【名师一号】北师大版高中数学必修1双基限时练1

双基限时练(十六) 指数运算的性质基 础 强 化1．已知a >0，b >0，m ，n ∈R ，以下运算正确的是( ) A. a m ·a n ＝a mn B. (a m )n ＝a m ＋nC. a m b n ＝(ab )m ＋nD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a m ＝b ma m 答案 D2．化简－a ·3a 的结果是( ) A. 5－a 2 B. －6－a 5 C.6－a 5D. －6a 5解析 由题意得a ≤0，故原式＝(－a ) 12·a 13＝－(－a ) 12(－a ) 13＝－(－a ) 56＝－6－a 5.答案 B3．下列各式运算错误的是( ) A. (－a 2b )2·(－ab 2)3＝－a 7b 8B. (－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3C. (－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6D. [(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 答案 C4．下列结论中正确的个数是( ) ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④622＝32. A. 0个 B. 1个 C. 2个D. 3个解析 对于①，∵a <0，∴a 3<0，而(a 2) 32>0，故①不对；对于②，当n 为奇数时显然不对；对于③函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，故③也不对；对于④显然正确，故答案为B.答案 B5．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A. 18 B. 21 C. 24 D. 27答案 D6．已知a －1a ＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值等于( ) A ．13－11B ．11－13C ．13＋11D ．11＋13解析 由a －1a ＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，因此a 2＋1a 2－2＝9，故a 2＋a－2＝11. 又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.答案 D7．化简a3a －4－b 5b 的结果是________．解析 a3a －4－b 5b ＝a 3a 2＋4－b5b 4＝a ＋4－b .答案 a ＋4－b能 力 提 升8．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析 ∵α，β是方程的两根，故α＋β＝－105＝－2，αβ＝15，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14.(2α)β＝2αβ＝215 .答案 14 2159．解析答案 26310．计算下列各式：考 题 速 递13．已知m －x ＝5＋2，则m 2x－1＋m－2x m －3x ＋m 3x 的值为________．解析 ∵m －x ＝5＋2，∴m 2x－1＋m－2x m －3x ＋m 3x＝(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2(m x ＋m －x )[(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2] ＝1m x ＋m －x ＝115＋2＋5＋2＝510. 答案 510。

双基限时练(二) 集合的含义与表示(二)基 础 强 化1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，则有( ) A ．3∈A B ．－3∈A C ．－1∉AD ．1∈A解析 A ＝{3，－1}，∴3∈A . 答案 A2．设集合A ＝{x ∈Z |－1<x <2}，则下列可表示集合A 的是( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0,1,2} C ．{0,1}D ．{0,1,2} 解析 A ＝{x ∈Z |－1<x <2}＝{0,1}，故选C. 答案 C3．集合{1,3,5,7,9，……}用描述法可表示为( ) A. {x |x ＝2n ±1，n ∈Z } B. {x |x ＝2n ＋1，n ∈Z } C. {x |x ＝2n ＋1，n ∈N ＋} D. {x |x ＝2n ＋1，n ∈N } 答案 D4．下列集合中，表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1解集的是( )A. {2,1}B. {x ＝2，y ＝1}C. {(2,1)}D. {(1,2)}解析由⎩⎨⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集为{(2,1)}．答案 C5．设集合A ＝{2,3，a 2＋2a －3}，B ＝{a ＋3,2}，若5∈A ，且5∉B ，则实数a 的值为( )A ．2或－4B ．－4C ．－2D ．4解析 ∵5∈A ，且5∉B ，∴⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，a ＋3≠5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝2，a ≠2.∴a ＝－4(验证知a ＝－4满足题意)． 答案 B6．下列表示方法正确的是( ) A. 3∈{y |y ＝n 2＋1，n ∈N }B. 0∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝0，x ∈N ，y ∈N }C. －3∈{x |x 2－9＝0，x ∈N }D. 2∈{x |x ＝n ，n ∈N }解析 ∵{y |y ＝n 2＋1，n ∈N }＝{1,2,5,10，……}，故3∉{y |y ＝n 2＋1，n ∈N }，A 不正确．∵{(x ，y )|x 2＋y 2＝0，x ∈N ，y ∈N }＝{(0,0)}，故B 不正确．∵{x |x 2－9＝0，x ∈N }＝{3}，故C 不正确．而{x |x ＝n ，n ∈N}＝{0,1，2，3，2，5，……}，故D正确．答案 D7．A＝{x|0<x<5，x∈N}，则A用列举法表示为________．答案{1,2,3,4}能力提升8．若A＝{x|63－x∈N，x∈N}则A＝________.(用列举法表示)解析∵63－x∈N，∴3－x的值为1,2,3,6，故x的值为2,1,0，－3，又x∈N，故x的值为2,1,0.答案{0,1,2}9．已知集合p＝{x|1<x<k，x∈N}，若p中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________．解析由题可知p＝{2,3,4}，故4<k≤5.答案4<k≤510．若A＝{0,1，－1,2，－2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，求B.解当x＝0时，y＝－1；当x＝±1时，y＝0；当x＝±2时，y＝3；当x＝3时，y＝8.所以B＝{－1,0,3,8}11．用适当的方法表示下列集合．(1)16与24的公约数．(2)不等式3x－5>0的解构成的集合．解(1)16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}．(2)不等式3x －5>0的解集为{x |3x －5>0}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >53.12．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R }． (1)若A ＝∅，求a 的取值范围； (2)若1∉A ，求a 的取值范围；(3)若A 中至少含有一个元素，求a 的取值范围． 解 (1)由题意可知方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝22－4×a <0，得a >1. ∴当a >1时，A ＝∅.(2)由1∉A 知，a ＋2×1＋1≠0，即a ≠－3. ∴a 的取值范围是a ≠－3.(3)当a ＝0时，原方程可化为2x ＋1＝0，x ＝－12符合题意； 当a ≠0时，由题意得ax 2＋2x ＋1＝0有实数解，即⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝22－4a ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≠0综上得a 的取值范围是a ≤1.考 题 速 递13．若－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为____________________．解析 把－5代入方程x 2－ax －5＝0得a ＝－4，将a ＝－4代入方程x 2－4x －a ＝0得x 2－4x ＋4＝0，即x ＝2，故集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所含元素为2，其和为2.答案 2。

双基限时练(二十) 对数基 础 强 化1．log a N ＝b 化为指数式是( ) A. a N ＝b B. b a ＝N C. a b ＝N D. b N ＝a答案 C2．log 22的值为( ) A. － 2 B. 2 C. －12 D. 12答案 D3．下列命题中是真命题的是( )①若log 3x ＝2，则x ＝6；②若log 25x ＝12，则x ＝5；③若log 3(2x －1)＝0，则x ＝12；④若log 2x ＝－3，则x ＝18.A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④答案 C4．已知log 2x ＝3，则x －12是( ) A. 13 B.123C. 133 D. 24解析 由log 2x ＝3，得23＝x ，∴x － 12 ＝123＝24. 答案 D5．若log a 7b ＝c ，则a ，b ，c 满足关系式( ) A ．b 7＝a c B ．b ＝a 7c C ．b ＝7a cD ．b ＝c 7a解析 ∵log a 7b ＝c ，∴a c ＝7b ，∴a 7c ＝b . 答案 B6．已知log 3a ＝2，log 525＝b ，则a ＋b ＝( ) A. 11 B. 7 C. 27D. 23解析 由log 3a ＝2，得a ＝9，由log 525＝b ，得b ＝2， ∴a ＋b ＝11. 答案 A7．若log 2(3x －2)＝2，则x ＝________. 解析 由log 2(3x －2)＝2，得3x －2＝22＝4，得 x ＝2. 答案 2能 力 提 升8．设a ，b ∈R ，且(2a －1)2＋(b －8)2＝0，则log 2(ab )＝________.解析 由(2a －1)2＋(b －8)2＝0，得a ＝12，b ＝8，∴log 2(ab )＝log 24＝2. 答案 29．计算log 2.56.26＋lg0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝________.答案 110．求下列各式的值 (1)log 464； (2)log 2(45×82)； (3)log 4(log 5625)； (4)71－log 75.解 (1)log 464＝log 443＝3.(2)log 2(45×82)＝log 2210(23)2＝log 2216＝16. (3)log 4(log 5625)＝log 44＝1. (4)71－log 75＝77log 75＝75.11．若M ＝{0,1}，N ＝{11－a ，lg a,2a ，a }是否存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}?解 假设存在实数a ，使得M ∩N ＝{1}．若11－a ＝1，则a ＝10，此时lg a ＝lg10＝1，不合题意； 若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1不合题意； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 没意义，不合题意；若a ＝1，则N ＝{10,0,2,1}此时M ∩N ＝{0,1}，也不合题意． 故不存在这样的实数a ，使得M ∩N ＝{1}．12．已知log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13 (log 3y ))＝log 5(log 15(log5z))＝0，试比较x，y，z的大小．解由log2(log12(log2x))＝0得，log12(log2x)＝1，log2x＝12，即x＝212；由log3(log13(log3y))＝0得，log13(log3y)＝1，log3y＝13，即y＝313；由log5(log15(log5z))＝0得，log15(log5z)＝1，log5z＝15，即z＝515.∵y＝313＝326＝916，x＝212＝236＝816，∴y>x，又∵x＝212＝2510＝32110，z＝515＝5210＝25110，∴x>z，故y>x>z.考题速递13．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________. 解析由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3.验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．所以x＝－3.答案－3。

双基限时练(二十八)利用二分法求方程的近似解基础强化1．在区间(0,1)上有零点的函数为()A. f(x)＝x3B. f(x)＝x3＋2x－2C. f(x)＝xD. f(x)＝x2＋1解析∵对于f(x)＝x3＋2x－2来说，f(0)＝－20，f(1)＝1＋2－2＝1>0，∴f(x)在(0,1)上有零点．答案 B2．下列函数一定能用“二分法”求其零点的是()A. y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)B. y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)C. y＝2xD. y＝kx(k≠0，k为常数)解析C，D没有零点，对于y＝ax2＋bx＋c，当Δ＝b2－4ac＝0时，不能用二分法．答案 A3．用“二分法”可求方程的近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，解的精确度越高B．ε越大，解的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关解析 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，解的精确度越低． 答案 B4．方程lg x ＋2x ＝0有实数解的一个区间是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100 B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，110 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1 D. 不存在解析 设f (x )＝lg x ＋2x ，显然f (x )为增函数，又f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝－2＋21100 ＜0，f ⎝⎛⎭⎪⎫110＝－1＋2 110＞0，∴lg x ＋2x ＝0有实数解的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，110.答案 B5．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间[0,1]内有零点B ．函数f (x )在区间[0,1]或[1,2]内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16]内无零点D ．函数f (x )在区间[1,16]内无零点解析 由题意得，函数零点在[0,2]内，故在[2,16]内无零点． 答案 C6．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝x 3－1B ．f (x )＝3x －1C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12解析 ∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1>0，∴g (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，而f (x )＝3x －1的零点为13，符合题意．答案 B7．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解(精度为0.1)为________.解析 区间[1,1.5]的长度1.5－1＝0.5，区间[1.25,1.5]的长度1.5－1.25＝0.25，区间[1.25,1.375]的长度 1.375－1.25＝0.125，区间[1.375,1.4375]的长度1.4375－1.375＝0.0625<0.1，所以精度为0.1时，近似解为1.4.答案 1.4能 力 提 升8．已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精度为0.1)，则一般需要将区间等分的次数为________．解析 设需等分n 次满足要求的精度，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <0.1，即12n <110，∴n ≥4. ∴需要将区间等分4次． 答案 49．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈N *)，则n ＝________.解析因为函数f(x)＝log a x＋x－b(2<a<3)，在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝log a2＋2－b<log a a＋2－b＝3－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>log a a ＋3－b＝4－b>0，∴x0∈(2,3)即n＝2.答案 210．利用二分法求x3＋5＝0的根．(精确到0.1)解令f(x)＝x3＋5，由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，故取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于区间[－1.75，－1.6875]长度为|－1.6875－(－1.75)|＝0.0625<0.1，故其两个端点均可作为相应函数的零点的近似值，取其近似值为－1.7，故原方程的根为－1.7.11．中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标，某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行猜价方案来帮助选手猜价吗？解取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数取整数，照这样的方案游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．12．求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像的交点的横坐标(精度为0.1)．解求函数y＝ln x与函数y＝3－x的图像交点的横坐标，即求方程ln x＝3－x的根，令f(x)＝ln x＋x－3.∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，∴可取初始区间为(2,3)，列表如下：由于区间[2.1875,2.25]的长度|2.1875－2.25|＝0.0625<0.1，所以方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的一个近似根可取为2.25，即2.25可作为两函数图像交点的横坐标的近似值．考题速递13．函数f(x)＝x5＋x－3的零点落在区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析f(0)＝－3，f(1)＝－1，f(2)＝31，∴f(1)f(2)<0，∴函数的零点在(1,2)上．答案 B。