根的判别式练习题(含答案)

根的判别式练习题

一．填空题（共9小题）

1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为 ．

2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为

．

4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是 ．

5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．

6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是 ．

7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ．

8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝

9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是 ．

二．解答题（共5小题）

10．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；

（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．

11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．

（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：

（2）若x＝2是方程的根，则m的值为 ．

13．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（3m+1）x+2m2+m＝0

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为3，当△ABC为等腰三角形时，求m的值及△ABC的周长．

14．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．

（1）试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长a为1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长？

参考答案与试题解析

一．填空题（共9小题）

1．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为 29 ．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝29，此题得解．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．

故答案为：29．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．

2．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 0或4 ．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的方程，解之即可求出m的值．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×m＝0，

解得：m1＝0，m2＝4，

∴m的值为0或4．

故答案为：0或4．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为

2

．

【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，继而可求得k的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝8﹣4k＝0，

解得：k＝2，

故答案为：2．

【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得Δ＝0．

4．若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是 且k≠0 ． 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别列出不等式组求解即可．

【解答】解：根据题意可知，．

解得：且k≠0，

故答案为：且k≠0．

【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，根据题意列出不等式组是解题的关键．

5．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 10 ．

【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．

【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，

解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，

在等腰△ABC中，

①4为底时，则b＝a＝2，

∵2+2＝4，

∴不能组成三角形；

②4为腰时，b＝4，

∵2+4＞4，

∴能组成三角形，

∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．

综上可知，△ABC的周长是10．

故答案为：10．

【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．

6．等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是 25或16 ．

【分析】等腰△ABC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论．

当BC是底边时，AB＝AC，则方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实根，即Δ＝0，即可得到关于m的方程，求得m的值；

当BC是腰时，则方程一定有一个解是x＝8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边，即底边与m的值．

【解答】解：在方程x2﹣10x+m＝0中，x1+x2＝10，

当这两边是等腰三角形的腰时，有x1＝x2＝5，

∴x1x2＝25＝m，

当这两边的长有一边为8时，有8+x2＝10，

∴x2＝2，m＝x1x2＝2×8＝16，

∴m＝25或16．

故答案为：25或16．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及等腰三角形中有两边相等的性质，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．

7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ±3或﹣5 ．

【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．

【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，

则k2﹣9＝0，

解得k＝±3，

②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，

即Δ＝b2﹣4ac＝0，

即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0

解得：k＝﹣5．

故答案为±3或﹣5．

【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．

8．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．

【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．

【解答】解：∵方程有实根，

∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，

∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，

∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，

所以＝﹣．

故答案为﹣．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．

9．已知双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，则b的取值范围是 b＞

．

【分析】根据方程解析式，可以得到＝﹣x+1，即可转化为一个一元二次方程，利用判别式求出b的取值范围．

【解答】解：因为双曲线y＝与直线y＝﹣x+1没有交点，

即方程＝﹣x+1无解，

去分母，得x2﹣x+b＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×b＝1﹣4b＜0，

解得b＞．

【点评】考查一元二次方程根的判别式和双曲线与直线的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．

二．解答题（共5小题）

10．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；

（2）如果此方程有一个根为0，求m的值．

【分析】（1）求出Δ＝1，即可证明方程总有两个不相等实数根；

（2）把x＝0代入可得关于m的一元二次方程，即可解得答案． 【解答】（1）证明：对关于x的一元二次方程，

Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×（m2﹣2m）＝m2﹣2m+1﹣m2+2m＝1，

∴Δ＞0，

∴对于任意实数m，一元二次方程总有两个不相等实数根；

（2）解：如果此方程有一个根为0，则×02﹣（m﹣1）×0+（m2﹣2m）＝0，

∴m2﹣2m＝0，

解得m＝0或m＝2，

答：m的值为0或2．

【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．

11．已知关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0列出关于k的不等式组，求解即可．

（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的值，代入原方程，求解即可．

【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，

∴，

解得k≤3且k≠2．

（2）由题意得，k＝3，

当k＝3时，方程为x2﹣2x+1＝0，

即（x﹣1）2＝0，

解得x1＝x2＝1．

【点评】本题考查一元二次方程，牢记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实根．

12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．

（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：