mergesort算法 递归过程

mergesort用法归并排序（Mergesort）是一种经典的排序算法，它基于分治法的思想。

与其他排序算法不同，归并排序的时间复杂度始终保持在 O(nlogn) 的级别，因此在处理大规模数据集时表现出色。

归并排序的用法非常简单，只需将待排序的数组作为输入参数传入归并排序函数即可。

下面是一个示例代码：```pythondef mergesort(arr):# 递归终止条件，数组长度为1时if len(arr) <= 1:return arr# 分割数组为两半mid = len(arr) // 2left = arr[:mid]right = arr[mid:]# 递归调用归并排序函数left = mergesort(left)right = mergesort(right)# 合并左右两个有序数组return merge(left, right)def merge(left, right):result = []l, r = 0, 0# 比较并合并两个数组while l < len(left) and r < len(right):if left[l] < right[r]:result.append(left[l])l += 1else:result.append(right[r])r += 1# 处理剩余的元素result.extend(left[l:])result.extend(right[r:])return result```以上代码展示了一个基于Python的归并排序实现。

使用时，只需调用`mergesort`函数并将待排序数组作为参数传入即可。

该函数会返回一个排序好的新数组，而不会修改原始数组。

归并排序的核心思想是将数组逐步分割为较小的子数组，直至每个子数组的长度为1。

然后，逐个合并这些子数组，直到得到一个完全有序的数组。

这种分而治之的策略保证了归并排序的稳定性和高效性。

mergesort算法复杂度递推公式Mergesort算法的复杂度递推公式基于其分治策略。

Mergesort首先将数组分成两半，然后对每一半进行排序，最后将两个已排序的半部分合并成一个完整的排序数组。

假设T(n)表示对大小为n的数组进行排序所需的时间，那么我们可以得到以下的递推关系：
T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n
其中T(n/2)表示对大小为n/2的两个子数组进行排序所需的时间，而最后的n表示合并两个已排序的子数组所需的时间。

这个递推关系可以进一步转化为：
T(n) = 2T(n/2) + n
然后利用等比数列求和公式，我们可以得到：
T(n) = 2^log2(n) T(1) + n log2(n)
其中T(1)表示对一个元素进行排序所需的时间，通常可以看作常数。

所以，最终我们得到：
T(n) = O(n log2(n))
这个结果表示Mergesort算法的时间复杂度是O(n log n)。

c语言分治法实现合并排序算法在计算机科学中，分治算法是一种将问题划分为较小子问题，然后将结果合并以解决原始问题的算法。

其中，合并排序算法就是一种常见的分治算法。

C语言可以使用分治法实现合并排序算法。

该算法的基本思想是将原始数组递归地分成两半，直到每个部分只有一个元素，然后将这些部分合并起来，直到形成一个完整的已排序的数组。

具体实现过程如下：1.首先，定义一个函数merge，该函数将两个已排序的数组合并成一个已排序的数组。

2.然后，定义一个函数merge_sort，该函数使用递归的方式将原始数组分成两个部分，并对每个部分调用merge_sort函数以进行排序。

3.最后，将已排序的两个数组合并到一起，使用merge函数。

以下是C语言代码：void merge(int arr[], int left[], int left_count, int right[], int right_count) {int i = 0, j = 0, k = 0;while (i < left_count && j < right_count) {if (left[i] < right[j]) {arr[k++] = left[i++];} else {arr[k++] = right[j++];}}while (i < left_count) {arr[k++] = left[i++];}while (j < right_count) {arr[k++] = right[j++];}}void merge_sort(int arr[], int size) { if (size < 2) {return;}int mid = size / 2;int left[mid];int right[size - mid];for (int i = 0; i < mid; i++) {left[i] = arr[i];}for (int i = mid; i < size; i++) {right[i - mid] = arr[i];}merge_sort(left, mid);merge_sort(right, size - mid);merge(arr, left, mid, right, size - mid);}int main() {int arr[] = {3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2};int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);merge_sort(arr, size);for (int i = 0; i < size; i++) {printf('%d ', arr[i]);}return 0;}以上代码可以将数组{3, 8, 1, 6, 9, 4, 5, 7, 2}排序成{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。

python 归并排序详解摘要：一、归并排序的基本概念二、归并排序的算法实现1.递归实现2.非递归实现三、归并排序的优化1.优化空间复杂度2.优化时间复杂度四、归并排序的应用与实战五、总结与拓展正文：一、归并排序的基本概念归并排序（Merge Sort）是一种分治思想的排序算法。

它将待排序的序列分成两部分，分别对这两部分进行递归排序，然后将排序好的两部分合并成一个有序序列。

这个过程一直重复，直到整个序列被排序。

归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。

二、归并排序的算法实现1.递归实现归并排序的递归实现如下：```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]left_half = merge_sort(left_half)right_half = merge_sort(right_half)return merge(left_half, right_half) def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result += left[i:]result += right[j:]return resultarr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]print(merge_sort(arr))```2.非递归实现归并排序的非递归实现如下：```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]left_half = merge_sort(left_half)right_half = merge_sort(right_half)return merge(left_half, right_half) def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result += left[i:]result += right[j:]return resultarr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]print(merge_sort(arr))```三、归并排序的优化1.优化空间复杂度归并排序的空间复杂度为O(n)，可以通过合并过程中的数组切片实现空间优化，将空间复杂度降低到O(logn)。

排序有哪几种方法排序是计算机科学中非常重要的概念之一，它指的是将一组元素按照某种规则进行重新排列的过程。

排序算法可以分为多种类型，包括插入排序、交换排序、选择排序、归并排序、快速排序、堆排序、计数排序、桶排序、基数排序等。

下面我将详细介绍每种排序方法的原理、特点和应用场景。

1. 插入排序（Insertion Sort）插入排序是一种简单且直观的排序算法。

它的原理是将一个未排序的元素逐个地插入到已排序的部分中，最终形成一个完全有序的序列。

具体操作是从第二个元素开始，将其与前面已排序的元素逐个比较并插入到正确的位置。

插入排序的时间复杂度为O(n^2)，适用于小规模或部分有序的序列。

2. 交换排序（Exchange Sort）交换排序包括冒泡排序和快速排序。

冒泡排序（Bubble Sort）的原理是从头到尾依次比较相邻的两个元素，如果顺序不对则交换位置，一轮下来可以将最大的元素移动到末尾。

快速排序（Quick Sort）使用了分治的思想，通过选择一个基准元素将序列分成左右两部分，左边的元素都小于该基准值，右边的元素都大于该基准值，然后递归地对左右两部分进行快速排序。

交换排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，适合用于排序大规模随机数据。

3. 选择排序（Selection Sort）选择排序的原理很简单：每一次从未排序的部分中选择最小（或最大）的元素，放到已排序部分的末尾。

具体操作是通过不断找到最小元素的索引，然后将其与第一个未排序元素交换，如此循环直到所有元素都被排序。

选择排序的时间复杂度为O(n^2)，适用于简单的排序需求。

4. 归并排序（Merge Sort）归并排序采用了分治的思想，将一个序列递归地分成两个子序列，直到每个子序列只有一个元素，然后将两个有序的子序列合并成一个有序的序列。

具体操作是比较两个子序列的第一个元素，将较小的元素放入结果序列，然后再比较较小元素所在子序列的下一个元素与另一个子序列的第一个元素，直到所有元素都被放入结果序列。

归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。

归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。

两路归并算法1、算法基本思路设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量R1(相当于输出堆)中，待合并完成后将R1复制回R[low..high]中。

（1）合并过程合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。

合并时依次比较R[i]和R[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到R1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。

重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到R1中即可。

（2）动态申请R1实现时，R1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。

2、归并算法void Merge(SeqList R，int low，int m，int high){//将两个有序的子文件R[low..m)和R[m+1..high]归并成一个有序的//子文件R[low..high]int i=low，j=m+1，p=0；//置初始值RecType *R1；//R1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；if(! R1) //申请空间失败Error("Insufficient memory available!")；while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到R1[p]上R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到R1中R1[p++]=R[i++]；while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到R1中R1[p++]=R[j++]；for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)R[i]=R1[p]；//归并完成后将结果复制回R[low..high]} //Merge归并排序归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。

算法浅谈——分治算法与归并、快速排序（附代码和动图演⽰）在之前的⽂章当中，我们通过海盗分⾦币问题详细讲解了递归⽅法。

我们可以认为在递归的过程当中，我们通过函数⾃⼰调⽤⾃⼰，将⼤问题转化成了⼩问题，因此简化了编码以及建模。

今天这篇⽂章呢，就正式和⼤家聊⼀聊将⼤问题简化成⼩问题的分治算法的经典使⽤场景——排序。

排序算法排序算法有很多，很多博⽂都有总结，号称有⼗⼤经典的排序算法。

我们信⼿拈来就可以说上来很多，⽐如插⼊排序、选择排序、桶排序、希尔排序、快速排序、归并排序等等。

⽼实讲这么多排序算法，但我们实际⼯作中并不会⽤到那么多，凡是⾼级语⾔都有⾃带的排序⼯具，我们直接调⽤就好。

为了应付⾯试以及提升⾃⼰算法能⼒呢，⽤到的也就那么⼏种。

今天我们来介绍⼀下利⽤分治思想实现的两种经典排序算法——归并排序与快速排序。

归并排序我们先来讲归并排序，归并排序的思路其实很简单，说⽩了只有⼀句话：两个有序数组归并的复杂度是O(n)。

我们举个例⼦：a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = []我们⽤i和j分别表⽰a和b两个数组的下标，c表⽰归并之后的数组，显然⼀开始的时候i, j = 0, 0。

我们不停地⽐较a和b数组i和j位置⼤⼩关系，将⼩的那个数填⼊c。

填⼊⼀个数之后：i = 1j = 0a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1]填⼊两个数之后：i = 1j = 1a = [1, 4, 6]b = [2, 4, 5]c = [1, 2]我们重复以上步骤，直到a和b数组当中所有的数都填⼊c数组为⽌，我们可以很⽅便地写出以上操作的代码：def merge(a, b):i, j = 0, 0c = []while i < len(a) or j < len(b):# 判断a数组是否已经全部放⼊if i == len(a):c.append(b[j])c.append(a[i])i += 1continue# 判断⼤⼩if a[i] <= b[j]:c.append(a[i])i += 1else:c.append(b[j])j += 1return c从上⾯的代码我们也能看出来，这个过程虽然简单，但是写成代码⾮常⿇烦，因为我们需要判断数组是否已经全部填⼊的情况。

数字顺序排序数字顺序排序是一种将一组数字按照从小到大（或从大到小）的顺序排列的方法。

它被广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、统计学等。

数字顺序排序的基本原理是比较数字的大小，并根据比较结果对数字进行适当的移动和交换，以实现排序的目标。

以下是几种常见的数字顺序排序算法：1. 冒泡排序（Bubble Sort）：冒泡排序是一种简单而直观的排序算法。

它重复地遍历待排序的数字序列，每次比较相邻两个数字的大小，如果顺序不正确，则交换它们的位置。

通过多次遍历，大的数字逐渐“冒泡”到序列的末尾，实现排序的目标。

2. 插入排序（Insertion Sort）：插入排序是一种稳定且简单的排序算法。

它将待排序的数字序列分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个数字插入到已排序部分的正确位置。

通过多次插入操作，逐步完成排序。

3. 选择排序（Selection Sort）：选择排序是一种简单但低效的排序算法。

它每次从待排序的数字序列中选择最小（或最大）的数字，并将其放置在已排序部分的末尾。

通过多次选择操作，逐步完成排序。

4. 快速排序（Quick Sort）：快速排序是一种高效的排序算法。

它选择一个基准数字，然后将待排序序列划分为小于基准的部分和大于基准的部分。

递归地对两个子序列进行排序，最终完成排序。

5. 归并排序（Merge Sort）：归并排序是一种稳定且高效的排序算法。

它将待排序序列不断划分为更小的子序列，直到每个子序列只有一个数字。

然后再将这些子序列逐步合并，最终完成排序。

不同的排序算法在时间复杂度、空间复杂度和排序稳定性等方面有不同的特点和应用场景。

在实际应用中，我们可以根据具体的排序需求选择合适的算法来实现数字顺序排序。

总结：数字顺序排序是一种常用的排序方法，可以将一组数字按照从小到大或从大到小的顺序进行排列。

冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序和归并排序是几种常见的排序算法，每种算法都有自己的特点和适用场景。

C++实现归并排序（MergeSort）本⽂实例为⼤家分享了C++实现归并排序的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下⼀、思路：稳定排序（1）划分：⼀直调⽤划分过程，直到⼦序列为空或只有⼀个元素为⽌，共需log2(n)；（2）归并：将两个⼦序列从⼩到⼤合并为⼀个序列⼆、实现程序：// 归并排序：（⼆路归并）// （1）递归分解数组；// (2)合并有序的序列#include <iostream>using namespace std;// 合并两个有序的序列template <typename T>void Merge(T arr[], int start, int mid, int end) {int i, j, k, n1, n2;k=0;n1 = mid - start + 1;n2 = end - mid;T *L = new T[n1], *R = new T[n2];for(i = 0; i < n1; i++) // 将arr的左部分赋给LL[i] = arr[start+i];for(j = 0; j < n2; j++) // 将arr的右部分赋给RR[j] = arr[mid+j+1];i = 0;j = 0;k= start;while(i < n1 && j < n2) { // 合并if(L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}while(i < n1) { // 左部分没处理完arr[k] = L[i];k++;i++;}while(j < n2) { // 右部分没处理完arr[k] = R[j];k++;j++;}delete []L;delete []R;}// 归并排序template <typename T>void MergeSort(T arr[], int start, int end) {int mid;if(start >= end)return;mid = (start + end) / 2;MergeSort(arr, start, mid);MergeSort(arr, mid+1, end);Merge(arr, start, mid, end);}// 输出数组template <typename T>void Print(T arr[], int n) {int i;for(i = 0; i < n; i++)cout << arr[i] << " ";cout << endl;}int main(int argc, const char * argv[]) {int n, i, arr[50];cout << "请输⼊要排序的数的个数：";cin >> n;srand((int)time(NULL)); // 设置时间为随机点for(i = 0; i < n; i++) // 产⽣n个随机数arr[i] = rand() % 100;cout << "排序前：";Print(arr, n);MergeSort(arr, 0, n-1); // 调⽤归并排序cout << "排序后：";Print(arr, n);return 0;}测试结果：以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家的学习有所帮助，也希望⼤家多多⽀持。

⼆路归并排序算法将两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列，则称之为⼆路归并排序，下⾯有⾃底向上和⾃顶向下的两种排序算法，⾃顶向下的排序在本⽂末讲述，使⽤递归实现，代码较简洁，经供参考。

1. 归并⼦算法：把位置相邻的两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列。

例如把序列 X[s..u] = {3, 12, 23, 32}和序列 X[u+1..v] = {2, 5, 8, 99} 合并成序列Z[s..v] = {2, 3, 5, 8, 12, 23, 32, 99}, 注意合并前的元素都位于同⼀个有序序列的相邻位置，合并后的有序序列的下标与合并前的序列总的起始下标相同。

算法过程中需要三个整型变量，i ⽤来遍历归并的前⼀个有序序列，其初始位置是s；j ⽤来遍历归并的后⼀个有序序列，其初始值是u+1；q ⽤来指出归并后得到的有序序列的末尾元素的位置，其初始值是s。

当遍历完成其中的⼀个有序序列之后，只需把另⼀个未结束有序序列的剩余元素复制到合并后的有序序列的末尾。

看代码：[cpp]1. //将有序的X[s..u]和X[u+1..v]归并为有序的Z[s..v]2. void merge(int X[], int Z[], int s, int u, int v)3. {4. int i, j, q;5. i = s;6. j = u + 1;7. q = s;8.9. while( i <= u && j<= v )10. {11. if( X[i] <= X[j] )12. Z[q++] = X[i++];13. else14. Z[q++] = X[j++];15. }16.17. while( i <= u ) //将X中剩余元素X[i..u]复制到Z18. Z[q++] = X[i++];19. while( j <= v ) //将X中剩余元素X[j..v]复制到Z20. Z[q++] = X[j++];21. }2. ⼀趟归并扫描⼦算法：将参加排序的序列分成若⼲个长度为 t 的，且各⾃按值有序的⼦序列，然后多次调⽤归并⼦算法merge将所有两两相邻成对的⼦序列合并成若⼲个长度为2t 的，且各⾃按值有序的⼦序列。

series排序方法-回复序列排序方法是算法中非常基础且重要的概念。

它指的是对一组元素进行重新排列，使其按照某种特定的顺序进行排列。

在日常生活中，我们经常需要对数据进行排序，比如对学生成绩进行排名、对商品按照价格从低到高进行排序等等。

在计算机科学领域中，排序算法是一项非常重要的基础任务，因为排序是其他高级算法和数据结构的基础。

本篇文章将围绕“序列排序方法”这个主题展开，一步一步解释各种排序算法的原理和实现方法。

一、冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是最简单的排序算法之一。

它的基本思想是通过相邻元素之间的比较和交换来实现排序。

算法从列表的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素，如果前面的元素大于后面的元素，则交换它们的位置。

遍历完一轮后，列表中最大的元素会被置于末尾。

通过不断重复这个过程，直至所有元素都排好序。

冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是列表中元素的个数。

尽管冒泡排序简单易懂，但对于大规模数据排序而言效率很低，因此在实际应用中很少使用。

二、插入排序（Insertion Sort）插入排序也是一种简单直观的排序算法。

它的工作原理是将待排序的元素插入到已排序部分的适当位置。

算法从列表的第二个元素开始，将其插入到第一个元素之前或之后，形成一个有序列表。

然后，继续将第三个元素插入到已排序的列表中，以此类推，直至所有元素都插入完毕。

插入排序的时间复杂度也为O(n^2)，但它在某些特定情况下可以更高效。

如果列表的部分已经有序，插入排序的性能会更好。

与冒泡排序不同，插入排序是一种稳定的排序算法，它不会改变相等元素的相对位置。

三、选择排序（Selection Sort）选择排序是一种简单但不稳定的排序算法。

它的工作原理是每次从未排序部分选择最小（或最大）的元素，将其与未排序部分的第一个元素交换位置。

通过不断重复该过程，列表会逐渐被分成已排序和未排序两部分，直至所有元素都排好序。

选择排序的时间复杂度也为O(n^2)，与冒泡排序相似。

数据结构：排序数据结构排序算法（Java和Python版本）：1、简单选择排序（属于选择排序）： 从数列第⼀个索引开始遍历： 第⼀步：拿第⼀个索引的数和后⾯n-1个数相⽐，找出最⼩的数放在第⼀个索引上，这样就确定了最⼩的数了； 第⼆步：拿第⼆个索引的数和后⾯n-1个数相⽐，找出次⼩的数放在第⼆个索引上，这样就确定了次⼩的数了； ... 依次类推，直到遍历结束。

Python代码如下：def select_sort(li):for i in range(len(li)):for j in range(i, len(li)):if li[i] > li[j]:temp = li[i]li[i] = li[j]li[j] = tempreturn liJava代码如下：public void selectSort(int[] array){for(int i = 0; i < array.length; i++){for(int j = i; j < array.length; j++){if(array[i] > array[j]){int temp = array[i];array[i] = array[j];array[j] = temp;}}}}2、冒泡排序： 从索引0开始遍历到索引n-2： 第⼀步：从索引0遍历到索引n-2，每次⽐较后⼀个索引值与当前索引值的⼤⼩，将⼤的置于后⾯，⼩的置于前⾯，这样遍历完之后，最后⼀个索引的值即为最⼤值； 第⼆步：从索引0遍历到索引n-3，每次⽐较后⼀个索引值与当前索引值的⼤⼩，将⼤的置于后⾯，⼩的置于前⾯，这样遍历完之后，n-2索引的值即为次⼤值； ... 依次类推，直到遍历结束，数列也编程从⼩打到排列了。

Python代码如下：def bubble_sort(li):for i in range(len(li)):for j in range(len(li) - 1 - i):if li[j] > li[j + 1]:temp = li[j]li[j] = li[j + 1]li[j + 1] = li[j]return liJava代码如下：public void bubbleSort(int[] array){for(int i = 0; i < array.length; i++){for(int j = 0; j < (array.length - 1 - i); j++){if(array[j] > array[j + 1]){int temp = array[j];array[j] = array[j +1];array[j + 1] = temp;}}}}3、直接插⼊排序（属于插⼊排序）： 直接插⼊排序的思想是将⼀个数（记作哨兵）插⼊到⼀个已经排好序的数列当中。

1.合并排序（1）算法思想：合并排序是利用递归和分治技术将数据序列划分成为越来越小的半子表，再递归对半子表排序，最后再用递归将排好序的半子表合并成为越来越大的有序序列。

合并排序包括两个步骤，分别为：1）划分子表2）合并半子表（2）解题思路:首先将数据序列划分为两个半子表，然后再递归地分别对这两个半子表进行合并排序。

最后对两个已排好序的半子表利用合并算法(Merge)合并为一个有序数组。

合并算法步骤：第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置重复步骤3直到某一指针超出序列尾将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾2.快速排序（1）算法思想通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

（2）解题思路:设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用数组的第一个数）作为中轴（关键数据），然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。

一趟快速排序的算法是：1）设置两个变量i、j，排序开始的时候：i=0，j=N-1；2）以第一个数组元素作为中轴，赋值给key，即key=A[0]；3）从j开始向前搜索，即由后开始向前搜索(j--)，找到第一个小于key的值A[j]，将A[j]和A[i]互换；4）从i开始向后搜索，即由前开始向后搜索(i++)，找到第一个大于key的A[i]，将A[i]和A[j]互换；5）重复第3、4步，直到i=j；(3,4步中，没找到符合条件的值，即3中A[j]不小于key,4中A[i]不大于key的时候改变j、i的值，使得j=j-1，i=i+1，直至找到为止。

归并排序算法实现归并排序的原理和时间复杂度分析归并排序是一种经典的排序算法，它采用分治策略来解决排序问题。

它的原理是将一个数组分成两个子数组，然后对每个子数组进行排序，最后再合并两个已排序的子数组。

根据分治的思想，我们可以递归地将问题分解为较小的子问题，通过解决子问题并将结果合并来解决原始问题。

1. 归并排序的原理归并排序的原理可以分为三个步骤：分解、解决和合并。

(1) 分解：首先，将待排序的数组分解为两个子数组，直到每个子数组的长度为1。

例如，对于数组[5, 2, 7, 1]，我们将其分解为[5, 2]和[7, 1]两个子数组。

(2) 解决：接下来，对每个子数组递归地应用归并排序算法，直到子数组的长度为1为止。

递归的终止条件是数组长度为1时，这时数组就是有序的。

对于[5, 2]和[7, 1]两个子数组，我们将其分别排序得到[2, 5]和[1, 7]。

(3) 合并：最后，将两个已排序的子数组合并成一个有序的数组。

合并过程中，我们比较两个子数组的第一个元素，将较小的元素放入结果数组，并移动指针，直到一个子数组已经全部放入结果数组中，然后将另一个子数组中的剩余元素放入结果数组。

对于[2, 5]和[1, 7]两个已排序的子数组，我们将其合并得到最终的排序结果[1, 2, 5, 7]。

通过不断地分解、解决和合并的步骤，归并排序算法最终能够对整个数组进行排序。

2. 时间复杂度分析归并排序算法的时间复杂度可以通过递推关系式来分析。

假设待排序的数组长度为n，则归并排序的时间复杂度可以表示为T(n)。

(1) 分解：每次分解过程将数组划分为两个子数组，所以分解过程的时间复杂度为O(log n)。

其中，log n表示以2为底n的对数。

(2) 解决：对每个子数组的解决过程需要的时间复杂度为O(n)。

因为每个子数组的长度为n/2，所以花费的时间为O(n/2)。

递归地应用归并排序算法，最后得到的时间复杂度为O(n)。

(3) 合并：在合并过程中，我们需要比较每个元素并放入结果数组中，所以合并过程的时间复杂度为O(n)。

前言1.1排序的重要性生活中，无时不刻不充满这排序，比如：班级同学的成绩排名问题，公司产值高低的问题等等，解决这些问题的过程中，都涉及到了一个数据结构的构造思想过程。

数据结构中的排序，也有很多种，如：插入排序、交换排序、选择排序等等，此时我们就要注意选择具有优解的算法，将一个数据元素（或记录）的任意序列，重新排列成一个有序的排列，便于我们查找。

假设含有n个记录的序列为{R1,R2,Rn},其相应的关键字序列为{K1,K2,…,Kn}需确定1，2…n的一种排序P1,P2…Pn,使其相应的关键字满足如下的非递减的关系：Kp1≤Kp2≤…≤Kpn,即按关键字{Rp1,Rp2,…,Rpn}有序的排列，这样的一种操作称为排序。

一般情况下，排序又分为内部排序和外部排序。

而在内部排序中又含有很多排序方法，就其全面性能而言，很难提出一种被认为是最好的方法，因为每一种方法都有它的优缺点，适合在不同的环境下使用。

我们学习的排序有:直接插入排序、折半插入排序、希尔排序、快速排序、基数排序、归并排序等。

本次课题研究中，我主要进行了二路归并排序的研究和学习。

1.2设计的背景和意义排序是计算机领域的一类非常重要的问题，计算机在出来数据的过程中，有25%的时间花在了排序上，有许多的计算机设备，排序用去计算机处理数据时间的一半以上，这对于提高计算机的运行速度有一定的影响。

此时排序算法的高效率显得尤为重要。

在排序算法汇中，归并排序（Merging sort）是与插入排序、交换排序、选择排序不同的另一类排序方法。

归并的含义是将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。

归并排序可分为多路归并排序，两路归并排序，既可用于内排序，也可以用于外排序。

这里仅对内排序的两路归并排序进行讨论。

而我们这里所探究学习的二路归并排序，设计思路更加清晰、明了，程序本身也不像堆结构那样复杂，同时时间复杂度仅为0(N)，同时在处理大规模归并排序的时候，排序速度也明显优于冒泡法等一些排序算法，提高排序算法的效率。

设计自顶向下的二路归并排序算法.自顶向下的二路归并排序算法是一种经典的排序算法，其基本思想是将待排序的序列不断二分为两个子序列，直到每个子序列只有一个元素，然后再将这些子序列两两合并成一个有序序列，重复这个过程，直到最后得到一个完全有序的序列。

下面是一个自顶向下的二路归并排序的算法描述：```MergeSort(arr, start, end)if start < end thenmid = (start + end) / 2MergeSort(arr, start, mid) // 递归地对左侧子序列进行归并排序MergeSort(arr, mid + 1, end) // 递归地对右侧子序列进行归并排序Merge(arr, start, mid, end) // 合并左侧和右侧子序列Merge(arr, start, mid, end)n1 = mid - start + 1 // 左侧子序列的长度n2 = end - mid // 右侧子序列的长度创建临时数组 left[n1] 和 right[n2]for i = 0 to n1-1 doleft[i] = arr[start + i]for j = 0 to n2-1 doright[j] = arr[mid + 1 + j]i = 0 // 左侧子序列的起始位置j = 0 // 右侧子序列的起始位置k = start // 合并后的序列的起始位置while i < n1 and j < n2 doif left[i] <= right[j] thenarr[k] = left[i]i = i + 1elsearr[k] = right[j]j = j + 1k = k + 1// 将剩余的元素复制到合并后的序列中while i < n1 doarr[k] = left[i]i = i + 1k = k + 1while j < n2 doarr[k] = right[j]j = j + 1k = k + 1```这个算法首先将待排序的序列从中间不断二分为两个子序列，然后对每个子序列递归地进行归并排序。

mergelist函数
mergelist函数是一种用于合并两个有序列表的函数。

它将两个有序列表作为输入，输出一个新的有序列表，其中包含原始列表中的所有元素，并按顺序排列。

该函数可以通过递归或循环实现。

递归实现方法如下：
1. 如果一个列表为空，则将另一个列表返回作为结果。

2. 否则，比较两个列表的第一个元素，将较小的元素添加到结果列表中。

3. 递归调用mergelist函数，传入较小元素所在的列表和另一个列表的剩余元素。

4. 将两个结果列表连接起来并返回。

循环实现方法如下：
1. 初始化结果列表和两个列表的索引。

2. 比较两个列表的元素，将较小的元素添加到结果列表中，并将相应的列表索引加1。

3. 重复步骤2，直到其中一个列表的索引到达末尾。

4. 将另一个列表的剩余元素添加到结果列表中。

5. 返回结果列表。

mergelist函数在排序算法中经常被用到，如归并排序和快速排序。

它还可以用于合并有序的数据结构，如堆和二叉搜索树。

- 1 -。

top-downmergesortTop-Down Merge Sort(⾃上⽽下的归并排序)思路1. 将含有n个元素的数组划分成n个只含有⼀个元素的数组使⽤递归的思想对数组进⾏划分，使⽤递归就要注意递归跳出的条件我们要在每个数组只含有⼀个元素时停⽌递归。

2. 接下来是merge(归并)操作设置⼀个辅助数组使⽤辅助数组将原来的数组拷贝到辅助数组中，然后⽐较辅助数组中左右两部分的值的关系，依据特定的排序规则，将归并后的结果呈现在原数组中设置3个指针，分别指向左半边数组、右半边数组、临界点的位置代码public class MergeSort {private static int[] aux;public static void main(String[] args) {int[] arr = { 56, 32, 14, 89, 78, 93 };//⾃上⽽下的归并排序sort(arr, 0, arr.length-1);for (int i : arr) {System.out.print(i + " ");}}public static void sort(int[] arr, int low, int hi) {aux = new int[arr.length];mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);}public static void mergeSort(int[] arr, int low, int hi) {if (low >= hi) {return;}int mid = low + (hi - low) / 2;mergeSort(arr, low, mid);mergeSort(arr, mid + 1, hi);merge(arr, low, mid, hi);}private static void merge(int[] arr, int low, int mid, int hi) {int left = low;int right = mid + 1;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {aux[i] = arr[i];}for (int i = low; i <= hi; i++) {if (left > mid) {arr[i] = aux[right++];} else if (right > hi) {arr[i] = aux[left++];} else if (aux[left] > aux[right]) {arr[i] = aux[right++];} else {arr[i] = aux[left++];}}}}。

逆序对计算的分治算法
逆序对是指在一个序列中，如果两个元素的顺序与排序后的顺序相反，则这两个元素构成了一个逆序对。

计算逆序对的问题可以使用分治算法来解决，以下是一种基于归并排序的分治算法：
定义一个函数 mergeSort(arr)，用于对数组 arr 进行归并排序，并返回数组中的逆序对数量。

在 mergeSort 函数中，如果数组长度小于等于1，直接返回0，因为此时不存在逆序对。

将数组 arr 平均分成左右两部分，分别对左右两部分调用 mergeSort 函数进行递归排序，并将左右两部分的逆序对数量保存下来。

定义一个函数 merge(arr, left, mid, right)，用于合并两个已排序的部分，并返回合并后的逆序对数量。

在 merge 函数中，设定两个指针 i 和 j 分别指向左右两部分的起始位置，初始化逆序对数量为0。

当 i 指针仍在左部分范围内且 j 指针仍在右部分范围内时，比较左右两部分当前指针位置的元素，如果左部分的元素大于右部分的元素，则说明存在逆序对，逆序对数量加上右部分剩余元素的数量，并将右部分当前元素放入合并后的数组。

在每次比较后，将指针 i 或 j 向后移动一位。

当某一个指针超出了范围后，将另一个部分剩余的元素依次放入合并后的数组。

返回合并后的数组和逆序对数量。

在 mergeSort 函数中，将左右两部分合并后得到的数组和逆序对数量相加，得到最终的逆序对数量。

返回最终的逆序对数量。

通过以上的分治算法，在归并排序的过程中同时计算并累加逆序对的数量，最后返回总的逆序对数量。

这种算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n 是数组的长度。

逆序对是指在一个数组中，如果存在 i 和 j 使得 i < j 且 array[i] > array[j]，那么这对元素 (array[i], array[j]) 就构成一个逆序对。

逆序对的计算可以使用分治算法，常见
的方法是归并排序（Merge Sort）。

以下是逆序对计算的分治算法的详细解释：
步骤：
1.归并排序：将数组分成两个部分，对每个部分递归地进行归并排序。

2.合并过程：在合并的过程中，统计逆序对的数量。

▪在两个已排序的子数组中，如果左边数组的元素大于右边数组的元素，则构成逆序对。

因为左边数组和右边数组都是有序的，如果左边数组
的元素 array[i] 大于右边数组的元素 array[j]，那么左边数组从 i 到末
尾的元素都大于 array[j]，即构成逆序对。

▪在合并的过程中，对每一对子数组中的元素进行比较，将较小的元素放入临时数组，并更新逆序对的数量。

▪如果某个子数组的元素被放入临时数组，那么逆序对数量增加的数量等于该元素在原数组中的逆序对数量。

代码实现：
这段 Python 代码演示了使用归并排序计算逆序对的方法。

在merge_sort函数中，数组被递归地分成两半，然后通过merge函数合并，过程中统计逆序对的数量。

在最后，merge_sort返回已排序的数组和逆序对的数量。