2013海淀区高二年级第二学期期中练习文科
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海淀区高二年级第二学期期中练习
数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.
1．C 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9． 117
10．2 11．① 12．1a ≥ 13．0 14．()31327x f x x =+； ()313
2
n n n
x f x x =-+ (每空2分) 三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.解：2'()32f x x ax b =-+ …………………………..2分
.
()f x 在0x =处取得极大值1
(0)1'(0)0f f =⎧∴⎨=⎩
，所以1,0c b == …………………………..5分 2'()32(32)f x x ax x x a ∴=-=-
令'()0f x =得203
或a x x == …………………………..6分 ①若0a >，则()f x 和'()f x 情况如下：
分 ②若0a <，则()f x 和'()f x 情况如下：
分 综上讨论可得0a >满足题意. 16.解：（I ）12(3)2
n n n x x x n --+=
≥ .....................................2分 （II ）10x =，22x =，3211()12x x x =+=，43213()22
x x x =+= 1212a x x ∴=-=，2321a x x =-=-，34312a x x =-= ………………4分 推测12
(2)n n a -=- ….….……….………………6分
证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-
121111111()()222
n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=-………………………….9分 {}n a ∴是以2为首项，以12
-为公比的等比数列. 故11122()2(2)n n n a --=⋅-=- ………………10分
17.（I ） //CD 截面EFGH 且CD ⊂平面ADC ，平面ADC
截面EFGH GF =
∴ //GF CD ………………………2分 同理可证//AB GH ………………………3分 （II ）DC BD ⊥，//GF CD GF BD ∴⊥ ………………………4分
AD ⊥截面EFGH ，AD GF ∴⊥ ………………………5分 又BD AD D = GF ∴⊥平面ABD ……………………….7分 （III ） 由（I ）知//GF CD ，//AB GH
同（I ）的证明方法可得，//AB EF ，//HE CD
∴//GH EF ，//HE GF
∴ EFGH 是平行四边形 ……………………….8分 又GF ⊥平面ABD ，GF GH ∴⊥
∴ EFGH 是矩形 …………………………9分
在ABD ∆中，
GH GD AB AD
=，∴GH GD x == 在ACD ∆中，GF AG DC AD =，∴22
x GF -= ∴2=2
矩形EFGH x S GH GF x -⋅=⋅ AD ⊥平面EFGH ∴GD 是四棱锥D EFGH -的高
∴ 四棱锥D EFGH -的体积 ()V x 32121(2)3326
矩形EFGH x x GD S x x x -=⋅=⋅⋅=-+，(0,2)x ∈ ……………..10分 则21'()(34)6
V x x x =-+ 令'()0V x =得0x =（舍）43
或x =
………………………11分 当403x <<时，'()0V x >，()V x 在4(0,)3
上单调递增； 当423x <<时，'()0V x <，()V x 在4(,2)3上单调递减， ∴max 41641616()()(2)3627981
V x V ==-+⨯= …………………….12分 18.解：22'()(2)()(22)x x x
f x x k e x kx k e x kx x k e =++++=+++……………....2分
整理得'()()(2)x f x x k x e =++ ……………………………..3分
（1）若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则在(0,1)x ∈上'()0f x ≤，
由于0x e >∴当(0,1)x ∈时，有()(2)0x k x ++≤
由二次函数()(2)y x k x =++的图像可知，1k -≥，即1k ≤-时满足题意………5分
（2）若2k >，有2k -<-，则
当(,)x k ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(,2)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(2,)x ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；
………………………………8分 若2k =，则2'()(2)0x f x x e =+≥，且仅当2x =-时'()0f x =，
所以函数()f x 单调递增； ..…………………………9分 若2k <，有2k ->-，则
当(,2)x ∈-∞-时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 当(2,)x k ∈--时，()(2)0x k x ++<，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(,)x k ∈-+∞时，()(2)0x k x ++>，'()0f x >，函数()f x 单调递增；
………………………..12分 综上，当2k >时，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(2,)-+∞，
单调递减区间是(,2)k --；
当2k =时，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间；
当2k <时，函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-和(,)k -+∞，
单调递减区间是(2,)k --.。
