北师大版高中数学必修2双基限时练：第一章++立体几何
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双基限时练(十五)
一、选择题
1．已知正四棱锥的侧棱长为23，高为3，则该棱锥的体积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
解析 设棱锥的底面边长为a，则(23)2＝32＋22a2，
∴a22＝3，∴a2＝6，V锥＝13a2h＝13×6×3＝6.
答案 B
2．已知一正四棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．624 B．208
C．131 D.1313
解析 由图可知，棱台的上底面边长为4，下底面边长为10，高为4，所以棱台的体积为V＝13(S上＋S下＋S上·S下)h＝13×(16＋100＋40)×4＝6243＝208. 答案 B
3．直角梯形的一个内角为45°，下底为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为( )
A．2π B.4＋23π
C.5＋23π D.73π
解析 设该直角梯形的上底长为r，下底长则为32r.该几何体为圆柱与圆锥的组合体．
S全＝π×r22＋πr2＋π2r×22r
＝54π＋24πr2＝(5＋2)π，
∴r＝2，∴V＝V圆柱＋V圆锥＝73π.
答案 D
4．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的多面体的体积是( )
A.23 B.76
C.45 D.56
解析 V＝1－8V锥＝1－8×13×12×12×12×12＝56.
答案 D
5．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标明的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )
A.40003 cm3 B.80003 cm3
C．2000 cm3 D．4000 cm3
解析 由三视图得几何体S－ABCD，且面SCD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于E，得SE⊥面ABCD，SE＝20 cm.
∴VS－ABCD＝13SABCD·SE＝80003(cm3)．
答案 B
6．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则该几何体的高为( )
A．4 B．12
C.43 D．24
解析 由三视图可知该几何体为一个三棱锥S－ABC，其中SA⊥面ABC，AB⊥AC，∴V＝13S△ABC·h＝13×12×5×6×h＝5h，得h＝4.
答案 A
二、填空题
7．用一张圆弧长为12π，半径为10的扇形纸片制作一个圆锥体，则这个圆锥体的体积是________．
解析 由2πr＝12π，得r＝6，h＝102－r2＝8， ∴V锥＝13S底·h＝13π×62×8＝96π.
答案 96π
8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为，体积为14 cm3，则棱台的高为________．
解析 设正四棱台上底为2a，下底为8a，斜高为5a，则(5a)2＝h2＋9a2，
∴h2＝16a2，∴h＝4a，
又由棱台的体积公式求得h＝2(cm)．
答案 2 cm
9．在三棱锥P—ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，设PA＝x，PB＝y，PC＝1，若x＋y＝4，则此三棱锥体积的最大值是________．
解析 V＝13×12xy＝16xy＝16x(4－x)＝16(4x－x2)＝16×[－(x－2)2＋4]，
∴当x＝2即x＝y时，Vmax＝46＝23.
答案 23
三、解答题
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，求三棱锥D—ABC的体积．
解
取AC的中点M，连接BM，DM，
∵BD＝a，
BM＝22a，DM＝22a，
∴DM2＋BM2＝BD2.
∴∠DMB＝90°，又AD＝DC，
∴DM⊥AC.
又AC∩BM＝M，
∴DM⊥面ABC.
∴V＝13S底·h＝13×a22×22a＝212a3.
11．在下图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解 (1)俯视图如下图所示．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－13×12×2×2×2＝2843(cm3)．
12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a.
(1)求三棱锥O—AB1D1的体积；
(2)求O到平面AB1D1的距离．
解 (1)∵VO－AB1D1＝VA—B1D1O，
S△B1D1O＝12B1D1·a＝22a2，
又AO⊥面BDD1B1，
且AO＝22a，
∴VA—B1D1O＝VO—AB1D1＝13×22a2×22a＝a36.
(2)∵AB1＝B1D1＝AD1＝2a，
∴S△AB1D1＝12B1D1·AB1 sin60°＝32a2，
设O到平面AB1D1的距离为h.
由等积转化得13×32a2h＝a36，
∴h＝33a.
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13．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B间的距离为22，求三棱锥A－BCM的体积．
解 由题意知在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝23.
又∵CM为中线，∴MA＝MB＝MC＝12AB＝2.
∴在三棱锥A－BCM中，M在面ABC上的射影为△ABC的外心．
又∵在折叠后的△ABC中，AC＝2，AB＝22，BC＝23，
∴AC2＋AB2＝BC2，即折叠后的△ABC也为直角三角形．
取BC的中点E，连接ME，则E为点M在面ABC上的射影，即ME的长为三棱锥M－ABC的高．
∵ME为△MBC的高，MB＝MC＝2，∠MBE＝30°，
∴ME＝12MB＝1.
∴VA－BCM＝VM－ABC＝13S△ABC·ME＝223.
