某种方法来判断一个多项式是否有实根或者复根，以及有几个实根或者复根。在初中或高中数学中，我们通常会学到求解一元二次方程的根的公式，即$ax^2+bx+c=0$的根为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。其中，判别式$\\Delta=b^2-4ac$可以用来判断方程的根的情况：

1.当$\\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；

2.当$\\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；

3.当$\\Delta<0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

在高中数学中，我们还会学到求解一元三次方程和一元四次方程的根的公式。不过，这些公式较为复杂，不适合用判别式来判断方程的根。

除了一元多次方程外，根的判别式还可用于判断代数方程组的解的情况。即，给定一个代数方程组，我们可以使用根的判别式来判断其解的情况。例如，对于二元一次方程组：

$$

\\begin{cases}

ax+by=c\\\\ dx+ey=f

\\end{cases}

$$

可以联立方程得：

$$

\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}x=\\begin{vmatrix} c &

b \\\\ f & e \\end{vmatrix},\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e

\\end{vmatrix}y=\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix}

$$

其中，$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}=ae-bd$称为方程组的系数行列式，$\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix}$和$\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix}$分别称为方程组的常数行列式。若系数行列式不等于0，则方程组有唯一解；若系数行列式等于0但常数行列式不等于0，则方程组无解；若系数行列式和常数行列式均为0，则方程组有无穷多解。

1、根的判别式

定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

反之亦然．

2、应用

例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．

强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．

（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：

02222kkxx

3、巩固练习

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

4、拓展提高

例3：已知关于x的一元二次方程011222x)k(xk有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

例4：试说明：不论x取何值，关于x的方程221(m)x)(x总有两个不相等的实根.

（一） 问题情境，导入新课：

解下列方程，并填写表格：

方 程 x1 x2 xx21 xx21

022xx

0432xx

0652xx

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程为常数，04022,(qpqpxxqp

的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

（2）关于x的方程)0(02acbxax的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

（二）新课：

1.根与系数关系：

（1）关于x的方程0pxqx

的两根x1，x2与系数p，q的关系是：pxx21，qxx21

注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。

（2）形如)0(02acbxax的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。

中小学个性化教育辅导专家

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一对一个性化辅导讲义

学科：数学 任课教师： 授课时间： 年 月 日(星期 )

姓名 年级 学校 中

教师

寄语 天道酬勤

课题 根的判别式、根与系数的关系

重点 1、根的判别式

2、根与系数的关系

难点

根与系数的关系

教

学

过

程

解下列方程：

⑴ 0642xx ⑵ xx7322

⑶ 012212xx ⑷ 2523xxx

二、新课讲解

中小学个性化教育辅导专家

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知识点一：一元二次方程根的判别式

（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。

（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：

①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；

②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根；

③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根；

④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：

①不解方程，判别方程根的情况；

②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；

③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；

注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。

例1、不解方程，判断下列方程根的情况

的方程关于xxmxmmxxx01123032202312222

中小学个性化教育辅导专家

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龙文教育个性化辅导教案提纲

教师: 陈燕玲 学生: 年级 日期: 星期: 时段:

课 题 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

学情分析 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是方程中的一重点内容，也是中考常考的考点。

教学目标与

考点分析 1. 掌握判别式与韦达定理 ；

2 能运用韦达定理解决相关问题；培养学生综合运用只是的能力

教学重点

难点 重点：判别式、韦达定理

难点：韦达定理的应用

教学方法 合作探究法

教学过程

知识网络

一、2200(0)040axbxcabac有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根

二、

【课内探究】

活动1: 不解一元二次方程求两根和与积

（1）x2-9x＋10＝0；（2）4x2-7x＋1＝0；（3）2x2-9x＝5；（4）2x2-5x＝0；（5）x2-1＝0

活动2：不解方程，判定解的个数。

（1）5(x2+1)-3x=0 (2)2x2-(4k+1)x+2k2-1=0

（3）下列方程①012x；②02xx；③012xx；④02xx中，无实根的方程是 。

活动3：已知一元二次方程的一个根求另一根及字母值

1.已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值。 12212212121221220(0)00bxxaaxbxcacxxaxxxxxxxxaxbxcxxxx••一元二次方程以、为根的一元二次方程：（）（）（）

2 已知方程x2-4x+c＝0 的一个根是2－5， 求它的另一个根和c的值。

例题选讲：

【例1】求证：无论m取何值，方程03)7(92mxmx都有两个不相等的实根。

【例2】当m为什么值时，关于x的方程01)1(2)4(22xmxm有实根。